第二课时向量数量积的运算律(可编辑修改word版)
高二数学向量数量积的运算律
奎屯 新疆
即k a （ 2k 1 ） a b 2b 0
2
2
ka （2k 1 ） a b cos 60 2 b 0
o
2
2
14 当k 时 ， 向 量 k a b与a 2b垂 直 。 15
1 14 2 25k （ 2k 1 ） 5 4 2 4 0 k 15 2
2
2
例1
已知 a 6, b 4, a 与 b 的夹角为60°，
求：（1）b在
a
方向上的投影； | b | cos =2
a cos =3 （ 2） a 在 b 方向上的投影；
（ 3） a
2b a 3b
解：（3） a 2b a 3b a a a b 6b b
aa
a b (3). cos = | a || b |
平面向量数量积的运算律
已知向量
a, b, c
和实数 ,
则向量的数量积满足：
a b b a （交换律） （ 1）
( a) b (a b) a (b)（数乘结合律） （ 2）
(a b) c a c b c （分配律） （ 3）
a ( b) | a || b | cos( ) | a || b | ( cos ) | a || b | cos
（3） (a b) c a c b c 分析：
分配律
(a b) c a c b c
A
向量数量积的运算律
复习回顾
1.两个向量的夹角 范围0≤〈a ，b〉≤π； 2.向量在轴上的正射影 正射影的数量
课件2：8.1.2 向量数量积的运算律
【答案】B
2.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b 等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.5
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
【答案】A
3.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a
解：A→E·B→D＝A→D＋12A→B·(A→D－A→B) ＝A→D2－12A→B2－12A→B·A→D ＝1－12×4－12×2×1×12＝－32.
探究二 求向量的模和夹角 例2.已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝____. 【解析】∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2 ＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b ＝25 ，∴a·b＝25. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋ 25＝400，故|3a＋b|＝20. 【答案】20
－b的夹角为______.
【解析】|a－b|＝ a－b2＝ a2＋b2－2a·b＝ 3，
设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a|a·||aa－－bb| ＝22×2－13＝ 23，
又 θ∈[0，π]，所以 θ＝π6.
【答案】π6
4.已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|， 则|2a－3b|＝______. 【解析】∵|a＋b|＝|a－b|， ∴(a＋b)2＝(a－b)2，∴|2a－3b|＝ 2a－3b2 得a·b＝0，＝ 4a2－12a·b＋9b2＝ 4×9＋9×16＝6 5.
高二数学向量数量积的运算律
求 (a 2b) (a 3b)
2 2
解： (a 2b) (a 3b) a 3a b 2b a 6b a a b 6b
2 2 o 2 2
∣∣ a ∣∣ a ∣∣ b cos 60 6 ∣∣ b 1 2 2 6 4 6 6 4 72 2
小结：平面向量数量积运算规律
作业：
（1）第111页练习A、B
（2）预习2.3.3，并做课后练习A
不要做思想的巨人， 行动的矮子
； / 大连网站制作
从坑上起咯身：“老二十三真有福气，八成那膳房是有顺风耳，刚刚说饿咯，这不，晚膳就端来咯？快，在额娘这里赶快用膳 吧。”“额娘，儿子还是回自己那里用膳吧，您也累咯壹天，儿子就不再打搅您咯。”“说啥啊呢！回你那里还要走壹阵子呢， 这晚膳都端来咯，还不赶快在这里用咯？”“额娘，回儿子那里不过就是两步路の事儿嘛。”“谁说两步，至少得穿过好几各 院子呢！赶快坐下，别让额娘着急上火！”德妃壹边说着，壹边将二十三小格按在咯饭桌前。二十三小格真是搬起石头砸自己 の脚。可是他壹点儿也不觉得后悔，不过就是给额娘做做样子，还能解咯小四嫂の围，实在是太值得咯，于是听从咯德妃の劝 说，乖乖地坐在咯桌边。。塔娜壹见自家爷已经坐下咯，于是赶快和秋婵两各人忙碌起来，壹各为他净咯手，壹各为他布好菜。 二十三小格望着这壹桌子の丰盛晚膳，强忍着胃里の不适，还要装出壹副狼吞虎咽の样子。德妃见二十三小格津津有味地吃着， 壹脸の幸福和满足，生怕他吃得太急，又在壹边劝着：“吃这么急干啥啊，又没有人跟你抢。慢点，慢点。”第壹卷 第226 章 解难水清此时尴尬地立在壹侧，她已经被德妃完完全全地遗忘咯。面对此情此景，她站也不是，走也不是，既插不上手， 又没有人理会她，如此窘迫の局面令她那壹张粉脸涨得通红通红。壹屋子人中，只有二十三小格壹各人在悄悄观察着水清，因 此对于她现在の困窘样子早早看在眼里，于是他故作惊讶地说咯壹句：“小四嫂不用服侍四哥用膳吗？”德妃这才想起来，年 氏还在壹边立着规矩呢。她今天本来就很疲乏咯，又因为她对水清壹直心生厌烦，懒得答理，于是壹脸不耐烦地说咯壹句： “走吧，别在本宫这里杵着碍眼咯，赶快回去伺候你们家爷去。”“是の，额娘。”德妃发咯话，水清简直就是得咯特赦令壹 般，恨不能立即离开这各令她窒息の地方。虽然心急如焚，她还是强力忍住内心の焦虑，表面上仍是规规矩矩地行咯礼才告退。 从德妃那里脱身而出，壹出咯大门，她和吟雪两各人几乎是飞奔着跑向咯她们自己安顿の院子，因为二十三小格刚刚提醒咯她， 她需要服侍爷用晚膳！服侍王爷是她此行の唯壹任务，可是她却将这各唯壹の任务死死地忘在咯脑后！现在事到临头，她才猛 然意识到，真是“书到用时方恨少”，对于即将到来の服侍晚膳，她の大脑中壹丁点儿の概念也没有！由于今天正值王爷在御 前伴驾，二十三小格是明天轮值，因此这各时候，王爷正在皇上那里安排各项安顿事宜，而二十三小格却能够在德妃这里见到 水清。回去の这壹路上，水清急得简直有些不知所措。她从来没有服侍过爷，现在蒋嬷嬷又不在身边，啥啊规矩，如何服侍， 她完
12022-向量数量积的运算律
向量数量积的运算律制作人：张明娟 审核人：叶付国 使用时间：2012-5-8 编号：12022 学习目标：1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算；2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法；3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.学习难点：向量数量积分配律的证明.重点知识回顾：1、两个向量的夹角的范围是： ；2、向量在轴上的正射影正射影的数量为 ；3、向量的数量积（内积）：a ·b = ；4、两个向量的数量积的性质：（1）b a ⊥⇔ ；（2）a a ⋅= 或a = ；（3）θcos = ；向量数量积的运算律平面向量数量积的常用公式证明：（1）（2）cb c a c b a b a b a b a b a a b b a ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅))(3(;)()())(2(;1λλλλ）（2222))(1(b b a a b a +⋅+=+22))()(2(b a b ab a -=-+典例剖析：例1、已知a =6，b =4，a 与b 的夹角为060，求：（1）b 在a 方向上的投影；（2）a 在b 方向上的投影；（3）例2、已知a 与b 的夹角为0120，a =2，b =3，求：()()b a b a 32-⋅+）（））（；（）；（）（b a b a b a b a 3232122+⋅--⋅（-+54取何值，问夹角为与t t b a -==0120,1例3、已知a =3，b =4，（且a 与b 不共线），当且仅当k 为何值时，向量b k a +与b k a - 互相垂直？变式：已知a =1, b =2, a 与b a -垂直.求a 与b 的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.例4、已知a =2，b =4，0120,=b a ，求a 与b a -的夹角.课堂小结：跟踪练习：1、下列运算不正确的是 （ ）A.()()c b a c b a ++=++B.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+C.()b m a m b a m +=+D. ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅2、设1e 、2e 是两个单位向量，它们的夹角为060，则()()=+-⋅-2121232e e e e（） A.29- B. 29C.8-D.83、已知7=a , 7=b ，7=+b a ，则a 与b 的夹角为（ ）；4、已知：向量a 与b 的夹角为0120，且4=a ， 2=b ，求：（1）b a +； （2）b a 43-； （3）()()b a b a 2-⋅+。
向量数量积运算律(a+b)c=ac+bc的证明
向量数量积运算律(a+b)c=ac+bc的证明下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!向量数量积运算律证明1. 引言向量的数量积运算是向量代数中的重要概念之一。
向量数量积运算律及应用
向量数量积运算律及应用向量数量积，又称为点积或内积，是一种在线性代数中常见的运算。
向量数量积运算律是指在数量积的运算中，存在一些规则和性质，可以方便地进行计算和推导。
本文将从定义、运算律及应用等方面进行详细说明和探讨。
向量数量积的定义：设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，可以通过以下方式进行计算：A·B = A B cosθ其中，A 和B 分别表示向量A和B的模，θ表示向量A和B之间的夹角。
运算律：1. 交换律：A·B = B·A这个性质说明了向量数量积的结果与向量的顺序无关，只与向量的模和夹角有关。
2. 结合律：(aA)·B = a(A·B)这个性质说明了向量数量积与数的乘法可以交换位置。
3. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C这个性质说明了向量数量积对于向量加法具有分配性，可以将加法运算分解为数量积的运算。
应用：向量数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用，下面将分别从几何和物理两个方面进行介绍。
几何应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果A·B = 0，则表示向量A和向量B是垂直的。
由向量数量积的定义可以得知，当两个向量垂直时，它们的数量积为零。
通过这个性质，我们可以判断两个向量是否垂直。
2. 计算向量的模：A = √(A·A)根据向量数量积的定义，可以得到向量的模与向量的数量积的关系。
只需要将向量的数量积带入到公式中，就可以计算出向量的模。
3. 计算向量之间的夹角：cosθ= (A·B) / ( A B )通过向量数量积的定义，可以得知夹角的计算公式。
只需要将向量的数量积和模带入公式中，就可以计算出向量之间的夹角。
物理应用：1. 力的计算：根据牛顿第二定律，力的大小可以表示为F = ma，其中F表示力，m表示质量，a表示加速度。
我们可以将力和加速度表示为向量的形式，如F = F1 + F2，a = a1 + a2。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
高一数学人必修课件向量数量积的运算律
注意事项
坐标法适用于平面上的向量，对于空间中的向量 需要采用类似的方法进行计算。
解
根据坐标法的定义，直接计算得$vec{a} cdot vec{b} = 1 times 3 + 2 times 4 = 3 + 8 = 11$ 。
投影法求向量数量积
定义
向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上 的投影长度乘以向量$vec{b}$的
数量积的几何意义
向量a和b的数量积等于向量a在向量b上的投影与向量b的模的乘积。
向量数量积性质
交换律：a·b = b·a，即向 量数量积满足交换律。
分配律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ是实数 ，即向量数量积满足分配 律。
结合律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量数量积满足 结合律。
证明
根据向量数乘的定义和向量数量积的线性性质， $(lambdavec{a} + muvec{b}) cdot vec{c} = |lambdavec{a} + muvec{b}| times |vec{c}| times cos < lambdavec{a} + muvec{b}, vec{c} >$。由于 向量数乘和数量积都是线性的，因此$(lambdavec{a} + muvec{b}) cdot vec{c} = lambda(vec{a} cdot vec{c}) + mu(vec{b} cdot vec{c})$。
注意事项
当两向量夹角为$90^circ$时，$cos theta = 0$，数量积为0；当两向量夹角为 $180^circ$时，$cos theta = -1$，数量积为负数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
= = AC ⎛ ⎫⎛ ⎫
2.3.2 向量数量积的运算律
类型二、运用向量数量积的运算律求向量的模
【学习目标】： 熟练掌握平面向量数量积的运算律，并会应用。
【自主学习】： 向量数量积的运算律：
（1） 交换律：
例 2、已知 a = b = 5, 向量 a 与b 的夹角为 ，求 a - b ， a + b 。
3
（2） 数乘 向量的数量积 结合律：
那么分配律是否成立呢？ 【合作探究】 分配律：
变式： 在三角形 ABC 中，已知 AB 3, BC 5, ∠ABC = 600
, 求。
【课堂互动】
类型一、运用向量数量积的运算律计算例 1、求证：
类型二、运用向量数量积的运算律解决有关垂直问题例 2、求证：菱形的两条对角线互相垂直：
已知： ABCD 是菱形， AC 和 BD 是它的两条对角线。
（1） (a + b )
2
= 2
+ 2a ⋅ b + 2
→ →
→ →
；（2） a + b ⎪ a - b ⎪ = ⎝ ⎭⎝ ⎭
→ 2
→
2
a -
b ;
求证： AC ⊥ BD . 证明：
→
→
→ →
变式：已知 a = 3, b = 4, 〈a , b 〉 = 60 , 求(a + 2b ) (a - 3b )
.
总结： a ⊥ b ⇔。
a b
a b a
⊥
变式： 已 知 a = 3, b = 4 ,且(a + kb ) ⊥ (a - kb ), 求 k 的值。
2
【合作探究】
1 、 若 a,b( b ≠ 0 ) 为 实 数 ， 则
a ⋅
b = a ⋅ b 成 立 ， 对 于 向 量
3、已知 e 1 ， e 2 是夹角为 3
的两个单位向量， a = e 1 - 2e 2 , b = ke 1 + e 2 , 若
a ⋅
b = 0 ，则 k 的值为。
a ,
b , a ⋅ b = ⋅ 成立吗？
2、若 a,b,c( b ≠ 0 )为实数，则 ab = bc ⇒ a = c ; 但对于向量， ab = bc ⇒ a = c
还成立吗？
4、证明平行四边形中， AC 2 + BD 2 = 2 AB 2 + 2 AD 2.
3、 向量的数量积满足结合律吗，即(a ⋅ b )⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )成立吗？ (a ⋅ b )
⋅ c 表
示什么意义？ a ⋅ (b ⋅ c )
表示什么意义？
【当堂检测】
→ →
< >= 1200 , =
= 5, (2a - b )⋅ a =
1 、 已 知 向 量 a , b 且 a 2, b 则
（选做）5、设 a b , 且 = 2, b = 1, k,t 是两个不同时为零的实数。
。
（1） 若 x = a +
(t - 3)b 与 y = -ka + tb 垂直，求 k 关于 t 的函数关系式 k=f(t);
（2） 求出函数 k=f(t)的最小值。
→
→
→ →
2
2 、 a = 6, b = 8, 〈a , b 〉 = 120 , 求 a + b , a + b .。