泛函分析在桥梁工程中的应用
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中研究无限维空间上函数的一种方法。
变分法是泛函分析的重要工具之一，可以用于求解最值问题和微分方程等。
在实际应用中，泛函分析的变分法有着广泛的应用。
本文将通过几个实例介绍泛函分析中的变分法在不同领域的应用。
一、弦的振动考虑一根固定在两端的弦的振动问题。
假设弦的形状可以用一个实数函数表示，记为y(x)，其中x表示弦上的位置。
变分法可以用来求解弦的振动形态。
首先，我们需要定义一个能量泛函来描述弦的振动状态。
一个自然的选择是弦的动能和势能的和。
弦的动能正比于线密度，速度的平方和长度元素之积的积分。
弦的势能正比于势能密度和长度元素之积的积分。
因此，我们可以定义弦的能量泛函为：E[y] = ∫(1/2)(ρy'^2 - T y'^2)dx其中，ρ表示线密度，T表示张力，y'表示y关于x的导数。
接下来，我们要求解使得能量泛函E[y]取得最值的函数y(x)。
为了求解这个问题，我们可以考虑函数y(x)的变分δy(x)。
利用变分的概念，我们可以得到能量泛函的变分表示为：δE[y] = dE[y+εδy]/dε其中，ε是一个任意小的实数。
利用分部积分的方法，我们可以将能量泛函的变分表示为：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx由于δy(x)是一个任意的函数，我们可以得到导数的变分表示为：δy' = d(δy)/dx将上述结果带入能量泛函的变分表示中，可以得到：δE[y] = ∫(ρy'δy' - T y''δy)dx = 0由于δy(x)的任意性，我们可以得到使得能量泛函最值的条件为：ρy'' - T y' = 0这就是弦的振动方程，利用这个方程可以求解弦的振动形态。
二、量子力学中的变分法在量子力学中，变分法可以用来求解波函数的本征值和本征函数。
仿真分析在苏州东互通F匝道桥设计上的应用
仿真分析在苏州东互通F匝道桥设计上的应用王 轶1 程 功2 张 蕾3 靳敏超4(1.江西赣州公路勘察设计院;2.武汉理工大学;3.武汉铁路桥梁学校;4.中交第二公路勘察设计研究院)摘 要: 建立苏州东互通式立体交叉F匝道桥全桥结构仿真分析数学模型,结合专业程序《预应力混凝土、混凝土桥梁综合程序》计算,对于该桥上构利用专业程序简洁、快速的特点进行计算,而该桥下构处的门架墩与A型墩型的选择上则利用AN SYS进行空间受力分析,在结论的重合点处进行对比,看是否在误差允许的范围内,该法比单一的传统桥梁计算方法无论在速度上还是在准确率上都有实质性的改进和提高。
关键词: 桥梁工程; 结构仿真; 有限元; 门架墩; A型墩 苏州东互通式立体交叉F匝道桥位于沪宁高速公路扩建工程江苏路段,是一座连续梁桥。
该桥上部构造为(3×20+3×22+20)m+(16+20+ 17.095)m钢筋混凝土连续箱梁。
该桥平面位于R2600m的右偏圆曲线接A=190的缓和曲线内,1～9号为主桥桥墩,最高8.659m。
墩身采用柱式墩,桥台采用承台分离式,墩台均配钻孔灌注桩基础。
由于西气东输管线正好下穿于该桥4号墩处,因此对于墩型的选择出现了门架墩与A型墩的2种不同的方案,然而无论是哪一种方案,通常的计算分析已是不能满足设计要求,必须进行专门详细的有限元分析,以了解这2种墩型的受力特性和应力分布规律。
针对该桥门架墩与A型墩的局部受力复杂,取舍较难简单判断的情况,运用AN SYS软件对其建立空间实体有限元模型,分析了门架墩与A型墩的局部应力分布特点,为同类型结构日后的设计和施工提供参考。
1 结构模型的建立在全桥结构仿真中,建立用于分析计算的有限元数学模型是至关重要的一环。
1.1 计算模型的选取根据设计图纸,在4号墩处进行门架墩与A型墩的空间比较分析。
1.2 材料参数换算(等效)模量和容重是进行准确计算的基础,在仿真分析中,把钢筋混凝土视为匀质材料,这就需要对其弹性模量和容重进行换算,也即进行等效处理。
高等数学中的泛函分析及应用
高等数学中的泛函分析及应用泛函分析是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学和计算机科学等领域。
在高等数学中，泛函分析是一个非常重要的课程，它不仅是数学基础课程的一部分，也是许多专业的必修课程。
本文旨在介绍泛函分析的基本概念和应用，以便读者对该领域有更深入的了解。
一、泛函的概念泛函是将一个函数映射到一个实数集上的函数。
通常的情况下，泛函被定义为一个变量为函数的积分或微积分方程，这种定义方式在实际问题中更加常见。
泛函经常用来描述物理学和工程学中的问题，例如流体力学中的能量等。
具体地说，泛函是对一个无限维的向量空间内的函数进行操作的工具，可以对其进行求导、积分等运算。
二、泛函分析的基本概念泛函分析中的基本概念包括：线性空间、范数、内积、完备性、集合的紧性、分离性等。
线性空间：泛函分析描述的是函数空间，函数空间是一个线性空间，即一个向量空间，它含有基本的数乘和向量加法运算。
泛函分析中讨论的函数通常是连续函数，函数值域是实数或者复数。
范数：范数是度量向量的大小的函数，它可以是任意实数或者复数。
标准范数是欧几里得范数，也就是向量的模长。
内积：内积是一个向量空间中定义的二元函数，它满足线性性和对称性。
对于实向量空间中的两个向量，内积定义为它们的点积积分。
对于复向量空间中的两个向量，内积定义为它们的共轭积的积分。
完备性：完备性是一个在泛函分析中很重要的概念，它指函数空间中存在极限。
对于一个函数序列，如果其所有元素的范围在函数空间中，则该函数序列完备。
集合的紧性：一个函数集合是紧的，当且仅当它满足一直存在最小诺依曼-阿克马兹斯基定理（弱紧定理）。
分离性：在泛函分析中，分离性是指向量空间中可以找到保证它们不等同的闭子空间的一对向量。
这对向量的分离距离是它们之间的最小距离。
分离性是基本的、非常重要的概念，因为它形成了许多定理和原理的基础。
三、泛函分析的应用泛函分析在实际问题中的应用非常广泛，例如：1、量子力学：量子力学中的哈密顿算子可以被视为一个泛函，而波函数则可以被视为一个函数。
高等数学中的泛函分析及其应用
泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的集合，而不仅仅是研究函数本身。
泛函分析的应用非常广泛，涉及许多科学领域，如物理学、工程学和经济学等。
在高等数学中，泛函分析可以为我们提供更深入的数学理解和应用的工具。
泛函分析的核心概念是泛函，它是一个从函数空间到实数域的映射。
泛函可以看作是函数的函数，它将一个函数映射为一个实数。
泛函分析的基本研究对象是线性泛函，它满足线性性质和有界性质。
泛函分析的一个重要应用是在优化问题中的最优化理论。
最优化问题是研究如何在给定的约束条件下找到函数的最小值或最大值。
通过引入泛函分析的方法，可以将最优化问题转化为一个函数空间中的问题。
通过研究泛函的性质和约束条件，可以找到最优解，并给出相应的优化算法。
另一个重要的应用领域是偏微分方程的理论与求解。
偏微分方程是描述自然界中许多物理现象的数学工具。
通过泛函分析的方法，可以将偏微分方程转化为一个变分问题，即找到一个函数使得泛函取得极值。
通过研究泛函的性质和约束条件，可以得到原偏微分方程的解。
泛函分析的方法在偏微分方程的理论研究和数值求解中都有着重要的应用。
除了最优化和偏微分方程外，泛函分析还在其他许多领域中具有重要应用。
在信号处理领域，泛函分析可以用于信号的重构和信号的最优化补偿。
在概率论和统计学中，泛函分析的方法可以用于研究随机过程和随机变量的性质。
在控制理论中，泛函分析可以用于研究控制系统的稳定性和鲁棒性。
总之，泛函分析是高等数学中的一个重要分支，它研究的是函数的集合，涉及的应用领域非常广泛。
泛函分析在最优化问题、偏微分方程、信号处理、概率论、统计学和控制理论等领域都有着重要的应用。
通过泛函分析的方法，可以深入理解数学问题，提供强大的工具和技巧来解决实际问题。
在学习高等数学时，我们应该积极探索泛函分析的相关知识，不仅可以拓宽我们的数学视野，还可以为我们未来的学习和研究打下坚实的基础。
泛函分析的发展也将进一步推动数学和其他学科的交叉融合，为科学进步和技术创新提供有力支持。
泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。
并介绍当前非线性分析中部分动态。
$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。
所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。
其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。
根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。
力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。
对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。
从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。
同时带有拓扑和代数结构。
所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。
有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。
这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。
由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。
泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。
线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。
但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。
每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。
线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。
就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。
于是，具有这两个空间中所有概念。
例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。
即任何柯西序列是否为收敛序列。
（iv）Banach空间。
它是完备的线性赋范空间。
完备性使该空间具有十分良好的性质。
例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。
（v）内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函数的性质。
在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。
泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
1.线性空间与拓扑空间：泛函分析的基础是线性空间的理论。
线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。
泛函分析还引入了拓扑空间的概念，拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一些性质。
2.范数与内积：范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。
范数是定义在线性空间上的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。
范数可以用来度量向量的大小。
内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对称性、线性性和正定性。
3.完备性和紧性：完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。
完备性是一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定义距离的空间。
紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。
紧性常用于分析序列在空间内的收敛性。
4.泛函空间和对偶空间：泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条件的函数构成的空间。
常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。
函数空间还可以定义内积、范数等结构。
对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。
5.泛函的连续性和收敛性：泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。
在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。
类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。
6.算子：算子是泛函分析中一个重要的概念，它是一种将一个空间映射到另一个空间的映射。
线性算子是指满足线性性质的映射，而有界算子是指满足一定范围内的性质的映射。
算子可以是线性差分方程、微分算符等。
7.泛函分析在物理学和工程学中的应用：泛函分析在物理学和工程学中有广泛的应用。
瞎扯数学分析3、泛函分析简介
瞎扯数学分析3、泛函分析简介先声明一下，这篇帖子对数学基础不好或者抽象能力不强的人不友好，建议不要浪费时间。
不过希望工程师们看看，也许有启发，因为泛函分析现在是高水平工程师混饭吃的标配，傅立叶变换，小波分析，最优控制，数学规划，资源最优配置，偏微分方程数值求解，有限元分析，弹性力学数值计算等等等等，基础都是泛函分析。
这是介绍数学思维方式的最后一部分。
主要介绍抽象思维的强大。
由于泛函分析是古典数学和现代数学的桥梁，是古典数学分析，代数和几何以现代观念交叉在一起发展起来的学科，是数学承先启后的门槛，又有广泛的应用，既是所有优化资源配置技术的基础，又是所有控制技术的基础，更是化繁为简的利器。
我在实际工作中体会是几门数学学科在实际应用上的地位是：微积分就像是钢丝钳，粗活细活都能干，凡是能够定义连续因果关系的问题，用微积分试一下没错；线性代数就像是螺丝刀，凡是离散问题，定义线性关系，就能试图找一下构造基（特征根），把问题分解投影到基上，就能分而治之；数理统计就象是扳手，碰到没有明显因果关系的糊涂乱麻问题，先寻找一下趋势外推或线性拟合，找一下统计相关性；实在碰到无法下嘴的问题，只能是数值逼近或数值模拟了。
不过泛函分析是很特殊的工具，类似电钻，可以把困难问题彻底击穿，找到本质。
当然数理方程是工程师的电锯，有招没招锯一下，大卸八块找原理。
作为一个现代工程师，如果工具箱里没钢丝钳，螺丝刀，扳手，榔头，电钻，电锯，可能心中没底，觉得自己全身赤裸，裸奔的工程师，没法见人。
其实现在工程师会不会计算并不重要，因为现在都有现成的计算软件包，关键是在一堆现象中发现问题，定义问题关键因素，并对解决问题知道用什么工具。
泛函分析是把代数（泛函分析有人就称为无穷维空间线性代数），分析（泛函就是把函数当成自变量的广义函数），几何（泛函分析的主要对象之一就是函数组成的赋范空间）整合在一体的学科，是现代数学的门槛，学过泛函分析，基本就算看到现代数学大门了。
midas_FEA在桥梁工程中的应用
Midas FEA在桥梁工程中的应用资料制作日期：2008.10.13对应软件版本：FEA 1.0 随着桥梁工程技术的发展，对于有限元分析得要求也越来越高端，诸如：遇到“宽桥、异型桥、锚固端等复杂结构的受力状态”、“桥有裂缝了还能不能用，若要加固需要怎样加固？”等问题的时候，现有的三维杆系有限元软件远远不能达到计算需求。
midas FEA是“目前唯一全部中文化的土木专用非线性及细部分析软件”，它的几何建模和网格划分技术采用了在土木领域中已经被广泛应用的前后处理软件midas FX+的核心技术，同时融入了MID AS强大的线性、非线性分析内核，并与荷兰TNO DIANA公司进行了技术合作，是一款专门适用于土木领域的高端非线性分析和细部分析软件。
下面针对midas FEA在桥梁工程中的应用进行说明，并通过预应力钢筋混凝土箱梁桥例题详细介绍midas FEA预应力钢筋混凝土裂缝模拟：1. Midas FEA在桥梁工程中的应用(1)详细分析锚固区域的设计弯桥的翘曲应力验算受力复杂区域验算多支座反力的准确计算横向分析全桥仿真（2）特征值分析(自振周期、线性屈曲)局部失稳详细的扭转模态（3）时程分析(反应谱分析、时程分析)整体式桥梁抗震时的整体联动效果（4）材料非线性/几何非线性分析（5）界面单元计算钢混叠合梁的剪力钉数量模拟混凝土的离散裂缝(弯曲裂缝)、膨胀裂缝（剪切裂缝计算钢筋和混凝土之间的粘结滑移计算钢板加固方案中钢板与混凝土的粘接特性模拟混凝土与混凝土之间冷缝（6）钢筋单元桁架＋混凝土单元：完全耦合无相对位移桁架+界面+混凝土单元：完全耦合有相对位移钢筋单元+母单元（嵌入式钢筋）：不必耦合由实体节点应变映射到钢筋单元节点上，可考虑摩擦损失、钢筋回缩损失、弹性变形损失、收缩和徐变损失。
嵌入式钢筋（7）裂缝模型钢筋混凝土结构的裂缝分析(极限承载力计算)结构的详细分析钢束锚固区在使用状态下的安全性验算模拟螺旋筋和箍筋的约束作用下或钢管等约束作用下混凝土强度的提高（8）接触分析钢梁的螺栓、铆钉连接拱桥吊杆与销拴的接触主缆与鞍座的接触（9）疲劳分析钢桥的疲劳分析（10）热传递分析(火灾分析等)浇注式沥青铺装（11）水化热分析高温沥青浇注分析地铁火灾分析大体积混凝土裂缝分析（12）CFD分析桥梁断面快速优化计算三分力系数桥梁抗风稳定性生命周期损伤度2. Midas FEA 钢筋混凝土结构裂缝例题Midas FEA 作为一种非线性及细部分析软件，能够准确方便的模拟桥梁工程中经常发生一种力学现象——混凝土开裂。
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应用泛函分析解决桥梁工程中的一个问题摘要：本文简单介绍泛函分析方法和在力学和桥梁工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法等。
并通过两个例子来说明泛函在力学和桥梁工程当中的应用。
关键词：泛函变分法桥梁工程中图分类号：U441.5一泛函分析概述泛函分析（Functional Analysis）其研究的主要对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。
无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力学等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。
根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。
力学和桥梁工程中常见的有：1、度量空间：现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。
19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。
20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。
这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。
定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。
若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。
称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。
2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。
希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。
对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。
3、巴拿赫空间理论（Banach space）巴拿赫空间理论是1920年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广supnnx x，巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之一。
数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。
4、内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。
使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。
力学家和桥梁工程师对此尤感兴趣。
由于内积可诱导范数，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。
与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；5、Hilbert空间。
它是完备的内积空间，内容最丰富。
例如Fourier展开、Bessel 不等式和Parseval等式等。
由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。
6、线性算子：泛函分析另一内容是算子理论。
它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。
对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。
对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。
其中对偶（共轭）空间尤为重要。
据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。
在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。
例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。
为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。
除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅。
出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
线性算子与线性泛函 设x 、Y 是两个（实数或复数域上的）线性空间，T 是x 到Y 的映射。
T 的定义域和值域分别记为D (T )、R (T )。
如果对任何数α、β和x 1、x 2∈D (T )，满足αx 1+βx 2∈D (T )，并且 ()1212T x x Tx Tx αβαβ+=+，则称T 是以D （T ）为定义域的x 到Y 的线性算子。
特别当D (T )=x ，Y 是实数域或复数域时，称T 是x 上的线性泛函。
例1,设x =C [α,b ]([α,b ]上的连续函数全体), K (t ,s)是[α,b ]×[α,b ]上的二元连续函数，定义()()()(),ba Tx tt K t s x s ds =⎰，则T 是x 到x 的线性算子。
例3,设x =C [α,b],则()1,ba T x K t s dt =⎰,T 2x =x (t 0)(t 0是[α,b ]中取定的一个点)都是x 上的线性泛函。
线性算子的运算 设T 1、T 2是x 到Y 的线性算子,它们的定义域分别是D (T 1)、D (T 2)。
对任一数α,规定αT 1表示以D (T 1)为定义域，而对任何 x ∈D (T 1),(α T 1)x =α(T 1x )的算子规定T 1+T 2表示以D (T 1)∩D (T 2)为定义域，而对任何()()()121212,x D T D T T T T x T x ∈+=+的算子。
易知αT 1（称T 1的α倍）,T 1+T 2(称T 1与T 2的和)仍是线性算子。
又设T 3是以D (T 3)为定义域的Y 到Z 的线性算子，规定T 3·T 1（也记作T 3T 1）表示以为定义域而对任何的算子。
综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、桥梁工程和其它实用学科的规律。
然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和桥梁工程人员较易接受。
因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。
后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。
二 泛函分析主要定理与特性1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。
2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。
3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何将一个算子保范数地从一个子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。
4. 开映射定理和闭图像定理。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n 维空间可以用来描述具有n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
三泛函观点下的近代结构理论为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。
经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。
Oliveira以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures）”。
该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。
固体响应的一般模型举例1，给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场X =（e，σ）称为结构场。
若还满足--应变位移方程、初应变条件、位移边界条件（非协调系统）力应力方程，力边界条件（外力系统）称之为协调场平衡场，既协调又平衡的场称为精确场。
记全体结构场的集为X，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上范数：X= X=X成为Banach空间。
对于任给的协调场外力系统，X中与之协调平衡的所有结构场构成X的等协调等平衡子集。
X的全体等协调等平衡子集类记为IE∈Γ∈N。
通常，假定等协调和等平衡子集之交仅包含一个元。
于是，可建立X的元与笛卡尔积Γ⨯N（记为A）的元之间的一一对应，X = x（I，E）。
称AX为外部作用响应空间。
由功原理得到的总势余能原理表明：精确解使总E*IT XT X势能（）余能（）在IE协调场集平衡场集上表达到驻值。
临近两个结构场X和X+h的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d（X+h，X）= 1ed2δΩΩ⎰，因为此时满足22**[(,)]()()[(,)]()()E EI Id x h x T x h T xd x h x T x h T x+=+-+=+-。
2，把结构场空间X中满足协调方程、位移边界条件平衡方程、力边界条件的子集C称为X的约束子集。
在X上有连续泛函类Φ={ϕ}，其中泛函ϕ在每个约束子集C上有极小点s。
对给定的ϕ，各种约束子集C的这种s之全体构成X的最小子集M。
若两个结构场属同一约束最小子集，称它们是等约束等最小的。
通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。
3，在弹性体各种可能状态集中，若配上弹性能（f，f）作为范数，得到Banach空间。
若配上两个状态的“相互作用能”（ˆf，ˆˆf）（例如（（ˆf，ˆˆf）= 2ije dσΩΩ⎰1ij）作为内积，得到Hilbert空间H，称为状态空间。