圆周运动加速度切向加速度方向沿切线方向
物理学概念知识：牛顿第二定律和圆周运动
物理学概念知识：牛顿第二定律和圆周运动牛顿第二定律和圆周运动是物理学中非常重要的概念，它们分别涉及到物体的运动和力的作用。
本文将分别介绍牛顿第二定律和圆周运动的相关内容，探讨它们在物理学中的重要性和应用。
牛顿第二定律是牛顿定律中的第二个定律，通常用数学公式表示为F=ma。
其中，F代表物体所受的力，m代表物体的质量，a代表物体的加速度。
这个定律揭示了力和物体的运动状态之间的关系：当一个物体受到作用力时，它将产生加速度，而加速度的大小与受力的大小成正比，与物体的质量成反比。
牛顿第二定律的公式F=ma是一个基本的物理学定律，它在许多物理学问题中都有重要的应用。
例如，在力学中，我们可以利用这个公式计算物体的加速度；在静力学中，我们可以分析物体受力的平衡状态；在动力学中，我们可以预测物体在受力作用下的运动轨迹等等。
圆周运动是指物体在圆周轨道上运动的现象。
当一个物体以恒定的速度沿着圆周轨道运动时，它将产生一个向心加速度。
这个向心加速度的大小与物体的速度和圆周半径有关，通常用公式a=v^2/r来表示。
其中，a代表向心加速度，v代表物体的速度，r代表圆周轨道的半径。
圆周运动有许多应用，例如在天文学中，我们可以利用这个概念来解释行星的运动轨迹；在工程学中，我们可以利用这个概念来设计转速稳定的机械设备等等。
牛顿第二定律和圆周运动虽然是两个独立的概念，但它们之间存在着一定的关系。
通过牛顿第二定律，我们可以推导出圆周运动的向心加速度公式。
下面将详细介绍这个过程。
首先，根据牛顿第二定律F=ma，我们可以推导出物体在圆周运动中的向心加速度。
当一个物体在圆周轨道上运动时，它所受的合外力正好提供了向心加速度。
这个向心加速度的大小与合外力和物体的质量成正比，可以表示为a=F/m。
由于圆周运动的加速度方向沿着圆周轨道的切线方向，所以这个外力必须引起物体的加速度，即产生切向分量。
这个切向分量的大小正好等于向心加速度，可以表示为a=v^2/r。
圆周运动加速度切向加速度方向沿切线方向
vA
vB 2192 km h1
t 3s，r 3.5103 m
vB vA
dv
at
t
dt
0
r an
o
B
a
at
vB
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得：at 23.3 m s2，an 106 m s2
18
讨论
a at2 an2 109 m s2 A
vA
B
arctan at 12.4o
15
例题
例1： 一质点沿半径为1m的圆周运动，
运动方程为 2 3t 3
式中 以弧度计，t以秒计，求：
(1) t=2s时，质点的切向和法向加速度； (2) 当总加速度的方向和切向加速度成
45o角时，其角位移 是多少?
如果给出的运动方程形式是直角坐标系下 的，该如何求解？
16
讨论
例2 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
v
det dt
切向单位矢量
· lim · Δt 0
Δet Δt
det dt
dθ dt
en
v
v
et
et 2
et1
O enR
法向单位矢量
法向单位矢量
法向加速度
an
vω
ω2R
v2 R
et
et1
et 2
8
圆周运动加速度
at
dv dt
─ 切向加速度 方向沿切线方向，可正可负。
at是引起速度大小改变的加速度。
平面极坐标
平面极坐标系下，任意一点的 坐标由R和θ表示。
平面极坐标系和直角坐标系的关
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在一个固定半径的圆周路径上运动的过程。
在圆周运动中，物体会具有切向加速度和法向加速度。
首先，我们来看一下圆周运动的切向加速度。
切向加速度是物体沿着圆周路径方向的加速度，它与圆周运动的线速度和半径有关。
切向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_t = v^2 / r其中，a_t表示切向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
接下来，我们来看一下圆周运动的法向加速度。
法向加速度是物体指向圆心的加速度，它使物体保持在圆周路径上运动。
法向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_n = v^2 / r其中，a_n表示法向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
需要注意的是，切向加速度和法向加速度是彼此垂直的两个矢量。
切向加速度的方向与圆周路径的切线方向一致，而法向加速度的方向指向圆心。
圆周运动的切向加速度和法向加速度在物体的速度发生变化时起着重要的作用。
当物体的速度变大时，切向加速度和法向加速度的大小也会增加，使物体的运动更加剧烈。
当物体的速度减小时，切向加速度和法向加速度的大小也会减小，使物体的运动变得平缓。
切向加速度和法向加速度还与物体的质量有关。
根据牛顿第二定律，加速度与力成正比，与物体的质量成反比。
因此，在相同力的作用下，质量较大的物体的切向加速度和法向加速度较小，而质量较小的物体的切向加速度和法向加速度较大。
除了切向加速度和法向加速度，圆周运动还存在着径向加速度。
径向加速度是物体朝向圆心方向的加速度，它与物体的速度和圆周运动的半径有关。
径向加速度可以用以下公式计算：a_r = v^2 / r其中，a_r表示径向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
圆周运动的切向加速度、法向加速度和径向加速度是描述物体在圆周路径上运动的重要物理量。
它们的存在使得物体能够保持在圆周路径上运动，并且加速或减速，从而形成各种有趣的动态现象。
在实际应用中，对于圆周运动的分析和计算十分重要。
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在圆形路径上运动的一种运动形式。
当物体在圆周运动时，其速度和加速度的方向会发生变化，其中切向加速度和法向加速度是描述速度变化的两个重要参数。
切向加速度是指物体在圆周运动中速度方向的变化率，也就是物体在圆周上的切线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：at = v^2 / r其中，at代表切向加速度，v代表物体的速度，r代表物体所处圆周路径的半径。
根据上述公式可以看出，切向加速度的大小正比于速度平方，反比于半径。
法向加速度是指物体在圆周运动中速度大小的变化率，也就是物体在圆周上的法线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：an = v^2 / r其中，an代表法向加速度。
切向加速度和法向加速度的方向是不同的。
切向加速度的方向与速度方向相切，指向速度变化的方向；而法向加速度的方向与速度方向垂直，指向圆心。
在圆周运动中，物体的速度不断变化，因此其速度的变化率即加速度也不断变化。
切向加速度和法向加速度的大小和方向都会随着速度的变化而变化。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度具有重要意义。
例如，汽车在转弯时，需要通过调节切向加速度和法向加速度来保持行驶在圆周上平衡，否则容易发生侧翻或失控等危险情况。
在机械工程中，设计机械零件的运动轨迹时，也需要考虑到切向加速度和法向加速度对零件的影响，以保证运动的稳定和安全。
总结起来，切向加速度和法向加速度是描述物体在圆周运动中速度变化的重要参数。
它们的大小和方向都与物体的速度、半径和运动轨迹相关。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度对于控制物体在圆周运动中的行为和稳定性具有重要意义。
圆周运动知识点总结
圆周运动知识点总结圆周运动是指物体沿定轴匀速运动的一种运动形式。
下面对圆周运动的知识点进行总结。
1.圆周运动的定义圆周运动是指物体以其中一点为轴心，在平面内以圆周运动的一种运动形式。
它是一种二维的运动，也被称为平面运动。
2.圆周运动的要素圆周运动包括轴心、半径、角速度、角位移、角加速度等要素。
-轴心：圆周运动的轴心是指物体围绕其旋转的轴线。
在圆周运动中，轴心可以是固定的，也可以是在运动中变化的。
-半径：圆周运动的半径是指从轴心到物体所在位置的距离。
在运动过程中，半径可以保持不变，也可以发生变化。
-角速度：角速度表示物体在单位时间内绕轴心转过的角度。
通常用符号ω表示，其单位是弧度/秒。
-角位移：角位移表示物体从一个位置到另一个位置所转过的角度。
通常用符号θ表示，其单位是弧度。
-角加速度：角加速度表示角速度的变化率。
通常用符号α表示，其单位是弧度/秒^23.圆周运动的描述方法圆周运动可以通过角度和弧长来描述。
-角度：角度是描述物体旋转角度的单位。
一周的角度为360度，一个弧度等于180度/π。
圆周运动的角位移和角速度都是用角度表示的。
-弧长：弧长是物体沿圆周运动所走过的路径的长度。
弧长与角度之间存在着一一对应的关系，可以根据圆周的半径和角度计算得到。
4.圆周运动的速度和加速度在圆周运动中，物体具有切向速度和径向速度，同时也具有切向加速度和径向加速度。
-切向速度：切向速度是物体在圆周运动过程中与圆周切线方向相切的速度分量。
切向速度与角速度之间存在着一一对应的关系，切向速度等于角速度乘以半径。
-径向速度：径向速度是物体在圆周运动过程中沿半径方向的速度分量。
很明显，径向速度等于零。
-切向加速度：切向加速度是物体在圆周运动过程中与圆周切线方向相切的加速度分量。
切向加速度与角加速度之间存在着一一对应的关系，切向加速度等于半径乘以角加速度。
-径向加速度：径向加速度是物体在圆周运动过程中沿半径方向的加速度分量。
很明显，径向加速度不为零。
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
sin i cosj
切向加速度为 a R R d d ( R ) dv
dt dt dt
n为圆周法向上的单位矢量
法向加速度为
n (cosi sin j )
2 2 ( R ) v an R 2 R R
解法：用积分或求解微分方程的Biblioteka 法求解。x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t
1 2 0 0t t 2
0 ( 0 )t
2 2 0 2 ( 0 )
1 2
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。 由于位置矢量可以表示为 r xi yj R cosi R sin j
第一章 质点运动学
1
§1-3 圆周运动
1 圆周运动的角量描述：质点做圆周运动时，轨道上 的任意点到圆心距离为R,用一个变量θ即可描述其运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
2
平均角加速度 t
描述圆周运动的物理量
描述圆周运动的物理量圆周运动是物体在圆形路径上运动的一种运动方式。
在圆周运动中，物体沿着一个固定半径的圆形轨迹运动，同时保持一个恒定的速度。
圆周运动涉及到多个物理量，下面将对其中几个重要的物理量进行详细描述。
1.弧长（s）：弧长是沿着圆周的路径的长度。
可以通过弧度（radians）和半径（r）之间的关系来计算弧长，即s = rθ，其中θ是圆周所对应的弧度。
弧长是圆周运动中的基本物理量之一，用于描述物体在圆周上的位移。
2.角速度（ω）：角速度是物体绕圆心旋转的速度。
它表示单位时间内物体所旋转的角度。
角速度可以通过角度（degrees）和时间（t）之间的关系来计算，即ω = Δθ/Δt。
其中Δθ是物体在Δt 时间内所转过的角度差。
角速度的单位通常为弧度/秒（rad/s）。
3.角位移（θ）：角位移是物体绕圆心旋转的角度。
它用来描述物体的方向和位置。
角位移可以通过物体的角速度和时间的乘积来计算，即θ = ωt。
当物体沿着圆周运动时，角位移等于物体所转过的角度。
4.周期（T）：周期是物体完成一次完整圆周运动所需要的时间。
周期可以通过角速度的倒数来计算，即T = 2π/ω。
周期的单位通常为秒（s）。
5.频率（f）：频率是物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。
频率可以通过周期的倒数来计算，即f = 1/T。
频率的单位通常为赫兹（Hz）。
6.切线速度（v）：切线速度是物体在圆周运动中沿着圆周切线方向的速度。
切线速度可以通过角速度和半径的乘积来计算，即v = rω。
切线速度用来描述物体在圆周运动中的速度大小。
7.切向加速度（at）：切向加速度是物体在圆周运动中沿着圆周切线方向的加速度。
切向加速度的大小可以通过切线速度和角速度的乘积来计算，即at = rv。
切向加速度用来描述物体在圆周运动中的加速度大小。
8.向心加速度（ac）：向心加速度是物体在圆周运动中指向圆心的加速度。
向心加速度的大小可以通过切线速度的平方除以半径来计算，即ac = v^2/r。
力学圆周运动和加速度的分析
力学圆周运动和加速度的分析在力学中，圆周运动是一种常见的运动形式，它涉及到物体在圆周路径上的运动。
本文将对圆周运动的加速度进行详细分析。
一、圆周运动概述圆周运动是指物体沿着圆形轨迹运动的情况。
在圆周运动中，物体在一定时间内完成一个完整的圆周运动，其运动轨迹可以用圆来表示。
力学中，圆周运动可以分为匀速圆周运动和变速圆周运动。
1. 匀速圆周运动：物体在圆周运动过程中保持匀速运动，速度大小始终保持不变。
2. 变速圆周运动：物体在圆周运动过程中速度大小发生变化，可加速或减速。
二、圆周运动的加速度在圆周运动中，物体的运动速度可能会发生变化，因此存在加速度的概念。
圆周运动的加速度可分为径向加速度和切向加速度两个方向。
1. 径向加速度：物体在圆周运动中，由于速度方向的变化而导致运动轨迹的半径方向发生变化，即物体相对于圆心的加速度。
它的大小可以由以下公式计算得到：a_r = v^2 / R其中，a_r为径向加速度，v为物体的速度大小，R为圆周运动的半径。
2. 切向加速度：物体在圆周运动中，由于速度大小的变化而导致运动轨迹的切线方向发生变化，即物体相对于运动切线的加速度。
它的大小可以由以下公式计算得到：a_t = dv / dt其中，a_t为切向加速度，v为物体的速度大小，t为时间。
三、加速度与圆周运动的关系在圆周运动中，加速度的方向与速度变化的方向相关。
当加速度与速度方向相同时，物体的圆周运动将加速进行；当加速度与速度方向相反时，物体的圆周运动将减速进行。
对于匀速圆周运动，物体的速度大小保持不变，因此切向加速度为零。
而对于变速圆周运动，物体的速度大小发生变化，切向加速度不为零。
在变速圆周运动中，物体的加速度大小与速度大小、运动半径之间存在关系。
加速度的变化可由以下公式计算得到：a = √(a_r^2 + a_t^2)其中，a为加速度大小，a_r为径向加速度大小，a_t为切向加速度大小。
四、实例分析以一个运动半径为R、速度大小为v的物体在圆周运动中为例，可以进行加速度的具体分析。
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0 t 1 2 θ θ 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
14
用加速度 a an at 判定质点的运动
(1) an 0， at 0 变速率曲线运动： v 方向改变，大小改变。
v 方向改变，大小不变。 (2) an 0， at 0 匀速率曲线运动：
平面极坐标
y
平面极坐标系下，任意一点的
坐标由R和θ表示。 平面极坐标系和直角坐标系的 关系： y
o
A
R
x
x
x R cos θ
y R sin θ
1
自然坐标
在已知质点的运动
轨迹方程时可以选用自 然坐标系。
P1 e t1 · e n1
O1
e n2
O2
P ·
2
et2
自然坐标系下，因为质点的轨迹方程已知，
18
vA
dv at dt
0
t
o
a
2 B
vB
讨论
a a a 109 m s
2 t 2 n
2
A
vA
B
at o arctan 12.4 an
r a n
o
a
17
讨论 解（1）v A 1940 km h
1
A
vA
B
vB 2192 km h r a 3 t 3 s，r 3.5 10 m n
1
at
vB
v vB v A at 而B点 an r t 2 2 at 23.3 m s ，an 106 m s 解得：
所以用弧长来描述质点的运动：
s s( t )
2
圆周运动的角量
在平面极坐标系下,r =常量。
y
角坐标 角位移
(t )
B
r
o
A
单位：rad。 角速度
x
d lim t 0 t dt
单位rad· s-1
3
圆周运动的角量
角加速度
dω lim t 0 t dt
特点
v 常量
速度方向改变，大小不变。
at R 0 2 a an an en Rω en 0
常量 0 t
13
匀变速率圆周运动
特点
dω 常量 dt
dω dt
ω
ω0
dω dt
0
t
如 t 0 时, 0 , 0
的，该如何求解？
16
讨论
例2 一歼击机在高空 A vA 点A时的水平速率为1 940 B km· h-1 ,沿近似圆弧曲线俯 r 冲到点B，其速率为2 192 -1 km· h , 经历时间为3 s , vB o 设 AB 的半径约为 3.5 km , 飞机从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不 计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的 加速度；(2)飞机由点A到点B所经历的路程.
B
e tA
o
x
ds v vet et R (t )et dt
6
圆周运动切向加速度
作变速率圆周运动时 质点加速度
v2
v d vet a lim t 0 t dt det dv et v dt dt
et 2
a n是引起速度方向改变的加速度。
9
圆周运动加速度
圆周运动加速度
2 a at an Ret Rω en
大小
y
a
o
en
v
a at2 an2
1
et
an 方向 θ tan at
不一定再指向圆心
x
10
圆周运动加速度
【 思考 】 质点能否按图示的加速度沿圆周运动？如 果能，分别表示什么情形？
· ·
法向单位矢量
法向单位矢量
2
法向加速度
v 2 an vω ω R R
e t
et 2
et1
8
圆周运动加速度
dv at dt
─ 切向加速度 方向沿切线方向，可正可负。
a t是引起速度大小改变的加速度。
v an R
2
─ 法向加速度或向心加速度 方向指向圆心，其值为正。
v 方向不变，大小改变。 (3) an 0， at 0 变速率直线运动：
v 方向不变，大小不变。 (4) an 0， at 0 匀速率直线运动：
15
例题 例1： 一质点沿半径为1m的圆周运动， 运动方程为
2 3t
3
式中 以弧度计，t以秒计，求： (1) t=2s时，质点的切向和法向加速度； (2) 当总加速度的方向和切向加速度成 45o角时，其角位移 是多少? 如果给出的运动方程形式是直角坐标系下
v1
et 1
o R
切向加速度
v2
dv d d 2s at R R 2 dt dt dt
角加速度
v1 e t1 et 2
7
圆周运动法向加速度 v v et 切向单位矢量 det dv et 2 a et v dt dt et1 Δet det dθ R lim en O en Δt 0 Δ t dt dt
单位rad· s-2
4
圆周运动速率
在自然坐标系下，
y
R
B
s s(t ) R (t )
速率
e tA
o
x
Δs Δθ v lim R lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt
v(t ) R (t )
5
圆周运动速度
速度
y
R
r r s v lim lim lim t 0 t t 0 s t 0 t r r lim lim et et t 0 s t 0 s s lim v R (t ) t 0 t
a4
圆周运动加速度总
a1
0
指向圆内侧
a2
推广：曲线运动加速度
a3
总指向曲线内凹一侧
11
角量和线量的关系
ds Rdθ ds dθ v R Rω dt dt 2 v 2 an Rω R dv dω at R Rα dt dt
y
B ds
A d R
o
x
12
匀速率圆周运动