实变函数期末考试卷A及参考答卷

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）试卷共8 页第 1 页实变函数期末考试卷(A)2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分）1 我们将定义在可测集q E ⊂¡上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：试卷 共 8 页 第 2 页()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx fx x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =L ）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就得到列维定理的结论：。

6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足()()lim n n f x f x a e →∞=g g 于E 或n f f ⇒两个条件之一。

或 的结论：（1）；（2）。

7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集,p qA B ⊂⊂　上的笛卡尔积P qA B +⨯⊂¡上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为累次积分 ()()(),,A BABBAf P dP dx f x y dy dy f x y dx ⨯==⎰⎰⎰⎰⎰的条件却非常简单。

只要下列两个简单条件之一成立就行了：（1） ；（2）。

两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ⨯上可积的条件，但不是条件。

8 斯蒂尔切斯积分的定义是：。

二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。

（每小题3分，满分15分） [ ] 1定义在pE ⊂¡上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况有：（A ）x E ∀∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；（B ）x E ∀∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部。

[ ] 2 设12k E E E E =U UL U 是q ¡中有限个互不相交的可测集的并集，函数ϕ在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =L ），则ϕ在E 上L 可积的充要条件有： （A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E L 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。

[ ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为：（A ）()Ef x dx <+∞⎰；（B ）()Ef x dx +⎰和()Ef x dx -⎰都是有限数； （C ）()()00E fx f x dx --≡⇒=<+∞⎰；（D ）()0.Ef x dx --∞≤<⎰ [ ] 4 [],a b 上的有界变差函数()f x 的任一个变差()()11ni i i f x f x -=-∑()01n a x x x b =<<<=L都不会超过全变差()baV f ，而且当[][]12,,a x a x ⊂时有()()12x x aaV f V f ≤.由这两条结论可以推知： （A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{}()sup,,baf x f y x y a b V f -∈≤；（B ）[],x a b ∀∈有()()()b af x f a V f ≤+；（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。

[ ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x aF x f t dt =⎰，满足()()F x f x a e '=g g 于[],a b ；（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数()F x '，而且满足牛氏公式()()()baF x dx F b F a '=-⎰；（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同时满足牛氏公式()()()baF x dx F b F a '=-⎰；（D ）在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续，但()F x 本身一定可积。

而它的导函数()F x '就不一定可积了。

即使可积也不一定满足牛氏公式。

三 设q E ⊂¡满足：0ε∀>，∃闭集F E ε⊂使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测集。

（8分）试卷 共 8 页 第 4 页四 我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集q E ⊂¡上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.现在请你用这个定义证明：E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。

（7分）五 设(){}n f x 是q E ⊂¡上的L 可积函数列，并且正项级数()1n n Ef x dx∞=∑⎰收敛。

试证明函数项级数()1n n f x ∞=∑几乎处处收敛，它的和函数()()1n n S x f x ∞==∑在E 上L 可积，而且满足逐项积分公式：()()1n n EES x dx f x dx ∞==∑⎰⎰. （12分）试卷 共 8 页 第 5 页六 设f 是[],a b上的连续函数g 使 （12分）七 设(){}k f x 是pE ⊂¡上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞=,并且()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥L L .若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。

试证明()f x 也在E 上可积，并且()()lim k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰. （10分）八 设()f x 在1E ⊂¡上L 可积,()0Ef x dx a =>⎰,试证明：()0,1μ∀∈，存在E的可测子集e 使()ef x dx μ=⎰ （12分）试卷 共 8 页 第 7 页实变函数期末考试卷(A)参考答卷2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分）1 我们将定义在可测集q E ⊂¡上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()()()f x fx f x +-=-，()()()f x f x f x +-=+。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =L ）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()1122k k Ex dx c mEc mE c mE ϕ=+++⎰L ，这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()Ex dx ϕ<+∞⎰时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()()()(){}sup 0EEf x dx x dx E x f x ϕϕϕ=∀∈≤≤⎰⎰是简单函数,且有， 这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()Ex dx ϕ<+∞⎰时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -至少有一个可积， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值+∞不全为；但只有当f f +-和都可积时才能说f是L 可积的，这时将它的积分定义为：()()()EEE f x dx fx dx f x dx +-=-⎰⎰⎰.5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：试卷 共 8 页 第 8 页()()lim lim nn E E n n fx dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰；如果再添上条件()()()12n f x f x f x ≤≤≤≤L L 和()()lim n n f x f x →∞=就得到列维定理的结论： ()()lim n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足()()lim n n f x f x a e →∞=g g 于E 或n f f ⇒两个条件之一。

或 ()(),n mE M n f x F x a e E <+∞≤⋅⋅而且存在正数使对任何自然数有于，就可得到勒贝格控制收敛的结论： （1）()()lim 0n En f x f x dx →∞-=⎰；（2）()()lim n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集,p qA B ⊂⊂　上的笛卡尔积P qA B +⨯⊂¡上的可测函数()(),f P f x y =的积分可化为累次积分()()(),,A BABBAf P dP dx f x y dy dy f x y dx ⨯==⎰⎰⎰⎰⎰的条件却非常简单。