高考数学一轮复习坐标系与参数方程 1 坐标系课件理选修44

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高考数学一轮总复习坐标系与参数方程精品课件(含高考真题)新人教版选修44

常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设 M 是平面内一点,极点 O
与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的
极径
,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线
OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ,有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极
坐标,记作
M(ρ,θ) .
极坐标系的四要素:(1)极点;(2)极轴;(3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向,
直线与圆相交,即公共点个数为 2 个.
第八页，共31页。
8
梳理
(shūlǐ)自
测
= ,
3.(2013 江西高考改编)设曲线 C 的参数方程为
(t 为参数),若以直角
= 2
坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线 C 的极坐
标方程.
= ,
2
解:由参数方程
2 得曲线在直角坐标系下的方程为 y=x .由公式
(2)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为
6 5
5
,求 a 的值.
= + 4,
π
解:(1)把
化为普通方程为 x+2y+2-a=0,把 ρ=2 2cos + 化为
4
= -1-2
2
2
普通方程为 x +y -2x+2y=0,∴圆心到直线的距离为
(2)由已知,
3 2
5
+
|-1|
5
2
=( 2)2,

由 k1·k2=-1,得 k=-6.
当 k=0 时,显然不成立.
第七页，共31页。
梳理(shūlǐ)
自测
2.已知直线 l:x+y-2=0 与圆 C:

高三数学一轮总复习专题坐标系与参数方程(含解析,选修44)

C ( 2, ) 的直角坐标为 (1,1)，∴圆 C 的直角坐标方程为 4
2 cos sin 1 0 .
x 12
y 1 2 3.
方法二：如图，设圆 C 上任意一点 M , ，则 CM 2 OM 2 OC 2 2OM OC cos COM
( 3) 2
2 ( 2) 2 2
2 cos( ) 4
化简得 2 2 cos sin
当
时，射线 l 与 C1 ,C2 交点的直角坐标分别为 (0,1),(0, b) ，因为这两点重合，所以 b 1.
2
（Ⅱ） C1, C2 的普通方程分别为
2
x
2
x2
y 1和
9
2
y 1.
2
3 10
当
时，射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x 4
2 ，与 C2 交点 B1 的横坐标为 x
. 10
当
时，射线 l 与 C1, C2 的两个交点
4
故四边形 A1A2B2B1的面积为 (2 x 2 x)( x 2
A2, B2 分别与 A1, B1 关于 x 轴对称，因此，四边形 A1A2B2 B1 为梯形 . x) 2
. 5
易失分点 1 参数的几何意义不明
规避 2 个易失分点
典例已知直线 l 的参数方程为
联立得 5
y2
4 x
5
x2 4x 5 0
x 1或 x
5（舍去），
又因为 y 0 ，所以它们的交点坐标为
25 (1, )
5
角度 4 直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
A, B 分别在曲线 C1 ：

高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-4-1

π B．θ＝ 2 D．ρsinθ＝2
轴平行的直线的方程为 y＝2，其极坐标方程为 ρsinθ＝2，故选 D.
5．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( π A．(1， ) 2 C．(1，0)
答案解析 B
)
π B．(1，－ ) 2 D．(1，π )
由 ρ＝－2sinθ 得 ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为 x2
＝ρ1＋ρ2＝6.
授人以渔
题型一
极坐标与直角坐标方程的互化
将直角坐标方程与极坐标方程互化． (1)y2＝4x； π (3)θ＝ (ρ∈R); 3 (5)ρ cos2θ ＝4;
2
(2)y2＋x2－2x－1＝0； (4)ρcos ＝1； 2 1 (6)ρ＝ . 2－cosθ
2θ
【解析】 (1)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 y2＝4x，得(ρsinθ)2 ＝4ρcosθ.化简得 ρsin2θ＝4cosθ. (2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 代入 y2＋x2－2x－1＝0 ，得(ρsinθ)2 ＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简得 ρ2－2ρcosθ－1＝0. y π y (3)当 x≠0 时，由于 tanθ＝ x，故 tan3＝x＝ 3，化简得 y＝ 3 x(x≠0)； π 当 x＝0 时，y＝0.显然(0，0)在 y＝ 3x 上，故 θ＝3(ρ∈R) 的直角坐标方程为 y＝ 3x.
课前自助餐
极坐标系
极点，自极点 O 引一条射线在平面内取一个定点 O，叫做_____
Ox，叫做______ 极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．
点的极坐标对于极坐标系所在平面内的任一点 M，若设 |OM|＝ρ(ρ≥0)，以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角为 θ，则点 M 可用有序

高考数学一轮复习选考44坐标系与参数方程课件文

4．直线、圆、椭圆的参数方程
[小题速练]
1．在极坐标系中，圆 ρ＝－2sinθ 的圆心的极坐标是( )
A.1，π2 C．(1,0)
B.1，－π2 D．(1，π)
[解析] ρ＝－2sinθ 化成直角坐标方程为 x2＋y2＝－2y，即 x2 ＋(y＋1)2＝1，圆心(0，－1)的极坐标为1，－π2.故选 B.
2．常用简单曲线的极坐标方程
3.参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数xy＝＝fgtt (*)，如果对于 t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参数．
(2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
[解] (1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1， θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4sθ.
由|OM|·|OP|＝16 得 C2 的极坐标方程 ρ＝4cosθ(ρ>0)．因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝ 4cosα，于是△OAB 面积 S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB ＝4cosα·sinα－π3
[答案] 1
考点突破提能力
研一研练一练考点通关
考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化——热考点 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝4.

高考数学一轮总复习坐标系与参数方程第二节参数方程课件理选修44

选修4－4 坐标系与参数 (cānshù)方程
第二节参数 (cānshù)方程
第一页，共18页。
已知直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，圆 C 的参数方程为
(θ 为参数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
第二页，共18页。
解：(1)直线 l 的普通方程为 2x－y－2a＝0，圆 C 的普通方程为 x2＋y2＝16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－2a|≤4，
(t 为参数)，由 x＝t
联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，12，－1.
第六页，共18页。
(2014·课标全国Ⅰ卷)已知曲线 C：x42＋y92＝1，直
线 l：
(t 为参数)．
(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点
第十七页，共18页。
解：(1)ρ＝2cos θ等价于 ρ2＝2ρcos θ. 将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x 代入 ρ2＝2ρcos θ得曲线 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＝0.
(2)将
(t 为参数)代入 x2＋y2－2x＝0，
得 t2＋5 3t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为 t1，t2，则由参数 t 的几何意义知，
A，求|PA|的最大值与最小值．
第七页，共18页。
解：(1)曲线 C 的参数方程为直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.
(θ 为参数)．
(2)曲线
C 上任意一点
P(2cos

高考数学一轮总复习 1坐标系课件(选修44)

________(填序号)．①1，π2；②1，－π2；③(1,0)；④(1，π)
解析圆的方程可化为 ρ2＝－2ρsinθ，由xy＝＝ρρcsionsθθ，，得 x2 ＋y2＝－2y，即 x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，化为极坐标为 1，－π2.
对点自测
知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
1.在同一平面直角坐标系中，直线 x－2y＝2 经过伸缩变换
x′＝x， y′＝4y
后，变成直线__________．
解析由伸缩变换xy′ ′＝＝x4，y，得xy＝＝x14′y′，. 将其代入 x－2y＝2 得 2x′－y′＝4.
答案 2x′－y′＝4
知识点二
极坐标系
2.在极坐标系中，已知两点 P5，54π，Q1，π4，则线段 PQ 的长度为__________．
解析 P，Q 在过极点且与极轴成π4角的直线上，它们位于极点的两侧，因此 PQ＝5＋1＝6.
答案 6
3．(2014·广东卷)在极坐标系中，曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2θ＝sinθ 与 ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________．
答案 ③
R 热点命题·深度剖析
研考点知规律通法悟道
问题探究问题 1 在直角坐标中点与点的坐标是一一对应关系，极坐标系中呢？在极坐标中点与点的坐标不是一一对应关系，每一个极坐标都对应唯一一个点，但每一个点却有无数多个极坐标．如果对极角 θ 加上限制条件，如 0≤θ<2π，则除极点外点与点的极坐标可以是一一对应关系．
J 基础回扣·自主学习

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理选修4_4

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换xy′′＝＝μλ··xy，，λμ>>00，下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
求双曲线 C：x2－6y42 ＝1 经过 φ：x2′y′＝＝3yx，，变换后所得曲线 C′的焦点坐标．
2．⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O1，⊙O2 交点的直线的直角坐标方程．
解：以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)ρ＝4cos θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝4ρcos θ；ρ＝－4sin θ，两边同乘以 ρ，得 ρ2＝－4ρsin θ.
在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
1．在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l： ρsinθ－π4＝ 22. (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
答案：y′＝3sin 2x′
3．点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为________．解析：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，
且 OP 与 x 轴所成的角为－π3，所以点 P 的极坐标为2，－π3. 答案：2，－π3
4．曲线 ρ＝4sin θ 与 ρ＝2 的交点坐标是________________．解析：由ρρ＝＝42s，in θ， ∴sin θ＝12，∴θ＝π6或56π. 答案：2，π6或2，56π

【人教版】数学(理)一轮复习：选修4-4《坐标系与参数方程》(第2节)ppt课件公开课一等奖课件PPT

选修4-4 坐标系与参数方程
2．(2013·陕
西
高考
)圆
锥曲线
x＝t2， y＝2t
(t 为参数)的焦点坐标是
________．
解析代入法消参，得到圆锥曲线的方程为 y2＝4x，
则焦点坐标为(1,0)．
答案 (1,0)
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2012·湖北高考)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴
选修4-4 坐标系与参数方程
直线的参数方程 [典题导入]
(2014·东北三省三校第二次联考)在直角坐标系 xOy 中，已
知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为xy＝＝
5cos φ， 15sin φ
(φ 为参数)．以
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标
方程为 ρ＝2cosθ3－π6.
解析直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x－1)2＋y2 ＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为
12＋|2|－12＝ 2. 答案 2
选修4-4 坐标系与参数方程
5．(2013·广东高考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点
为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 C 的参
(t 为参数)．若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的
参数分别为 t1，t2.线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0. 注意以下几个常用的结论：
(1)t0＝t1＋2 t2；(2)|PM|＝|t0|＝|t1＋2 t2|；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|
＝|t1t2|.
选修4-4 坐标系与参数方程

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考向一伸缩变换
【典例1】求双曲线C:x2-
y2 64
=1经过φ:
x 3x, 2y y
变换
后所得曲线C′的焦点坐标.
【解题导引】设出曲线C′上任意点的坐标,利用点的坐标和变换把双曲线上的点的坐标表示出来,再代入双曲线方程可得变换后的曲线方程,进而可求焦点坐标.
【规范解答】设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),
2
【特别提醒】 1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y) 与变换后的点的坐标(x′,y′). 2.直角坐标方程与极坐标方程的互化问题,要注意互化时要将极坐标方程作适当转化:
(1)若是和角,常用两角和与差的三角公式展开,化为可用公式形式. (2)为了出现公式形式,两边可以同乘以ρ.
由上述可知,将
x

1 3
x,
代入x2- y2
=1,得
x2 4y2
1，
y 2y,
64
9 64
化简得 x2 y2 1，
9 16
即 x2 y2 1 为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则焦
9 16
点F1(-5,0),F2(5,0)为所求.
【规律方法】伸缩变换后的方程求法平的面变上换的方曲程线的求y=法f(是x)将在变xy换 φxyλ ,:代入xy y=μλfxy(((μλx),00得)), 的yμ作 f用( xλ下)，整理之后得到y′=h(x′),即μ为所求变换之后的方程.
图形
5.圆的极坐标方程 (1)一般位置: 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为: _ρ__2_-_2_ρ__0ρ__c_o_s_(_θ__-_θ__0_)_+_ρ__0_2-_r_2_=_0_.
(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程: ①圆心位于极点,半径为r:_ρ__=_r_. ②圆心位于M(a,0),半径为a:_ρ__=_2_a_c_o_s_θ__. ③圆心位于M (a，π ) ,半径为a:_ρ__=_2_a_s_i_n_θ__.
(2)点的极坐标:对于极坐标系所在平面内的任一点M, 若设|OM|=ρ(ρ≥0),以Ox为始边,OM为终边的角为θ, 则点M可用有序数对_(_ρ__,_θ__)_表示.
3.直角坐标与极坐标的互化 (1)前提:把直角坐标系的原点作为极点, x轴正半轴作为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式:设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、
(2)设B(x,y),由伸缩变换φ:
x 3x, 2y y,
由于点B′的坐标为 (3, 1)，
得到
x y

1 x, 3 2y.
2
于是x= 1 ×(-3)=-1,y=2× 1 =1,
3
2
所以B(-1,1)为所求.
(3)由伸缩变换φ:
x 3x, 2y y,
x y

x, 4y
后,直线x-2y=2变成直线2x′-
y′=4.
【加
x 3x, 2y y.
(1)求点A (1 ,2) 经过φ变换所得的点A′的坐标.
3
(2)点B经过φ变换得到点B′(3, 1) ,求点B的坐标.
【变式训练】在同一平面直角坐标系中,将直线x-2y=2
变成直线2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.
【解析】设变换为
x λx(λ y μy(μ

0), 0)
代入第二个方程,得
2λx-μy=4,与x-2y=2比较系数得λ=1,μ=4,即
x y

x, 4y.
因此,经过变换
选修4-4 坐标系与参数方程第一节坐标系
【知识梳理】
1.伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
φ:
x y

x, (＞0), y, (＞0)
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(λx,
μy),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.
2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系: 在如图极坐标系中,点O是_极__点__,射线Ox是_极__轴__,θ为 _极__角__(通常取逆时针方向),ρ为_极__径__(表示极点O与点M的距离),点M的极坐标是_M_(_ρ__,_θ__)_.
2
(3)求直线l:y=6x经过φ变换后所得到的直线l′的方程.
【解析】(1)设A′(x′,y′),
由伸缩变换φ:
x 3x, 2y y,
得到
x 3x,

y

1 2
y.
由于点A的坐标为 (1 , 2)，
3
于是x′=3× 1 =1,y′= 1 ×(-2)=-1,
3
2
所以A′(1,-1)为所求.
极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则
2 _x_2___y_2 ,

tan

y (x 0)
_x_______
.
x __c_o_s__,

y

__s_i_n__,
4.直线的极坐标方程 (1)一般位置: 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它的极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
后对应的点的坐标为P′(x′,y′),则
x y

2x, 3y,
所以4x′2+9y′2=36,
即 x2 y2 1．
x x ,
得 3
y 2y.
代入直线l:y=6x,得到经过伸缩变换后的方程为
y′=x′,因此直线l′的方程为y=x.
2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换
x y

1 2 1 3
x, y
后,曲线C:x2+y2=36变为何种曲线,并求曲线的焦点
坐标.
【解析】设圆x2+y2=36上任一点为P(x,y),伸缩变换
(2)特殊位置:
直线
极坐标方程
过极点,倾斜角为α
θ=_α__(ρ∈R)或 θ=_π__+_α__(ρ∈R) (θ=_α__和θ=_π__+_α__
(ρ≥0))
图形
直线
极坐标方程
过点(a,0), 与极轴垂直
_ρ__c_o_s_θ__=a
( ＜＜)
2
2
过点
(a， )， 2
与极轴平行
_ρ__s_i_n_θ__=a(0<θ<π)