浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

浅谈Lebesgue 积分与Riemann 积分的联系与区别有人说，Lebesgue 积分是Riemann 积分的推广。

然而对广义Riemann 积分来说，Riemann 积分的可积性并不意味着Lebesgue 积分的可积性。

那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。

一、积分定义Riemann 积分定义 假设)(x f y =是区间[]b a ,上的函数，若存在某个常数A ，使得对区间[]b a ,的任意分割：b x x x a n =<<<= 10及任意[],1,,1,0,,1-=∈+n i x x i i i ξ只要{},0max 110→-+-≤≤i i n i x x 就有A x xf i i n i i→-+-=∑)()(11ξ则称f 在[]b a ,上Riemann 可积。

Lebesgue 积分定义 设n R E ⊂是测度有限的可测集，f 是定义在E 上的有界可测函数，即存在R ∈βα,,使{}).,()()(βα⊂∈=E x x f E f 若βα=<<<=n l l l D 10:是[]βα,得任一分点组，则记{}{}k k k k k l x f l x E E l l D ≤<=-=--)(,max )(11δ，对任意k k k k l l ≤≤-ξξ1,，作和式 ε<-A D S )(， 则称f 在E 上是Lebesegue 可积的。

若)(x f 是E 上的可测函数，且∞<mE ，如果-+f f ,在E 上的积分至少有一个不为∞+，则称)(x f 在E 上有积分，并记.)()()(dx x f dx x f dx x f EEE⎰⎰⎰-+-=若⎰Edx x f )(为有限数，则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积。

二、L 积分与R 积分的联系由于在通常意义下的R 可积性意味着L 可积性，所以我们有定理 如果有界函数)(x f 在闭区间[]b a ,是R 可积的，则)(x f 在[]b a ,也是L 可积的，且[]⎰⎰=bab a dx x f dx x f )()(,，此处[]⎰b a dx x f ,)(表示f 在[]b a ,上的L 积分，⎰badx x f )(表示f 在[]b a ,上的R 积分。

证明： 因为f 是有界函数，所以只需证明f 是[]b a ,上的可测函数。

由于f 是R 可积的，取[]b a ,的分点组{}m D ，,:)()(1)(0b x x x a D m i m m m m =<<<=,1+⊂m m D D {}0max )()(1)(1→-=-≤≤m i m i i i m x x D mδ，记)()(,m i m i M m 分别为f 在[])(1)(m i m i x x --的下确界与上确界，由R 积分的定义知)(lim )(lim )(1)(1)()(1)(1)(m i m i i i m i m m i m ii i m im x x M xxmmm-=∞→-=∞→-=-∑∑⎰=badx x f )(。

令{}{}m m ψϕ,为如下的函数列： =)(x m ϕ⎩⎨⎧)()(a f m m i ,, ]a x x x x m im i =∈-)()(1,()(x m ψ=⎩⎨⎧)()(a f M m i ,,]ax x x x m im i =∈-)()(1,(则因1+⊂m m D D ，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以 ,21f m ≥≥≥≥≥ ψψψ .21f m ≤≤≤≤≤ ϕϕϕ于是,lim f f m m ≥=-∞→ψf f m m ≤=-∞→ϕlim ，即 .--≤≤f f f注意到--f f ,都是有机可测的，所以---f f 是非负L 可积函数，从而[]⎰ba ,(---f f [][]0),,≥-=⎰⎰--dx f dx f dx b a ba 。

又 [][]dx x f xxmdx x dx x f ba m i m ii i m iba mb a m⎰∑⎰⎰→-=≥-=-)()()()()(1)(1)(,,ϕ，[][]⎰∑⎰⎰→-=≤-=-bam i m i i i m i b a m b a dx x f x x M dx dx x f m)()()()(1)(1)(,,ψ，这说明[][]dx x f dx x f dx x f bab a ba )()()(,,⎰⎰⎰--≤≤， 所以[][],)()(,,dx x f dx x f b a ba ⎰⎰--= 即[]⎰=---ba dx x f x f ,0))()((， 由定理3（曹广福版<实变函数>上76页）知--=f f []b a e a ,..,进一步--==f f f ..e a[]b a ,。

因此f 在[]b a .上可测。

证毕。

上述定理中，如果f 是在[]b a .上广义R 可积，则不一定成立。

然而，通过一些条件变换，我们有定理 若)(x f 在[]b a .上广义R 可积，且)(x f 不变号，则)(x f L 可积，且积分值相等。

证明： 就无界函数)(x f ，积分值域为[]1,0，)(x f 仅在0=a 无界，)(x f 在[]1,0上非负来证明。

令=)(x f n ⎩⎨⎧)(0x f ,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎢⎣⎡⎪⎭⎫∈1,11,0n x n x 则每个)(x f n ，N n ∈都是非负的有界可测函数，容易证明 ≤≤≤)()(021x f x f ，且)()(lim x f x f n n =∞→由Levi 定理[][]dm x f dm x f n n )(lim )(1,01.0⎰⎰∞→=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→=1,1)(lim n n dm x f =⎰∞→11)(lim nn dm x f=⎰1)(dm x f 。

证毕三、L 积分与R 积分的区别从L 积分与R 积分的定义来看，两种积分的主要区别是，R 积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L 积分则是划分函数的值域而产生的。

R 积分的优点是[]1,+=i i i x x ξ得度量容易给出，但是当分发的细度T 充分小时，函数)(x f 在i ξ上的振幅)(inf )(sup x f x f iix x i ξξδ∈∈-=仍可能较大。

L 积分的优点是函数)(x f 在k E 上的振幅)()(inf )(sup m E x E x E D x f x f kkk δδ≤-=∈∈较小，但k E 不再是区间，而是可测集。

L 积分理论是在测度理论基础上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L 积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局限于[]b a .上，从而使L 积分的积分范围比R 积分更广泛。

而在重积分运算时，R 积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等，而L 积分则只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L 积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。

另一方面，R 积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交换问题，条件要求非常苛刻，被积函数必须一致收敛，极限才能通过积分号，不仅计算起来不方便，而且限制过强，L 积分的要求就要比R 积分少得多，只要函数非负即可。

就L 控制收敛定理而言，只需存在控制函数)(x F 使得f < )(x F 即可，因此在积分与极限交换次序这个问题上，L 积分要比R 积分灵活方便的多。

L 积分与R 积分的区别，受限于自身的学力，只能对上述问题进行初步探讨。

三、总结本文从L 积分与R 积分的定义，相关积分计算，积分范围，积分与极限交换次序等简要叙述了两种积分的区别；在普遍意义与广义R 积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。

L 积分的诞生是基于R 积分本身出现的问题，如在某些求极限问题上，涉及到无界区间时等，L 积分的出现，使可积函数的范围扩大，为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论，也为泛函分析的产生奠定了基础，当然L 积分的作用远远不止这些，不过由于自身的的学识，只能较浅显的对两种积分进行讨论。

参考文献[1] 曹广福，《实变函数与泛函分析（上）》（M），高等教育出版社，2011；[2] 华师大数学系，《数学分析》（M），高等教育出版社，2001；[3] 胡长松，《实变函数》（M），科学出版社，2002；[4] 黄仿伦，《实变函数》）（M），安徽大学出版社，2001；[5] 何穗，刘思敏，喻小培等，《实变函数》（M），科学出版社，2006。