2017-2018年安徽省淮北市实验高级中学高一上学期数学期中试卷带答案

2017-2018学年安徽省淮北市实验高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2}，B={3，4}，求A∩（∁U B）=（）A．{1，3}B．{0，1}C．{0，2}D．{2，4}2．（5分）下列两个函数为同一函数的是（）A．g（x）=x B．f（x）=（x﹣1）0g（x）=1C．g（x）=x+3 D．g（x）=|x+3|3．（5分）已知，则f[f（﹣2）]的值是（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）若a=20.6，b=2﹣1.2，c=log0.61.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．（5分）函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且，则f（3）的值是（）A．B．C．1 D．26．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱7．（5分）若幂函数y=xα过点（2，4），则它的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0]8．（5分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）9．（5分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）如右图所示直角△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=1，则原平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．11．（5分）下列命题中正确的是（）A．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个B．如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形C．两个平面可以只有一个交点D．若空间三条直线两两平行，则这三条直线可确定三个平面12．（5分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（5分）计算=．14．（5分）函数的单调递增区间为．15．（5分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为．16．（5分）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣1对称，则t的值是．三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设全集为R，集合A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|2≤x≤9}（1）求A∪B，A∩（C R B）；（2）已知集合C={x|a﹣1≤x≤a+1}，若C∩A=C，求实数a的取值范围．18．（12分）设f（x）=log a（1﹣x），g（x）=log a（1+x），其中a＞0，a≠1，（1）求f（x）﹣g（x）=0时方程的根；（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），判断h（x）的奇偶性，并证明．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=1，E为棱AA1的中点．（1）求异面直线D1C与DB所成的角；（2）求证：CE，D1F，DA三条直线交于一点．20．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）=x2+bx+a的不动点为﹣1和2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）+kx（k∈R），若g（x）在[﹣1，2]上单调，求k的取值范围．21．（12分）淮北最近天气变化较大，为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a 为常数）如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．22．（12分）奇函数（m，n∈R）的定义域是R．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）判断函数y=f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意的t∈[1，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2017-2018学年安徽省淮北市实验高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2}，B={3，4}，求A∩（∁U B）=（）A．{1，3}B．{0，1}C．{0，2}D．{2，4}【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2}，B={3，4}，∴∁U B={0，1，2}，∴A∩（∁U B）={0，2}．故选：C．2．（5分）下列两个函数为同一函数的是（）A．g（x）=x B．f（x）=（x﹣1）0g（x）=1C．g（x）=x+3 D．g（x）=|x+3|【解答】解：对于A，f（x）==x（x≥0），与g（x）=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，f（x）=（x﹣1）0=1（x≠1），与g（x）=1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于C，f（x）==x+3（x≠3），与g（x）=x+3（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于D，f（x）==|x+3|（x∈R），与g（x）=|x+3|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．（5分）已知，则f[f（﹣2）]的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵，∴f（﹣2）=﹣2×（﹣2）=4，f[f（﹣2）]=f（4）=4+3=7．故选：C．4．（5分）若a=20.6，b=2﹣1.2，c=log0.61.2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：a=20.6＞1，b=2﹣1.2∈（0，1），c=log 0.61.2＜0，则a，b，c的大小关系是c＜b＜a．故选：C．5．（5分）函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且，则f（3）的值是（）A．B．C．1 D．2【解答】解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），对于任意的正实数x，y都有f （xy）=f（x）+f（y），且，得f（3）=f（）=f（）+f（）=2．故选：D．6．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱【解答】解：A、球的三视图均为圆，且大小均等；B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同；C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形．故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱．故选：D．7．（5分）若幂函数y=xα过点（2，4），则它的单调递增区间是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，+∞）D．（﹣∞，0]【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数的图象过点（2，4），∴4=2α，∴α=2．∴幂函数f（x）=x2．故其单调增区间为（0，+∞）．故选：B．8．（5分）函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（）A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：∵函数f（x）=2x﹣8+log3x是连续函数，f（3）=﹣1，f（4）=log34＞0，f（3）f（4）＜0，故函数f（x）=2x﹣8+log3x的零点一定位于区间（3，4）内，故选：B．9．（5分）已知a＞0，b＞0且ab=1，则函数f（x）=a x与函数g（x）=﹣log b x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵ab=1，且a＞0，b＞0∴又所以f（x）与g（x）的底数相同，单调性相同故选：B．10．（5分）如右图所示直角△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=1，则原平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵直角△O'A'B'是一个平面图形的直观图，O'B'=1，∴由斜二测法的规则得原平面图形△AOB中，AO⊥BO，且AO=2A′O′==2，OB=O'B'=1，∴原平面图形的面积是S==．故选：A．11．（5分）下列命题中正确的是（）A．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个B．如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形C．两个平面可以只有一个交点D．若空间三条直线两两平行，则这三条直线可确定三个平面【解答】解：在A中，过母线的截面面积等于母线长乘底面弦长在底面上，最长的弦为过底面圆心的直径故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，故A正确；在B中，如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面有可能是平行四边形，故B 错误；在C中，两个平面若有一个交点，则相交于过这个交点的一条直线，故C错误；在D中，若空间三条直线两两平行，则这三条直线可确定一个或三个平面，故D 错误．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f （x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．（5分）计算=1．【解答】解：原式=lg2+lg5=lg10=1，故答案为：114．（5分）函数的单调递增区间为[1，+∞）．【解答】解：令t=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，则y=3t是增函数；故本题即求函数t 的增区间．二次函数的性质可得t=（x﹣1）2﹣1的增区间为[1，+∞），由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．（5分）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC=BD=2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为1．【解答】解：∵点E、H分别为四边形ABCD的边AB、AD的中点，∴EH∥BD，且EH=BD=1．同理求得FG∥BD，且FG=1，∴EH∥FG，EH=FG又∵AC⊥BD，BD=2∴EF⊥EH．∴四边形EFGH是正方形．∴四边形EFGH的面积=EF•EH=1．故答案为：116．（5分）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=﹣1对称，则t的值是2．【解答】解：分别画y=|x|和y=|x+t|}的图象，根据关于直线x=﹣1对称，∴函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象为W型图象，从图象可以，y=|x+t|}的图象过（﹣2，0）即|﹣2+t|=0解得：t=2故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设全集为R，集合A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|2≤x≤9}（1）求A∪B，A∩（C R B）；（2）已知集合C={x|a﹣1≤x≤a+1}，若C∩A=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集为R，集合A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|2≤x≤9}，∴A∪B={x|﹣3＜x≤9}，∁R B={x|x＜2或x＞9}，∴A∩（C R B）={x|﹣3＜x＜2}；（2）集合C={x|a﹣1≤x≤a+1}，若C∩A=C，则C⊆A，∴，解得﹣2＜a＜3，∴实数a的取值范围是﹣2＜a＜3．…（10分）18．（12分）设f（x）=log a（1﹣x），g（x）=log a（1+x），其中a＞0，a≠1，（1）求f（x）﹣g（x）=0时方程的根；（2）设函数h（x）=f（x）+g（x），判断h（x）的奇偶性，并证明．【解答】解：（1）由题意得1﹣x＞0，且1+x＞0，即为﹣1＜x＜1，∵f（x）﹣g（x）=0，∴1﹣x=1+x，∴x=0；（2）h（x）为偶函数．理由：∵h（x）的定义域为（﹣1，1），∴h（x）的定义域关于原点对称．∵h（x）=log a（1﹣x）+log a（1+x），h（﹣x）=log a（1+x）+log a（1﹣x）=h（x），∴h（x）为偶函数．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=1，E为棱AA1的中点．（1）求异面直线D1C与DB所成的角；（2）求证：CE，D1F，DA三条直线交于一点．【解答】解：（1）连结A1B，A1D，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴A1D=A1B=DB，∴△A1DB为正三角形，∴∠A1BD=60°．又∵A 1D1BC，∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴异面直线D1C和DB所成的角为∠A1BD=60°．…（6分）证明：（2）延长D 1F，CE，交于G点．则点G∈D1F，∵D 1F⊂面ADD1A1，∴点G∈面ADD1A1．同理，点G∈CE，CE⊂面ABCD，∴点G∈面ABCD．∴点G∈（面ABCD∩面ADD1A1），∵面ABCD∩面ADD1A1=AD，∴G∈AD．∴CE，D1F，DA三条直线交于一点．…（12分）20．（12分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点，已知函数f（x）=x2+bx+a的不动点为﹣1和2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（x）+kx（k∈R），若g（x）在[﹣1，2]上单调，求k的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：f（x）=x，即x2+bx+a=x，也就是x2+（b﹣1）x+a=0的两个根分别为﹣1和2．根据韦达定理得，解得，∴f（x）=x2﹣2；（2）g（x）=f（x）+kx=x2+kx﹣2，其对称轴为．由题意得：或，即k≤﹣4或k≥2时，∴要使g（x）在[﹣1，2]上单调，实数k的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．21．（12分）淮北最近天气变化较大，为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（）t﹣a（a 为常数）如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【解答】解：（1）当0≤t≤0.1时，设y=kt （k≠0），由图象知y=kt过点（0.1，1），则1=k×0.1，即k=10，∴y=10t （0≤t≤0.1）；当t＞0.1时，由y=（）t﹣a过点（0.1，1）得1=（）0.1﹣a，a=0.1，∴y=（）t﹣0.1（t＞0.1）．∴y=．（2）令（）t﹣0.1≤，解得t≥0.6，∴至少需经过0.6小时学生方能回到教室．22．（12分）奇函数（m，n∈R）的定义域是R．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）判断函数y=f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对于任意的t∈[1，5]，不等式f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数且定义域为R，∴f（0）=0可得m=1；f（﹣x）=﹣f（x）可得n=1，∴f（x）=；（2）f（x）=为减函数，在R上任取x1，x2使x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x）在R上单调递减；（3）∵f（x）在R上单调递减，且为奇函数，又∵f（t2+2t+k）+f（﹣2t2+2t﹣5）＞0恒成立，∴f（t2+2t+k）＞﹣f（﹣2t2+2t﹣5）=f（2t2﹣2t+5），t∈[5，5]，∴t2+2t+k＜2t2﹣2t+5，t∈[1，5]恒成立，∴k＜t2﹣4t+5，t∈[1，5]恒成立，∵当t∈[1，5]时，（t2﹣4t+5）min=1，∴k＜1．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。