四年级下册数学《三角形的外角和》
三角形的外角
引言概述：
正文内容：
一、外角的定义
1.外角是指一个三角形的某个角与另外两个角的内角之和相等的角。
2.外角的度数等于不相邻的两个内角的度数之和。
3.三角形的每个角都有一个对应的外角。
二、外角的性质
1.三角形的外角和等于360°。
a.由于三角形的内角和等于180°，所以三角形的外角和等于180°的补角，即360°。
b.这个性质表明，一个三角形的所有外角的和总是等于360°。
2.外角与内角的关系
a.外角与其对应的内角之和等于180°。
b.对任意一个三角形的外角及其对应的内角做补角，可以得出外角和内角之和为180°的结论。
3.外角与角标的关系
a.三角形的外角的度数等于其对应的角标的度数。
b.这意味着我们可以通过测量一个三角形的外角，来确定对应的角标的度数。
4.外角之间的关系
a.三角形的三个外角之间是线性相关的。
b.任意两个外角的度数之和等于第三个外角的度数。
5.外角与角平分线的关系
a.三角形的外角与其对应的角平分线相交于三角形的外心。
b.这个性质可以用来构造三角形的外心，从而进一步研究三角形的特性。
结论：
三角形的外角具有一些独特的性质和关系。
它们的度数等于对应内角的度数，且总和为360°。
外角与内角之间有一定的线性关系。
外角与角平分线也存在一定的关系。
这些性质和关系可以帮助我们更好地理解和应用三角形的几何特性。
《三角形的内角和外角》课件
根据题目给出的两个角度，可以确定第三个角度的大小，再根据正弦定理计算出各边长， 最后根据余弦定理得出答案
总结
此题考察了三角形内角和定理及正余弦定理的应用，需要学员们有一定的数学思维和计算 能力。
06
教学反思与展望
教学的收获与不足
• 收获 • 学生掌握了三角形内角和定理及其推论，并能够运用这些定理解决一些实际问题。 • 学生通过实践操作，增强了动手能力和探究能力，激发了对数学的兴趣。 • 教师的教学水平得到了提高，对三角形内角和定理及其推论有了更深入的认识和理解。 • 不足 • 部分学生对于一些重要的概念和定理的理解还不够深刻，需要进一步加强。 • 在实践操作环节中，有些学生没有认真参与，需要教师加强指导和督促。
解答分析
首先根据题意画出图形，根据已知条件角A等于角B，可得出两条 边相等，进而证明出三角形ABC是等腰三角形。
总结
此题考察了等腰三角形判定定理的运用，同时培养学员分析问题 的能力，逐步提高学员的几何推理能力。
高阶习题分析与解答
高阶习题3
已知三角形ABC中，角A等于30度，角B等于45度，求三角形ABC三个内角的大小。
教学背景
知识背景
学生在小学阶段已经对三角形有了一定的了解，知道一些基 本的几何概念和测量方法。在初中阶段，学生开始学习更复 杂的几何知识，本课程作为衔接课程，旨在帮助学生更好地 适应这一转变。
教学难点
如何引导学生通过实践、探究和应用来深入理解三角形的内 角和外角的概念，并解决实际问题。
教学目标
1 2 3
三角形内角和等于外角和
$\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + \angle B + \angle C$
《三角形的内角和外角》课件
激发探索精神
通过进一步研究，激发学 生对数学研究的兴趣和探 索精神。
THANK S感谢观看
在日常生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，三角形是一种非常常用的几何形状，因 为它的稳定性非常好。例如，在建造桥梁时，三角形是 一种非常常用的结构形式。
测量工具
在日常生活中，很多测量工具都是利用三角形的内角和 外角性质来设计的。例如，量角器、水平仪等都是利用 三角形的内角和外角性质来测量角度的。
05
详细描述
通过测量三角形各个边的长度和角度，计 算出外角的度数。此方法简单易行，但受 测量误差影响较大，结果不够精确。
通过几何证明计算外角
总结词
严谨、准确、理论性
详细描述
根据三角形内角和定理以及三角形外角的定 义，通过几何证明的方式得出外角的度数。 此方法结论准确，但过程较为复杂。
通过三角函数计算外角
和解决几何问题时非常有用。
在物理学中的应用
要点一
光的反射定律
在物理学中，光的反射定律可以用三角形的内角和外 角性质来解释。反射角等于入射角，也就是说反射角 等于光线与法线之间的夹角，这个夹角可以通过三角 形的内角和外角性质来计算。
要点二
力的平行四边形法则
在物理学中，力的平行四边形法则可以用三角形的内 角和外角性质来解释。合力等于分力的平行四边形对 角线的长度，这个对角线的长度可以通过三角形的内 角和外角性质来计算。
直角三角形与黄金分割
直角三角形
有一个角为90度的三角形，其中直角相对的一边称为“斜边”。
黄金分割
将一条线段分成两部分，使其中一部分与原线段的比例等于另一部分与这部分的 比例，这种分割称为黄金分割。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 ，且直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
初中数学《三角形的外角》知识全解
《三角形的外角》知识全解
课标要求
（1）进一步了解三角形的内角及外角的概念．（2）通过基本事实说明三角形外角的特性（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，三角形的外角和等于360°）．（3）使学生体验说理的重要性与必要性，进一步培养学生的说理能力．
知识结构
（1）三角形的外角的定义：
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
（2）三角形的外角的两条性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
内容解析
本节课在学生认识三角形的有关概念、三角形的内角和的基础上展开，主要进行三角形的外角性质的教学，采用拼图和说理的方法，让学生通过自己的探索以及简单的数学说理发现三角形的外角性质，既使所得结论得到论证，又帮助学生学着从不同角度考虑问题，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学推导说理的方法．为下一节《多边形的内角和与外角和》的学习探究作了有益的铺垫，具有承上启下的作用．
重点难点
本节课的重点是三角形的外角及其性质，难点是运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法．
教法导引
结合学生年龄特征，本着从“感性认识到理性分析”的思想以动手实践和讨论法为主，课堂教学中“学会初步说理”对学生有一定难度，展开小组讨论力求突破教学难点．学法建议
学生水平有限，归纳总结能力、说理能力尚欠缺，让学生主动探究、合作，从而使学生充满自信与创造性，能个性化地表达自己的思想，让思想互相碰撞、相互补充、拓展思维、达成共识，在互动中理解个人与集体智慧的价值．。
《三角形的外角和》公开课说课稿
《三角形的外角》说课稿一、说教材本节课的内容是新课程八年级数学教材第八章多边形第二节三角形的第三课时——三角形的外角。
教学目标：探索了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和，能利有平行线的性质证明这两条性质，并应用计算。
重点阐述：三角形外角的性质以及外角和难点突破：添加辅助线二、说教法教师通过引导、启发、探究等教学互动。
引导学生采用拼图和数学说理两种方法，一方面让学生通过剪剪拼拼，动手操作，探索发现有关结论，另一方面又加以简单的数学说理，使学生初步体会：要得到一个数学结论，可以采用观察实验的方法，还可以采用数学推导说理的方法。
从而，让学生在操作活动中，探索三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
三、说学法本节主要通过学生的动手实验，自主探索，概括出三角形外角的两条性质以及外角和性质；并通过交流探讨，说理论证，加深认识三角形的两条外角性质和外角和性质，进一步综合运用三角形的外角性质、三角形的内角和性质进行有关的计算。
在课堂上尽量充分地体现了学生主体性的地位和学生学习的规律，即：发现知识——认识知识——掌握知识——运用知识。
四、说教学程序一、复习提问1、三角形内角和等于多少？2、什么是三角形的外角？三角形的外角与它相邻的内角之间有什么关系？二、新授：（一）探究与概括1、(1)图中有△ABC的外角吗？（∠BCD）(2)与∠BCD具有公共顶点的角是那一个角？（∠ABC），∠A、∠C、与∠CBD有公共顶点吗？（没有）∴∠ABC是∠CBD的相邻内角。
∠A、∠C是与∠CBD不相邻的内角。
2、问：(1)三角形的一个外角与它相邻内角有什么关系？（互补）（∠BCD+∠ABC=180°）(2)三角形的一个外角与它不相邻的内角又有什么关系呢？实验P47做一做将∠1，∠2剪下拼在∠1′与∠2′位置2A B D同学之间相互交流，发现了什么结论①∠CBD=∠ACB+∠BAC②由∠CBD+∠ABC=180°∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°概括：三角形外角两个性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
数学三角形的内角和与外角教案
数学三角形的内角和与外角教案本教案的目标：- 理解三角形的内角和与外角的概念及其性质- 掌握计算三角形内角和与外角的方法- 运用内角和与外角的性质解决相关问题一、引入在我们的日常生活中，我们经常会遇到各种各样的三角形。
三角形是几何学中最简单的多边形之一，它由三条边和三个角组成。
在本课程中，我们将重点学习三角形的内角和与外角的概念及其性质。
二、内角和的概念及性质1. 内角和的定义首先，我们来定义什么是三角形的内角和。
对于任意一个三角形，我们可以将其内角相加得到一个和，这个和被称为三角形的内角和。
2. 内角和的性质三角形的内角和有一个重要的性质：对于任意一个三角形，其三个内角的和等于180度。
这一性质可以用数学表达式表示为：角A + 角B + 角C = 180度其中，角A，角B，角C分别代表了三角形的内角。
三、外角的概念及性质1. 外角的定义与内角和相对应的是三角形的外角。
每个三角形都有三个外角，它们分别位于三个顶点的三角形边的延长线上。
2. 外角的性质三角形的外角性质是：一个三角形的外角等于其不相邻两个内角之和。
这个性质可以用数学表达式表示为：外角A = 内角B + 内角C外角B = 内角A + 内角C外角C = 内角A + 内角B注意，一个三角形的外角和等于360度，这意味着对于任意三角形，其三个外角的和等于一个圆的周角。
四、计算内角和与外角接下来，我们将讲解如何计算三角形的内角和与外角。
1. 已知两个内角求第三个如果已知一个三角形的两个内角的度数，我们可以通过180度减去这两个内角的和，得到第三个内角的度数。
2. 已知一个内角与一个外角求第三个内角如果已知一个三角形的一个内角和一个外角的度数，我们可以通过将180度减去这两个角的和，得到第三个内角的度数。
3. 已知一个内角与一个外角求另一个外角如果已知一个三角形的一个内角和一个外角的度数，我们可以通过将360度减去这两个角的和，得到另一个外角的度数。
《三角形的内角和与外角和》导入
三角形的内角和与外角和学习目标1．通过一系列操作活动，探索并了解三角形的内角和、外角的两条性质以及三角形的外角和.2．能利用三角形内角和外角和以及外角的两条性质进行有关计算.重点、难点1．重点：掌握三角形的内角和、外角和以及外角的性质.2．难点：在性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法.教学过程一、活动引入活动内容：(1)用折纸的方法验证三角形内角和定理.实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(1))，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3))，最后得图(4)所示的结果(1) (2) (3) (4)试用自己的语言说明这一结论的证明思路.想一想，还有其它折法吗？实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.试用自己的语言说明这一结论的证明思路.想一想，如果只剪下一个角呢？二、探索新知1．用严谨的证明来论证三角形内角和定理.看哪个同学想的方法最多？方法一：过A点作DE∥BCAD E AE∵DE∥BC∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C(两直线平行，内错角相等)∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA.∵CE∥BA∴∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)2．直角三角形两锐角之间的关系由三角形的内角和等于180°，容易得到下面的结论：直角三角形的两个锐角互余.3．三角形的外角及其性质我们已经知道三角形的内角和等于180°.现在我们探索三角形的外角及外角的性质.如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.图8.2.6∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻.问：三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?(互补)探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系.请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图8.27所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样.请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系.由此可知：三角形外角有两条性质：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。
三角形的内角和与外角和课件
三角形的内角和与外角和课件一、教学内容本节课的教学内容来自于人教版小学数学四年级下册第107页至108页，主要讲述三角形的内角和与外角和。
学生将通过学习，了解三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。
二、教学目标1. 学生能够通过实际操作，探究并证明三角形的内角和总是180度。
2. 学生能够理解三角形外角与相邻内角的关系，并能运用这一关系解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：三角形内角和总是180度，外角与相邻内角的关系。
难点：如何引导学生通过实际操作发现并证明三角形的内角和，以及如何理解外角与相邻内角的关系。
四、教具与学具准备教具：三角板、量角器、直尺。
学具：每个学生准备一个三角形模型，以及用于画图的铅笔和橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生拿出自己的三角形模型，观察并描述三角形的特征。
3. 理解外角和：让学生用自己的三角形模型，尝试测量每个三角形的外角，并记录下来。
然后，引导学生发现并理解外角与相邻内角的关系。
4. 例题讲解：出示一些有关三角形内角和与外角的例题，让学生们运用所学知识解决问题。
5. 随堂练习：让学生独立完成一些有关三角形内角和与外角的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计三角形的内角和：总是180度外角与相邻内角的关系：外角等于不相邻的两个内角之和七、作业设计1. 请用你所学的知识，画出一个任意的三角形，并测量其内角和。
答案：三角形的内角和总是180度。
2. 请用你所学的知识，解释下面这个问题：一个三角形的两个内角分别是60度和70度，求第三个内角的度数。
答案：第三个内角的度数是50度。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实际操作，让学生们发现了三角形的内角和总是180度，以及外角与相邻内角的关系。
在教学过程中，学生们积极参与，课堂氛围良好。
但在今后的教学中，还需要注意引导学生更好地理解外角与相邻内角的关系，并能够灵活运用这一关系解决实际问题。
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《三角形的外角和》教学设计
一、教学背景
本节内容之前，学生已经对三角形的表示、分类、内角等有关知识有了初步的认识。
本节主要内容是：外角的概念及求外角和。
它是三角形知识的延伸部分，在以后学习与角有关的计算中占据重要的地位；是今后学习三角形、四边形等有关图形的基础，起着承上启下的作用。
二、教学目标
知识与能力
1、能在图形中准确识别三角形的内角和外角。
2、使学生通过实际操作，探究三角形的外角和，并能进行简单的几何推导。
3、能利用三角形的外角性质和定理进行简单的计算。
过程与方法
教学过程中，启发学生根据习题间的联系进行分组讨论，引导学生进行思考，由浅到深，由易到难，让学生在已有的知识水平上经历探究、思索的过程，诱导他们正确解题、运用多种方法解题，拓展他们的思维，提高想象能力。
情感、态度与价值观
1、在实际探究中，培养学生主动参与的意识，增强学生间的合作能力。
2、通过运用所学知识探索三角形外角及求三角形的外角和的方法，体验数学研究和发现的过程，逐渐培养学生数学说理的习惯。
教学重点与难点
重点：找三角形外角、三角形外角和的探究
难点：三角形外角和的探究
学习方法：自主学习（知识准备）——合作探究（知识形成）——应用测评（知
识应用）
教师准备：三角形尺、普通三角形、等边三角形、等腰直角三角形。
学生准备：剪刀、直尺、量角器。
三、教学过程
（一）复习提问
1、在第五单元，我们学习了《三角形》，关于三角形的内角，你知道哪些知识？
生：三角形有3个内角，三角形的内角和为180°。
2、回忆一下，我们是怎样推算出三角形的内角和的？
生：量一量、剪拼、折一折。
3、既然三角形有内角，那么也可能有——外角。
猜猜看，三角形的外角在哪儿？（生自由猜测。
）
4、把三角形的一条边延长，这条延长线与三角形的另一条边形成的角，叫作三
角形的外角。
（板书本段文字，以及课题：三角形的外角）
5、谁能根据定义，到黑板上画出三角形的一个外角？
学生先画一个正确的，老师问学生有没有不同意见，在同一点上，产生两个外角，
6、辨析：由于在A点，可以画两条延长线，就产生了两个外角，这两个外角大小相等，所以任取其中一个（师把另外一个擦掉），这样一个内角对应一个外角。
7、想一想，三角形有几个外角？生：3个
你能画出来吗？请同桌合作，画出第1个图形的3个外角。
（二）探究三角形的内角与外角的关系
8、三角形的外角与三角形的内角有关系吗？有什么关系？
生：三角形的一个内角对应一个外角，内角与它对应的外角的和是180°。
（三）探究三角形的外角和是多少度？
9、我们知道三角形的内角和是180°，猜测一下三角形的外角和会是多少度？这节课我们就一起学习三角形的外角和（板书课题。
）
10、我们先来研究较特殊的三角形：正三角形和等腰直角三角形。
（四）正三角形的外角和
11、你能马上算出正三角形的外角和是多少度吗？
生1:因为正三角形每个内角为60°，每个外角与相邻的内角和为180°，所以每个外角为120°，外角和为360°。
生2：用量角器量出正三角形的3个外角都为120°，所以外角和为360°。
生3：把三个外角剪下来，拼成了一个周角，所以外角和为360°。
12、师总结：看来正三角形的外角和为360°。
（五）等腰直角三角形的外角和
13、我们再来看一种比较特殊的三角形。
你能马上算出等腰直角三角形的外角
和是多少度吗？
生1:因为等腰直角三角形的内角分别为90°、45°、45°，每个外角与相邻的内角和为180°，所以外角分别为90°、135°、135°，外角和为360°。
生2：用量角器量出等腰直角三角形3个外角的度数，分别为90°、135°、135°，相加为360°。
生3：把三个外角剪下来，拼成了一个周角，所以外角和为360°。
14、师总结：看来等腰直角三角形的外角和也是360°。
（六）任意三角形的外角和
15、对于任意一个三角形，它的外角和都是360°吗？小组合作验证你们的猜想。
（学生们在动手操作的过程中，通过自主的探究活动不断的深入研究三角形的外角和，并通过探究活动获得解决问题的一些策略和方法，培养学生解决问题的能力，初步渗透“猜想——验证——类推”解决问题的数学思想。
）
（七）推论法进行验证
16：除了剪拼和量的方法，还可以用什么方法来验证三角形的外角和为360°？
师引导：能不能根据内角与外角之和为180°，以及内角和为180°，用计算的方法进行验证？
生：每个内角和与它相邻的外角之和为180°，有三组这样的内角与外角，所以所有的内角与所有外角之和为180°×3=540°，而内角和为180°，所以外角和为540°-180°= 360°。
（八）总结，提出新问题进行猜想。
17、师总结：通过刚才的学习，我们找到了三角形的外角，并且通过用量角器量、剪拼以及推导的方法，求出了外角和为360°。
请你再思考，只有三角形有外角吗？还有什么图形有外角？
18、这些图形的外角和会是多少度呢？生：360°、540°、720°......
19、在练习本上画任意一个四边形，用你自己的方法算出四边形的内角和。
小组之间合作探究，通过用量角器量、剪拼、计算推导的方法得到四边形的外角和也为360°。
20、五边形、六边形的外角和为多少度呢？这个问题留给大家课后思考。
（九）学生谈收获：
21、同学们，刚刚你们所研究的，其实是初中阶段的知识，你们通过自己的动手以及合作，收获了这些知识，真的非常了不起！通过这节课的学习，你有什么收获？
预测生：1、数学公式很容易背，但我们还要知道它的推导过程。
2、可以用以前所学过的知识来学习新的知识。
22、外角确实很神奇，你还想不想学习更多关于外角的知识呢？（出示练习）
结论：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。
23、这节课就上到这里，下课！
四、板书设计
三角形的外角和
把三角形的一条边延长，这条延长线与三角形的另一条边形成的角，
叫作三角形的外角。
任意三角形的外角和为360°。