K1.24 梅森(Mason)公式
mason公式
mason公式
Mason公式是一种计算投资回报率的常用公式，由英国经济学家约翰·梅森（John Mason）提出。
它最初是为了解决企业投资决策的经济学问题，但现在它也被广泛应用于个人投资决策中。
Mason公式的基本思想是：当投资者从投资中获得的回报率（returns）超过他们支付的税收（taxes）时，他们将获得投资回报。
Mason公式可以用来计算投资的综合回报率（overall return），它可以帮助投资者判断在投资资金的有限情况下，哪种投资行为会带来最大收益。
Mason公式为：
R = [(1-t)R-t]/(1-t)
其中，R表示投资回报率，t表示税收率。
投资者可以使用Mason公式来计算投资的综合回报率，以帮助他们做出投资决策。
例如，假设投资者投资了100万美元，年回报率为10%，税收率为30%。
那么，投资者的投资综合回报率可以按照Mason公式计算为：
R = [(1-0.3)0.1-0.3]/(1-0.3) = 7%
因此，投资者的投资综合回报率为7%。
Mason公式很容易理解，但它也有一些限制，它只能用于计算投资的综合回报率，而不能用于计算未来投资的综合回报率。
此外，它也不能用于计算投资者个人投资的回报率，因为投资者可能会受到不同的税收率的影响。
总的来说，Mason公式是一种有用的工具，可以帮助投资者识别资金有限的情况下最有利可图的投资行为，避免投资失败。
虽然它有一些局限性，但它仍然是投资者最常用的工具之一，因为它可以帮助投资者更好地识别投资回报率的优劣。
梅森公式经典例题
梅森公式经典例题摘要：一、梅森公式简介二、梅森公式经典例题解析1.基本形式2.乘积形式3.复合形式4.应用场景三、梅森公式在实际问题中的应用四、总结与拓展正文：一、梅森公式简介梅森公式（Mason"s formula）是一种在概率论和统计学中广泛应用的公式，用于计算离散随机变量概率密度函数的积分。
梅森公式以数学家梅森（Mason）的名字命名，其一般形式如下：若离散随机变量X有n个可能的结果，对应的概率分别为p1, p2, ..., pn，则X的概率密度函数F(x)可以通过梅森公式计算：F(x) = Σ[pi * (1 - p1^(n-i))]二、梅森公式经典例题解析1.基本形式例题1：已知离散随机变量X有3个可能的结果，分别对应的概率为1/3，1/4，1/5。
求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/3) * (1 - 1/3^2) + (1/4) * (1 - 1/4^2) + (1/5) * (1 - 1/5^2)2.乘积形式例题2：已知离散随机变量X有2个可能的结果，分别为A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若事件A和事件B互斥，求X的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(x) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/3^2)3.复合形式例题3：已知离散随机变量X有两个可能的结果A和B，对应的概率分别为1/2和1/3。
若随机变量Y = X + 1，求Y的概率密度函数。
解：根据梅森公式，计算得到：F(y) = (1/2) * (1 - 1/2^2) * (1 - 1/(y-1)^2)4.应用场景梅森公式在概率论和统计学中有广泛的应用，例如计算离散随机变量的累积分布函数、概率密度函数等。
此外，梅森公式还可以用于求解马尔可夫链、泊松分布等问题。
三、梅森公式在实际问题中的应用在实际问题中，梅森公式可以用于解决各种概率论和统计学问题。
梅森公式-信号流图
例4 已知系统信号流图， 解：三个回路
求传递函数 X4/X1及 X2/X1。
L
a
d eg bcg
c
有两个互不接触回路
L L
b
deg
f
则 1 d eg bcg deg
1. X 1 X 4 , p1 aef , p2 abcf 1 1 d , 2 1
x2
(g)
x2
x3
x5 L5 a23a35a52
a12 a23 a34 a45 (1 a44 )a12 a23 a35 P 1 (a23 a32 a23 a34 a42 a44 a23 a34 a52 a23 a35 a52 ) a23 a32 a44 a23 a35 a52 a44
2 1 a44
x3
a42 a12
a44 a34 x4 a35 a52 a45 x5
(a)
a23 x2 a32 x3
x1
(d)
x2
x3
互不接触
L1 a23a32
L12 a23a32a44 L2 a23a34a42
(e) (f)
x2
x4 x4 x5 L3 a44 互不接触 L22 a23a35a52a44 L4 a23a34a45a52
E(s)=
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
信号流图
R(s) 1
e
g
a
f
b
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
表达式为：
1 n
P k1 Pk k
式中： P 总传递函数；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
1 La LbLc Ld LeLf ...
2
流图特征式
1 n
P k1 Pk k
G2 G1 2G1G2 1 G2 G1 3G1G2
10
2.3.5 闭环控制系统的传递函数
N(s)
R(s) E(s)
-
G1(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
控制系统在工作过程中受到各种外作用形式，一种为控制输 入信号，另一种为扰动信号。
输入作用下，系统的闭环传递函数及输出:
(s) C(s) G1(s)G2 (s) R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
(s)
N
(s)
根据线性叠加原理，系统总输出 ：
C(s)
C(s)
CN
(s)
G2 (s)[G1(s)R(s) N (s)] 1 G1(s)G2(s)H (s)
12
闭环系统的误差传递函数：
R(s) E(s)
-
G1(s)
N(s)
C(s)
G2(s)
H(s)
输入作用下，系统误差传递函数:
e (s)
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
3
[几个术语]：
N
R1
E
G1
P
1 G2
Q
பைடு நூலகம்
1C
H
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。
系统的信号流图与梅森公式
6-5 系统的信号流图与梅森公式一、信号流图的定义由节点与有向支路构成的能表征系统功能与信号流动方向的图，称为系统的信号流图，简称信号流图或流图。
例如，图6-29(a)所示的系统框图，可用图6-29(b)来表示，图(b)即为图(a)的信号流图。
图(b)中的小圆圈“o”代表变量，有向支路代表一个子系统及信号传输(或流动)方向，支路上标注的H(s)代表支路(子系统)的传输函数。
这样，根据图6-29(b)，同样可写出系统各变量之间的关系，即图6-29二、三种运算器的信号流图表示三种运算器：加法器、数乘器、积分器的信号流图表示如表6-3中所列。
由该表中看出：在信号流图中，节点“o”除代表变量外，它还对流入节点的信号具有相加(求和)的作用，如表中第一行中的节点Y(s)即是。
三、模拟图与信号流图的相互转换规则模拟图与信号流图都可用来表示系统，它们两者之间可以相互转换，其规则是：(1) 在转换中，信号流动的方向(即支路方向)及正、负号不能改变。
(2) 模拟图(或框图)中先是“和点”后是“分点”的地方，在信号流图中应画成一个“混合”节点，如图6-30所示。
根据此两图写出的各变量之间的关系式是相同的，即。
(3) 模拟图(或框图)中先是“分点”后是“和点”的地方，在信号流图中应在“分点”与“和点”之间，增加一条传输函数为1的支路，如图6-31所示。
(4) 模拟图(或框图)中的两个“和点”之间，在信号流图中有时要增加一条传输函数为1的支路(若不增加，就会出现环路的接触，此时就必须增加)，但有时则不需增加(若不增加，也不会出现环路的接触，此时即可以不增加。
见例6-17)。
(5) 在模拟图(或框图)中，若激励节点上有反馈信号与输入信号叠加时，在信号流图中，应在激励节点与此“和点”之间增加一条传输函数为1的支路(见例6-17)。
(6) 在模拟图(或框图)中，若响应节点上有反馈信号流出时，在信号流图中，可从响应节点上增加引出一条传输函数为1的支路(也可以不增加，见例6-17)。
专题5-梅森增益公式
例 试用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s) .
1
解: 单独回路有四个即
L
a
G1 G2 G3 G1G2
两个互不接触的回路有四组,即 Lb Lc G1G2 G1G3 G2G 3G1G2G3 三个互不接触的回路有一组,即
因此,系统的传递函数为
p2 G2G3 K , 2 1 G1 ; p4 G1G2G3 K , 4 1 .
p3 G1G3 K , 3 1 G2 ;
C ( s ) p11 p2 2 p3 3 p4 4 R( s ) G2G3 K (1 G1 ) G1G3 K (1 G2 ) 1 G1 G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G3 2G1G2G3
L L L
d e
f
G1G2G3
1
则信号流图特征式为
1 La Lb Lc Ld Le L f 1 G1 G2 G3 2G1G2 G1G3 G2G3 2G1G2G3
前向通路共有四条,其增益及余因式分别为
p1 G1G2G3 K , 1 1 ;
C ( s) G1 ( s )G2 ( s ) ( s) R( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
由 (s )可进一步求得输入信号作用下系统的输出量C(s)为
R( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
1 n P pk k k 1
2.闭环系统的传递函数
K1.24 梅森(Mason)公式
知识点K1.24
梅森（Mason）公式
梅森（Mason）公式
主要内容：
1.梅森公式及其各符号含义 2.梅森公式求解信号流图的系统函数步骤
基本要求：
1.掌握梅森公式 2.掌握由梅森公式求信号H4
1 H ( p11 p22 )
(4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3
3
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j
m,n
p,q,r
Lj － 所有不同回路的增益之和； j
Lm Ln － 所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
Lp Lq Lr － 所有三三不接触回路的增益乘积之和；…
p,q,r
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；
Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益；
△
i
称为第i条前向通路的剩余特征行列式。消去接触回路
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梅森（Mason）公式
K1.24 梅森公式
思考：意义？
系统函数H(s)记为H。梅森公式为： H
1
i
pi i
1 Lj Lm Ln Lp Lq Lr 流图的特征行列式
2
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梅森（Mason）公式
例： 求下列信号流图的系统函数。
H4
解： (1)首先找出所有回路：
梅森公式,求零状态响应
梅森公式，求零状态响应梅森公式（Mason's formula）是控制工程中用于求解线性时不变系统传递函数的一种方法，它基于信号流图的分析。
然而，梅森公式本身并不直接用于求解零状态响应，而是用于确定系统的整体传递函数。
零状态响应是指系统在初始状态为零时，对输入信号的响应。
要求零状态响应，通常需要通过以下步骤：1.确定系统的微分方程或差分方程，这通常基于系统的物理特性或电路元件的关系。
2.对微分方程或差分方程进行拉普拉斯变换或Z变换，将时域方程转换为复频域或Z域的代数方程。
3.利用代数方法求解变换后的方程，得到系统的传递函数H(s)或H(z)。
4.对传递函数进行反拉普拉斯变换或反Z变换，将其转换回时域，得到系统的单位冲激响应h(t)或单位样本响应h[n]。
5.最后，通过卷积积分（连续时间系统）或卷积和（离散时间系统）将输入信号f(t)或f[n]与单位冲激响应h(t)或单位样本响应h[n]结合起来，得到零状态响应y(t)或y[n]。
在实际应用中，可能会使用各种工具和软件（如MATLAB）来辅助完成这些计算。
如果你有一个具体的系统描述或信号流图，并且想要使用梅森公式来求解传递函数，进而找到零状态响应，你需要首先根据梅森公式计算出传递函数，然后按照上述步骤找到零状态响应。
请注意，以上步骤是一般性的指导，具体问题可能需要特定的处理方法和技巧。
如果你有具体的系统或问题，请提供更多信息以便给出更准确的指导。
以下是一个实际例子：假设我们有一个简单的RC电路，其微分方程为：(\frac{d}{dt}V(t)+\frac{1}{RC}V(t)=0)其中(V(t))是电压，(R)是电阻，(C)是电容。
1.首先，我们对微分方程进行拉普拉斯变换，得到传递函数(H(s)=\frac{1}{RCs+1})。
2.然后，对传递函数进行反拉普拉斯变换，得到单位冲激响应(h(t)=e^{-\frac{t}{RC}})。
3.假设输入信号是(f(t)=\sin(t))，我们将输入信号和单位冲激响应进行卷积积分，得到零状态响应(y(t)=\int_{0}^{t}e^{-\frac{(t-u)}{RC}}\sin(u)du)。
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K1.24 梅森公式
思考：意义？
系统函数H(s)记为H。梅森公式为： H
1
i
pi i
1 Lj Lm Ln Lp Lq Lr 流图的特征行列式
j
m,n
p,q,r
Lj － 所有不同回路的增益之和； j
Lm Ln － 所有两两不接触回路的增益乘积之和；
知识点K1.24
梅森（Mas要内容：
1.梅森公式及其各符号含义 2.梅森公式求解信号流图的系统函数步骤
基本要求：
1.掌握梅森公式 2.掌握由梅森公式求信号流图的系统函数
1
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梅森（Mason）公式
梅森（Mason）公式
例： 求下列信号流图的系统函数。
H4
解： (1)首先找出所有回路：
L1=H3G
1 H1 H2 H3 2
1
L2=2H1H2H3H5
G
L3=H1H4H5
H5
(2)求特征行列式
△=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5 (3)然后找出所有的前向通路：
p1=2H1H2H3 p2=H1H4
1 H ( p11 p22 )
(4)求各前向通路的余因子：△1 =1 ， △2 =1-GH3
3
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Lp Lq Lr － 所有三三不接触回路的增益乘积之和；…
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i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号；
Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益；
△
i
称为第i条前向通路的剩余特征行列式。消去接触回路
2
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