经济数学--微积分期末测试及答案(A)
(完整word版)微积分期末试卷A及答案
共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。
lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。
二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。
微积分(上)期末考试试题A卷(附答案)
一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分)1．10lim 2xx -→=_________。
（A ） -∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x xf x x+=的极限为 _________。
（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。
0()()()lim ()x f a x f a A f a x-∆→+∆-'=∆0()(0)()lim(0)x f tx f B tf x→-'=0000()()()lim2()t f x t f x t C f x t→+--'=0()()()lim()x f x f a D f a a x→-'=-４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0()(0)0,lim1,0()_______x f x f f f x x→'''==则是的。
（A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。
()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-=()()()C d f x d x φ=⎰⎰()()()d dD f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰二、 填空题（每小题3分，共18分）1. 设0(2)()0(0)0,lim1sin x f x f x x f x→===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。
２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的ξ=。
3．设1(),()ln f x f x dx x'=⎰的一个原函数是那么 。
4．设(),xf x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。
微积分下册期末试卷及答案
评 分
评 阅 人
14、用拉格朗日乘数法求 在满足条件 下的极值.
评 分
评 阅 人
15、计算.
评 分
评 阅 人
16、计算二重积分
,其中
是由
轴及圆周
所围成的在第一象限内的区域.
评 分
评 阅 人
17、解微分方程.
评 分
评 阅 人
18、判别级数的敛散性.
评 分
评 阅 人
19、将函数展开成的幂级数.
评 分
也收敛。
证：，
…（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为,
…（2分）
…（4分）
所以.
…（5分）
评
阅
一、填空题(每小题3分,共15分) 分
卷 人
1、设
，且当
时，
，则
.
2、计算广义积分
.
3、设，则
. 4、微分方程具有
形式的特解.
5、级数的和为
.
的反函数为
。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式
(3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设
，则
， ，
， (3分)
(6分) 14、用拉格朗日乘数法求 在条件下的极值. 解：
令 ,得 , , 为极小值点. (3分)
故 在 下的极小值点为
,极小值为
(6分)
15、计算. 解：
(6分)
16、计算二重积分 ，其中 是由 轴及圆周 所围成的在第一象限内的区域. 解： ＝ ＝
分
评 分
评 阅 人
21、设级数
微积分期末考试试题及答案
微积分期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 0 \) 处的导数是（）A. 0B. 1C. 2D. -1答案：A2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 的原函数是（）A. \( -\cos(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)答案：A4. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx \) 等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：C5. 函数 \( g(x) = \ln(x) \) 在 \( x > 0 \) 时的反导数是（）A. \( e^x \)B. \( x^e \)C. \( e^{\ln(x)} \)D. \( x \ln(x) - x \)答案：D6. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} \) 等于（）A. 2B. 1C. 4D. 0答案：A7. 函数 \( h(x) = e^x \) 的泰勒展开式在 \( x = 0 \) 处的前三项是（）A. \( 1 + x + \frac{x^2}{2} \)B. \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} \)C. \( 1 + x + \frac{x^3}{3!} \)D. \( 1 + x + \frac{x^2}{3!} \)答案：B8. 若 \( \frac{dy}{dx} = 2y \)，且 \( y(0) = 1 \)，则 \( y(x) \) 是（）A. \( e^{2x} \)B. \( e^{-2x} \)C. \( 2^x \)D. \( 2^{-x} \)答案：A9. 函数 \( F(x) = \int_{0}^{x} e^t \, dt \) 的导数是（）A. \( e^x \)B. \( e^0 \)C. \( x \cdot e^x \)D. \( e^0 \cdot x \)答案：A10. 曲线 \( y = x^2 + 3x \) 与直线 \( y = 6x \) 交点的横坐标是（）A. 0B. 3C. -1D. 2答案：C二、填空题（每空3分，共15分）11. 若 \( f(x) = 2x - 1 \)，则 \( f''(x) \) 等于 _________。
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
3、若函数
f (x, y)
x y ，则
x y
f
(
1 x
,
y)
（
）
A、 x y
x y
B、 1 xy
1 xy
C、 1 xy
1 xy
4、设 D 由 y x, y 2x, y 1围成，则 dxdy （ ）
D
A、 1
2
B、 1
4
C、1
5、（ ）是一阶微分方程
3x 2
3y2
（6
分）。
2、
z y
xy
ln
x （3
分）；
2z y 2
xy
ln 2
x
（6
分）。
3、
f
1 x
(
x,
y)
1
x x2
y2
（5
分）；
f
1 x
(3,4)
2 （6
5
分）。
4、
z x
y
1 y
,
z y
x
x y2
（4
分）；
dz
(y
1 )dx y
(x
x y2
六、求方程 yy' x 的通解。（6 分）
七、判别级数 n1
2n n3n
的敛散性。（6
分）
《微积分》课程期末考试试卷（A）参考答案
一、 填空题（每题 3 分，共 36 分）。
1、
x3 y3
2x
xy y
3xy
2、 1
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
《微积分》期末考试试卷附答案
《微积分》期末考试试卷附答案一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分)1、已知2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(≥x ϕ,则=)(x ϕ2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a .3、已知2)1(='f ,则=+-+→xx f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=⎰xx dx 22cos sin .二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、设)(x f 为偶函数,)(x ϕ为奇函数,且)]([x f ϕ有意义,则)]([x f ϕ是(A) 偶函数； (B) 奇函数；(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.2、0=x 是函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0 ,0,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的(A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点.3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在；(D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='.5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ⎰=； (B) )()(x f dx x f ⎰='；(C) dx x f dx x f d )()(⎰=； (D) C x f x df +=⎰)()(.三、计算题（共4小题，每小题15分，共60分）1、设x x f x x-=--422)2(,求)2(+x f .2、计算)1cos(lim n n n -+∞→.3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→.微积分参考答案：一、填空1. 答案：)1ln(x -2. 答案：13. 答案：44. 答案：25. 答案：C x x +-cot tan二、选择1. A2. D3. B4. D5. B三、计算题1、设x x f x x -=--422)2(,求)2(+x f .答案：42)2(42--=++x x f xx解：令2-=x t ,则 2222)2(2)(48444)2(4)2(222--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t ,于是 42422)2(2)2(44444)2(222--=--=-+-=++-++-+x x x x f x x x x x .2. 计算)1cos(lim n n n -+∞→. 答案：1 解：nn n n n n ++=-+∞→∞→11cos lim )1cos(lim 11010cos 1111cos lim =++=++=∞→nn n .3、求极限)21(lim 222n n n n n n n n ++++++∞→ . 答案：1解：由于1)21(2222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ， 而1111lim lim 22=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 222=+=+∞→∞→n n n n n , 所以1)21(lim 222=++++++∞→n n n n n n n n .4、求极限xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→. 答案：1 解：x x x xx x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 20220020+=+=-+→→→→ 1sin lim cos )1(1lim020=+=→→x x x x x x .。
经济数学--微积分期末测试及答案(A)
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内 （C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分 ２分５分７分３分６分７分３分６分 ７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。
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经济数学--微积分期末测试及答案(A)经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1.函数1()x f x +=Ａ）；()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-U2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；3333()()()()A y x B x yC y xD x y ===-=-3.函数214y x =-的渐近线有（Ａ）；3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f xB y x f xC y f x f xD y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的试题号 一 二三四 总分 考 分 阅卷人11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln x y x=，则dy ＝（Ｄ）；222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx xx xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. 2arccos 1y x x x =-y '解：12222(arccos )[(1)]arccos arccos 121y x x x x xxx'''=--==--2. 求2(cos sin 32)x x x x e dx -+++⎰解：原式＝3sin cos 2x x x xe x c+++++（其中c 是任意常数） 3.求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得1y =；方程两边对x 求导６７７５得 4100599151000y x y x y y ''-++=， 将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1xx x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12x x x x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5.设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩在1x =处可导，求常数a和b解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x ax -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==２５７３６７３６７00006. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x x x -'''''====±++令得列表讨论如下：x 1(,)2-∞- 12- 11(,)22-121(,)2+∞y ''_ 0+ -0 _ y I 拐点1(,ln 2)2- U 拐点1(,ln 2)2I7. 求21dx x +⎰11312222312211(2122212121112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)]4431(21)(21)2dx dx x dxx x x x d x x d x x x c x x c -==+++++=+++++++++++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2x x f e dx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x x xux x xx xx x x xx xf x xe e xe e x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx de x x xe e d e e cx e c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：２７46６三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x 吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x 是需求量，单位：吨；p 是价格，单位：百元）；(1) 该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？ 解：(1) 2100050.001p x x =+-32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-g令2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-<且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L xx x x =-++-== （百元） 故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．3８106四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+ （其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）证明：0a =Q 时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+ 0a > 时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-< 故有()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）２４。