2019年广西梧州市中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前广西梧州市2019年中考试卷数 学一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.) 1.6-的倒数是( )A .6-B .6C .16-D .162.下列计算正确的是( )A .33x x -=B .2235x x x +=C .2224()x x =D .222()x y x y +=+3.一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，则这个几何体是 ( ) A .圆柱B .圆锥C .球D .正方体 4.下列函数中，正比例函数是( )A .8y x =-B .8y x=C .28y x =D .84y x =- 5.如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是( )A .30B .60C .90D .1206.直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是 ( ) A .33y x =+ B .32y x =-C .32y x =+D .31y x =- 7.正九边形的一个内角的度数是( )A .108B .120C .135D .140 8.如图，DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8AC =，5BC =，则BEC △的周长是( )A .12B .13C .14D .159.不等式组26020x x +⎧⎨-⎩＞≥的解集在数轴上表示为( )ABCD10.某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82.下列关于这组数据的描述不正确的是( )A .众数是108B .中位数是105C .平均数是101D .方差是9311.如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=，6AB =，1AE =，则CD 的长是( )A .26B .210C .211D .4312.已知0m ＞，关于x 的一元二次方程()(10)2x x m +--=的解为1x ，2x (12x x ＜)，则下列结论正确的是( )A .1212x x -＜＜＜B .1212x x -＜＜＜C .1212x x -＜＜＜D .1212x x -＜＜＜二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.计算：38 .14.如图，已知在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且2cm FG =，则BC 的长度是 cm .15.化简：2282a a a --=+ .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页）数学试卷 第4页（共20页）16.如图，□ABCD 中，119ADC ∠=，BE DC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，BE 与DF 交于点H ，则BHF ∠= 度.17.如图，已知半径为1的O 上有三点A 、B 、C ，OC 与AB 交于点D ，85ADO ∠=，20CAB ∠=，则阴影部分的扇形OAC 面积是 .18.如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将菱形ABCD绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ，则DP 的长是 .三、解答题(本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(6分)计算：1523(1)3-⨯+÷--.20.(6分)先化简，再求值：32443()2a a aa a-，其中2a =-.21.(6分)解方程：226122x x x ++=--.22.(8分)一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字1-，1，2.第一次从袋中任意摸出一个小球(不放回)，得到的数字作为点M 的横坐标x ；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M 的纵坐标y . (1)用列表法或树状图法，列出点,()M x y 的所有可能结果； (2)求点,()M x y 在双曲线2y x=-上的概率.23.(8分)如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，5AB =，1BD =，3tan 4B =. (1)求AD 的长；(2)求sin α的值.24.(10分)我市某超市销售一种文具，进价为5元/件.售价为6元/件时，当天的销售量为100件.在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件.设当天销售单价统一为x 元/件(6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨)，当天销售利润为y 元. (1)求y 与x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；(3)若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润.数学试卷 第5页（共20页） 数学试卷 第6页（共20页）25.(10分)如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，AF 平分DAC ∠，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ；连接DF ，过点A 作AH DF ∥，分别交BD ，BF 于点G ，H .(1)求DE 的长； (2)求证：1DFC ∠=∠.26.(12分)如图，已知A 的圆心为点(3,0)，抛物线2376y ax x c =-+过点A ，与A 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，且AB AC ⊥，B 、C 两点的纵坐标分别是2、1. (1)请直接写出点B 的坐标，并求A 、C 的值；(2)直线1y kx =+经过点B ，与x 轴交于点D .点E (与点D 不重合)在该直线上，且AD AE =，请判断点E 是否在此抛物线上，并说明理由；(3)如果直线11y k x =-与A 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共20页） 数学试卷 第8页（共20页）广西梧州市2019年中考试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】C【解析】解：6-的倒数是：16-.故选：C . 【考点】倒数的定义.2.【答案】C【解析】解：A 、32x x x -=，故此选项错误；B 、235x x x +=，故此选项错误；C 、2224()x x =，正确；D 、222(2)x y x xy y +=++，故此选项错误；故选：C . 【考点】合并同类项法则，积的乘方运算法则，完全平方公式.3.【答案】A【解析】解：一个几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，符合这个条件的几何体只有圆柱，因此这个几何体是圆柱体.故选：A . 【考点】几何体的判断. 4.【答案】A【解析】解：A 、8y x =-，是正比例函数，符合题意；B 、8y x=，是反比例函数，不合题意；C 、28y x =，是二次函数，不合题意；D 、84y x =-，是一次函数，不合题意；故选：A .【考点】正比例函数，反比例函数，二次函数，一次函数.5.【答案】B【解析】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60.故选：B . 【考点】钟面，度数.6.【答案】D【解析】解：直线31y x =+向下平移2个单位，所得直线的解析式是：31231y x x =+-=-.故选：D . 【考点】一次函数平移规律.7.【答案】D【解析】解：该正九边形内角和(180921260)=⨯-=，则每个内角的度数12601409==.故选：D . 【考点】多边形内角和定理.8.【答案】B【解析】解：∵DE 是ABC △的边AB 的垂直平分线， ∴AE BE =，∵8AC =，5BC =，∴BEC △的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=. 故选：B .【考点】线段垂直平分线的性质. 9.【答案】C【解析】解：26020x x +⎧⎨-⎩＞①≥②，由①得：3x -＞； 由②得：2x ≤，∴不等式组的解集为32x -＜≤， 表示在数轴上，如图所示：故选：C .【考点】不等式组的解集.10.【答案】D【解析】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110， ∴众数是108，中位数为1021081052+=，平均数为82961021081081101016+++++=，方差为2222221[(82101)(96101)(102101)(108101)(108101)(110101)]94.3936-+-+-+-+-+-≈≠； 故选：D .【考点】众数，中位数，平均数，方差.11.【答案】C【解析】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB 、OD ，如图所示：数学试卷 第9页（共20页） 数学试卷 第10页（共20页）则DF CF =，132AG BG AB ===， ∴2EG AG AE =-=，在Rt BOG △中，2OG =， ∴EG OG =，∴EOG △是等腰直角三角形，∴45OEG ∠=，OE =， ∵75DEB ∠=， ∴30OEF ∠=，∴12OF OE ==在Rt ODF △中，DF ==∴2CD DF == 故选：C .【考点】垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质.12.【答案】A【解析】解：关于x 的一元二次方程()(10)2x x m +--=的解为1x ，2x ，可以看作二次函数()(2)1m x x =+-与x 轴交点的横坐标，∵二次函数()(2)1m x x =+-与x 轴交点坐标为()1,0-，(2,0)，如图：当m ＞0时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x -＜，或2x ＞； 又∵12x x ＜∴11x =-，22x =； ∴1212x x -＜＜＜， 故选：A .【考点】二次函数的关系式，抛物线. 二、填空题13.【答案】2【解析】解：∵328=2故答案为：2.【考点】立方根的定义.14.【答案】8【解析】解：如图，∵ADE △中，F 、G 分别是AD 、AE 的中点， ∴24cm DE FG ==，∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE 是ABC △的中位线， ∴28cm BC DE ==， 故答案为：8.【考点】三角形中位线定理. 15.【答案】4a -【解析】解：原式22(4)2(2)(2)22a a a a a a a -+-=-=-++244a aa =--=-.故答案为：4a -. 【考点】因式分解.16.【答案】61【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，DC AB ∥，∵119ADC ∠=，DF BC ⊥， ∴90ADF ∠=， 则29EDH ∠=， ∵BE DC ⊥， ∴90DEH ∠=，∴902961DHE BHF ∠=∠=-=. 故答案为：61.【考点】平行四边形的性质，三角形内角和定理.17.【答案】5π36【解析】解：∵85ADO ∠=，20CAB ∠=， ∴65C ADO CAB ∠=∠-∠=，数学试卷 第11页（共20页） 数学试卷 第12页（共20页）∵OA OC =，∴65OAC C ∠=∠=， ∴50AOC ∠=，∴阴影部分的扇形OAC 面积50π15π36036=⨯=， 故答案为：5π36.【考点】三角形外角的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式. 18.1-【解析】解：连接BD 交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴2CD AB ==，60BCD BAD ∠=∠=，1302ACD BAC BAD ∠=∠=∠=，OA OC =，AC BD ⊥， ∴11OB AB ==，∴OA ==，∴AC =由旋转的性质得：2AE AB ==，60EAGBAD ∠=∠=， ∴2CE AC AE =-=， ∵四边形AEFG 是菱形， ∴EF AG ∥，∴60CEP EAG ∠=∠=， ∴90CEP ACD ∠+∠=， ∴90CPE ∠=，∴112PE CE==，3PC ==∴2(31DP CD PC =-=-=；1.【考点】菱形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质. 三、解答题19.【答案】原式1011=-++8=-.【解析】解：原式1011=-++8=-.【考点】有理数的混合运算.20.【答案】原式65432a a a a =-222a a =- 2a =-， 当2a =-时，原式4=-【解析】原式65432a a a a =-222a a =- 2a =-， 当2a =-时，原式4=-.【考点】幂的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则.21.【答案】解：方程两边同乘以(2)x -得：2226x x ++-=， 则260x x +-=， 3)20()(x x -+=，解得：12x =，23x =-，检验：当2x =时，20x -=，故2x =不是方程的根，3x =-是分式方程的解.【解析】解：方程两边同乘以(2)x -得：2226x x ++-=，则260x x +-=， 3)20()(x x -+=，解得：12x =，23x =-，检验：当2x =时，20x -=，故2x =不是方程的根，3x =-是分式方程的解.【考点】分式方程.22.【答案】解：(1)用树状图表示为：点,()M x y 的所有可能结果；()()()1,11,21,11,22,1()()()2,1----共六种情况. (2)在点M 的六种情况中，只有()(1,22,1)--两种在双曲线2y x=-上，∴2163P ==；数学试卷 第13页（共20页） 数学试卷 第14页（共20页）因此，点,()M x y 在双曲线2y x =-上的概率为13.【解析】解：(1)用树状图表示为：点,()M x y 的所有可能结果；()()()1,11,21,11,22,1()()()2,1----共六种情况. (2)在点M 的六种情况中，只有()(1,22,1)--两种在双曲线2y x=-上， ∴2163P ==； 因此，点,()M x y 在双曲线2y x =-上的概率为13.【考点】树状图，概率公式.23.【答案】解：(1)∵3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =，∵222AC BC AB +=， ∴22234()()5x x +=，解得，1x =-(舍去)，或1x =， ∴3AC =，4BC =， ∵1BD =， ∴3CD =，∴AD == (2)过点作DE AB ⊥于点E ，∵3tan 4B =，可设3DE y =，则4BE y =， ∵222AE DE BD +=， ∴2234()()12y y +=，解得，15y =-(舍)，或15y =，∴35DE =，∴sin DE AD α==【解析】解：(1)∵3tan 4B =，可设3AC x =，得4BC x =，∵222AC BC AB +=， ∴22234()()5x x +=，解得，1x =-(舍去)，或1x =， ∴3AC =，4BC =， ∵1BD =， ∴3CD =，∴AD =； (2)过点作DE AB ⊥于点E ，∵3tan 4B =，可设3DE y =，则4BE y =， ∵222AE DE BD +=， ∴2234()()12y y +=，解得，15y =-(舍)，或15y =，数学试卷 第15页（共20页） 数学试卷 第16页（共20页）∴35DE =，∴sin DE AD α==【考点】勾股定理.24.【答案】解：由题意(1)26(5)(1005)102108000.5x y x x x -=--⨯=-+-，故y 与x 的函数关系式为：210210800y x x =+--； (2)要使当天利润不低于240元，则240y ≥，∴221021080010(10.5)302.5240y x x x =+-=--+=- 解得，18x =，213x =∵100-＜，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为813x ≤≤； (3)∵每件文具利润不超过80% ∴50.8x x-≤，得9x ≤ ∴文具的销售单价为69x ≤≤，由(1)得221021080010(10.5)302.5y x x x =-+-=--+ ∵对称轴为10.5x =∴69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∴当9x =时，取得最大值，此时210(910.5)302.5280y =--+= 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元. 【解析】解：由题意(1)26(5)(1005)102108000.5x y x x x -=--⨯=-+- 故y 与x 的函数关系式为：210210800y x x =+--； (2)要使当天利润不低于240元，则240y ≥，∴221021080010(10.5)302.5240y x x x =+-=--+=- 解得，18x =，213x =∵100-＜，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为813x ≤≤；(3)∵每件文具利润不超过80% ∴50.8x x-≤，得9x ≤ ∴文具的销售单价为69x ≤≤，由(1)得221021080010(10.5)302.5y x x x =-+-=--+ ∵对称轴为10.5x =∴69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∴当9x =时，取得最大值，此时210(910.5)302.5280y =--+= 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元. 【考点】利润公式，二次函数的性质.25.【答案】(1)解：∵矩形ABCD 中，AD CF ∥， ∴DAF ACF ∠=∠， ∵AF 平分DAC ∠， ∴DAF CAF ∠=∠， ∴FAC AFC ∠=∠， ∴AC CF =，∵4AB =，3BC =，∴5AC =， ∴5CF =， ∵AD CF ∥，∴ADE FCE △△，∴AD DECF CE=， 设DE x =，则354xx =-，解得32x =∴32DE =；(2)∵AD FH ∥，AF DH ∥，∴四边形ADFH 是平行四边形， ∴3AD FH ==， ∴2CH =，5BH =， ∵AD BH ∥，∴ADG HBG △△， ∴DG ADBG BH=，数学试卷 第17页（共20页） 数学试卷 第18页（共20页）∴355DG DG =-，∴158DG =，∵32DE =，∴45DE DC DG DB ==， ∴EG BC ∥， ∴1AHC ∠=∠， 又∵DF AH ∥， ∴AHC DFC ∠=∠，1DFC ∠=∠.【解析】(1)解：∵矩形ABCD 中，AD CF ∥， ∴DAF ACF ∠=∠， ∵AF 平分DAC ∠， ∴DAF CAF ∠=∠， ∴FAC AFC ∠=∠， ∴AC CF =，∵4AB =，3BC =，∴5AC =， ∴5CF =， ∵AD CF ∥，∴ADE FCE △△，∴AD DECF CE=， 设DE x =，则354xx =-，解得32x =∴32DE =；(2)∵AD FH ∥，AF DH ∥，∴四边形ADFH 是平行四边形， ∴3AD FH ==， ∴2CH =，5BH =， ∵AD BH ∥，∴ADG HBG △△，∴DG ADBG BH =， ∴355DG DG =-， ∴158DG =， ∵32DE =，∴45DE DC DG DB ==， ∴EG BC ∥， ∴1AHC ∠=∠， 又∵DF AH ∥， ∴AHC DFC ∠=∠，1DFC ∠=∠.26.【答案】解：(1)过点B 、C 分别作x 轴的垂线交于点R 、S ， ∵90BAR RAB ∠+∠=，90RAB CAS ∠+∠=， ∴RAB CAR ∠=∠，又AB AC =， ∴Rt Rt (AAS)BRA ASC ≅△△， ∴2AS BR ==，1AR CS ==，故点B 、C 的坐标分别为(2,2)、(5,1)，将点B 、C 坐标代入抛物线2376y ax x c =-+并解得：56a =，11c =，故抛物线的表达式为：25371166y x x =-+；(2)将点B 坐标代入1y kx =+并解得：112y x =+，则点0()2,D -，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、()2,0-，则AB ，5AD =，点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1(,1)2x x +， ∵AD AE =，则22215(3)(1)2x x =-++， 解得：2x =-或6(舍去2-)， 故点()6,4E ， 把6x =代入253711466y x x =-+=， 故点E 在抛物线上；(3)①当切点在x 轴下方时，设直线11y k x =-与A 相切于点H ，直线与x 轴、y 轴分别交于点K 、1(0,)G -，连接GA ，数学试卷 第19页（共20页） 数学试卷 第20页（共20页）AH AB ==GA ，∵90AHK KOG ∠=∠=，HKA HKA ∠=∠，∴KOG KHA △∽△，∴KO OGKH HA == 解得：2KO =或12-(舍去12-)， 故点0()2,K -，把点K 、G 坐标代入11y k x =-并解得： 直线的表达式为：112y x =--； ②当切点在x 轴上方时，直线的表达式为：21y x =-；故满足条件的直线解析式为：112y x =--或21y x =-. 【解析】解：(1)过点B 、C 分别作x 轴的垂线交于点R 、S ， ∵90BAR RAB ∠+∠=，90RAB CAS ∠+∠=， ∴RAB CAR ∠=∠，又AB AC =， ∴Rt Rt (AAS)BRA ASC ≅△△， ∴2AS BR ==，1AR CS ==，故点B 、C 的坐标分别为(2,2)、(5,1)，将点B 、C 坐标代入抛物线2376y ax x c =-+并解得：56a =，11c =，故抛物线的表达式为：25371166y x x =-+；(2)将点B 坐标代入1y kx =+并解得：112y x =+，则点0()2,D -，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、()2,0-，则AB =，5AD =，点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1(,1)2x x +， ∵AD AE =，则22215(3)(1)2x x =-++， 解得：2x =-或6(舍去2-)， 故点()6,4E ， 把6x =代入253711466y x x =-+=， 故点E 在抛物线上；(3)①当切点在x 轴下方时，设直线11y k x =-与A 相切于点H ，直线与x 轴、y 轴分别交于点K 、1(0,)G -，连接GA ，AH AB ==GA =∵90AHK KOG ∠=∠=，HKA HKA ∠=∠，∴KOG KHA △∽△，∴KO OGKH HA == 解得：2KO =或12-(舍去12-)， 故点0()2,K -，把点K 、G 坐标代入11y k x =-并解得： 直线的表达式为：112y x =--； ②当切点在x 轴上方时，直线的表达式为：21y x =-；故满足条件的直线解析式为：112y x =--或21y x =-.。