函数单调性与曲线凹凸性的判别法课件
合集下载
函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数单调性与曲线凹凸性的判别法PPT课件
般方法: ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
函数的单调性与曲线的凹凸性ppt课件
定义 设函数
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
则称
(2) 若恒有
则称
图形是凸的 .
设 是区间 I 内的点，如果曲 yyy 拐点
线
在经过点
时,
曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 OOO
为这曲线的 拐点.
x x1x1x1x21x22x2x2x2 x x
高等数学（上）
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例1 判定函数y x sin x 在 [0, 2 ] 上的单调性 解 因为在 (0, 2 )内
y 1 cos x 0,
所以函数 y x sin x在 [0, 2 ] 上的单调增加.
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界
点），驻点可能是单调区间的分界点． 4）如果函数在某驻点两边导数同号,
y
y x3
则不改变函数的单调性 . 例如,
O
x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
求函数单调区间的步骤: 1）确定函数 的定义域；
2）在定义域内求出使 存在的点；
的点与 不
3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 的子区间；
4）考察 在这些子区间内的符号，并由定
理1得出单调区间. 注意上述这些点中若有某些点两 侧的单调性一致， 则应将两侧合在一起构成一个单 调区间.
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
则称
(2) 若恒有
则称
图形是凸的 .
设 是区间 I 内的点，如果曲 yyy 拐点
线
在经过点
时,
曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 OOO
为这曲线的 拐点.
x x1x1x1x21x22x2x2x2 x x
高等数学（上）
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例1 判定函数y x sin x 在 [0, 2 ] 上的单调性 解 因为在 (0, 2 )内
y 1 cos x 0,
所以函数 y x sin x在 [0, 2 ] 上的单调增加.
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界
点），驻点可能是单调区间的分界点． 4）如果函数在某驻点两边导数同号,
y
y x3
则不改变函数的单调性 . 例如,
O
x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
求函数单调区间的步骤: 1）确定函数 的定义域；
2）在定义域内求出使 存在的点；
的点与 不
3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 的子区间；
4）考察 在这些子区间内的符号，并由定
理1得出单调区间. 注意上述这些点中若有某些点两 侧的单调性一致， 则应将两侧合在一起构成一个单 调区间.
函数单调性与曲线凹凸性的判别法40页PPT
函数单调性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ曲线凹凸性的判别法
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
函数单调性和凹凸性.完美版PPT
3
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
y
f(x 1 )f(x 2 )f(x 3 ) 0 f (x4)不存在, f(x5)0
y f(x)
o ax1 x2 x3
x4 x5 bx
确定函数单调区间的方法和步骤:
(1). 确定函数 y f(x)的定义域;
(2). 求 f (x),找使 f(x)0的点(驻点),及使 f (x) 不存在的点;
(3). 以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间, 判断在每一区间上导数的符号，由定理得出结论。
f(x) 增
减
增
函数 f ( x) 的单增区间为: (,1] , (2, ). 单减区间为:(1,2]
5
二、函数凸性的判别法
定义3.3.1 (函数的凸性)
设 f (x) 在区间I上连续，若对任意 x1,x2 I
y
f (x1) f (x2)
y
f (x1 x2 )
•2
•2
•
f ( • x1 x2 )
2
f (x1) f (x2) 2
o x1
x2
x
o x1
x2 x
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
图形下凸
图形上凸
6
直观观察
y
内时是上凸的.
确定曲线的凸向区间及拐点的方法和步骤：
的拐点是 (0,0).
o 定义 曲线上上凸弧与下凸弧的分界点,称为拐点.
以(2)中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,
1. 求出 f(x),f(x);
2. 找 使 f(x)0的点及 f (x) 不存在的点;
3. 以2中所找点为分界点,将定义域分割成部分区间,列表讨论.
函数单调性与曲线的凹凸性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
例4 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点旳环节：
• 求二阶导数等于零和不存在旳点 • 判断二阶导数在这些点旳左右两侧是否
注意:函数旳单调性是一种区间上旳性质，要用 导数在这一区间上旳符号来鉴定，而不能用一 点处旳导数符号来鉴别一种区间上旳单调性．
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2ห้องสมุดไป่ตู้ x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时， x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
3.小结
单调性旳鉴别是拉格朗日中值定理定理旳 主要应用.
定理中旳区间换成其他有限或无限区间， 结论依然成立.
图形上任意弧段位
于所张弦旳下方
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
于所张弦旳上方
2.曲线凹凸旳鉴定
y
y f (x) B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y f (x)
y
B
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
鉴别法1
函数单调性和曲线凹凸性优秀课件
y
1 y=lnx
o
x
例5. 讨论曲线 y=x3 的凹凸性.
解: y=6x 当 x<0时, y<0.
故 y=x3在(, 0]内是凸弧.
当 x>0时, y >0.
故 y=x3 在 [0, +) 内是凹弧.
这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.
y
y=x3
0
x
一般地，设f (x)C ( U ( x0) ), 若曲线 y=f (x) 在点(x0, f (x0))处左右两侧凹凸性相反，则称 (x0, f (x0)) 为该曲线的拐点.
定义1: 设f (x)C ( [a, b] ) ，x1, x2 [a, b] (x1x2) 和 t(0, 1), 若有 f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 )
( f ( t1 x ( 1 t ) x 2 ) t( x f 1 ) ( 1 t ) f ( x 2 ) )
y f (x)>0
0
x
y= f ( x)
思考问题 利用上面性质证明： x > 0 时 x > ln(1+ x)
二、 曲线的凹凸性及其判定法
y
y =x2
y x
o
x
y
B
A
f (x1)
o
x1
f (x2)
x x2 x
在曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，
则弦 AB 的参数方程为：
(1)若x (a,b), 有f (x)>0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
凹的.
(2)若x (a,b), 有f (x)<0. 曲线y=f (x)在[a, b]上是
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
解方程 ′ () = 0 得, 1 = 1, 2 = 2.
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本节要点
本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函 数的单调性及曲线的凹凸性. 一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性的判别法
一、函数单调性的判别法
1.问题的提出
设函数 f xCa,b Da,b, 如果函数 f x
在a,b 上单调增加, 则曲线的图形是一条沿 x轴正向
又因: f x 0x a,b, 故
f x2 f x1 0,
由此说明函数是单调增加的.
例1 判定函数 y ex 的单调性. 解 因 y ex 0, 所以 y ex是单调增加的.
我们知道, 函数 y x3 是
单调增加的, 但 y0 0.
解 函数 y f x 的定义域为, , 并且在区间
内连续. f x的导数为
f
x
10
2
x3
10
1
x3
10
x
1,
x 0
3
3
3 3x
当 x 1, f x 0. 从而将定义域分成三个区间:
, 0 , 0,1 , 1, .
此说明一个单调增加的函数, 其导函数可能有若干个零点. 作为一般结论, 我们有
y y ex
O
x
定理 若函数 f x在区间 I 上可导, f x 0, 且在I 的任何一个有限区间内 f x 仅有有限个零点, 则 f x
是单调增加的.
例2 设 y x sin x, 则 y 1 cos x,
f x
0
f x
0
3
y
2
单调下降
-1 -2
x
1
2
3
-4
-6
-8
单调上升
-10
结合上面的两个例子, 我们得到求函数单调区间的一 般方法:
⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可 导点; ⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的 单调性.
当 x ,0, y 0, 因而函数单调增加;
当 x 0,1, y 0, 因而函数单调减少; 当 x 1, , y 0, 因而函数单调增加.
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0 0,1 1 1,
系.
由导数的定义及极限的保号性,
y
我们可证明:
y f x
Oa
bx
若可导函数 f x 在区间a,b上单调增加（减少）, 则对任意的 x a,b, 有 f x 0 0.
反之, 我们有
定理 （函数单调性的判别法） 若 f x Ca,b,
且 f x Da,b, 则:
增加的. 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表
x ,0 0 0, f x 0 f x
注 此例说明了如何去讨论函数的单调性: 若函数点 点可导, 则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调 区间. 但若函数在某些点不可导, 则此方法不再适用.
例4 求函数 y 2x 5 3 x2 的单调区间.
当 x 0 时, 有 f x f 0 0, 即
ln x 1 x2 x.
注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的 基本方法.
问题 证明当x x0 时有: f x g x.
方法 ⑴构造函数 F x g x f x, 且函数
F x在x0, 中连续, 可导; ⑵验证 F x0 0, F x 0, 从而函数F x 在
给定的区间上单调增加;
⑶由此得到: 当 x x0 时, 有 F x F x0 0, 即
f x gx.
例6 证明 ln 1 x x 1 x2 x 0.
逐渐上升的曲线, 因而曲
y
线上各点处的切线斜率非
负, 即 f x 0. 同样,
y f x
如果函数 f x在 a,b
Oa
bx
上单调减少, 则曲线的图形是一条沿 x 轴正向逐下降的
曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非正, 即f x 0,
由此可见, 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关
y 0 x 2k ,
所以, 函数 y 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由
上面的定理知函数是单调增加的.
水平切线
Y
12
10
8
6
y x sin x
4
2
X
p
2p
3p
4p
例3 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 因 y ex 1. 所以当 x ,0, y 0, 即 y 是单调减少的; 当 x 0, , y 0, 即函数是单调
2
证令
F x ln 1 x x x2 ,
2
所以 F xC0, D0,, 且 F 0 0.
F x 1 1 x 11 x x x2 x2 0,
⑴若xa,b,有f x 0, 则 f x在 a,b上
单调增加;
⑵若xa,b,有 f x 0, 则f x 在 a,b 上
单调减少.
证 仅证⑴. x1, x2 a,b , x1 x2, 则由拉格朗日中
值定理, 得
f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 ,
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0 时, 有 ln x 1 x2 x.
证 令 f x x ln x 1 x2 , 则 f 0 0.
1 x
f x 1 1 x2 1 1 0,
x 1 x2
1 x2
所以函数 f x 在区间0, 中是单调增加的, 因而
本节通过函数一阶导函数及二阶导函数的符号研究函 数的单调性及曲线的凹凸性. 一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸性的判别法
一、函数单调性的判别法
1.问题的提出
设函数 f xCa,b Da,b, 如果函数 f x
在a,b 上单调增加, 则曲线的图形是一条沿 x轴正向
又因: f x 0x a,b, 故
f x2 f x1 0,
由此说明函数是单调增加的.
例1 判定函数 y ex 的单调性. 解 因 y ex 0, 所以 y ex是单调增加的.
我们知道, 函数 y x3 是
单调增加的, 但 y0 0.
解 函数 y f x 的定义域为, , 并且在区间
内连续. f x的导数为
f
x
10
2
x3
10
1
x3
10
x
1,
x 0
3
3
3 3x
当 x 1, f x 0. 从而将定义域分成三个区间:
, 0 , 0,1 , 1, .
此说明一个单调增加的函数, 其导函数可能有若干个零点. 作为一般结论, 我们有
y y ex
O
x
定理 若函数 f x在区间 I 上可导, f x 0, 且在I 的任何一个有限区间内 f x 仅有有限个零点, 则 f x
是单调增加的.
例2 设 y x sin x, 则 y 1 cos x,
f x
0
f x
0
3
y
2
单调下降
-1 -2
x
1
2
3
-4
-6
-8
单调上升
-10
结合上面的两个例子, 我们得到求函数单调区间的一 般方法:
⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可 导点; ⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的 单调性.
当 x ,0, y 0, 因而函数单调增加;
当 x 0,1, y 0, 因而函数单调减少; 当 x 1, , y 0, 因而函数单调增加.
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0 0,1 1 1,
系.
由导数的定义及极限的保号性,
y
我们可证明:
y f x
Oa
bx
若可导函数 f x 在区间a,b上单调增加（减少）, 则对任意的 x a,b, 有 f x 0 0.
反之, 我们有
定理 （函数单调性的判别法） 若 f x Ca,b,
且 f x Da,b, 则:
增加的. 可以将函数的导数符号及单调性按区间分段列表
x ,0 0 0, f x 0 f x
注 此例说明了如何去讨论函数的单调性: 若函数点 点可导, 则可根据函数的驻点将函数划分成若干个单调 区间. 但若函数在某些点不可导, 则此方法不再适用.
例4 求函数 y 2x 5 3 x2 的单调区间.
当 x 0 时, 有 f x f 0 0, 即
ln x 1 x2 x.
注 从这个例中可以归纳出利用单调性证明不等式的 基本方法.
问题 证明当x x0 时有: f x g x.
方法 ⑴构造函数 F x g x f x, 且函数
F x在x0, 中连续, 可导; ⑵验证 F x0 0, F x 0, 从而函数F x 在
给定的区间上单调增加;
⑶由此得到: 当 x x0 时, 有 F x F x0 0, 即
f x gx.
例6 证明 ln 1 x x 1 x2 x 0.
逐渐上升的曲线, 因而曲
y
线上各点处的切线斜率非
负, 即 f x 0. 同样,
y f x
如果函数 f x在 a,b
Oa
bx
上单调减少, 则曲线的图形是一条沿 x 轴正向逐下降的
曲线, 因而曲线上各点处的切线斜率非正, 即f x 0,
由此可见, 函数的单调性与其导函数的符号有密切的关
y 0 x 2k ,
所以, 函数 y 在任何一个有限区间仅有有限个驻点, 由
上面的定理知函数是单调增加的.
水平切线
Y
12
10
8
6
y x sin x
4
2
X
p
2p
3p
4p
例3 讨论函数 y ex x 1 的单调性.
解 因 y ex 1. 所以当 x ,0, y 0, 即 y 是单调减少的; 当 x 0, , y 0, 即函数是单调
2
证令
F x ln 1 x x x2 ,
2
所以 F xC0, D0,, 且 F 0 0.
F x 1 1 x 11 x x x2 x2 0,
⑴若xa,b,有f x 0, 则 f x在 a,b上
单调增加;
⑵若xa,b,有 f x 0, 则f x 在 a,b 上
单调减少.
证 仅证⑴. x1, x2 a,b , x1 x2, 则由拉格朗日中
值定理, 得
f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 ,
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0 时, 有 ln x 1 x2 x.
证 令 f x x ln x 1 x2 , 则 f 0 0.
1 x
f x 1 1 x2 1 1 0,
x 1 x2
1 x2
所以函数 f x 在区间0, 中是单调增加的, 因而