实变函数PPT
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实变函数课件
E[ f a] E[a f a n] ,
n 1
所以 E [ f a ] 是可测集．
2018年8月8日9时18分
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推论 设 f 在 E 上可测，则 E [ f = a ] 可测，不论
a 是有限实数或±∞ ．
证 因为
E[ f a] E[ f a] E[ f a]
2 可测的充要条件 定理1 设 f 是定义在可测集 E 上的实函数．下列
任一条件都是 f 在 E 上可测的充要条件：
⑴ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑵ 对任何实数 a , E [ f < a ] 都可测；
⑶ 对任何实数 a , E [ f a ] 都可测； ⑷ 对任何实数 a , b ( a < b ), E [ a f < b ] 都可测 （充分性要假定 | f (x ) | < ）． 证 只需证明条件 ⑴ ， ⑷ 的充要性．
{ x [a, b] | f ( x ) c }
下午9时18分43秒
2018年8月8日9时18分
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1 可测函数的定义
2 可测的充要条件 3 函数可测的充分条件 4 可测函数的四则运算 5 可测函数列的性质 6 可测函数与简单函数的关系 7 几乎处处问题
所以, m E[ f a] 0. 即E[ f a]为零测度集，从而可测 。 由函数可测的定义知， f ( x)在E上可测。
2018年8月8日9时18分
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推荐实变函数全总结课件
k 1
k 1
g
g
又B ~ A*, 所以B \ Bk ~ A* \ Ak1
3 对等与基数
1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等,
记作 A ~ B 约定 ~
注：称与A对等的集合为与A有相同的 势（基数），记作
A
势是对有限集元素个数概念的推广
2)性质
1)自反性：A ~ A;
2)对称性：A ~ B B ~ A;
3)传递性：A ~ B, B ~ C A ~ C;
基数的大小比较
1)若A ~ B,则称A B；
2)若A ~ B1 B,则称A B； 相当于：A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射
3)若A B,且A B，则称A B 注：不能用A与B的一个真子集对等描述
如：(1,1) ~ (1,1) (, )
4 Bernstein定理
设A, B是两个集，若有A的子集A*，使B ~ A*, 及B的子集B*，使A ~ B*,则A ~ B.
]
1
2
]
3
4
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1n N
limAn(liminf An)
n
n
{x : N,n N,有x An}
An
N 1nN
（补充）例1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
4.上、下极限集
设A1, A2,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
n
n
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数论PPT课件
VS
牛顿-莱布尼兹公式
对于任何给定的连续函数，在区间上的定 积分都可以通过求和的方式计算，该求和 公式称为牛顿-莱布尼兹公式。
微分与积分的应用举例
微分的应用
积分的应用
在物理学中，微分被广泛应用于计算速度、 加速度、位移等物理量；在经济学中，微分 被用于计算边际成本、边际收益等经济指标。
在物理学中，积分被广泛应用于计算面积、 体积、能量等物理量；在经济学中，积分被 用于计算总成本、总收入等经济指标。
实数集合R在通常的度量下是连 续的，即任意两个不同的实数之 间都存在其他实数。
在实数集合R中，任意两个不同 的实数之间都存在无限多的其他 实数。
实数的运算性质
加法性质
实数的加法满足交换律和结合律，即对任意实数x、y和z， 有x+y=y+x、(x+y)+z=x+(y+z)。
01
乘法性质
实数的乘法满足结合律，即对任意实数 x、y和z，有(x*y)*z=x*(y*z)。
有限覆盖定理
如果E是一个闭区间，{[a(n),b(n)}是一个开区间族，且E被 {[a(n),b(n)}覆盖，那么存在一个有限的子集族 {[a(n_i),b(n_i)}使得E被它覆盖。
03
集合论基础
集合的定义与性质
总结词
集合的基本概念和性质
详细描述
集合是由某些确定的元素所组成的，具有明确的概念和性质。集合可以通过列举法或描述法进行定义，并具有确 定性、互异性和无序性等基本性质。
实变函数论ppt课件
目录
• 引言 • 实数理论 • 集合论基础 • 测度论基础 • 可测函数与积分理论 • 微分与积分定理 • 实变函数论的应用
实变函数论课件14
问题1 Lebesgue定理中 定理中E 问题 1 ： Lebesgue 定理中 E 为有限测度集 的条件可否去掉？为什么？ 的条件可否去掉？为什么？
第14讲 依测度收敛 14讲
问题2 Lebesgue定理的逆是否成立 定理的逆是否成立？ 问题 2 ： Lebesgue 定理的逆是否成立 ？ 举 例说明。 例说明。 （3）反例 定理4的逆一般是不对的，即依测度收 敛不一定意味着几乎处处收敛，下面的 例子说明了这一点。
证明：因为
| f ( x) − g( x) |≤| f ( x) − fn ( x) | + | fn ( x) − g( x) |
所以对任意正整数k，有
第14讲 依测度收敛 14讲
1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } ⊂ k 1 E{x || f ( x) − g( x) |≥ } 2k 1 ∪ E{x || fn ( x) − g( x) |≥ } 1 2k lim mE{x || f ( x) |≥ } n→∞ 2k
j j j
j
第14讲 依测度收敛 14讲
1 ≤ ∑mE{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } k i =N 1 (N > k) < N−1 , 2
j
∞
1 lim ∪ 因此 N→∞ mi=N E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ k} = 0 ∞ ∞ 1 进而 m[ ∩ ∪ E{x || fn ( x) − f ( x) |≥ } = 0 k N=1 i =N
j
∞
∞
第14讲 依测度收敛 14讲
1 1 特别地 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i k 2 由于此处i, k都是任意的，所以在上述不等 式中可以取 i = k，即 1 1 mE{x || fn ( x) − f ( x) ≥ } < i i 2 如果必要，还可以使 ni 满足
实变函数课件
CHAPTER
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数在物理学中的应用
描述电磁场
通过实变函数，可以精确地描述电磁场的 分布和变化，为电磁学的研究提供数学工
具。
解决偏微分方程
实变函数可用于解决物理学中的偏微分方 程，如波动方程、热传导方程等，从而揭 示物理现象的数学规律。
量子力学
在量子力学中，实变函数被用于描述粒子 的波函数，揭示微观粒子的运动规律。
微观经济学
实变函数可用于描述消费者的 效用函数和生产者的成本函数 ，揭示微观经济行为的数学规
律。
宏观经济学
通过实变函数，可以建立宏观 经济模型，分析经济增长、通 货膨胀等宏观经济现象的数学
机制。
金融数学
实变函数在金融数学中有广泛 应用，如期权定价、投资组合 优化等，为金融市场的分析和
决策提供支持。
谢谢
积分的不等式与估计
介绍积分不等式和估计的基本方法，如Holder不等式、 Minkowski不等式、Chebyshev不等式等，并举例说明其应用。
05 实变函数的微分学
CHAPTER
导数与微分的概念
导数定义
详细阐述实变函数导数的定义及其几 何意义，包括左导数、右导数和导函
数等概念。
可导性判定
介绍判断函数在某点是否可导的方法 ，包括利用定义、导函数连续性等。
与连续性的区别
一致连续性是函数在整个区间上的性质，而连续性是函数在一点或一些点上的性质。一致连续的函数在整个区间上具 有“均匀”的连续性，即函数值的变化不会太快或太慢。
性质
一致连续的函数具有有界性、可积性等性质。
04 可测函数与积分
CHAPTER
可测函数的概念与性质
可测函数的定义
详细解释可测函数的定义，包括在给定集合上 的函数及其相关性质。
实变函数论ppt课件
21
第27讲 Lp-空间简介
| f (x) g(x) || f (x) | | g(x) | a.e.[E]
这意味着 f (x) 与 g (x) 的符号在E上几乎处处
1
相 同， 从而由 | f (x) | c p | g(x) | a.e.[E] 得
1
1
f (x) c p g (x) a.e.[E] 所以 f (x) c p g(x) a.e.[E] ，
由上面的讨论，显见对任意 f , g Lp (E，) 有
0 ( f , g)
7
第27讲 Lp-空间简介
即 是Lp (E) Lp (E) 上非负的有限函数。它是不是Lp (E) 上的距离呢？为此，设 ( f , g) 0 ，则得
1
[ | f (x) g(x) |p dx] p 0 ， E
则显然有 [ f ] [g] 。这样， 作为 Lp (E) Lp (E)
上的函数的确满足距离定义中的（i），至于（ii）则是
显而易见的，所以只需验证它是否满足（iii）。
10
第27讲 Lp-空间简介
为方便起见，以后也用 f 记 [ f ]，只要说f Lp (E)
则指的就是与 f 几乎处处相等的函数类[ f ] ，若
证毕。
由定理2不难看到 Lp (E) Lp (E上) 的函数
满足三角不等式，即对任意 f , g, h Lp (E) ，
22
第27讲 Lp-空间简介
有 ( f , g) ( f , h) (h, g) 。 1
事实上， ( f , g) [ |f (x) g(x) |p dx] p 1
|f g |p dx 0 ，且
p 1
，注意到
p
实变函数论课件6
第6讲 直线上的点集
问题3 问题3：能否在直线上找到既完备有是疏朗的 集合？ 集合？
第6讲 直线上的点集
Cantor集的构造: 将[0，1]均分为三段，删去中间的开区间
2 三等分，删去中间的两个区间即 1 , 9 , 7 , 8 。 9 9 9
1 2 , ，将剩下的两个区间 3 3
(α, β) − F = U(αi , βi ) ，从而
证毕。 证毕。
F = [α, β] − U(αi , βi ) = I([α, β] − (αi , βi )) 。
i i
i
第6讲 直线上的点集
问题8 直线上什么样的闭集是完备的？ 问题8：直线上什么样的闭集是完备的？所有 的完备集都是这样的吗？ 的完备集都是这样的吗？
。如
果 αx ∈G ，则存在 α, β ，使 αx ∈(α, β) ⊂ G， 显然 (α, βx ) ⊂ (α, β) U (αx , βx ) ⊂ G，这与αx的 定义矛盾。因此 αx ∉G 。同理可证 βx ∉G 。
第6讲 直线上的点集
(i)证完。 再证（ii），对任意 x, y ，若
(αx , βx ) ≠ (αy , βy ) ， (αx , βx ) I(αy , βy ) ≠ ∅ ，
x 必然在删去的区间内，即 x∉G 。因此，除了分 必然在删去的区间内， 因此，
点外， 中当且仅当其三进制表示中不出现数1 点外，x 在 G中当且仅当其三进制表示中不出现数1。 注意挖去的区间是可数的， 也可数， 注意挖去的区间是可数的，故分点集 G0 的区间是可数的 也可数，因此
第6讲 直线上的点集
存在开区间 (α, β ) ，使 x ∈(α, β ) ⊂ G 。 不难看到， 中开区间有无穷多个， 不难看到，包含 x 的 G 中开区间有无穷多个，记
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第一讲
1. 集合运算的基本性质 定理 1 (1) A A A , A A A (2) A A, A A, A A (3) A B B A, A B B A
(4) A B C A B C , A B C A B C
(5) A B C A B A C (6) A B C A C B C
第一讲
一． 言归正传
第1章 集合
§1.1 集合的运算
一． 集合的定义及其运算
1. 集合运算的定义
m
(1) 并： A B ， An ， An ， A
n 1
n 1
(2) 交： A B ， m ， An An ， A
n 1
n 1
(3) 差： A B
(4) 补：设 A S ，则 Cs A : S A
❖
（1）《微积分》或《数学分析》中讨论的函数都是比较好的函数，即
没有太多的间断点，基本上是连续函数，这些函数都有很好的可微性与可
积性，但在实际应用（理论与工程应用）中的函数一般都没有这样好的性
质。例如著名的Dirichlet函数。
D
x
1, 0,
x是0，1中的有理数 x是0，1中的无理数
在《数学分析》中，这个函数在0，1 的每一点不可微，在0，1
(9’)
S
A
S A
(10’)
S
A
S A
第一讲
一． 集合序列的上、下限集
定义 1.
假设An 是一列集合，称集合
Am
为序列
An
的
n1 mn
上限集，记作
lim
x
An
或
lim
x
sup
An
；称集合
n 1
mn
Am
为
An
的下限集，记
作 或者 。 lim An n
lim inf
an
的上极限，记作
lim
x
an
(b2) 集合序列An 称为单调下降（单调递减）的，如果 n ，
. An An1
定理 2 (c1)若An 是单调上升的集列，则
中
lnimAn
n1 mn
Am
lim
n
An
An
n1
Am
m1
Am
mn
(c2) 若An 是单调下降的集列，则
lim An
Am
n
n1 mn
lim
n
An
An
2.为什么要学习实变函数论 实变函数论是数学的一个重要分支。它在现代数学的许多分支有重 要应用，也在许多应用基础研究中有重要应用。数学与工程中的许多问 题需要《实变函数》。
第一讲
实变函数
非
稳
泛
程积
线
定
函
分
性
性
分
方
分
理
析
析
论
神经网络理论
生物工程
计算机工程
数 论遍 析小
理
历
波
方
性
分
程
理
论概 率
图像处理与图像传输
❖ 3.实变函数的特点与学习方法
❖ 1）实变函数论是数学本科各专业的重要专业基础课程。 ❖ 2）实变函数论是本科难度最高的数学课程。 ❖ 特点：高度抽象，逻辑严密。
❖ 学习方法：
❖ a.课前必须认真预习（怎样预习？）。 ❖ b.课后要抓紧时间做作业。 ❖ 教学方法：“画龙点睛”
❖ 4.本课程希望解决的一些问题
实变函数
第一讲
❖ 教学内容： ❖ （1）课程简介 ❖ （2）第1章 集合
第一讲
一、实变函数课程简介
1.什么是实变函数 定义：（1）实变函数：定义域为实数集合的函数。即，自变量为实 数变量的函数。 （2）实变函数论：研究实变函数的性质、特征的理论。即，关于实 变函数的一系列定义、命题及其逻辑框架结构。
x
An
如果
lximAn
lim
n
An
，则称集合序列
An
有极限，或称集合序
列
An
收敛，并将
lim
n
An
称为
An
的极限，记为
lim
n
An
。
命题 1
(a1)
lim
n
An
x
x
属于无穷多个
An
(a2)
lim An
n
x n0
, n n0 x An
第一讲
问题 3，怎样的集合列一定存在极限？
定义 1’ (b1)集合序列An 称为是单调上升（单调递增）的， 如果 n ， An An1 .
(7) C A B C AUB (8) A B A B A B ，其中 A B A B B A
第一讲
(9) AB C A B AC (10) AB C A B AC
(11) 若 B A S ，则 Cs A Cs B
(12) 若 B A ，则 B A B ， A B A De Morgan 定律 设 S 是一个集合，A 是一族集合， 则有
(2) 0, n ,使得 a 。 an
这时，我们记 supan n
定义1 实数 称为是数列an的下确界，如果下列两条
件被满足：
(1) n ，n ； (2) 0, n ,使得 an 。
这时，我们记
inf
n
an
。
第一讲
定义 2
假设
an
是一个数列，我们称
inf
n
sup
mn
am
为数列
D x, y y1 x y y2 x,a x b连续，且 y1 x ，y2 x 在a,b 连续，
则
D
f x, ydxdy
b a
y2x f
y1 x
x, y dx
问题 2 怎样推广积分的定义使其类似于上述的定理在条
件更弱的情况下有同样的结论？
本课程将通过引入 Lebesuge 积分来解决上述各问题。积得概念，使诸如 Dirichlet 之类的函数具有相应的运算性质？
（2）在《微积分》或《数学分析》中，积分与极限交换顺序 定理条件很强。
积分与极限交换定理 若每个函数 fn xn 1,2,3, 在区间a,b 可积，
且函数列 fn x 在区间a,b 一直收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 一致
收敛于函数 f x ，则 f x 在a,b 可积，并且
第一讲
b a
f xdx lim n
b a
fn xdx
即 b a
lnim
fn
xdx
lim
n
b a
fn
xdx
（1） 在《微积分》和《数学分析》中，化重积分为
累次积分的条件也很强：
化．重．积．分．为．累．次．积．分．定．理． 若 f x, y 在
n1
An
n 1
第一讲
例 3(p.6)
设 An
x
1 n
x
1 n
，
n
1,
2,
,
求
lim
n
An
。
解： ， An An1
lim
n
An
An 0
n1
例 4(p.6)
设
An
x
1
1 n
x
1
1 n
，
n
1.2
,
求
lim
n
An
。
解：
An An1
lim
n
An
An 1,1
n1
第一讲
1.2 数列的上、下极限。 定义1 实数 称为是数列an的上确界，如果下列两条 件被满足： (1) n , an ；