泛函分析在力学和工程中的应用
泛函分析中的变分法应用实例
泛函分析中的变分法应用实例泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间和变量的关系。
其中，变分法是泛函分析中的一种重要方法，用于求解极值问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学等领域，本文将介绍一些泛函分析中变分法的应用实例。
一、最小曲率问题最小曲率问题是变分法应用的一个经典问题，用于求解平面曲线问题中的最小曲率曲线。
假设有一条曲线C，其自变量为弧长s，函数表达式为y=f(x)。
我们的目标是寻找一个函数f(x)，使得曲线C的曲率最小。
为了求解最小曲率问题，我们需要构建一个能量泛函，定义如下：J(f)=∫√(1+(f'(x))^2)dx其中，f'(x)表示函数f(x)的导数。
我们的目标是求解泛函J(f)的极小值。
通过变分法，我们可以得到极值条件：- d/dx[(f'(x))/√(1+(f'(x))^2)]=0求解上述方程，可得最小曲率曲线。
二、最小作用量问题最小作用量问题是经典力学领域中的一个重要问题，用于描述物体在给定条件下的最优运动轨迹。
假设物体的运动轨迹为函数y=f(x)，我们的目标是找到一个函数f(x)，使得物体的作用量最小。
为了求解最小作用量问题，我们需要构建一个作用量泛函，定义如下：S(f)=∫(L-f'(x))dx其中，L是拉格朗日函数，f'(x)表示函数f(x)的导数。
我们的目标是求解泛函S(f)的极小值。
通过变分法，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程：- d/dx(dL/df'(x))+dL/df(x)=0求解上述方程，可得物体的最优运动轨迹。
三、最小表面积问题最小表面积问题是几何学中的一个经典问题，用于寻找能够连接给定边界条件的曲面中面积最小的曲面。
假设曲面的参数方程为S(u,v)，我们的目标是找到一个曲面S(u,v)，使得其表面积最小。
为了求解最小表面积问题，我们需要构建一个表面积泛函，定义如下：A(S)=∬√((S_u)^2+(S_v)^2+1)dudv其中，S_u和S_v是曲面S(u,v)的偏导数。
数学物理学中的泛函分析及其应用
数学物理学中的泛函分析及其应用泛函分析是数学物理学中的一门重要学科，是研究函数空间及其上的映射的数学分析学科。
它涵盖了数学和物理很多领域中的重要论题，包括微积分，变分法，偏微分方程，量子力学等。
在科学研究和工程应用中，泛函分析发挥着极为重要的作用。
本文将介绍泛函分析及其应用。
一、泛函分析的概念泛函是一个映射，它把一个函数空间中的函数映射到一个标量域上的函数。
泛函分析是对这些映射的研究，它是基于函数空间的理论和方法。
泛函分析的目标是找出函数空间和其上的线性算子的基本性质和规律，研究它们的逼近和收敛性质以及存在性和唯一性等问题。
泛函分析的重要概念包括：线性空间、范数、内积、拓扑、紧算子、自伴算子等。
线性空间是指函数集合中的任意两个函数满足加法和数乘封闭性的集合。
范数是定义在线性空间上的一种实数函数，符合非负性、齐性和三角不等式。
内积是一个函数空间中的二元运算，它满足线性性和正定性。
拓扑是指函数空间中元素间的近似关系，定义了开集和闭集，并定义了连续性、紧性等概念。
紧算子是指将一个无限维线性空间中的元素映射到一个有限维线性空间的算子。
自伴算子是指满足自我共轭性质的线性变换。
二、泛函分析在物理学中的应用泛函分析在物理学中有着广泛的应用。
物理学中的方程和算子一般都具有函数变量，因此把物理问题转换为泛函问题，就可以运用泛函分析方法解决它们。
以下简单介绍几个物理学中泛函分析的应用：1.偏微分方程：泛函分析在偏微分方程中应用广泛，特别是在非线性偏微分方程的研究中。
例如，用变分法解决非线性偏微分方程的问题，就涉及到泛函分析中的极值问题和约束问题。
2.量子力学：量子力学中的波函数就是定义在函数空间上的一个元素，因此泛函分析在量子力学中也有着广泛的应用。
例如，量子力学的本征方程中的算子就是线性空间中的元素，因此可以利用泛函分析中的算子理论来解决这些问题。
3.碟形电机：泛函分析在碟形电机中应用广泛。
作为一种电子器件，碟形电机的设计和制造需要精确的电控理论。
泛函微分方程应用
泛函微分方程应用
泛函微分方程是数学中重要的一个分支，它研究的是函数的泛函和其导数之间的关系。
泛函微分方程的应用十分广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等各个领域。
在物理学中，泛函微分方程被广泛应用于描述自然界中的各种现象。
比如，在量子力学中，薛定谔方程就是一个典型的泛函微分方程，描述了微观粒子的行为。
在电磁学中，麦克斯韦方程组也是泛函微分方程的一个例子，描述了电磁场的演化规律。
在工程学中，泛函微分方程的应用更是无处不在。
比如，在控制论中，我们常常需要根据系统的状态来设计控制器，这就涉及到求解一个最优化问题，而最优化问题通常可以转化为泛函微分方程。
另外，在材料科学中，泛函微分方程也被用来描述材料的性能和行为，从而指导材料的设计和制备。
在经济学中，泛函微分方程被广泛应用于金融工程和风险管理领域。
比如，在期权定价中，布莱克-斯科尔斯方程就是一个著名的泛函微分方程，用来描述期权价格的演化规律。
另外，在金融风险管理中，泛函微分方程也被用来建立风险模型，从而对金融市场的风险进行评估和管理。
泛函微分方程的应用十分广泛，几乎涉及到所有的科学和工程领域。
它不仅可以帮助我们理解自然现象的本质，还可以指导我们解决实
际问题。
因此，研究和应用泛函微分方程具有十分重要的意义，对于推动科学和技术的发展都起着不可忽视的作用。
泛函分析
泛函分析论文（数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036）摘要：本文简单介绍泛函分析方法的基本理论，以及其在力学和工程的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。
关键字：泛函分析1.引言泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题，可看作无限维的分析学。
2．泛函分析概述2.1泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是由于欧几里得第五公社的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
这种相似在积分方程论中表现的更突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，都存在着类似的地方。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α，b]([α，b]上连续函数的全体)，F是实数域，当{?n}一致收敛于? 时，T?n→T?的情况下，将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一，并且有极大任意性。后来在实l2空间上，弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示，即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909～1910年又相继给出C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间（又称向量子空间）上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始（中间经过第一次世界大战的中断），直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同时还有N.维纳）独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法，给出现今常见的证明。1922～1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明，并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间（共轭空间）K（当时称为极空间）。两年后，巴拿赫用同样方法也得到同样结果（后来，他承认哈恩的优先权），并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923～1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩，把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。
什么是泛函分析及其应用
泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无穷维向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
泛函分析中经常用到的基本概念包括范数、内积和度量等。
范数是用来衡量向量的大小的一种数学工具，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积则是定义了向量空间中的两个向量之间的夹角和长度之间的关系，它是一种更加广义的概念，包括了点积、矩阵的迹和函数的积分等。
度量则是一种用来衡量向量空间中的元素之间距离的函数。
泛函分析的核心研究对象是线性空间中的函数。
线性空间是指满足线性结构和空间结构的集合。
在泛函分析中，我们关注的是函数的性质和行为，而不仅仅是函数的数值。
泛函是一种从函数空间到数域的映射，它对应于一个实数或复数。
泛函可以对函数空间中的函数进行排序和比较，并且可以通过泛函的性质和行为来推断函数的性质和行为。
泛函分析的应用非常广泛。
它在工程领域中可以用来解决控制系统、信号处理和图像处理等问题。
例如，在控制系统中，泛函分析可以用来描述系统的稳定性和性能指标，通过对控制器进行优化，实现对系统的最优控制。
在信号处理和图像处理中，泛函分析可以用来对信号进行分析和重构，提取信号中的信息并去除噪音。
在物理学中，泛函分析可以用来描述多体系统和量子力学问题。
例如，泛函分析可以用来研究无限维的希尔伯特空间中的粒子的运动和性质，并且可以通过泛函的极值性质来解决量子力学中的变分问题。
在经济学中，泛函分析可以用来解决经济学模型和经济学问题。
例如，在宏观经济学中，泛函分析可以用来描述经济系统的动态行为和稳定性，通过构建适当的泛函和约束条件，可以对经济系统进行最优化问题的求解。
总之，泛函分析是一门重要的数学分支，它研究的是向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
通过泛函分析的方法和工具，我们可以更好地理解和描述自然界和人类社会中的一系列现象和问题。
泛函分析简介
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
举例说明泛函
举例说明泛函泛函是数学中的一个重要概念，它是一种将函数映射到实数的运算，广泛应用于各个数学分支和科学领域。
下面将从不同领域举例说明泛函的应用。
1. 物理学中的作用量泛函（Action functional）：作用量泛函是描述一个物理系统的运动的数学工具。
例如，对于一个质点在空间中的运动，其路径可以用函数来表示。
作用量泛函则用来描述这个路径的特性，它是路径上的一个积分，其被积函数是质点的能量减去势能。
通过变分计算，可以得到质点的运动方程。
2. 经济学中的效用函数（Utility function）：效用函数是描述个体对不同选择的偏好程度的函数。
在经济学中，人们往往根据效用函数来进行决策。
例如，假设一个人在购买商品时，他的效用函数是关于商品数量的函数，他会选择使效用最大化的商品数量。
3. 最优控制理论中的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）：这是一类非线性偏微分方程，用于描述最优控制问题。
在最优控制问题中，我们希望找到一个控制策略，使得某个性能指标最小化或最大化。
哈密顿-雅可比-贝尔曼方程是用泛函分析的方法来解决这类问题的重要工具。
4. 概率论中的特征函数（Characteristic function）：特征函数是描述随机变量分布的函数，它的定义是随机变量的期望值的复指数。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用，例如用于推导中心极限定理、计算随机变量的矩等。
5. 控制理论中的最优估计问题（Optimal estimation problem）：在控制系统中，我们希望通过对系统状态的估计来进行控制。
最优估计问题就是要找到一个估计器，使得估计误差最小。
通过最小化估计误差的泛函，可以得到最优估计器。
6. 泛函分析中的傅里叶变换（Fourier transform）：傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的操作，它是泛函分析中的一个重要工具。
傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域有广泛应用，可以对信号进行频谱分析、滤波等操作。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。
并介绍当前非线性分析中部分动态。
$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。
所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。
其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。
根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。
力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。
对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。
从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。
同时带有拓扑和代数结构。
所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。
有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。
这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。
由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。
泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。
线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。
但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。
每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。
线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。
就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。
于是，具有这两个空间中所有概念。
例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。
即任何柯西序列是否为收敛序列。
（iv）Banach空间。
它是完备的线性赋范空间。
完备性使该空间具有十分良好的性质。
例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。
（v）内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
例如：长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。
使抽象泛函空间涂上浓厚的几何色彩。
力学家和工程师对此尤感兴趣。
由于内积可诱导番薯，内积空间是特殊线性赋范空间，但反之不然。
与普通欧式空间最相像的应数下述Hilbert空间；（vi）Hilbert空间。
它是完备的内积空间，内容最丰富。
例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。
由于本文讨论泛函的力学应用，必须提及的最后一类空间是Sobolev空间。
（vii）Sobolev空间W m,p（Ω）（p ≥1，m≥0）[3]。
它是由L p（Ω）空间中可以连续求m阶分布导数的函数u组成的子空间，并配上Sobolev空间。
它是特殊的线性赋范空间。
其中，分布导数是普通导数的推广，对于性质极差的Dirac delta之类的广义函数，也能求分布导数。
因此，对函数的“光滑程度”提供更一般、更精确的含义。
由于Sobolev嵌入定理，可以通过找弱解来讨论偏微分方程的定解问题。
p=2这类Sobolev空间特别重要，它是特殊的Hilbert空间，记之为H m（Ω），称作Hilbert-Sobolev空间。
泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。
它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。
对于单个算子，可引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全连续等性质。
对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。
其中对偶（共轭）空间尤为重要。
据此，可引入自共轭（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。
在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。
例如ˆGatean 微分，Fr échet 微分和次微分等。
为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。
除了上述各类泛函空间和算子理论外，目前仍在不断深入发展，有关新的尤其适用于非线性问题的函数空间可参阅[4] 。
综上所述，泛函分析是测度论、代数、几何和分析（拓扑）的综合性学科，它的高度抽象性使该学科更深刻、更广泛地反应各种复杂的力学、工程和其它实用学科的规律。
然而，借助几何工具，它们在Banach 空间，尤其在Hilbert 空间获得直观几何解释，使力学和工程人员较易接受。
因此，该学科不仅为应用数学家所欣赏，也为广大力学人员所重视。
后者的队伍中不仅包括理论工作者，也包括实验和设计人员。
但由于泛函分析的难度，正如[5]所述，若把应用数学家和实用科学工作者（力学家和工程师等）比拟为两支队伍，分别从山的两端挖地道，他们应该在精确解那个位置相遇。
从目前状况而言，后面这支队伍人员严重不足。
基于这一情况，本文打算从力学和工程角度，对泛函方法的特点及实际应用作不全面的介绍，以引起抛砖引玉的作用。
$ 2 泛函观点下的近代结构理论众所周知，为研究固体平衡与变形，已提出多种模型（三维、二维、一维和离散模型等）。
经典固体理论（弹性、板壳和杆等）立足于上述诸模型求解平衡与变形的种种具体问题。
Oliveira [6][7]以有限元和板壳理论为背景提出“结构的数学理论（The Matrematical Theory of Structures ）”。
该理论不涉及具体解法，而是用近代泛函工具建立一般的响应模型，考察各具体模型的类同性，并研究由一个模型生成另一模型的可能性和合理性。
固体响应的一般模型举例1. 给定某弹性结构，把满足应力-应变方程的任一对应力场和应变场 X = （e ，σ）称为结构场。
若还满足-- 应变位移方程、初应变条件、位移边界条件（非协调系统）力应力方程，力边界条件（外力系统）称之为 协调场平衡场既协调又平衡的场称为精确场。
记全体结构场的集为X ，按应变和应力分别引入线性运算，然后配上如下范数X = X = X 成为Banach 空间。
对于任给的 协调场外力系统，X 中与之协调平衡的所有结构场构成X 的等协调等平衡子集。
X 的全体等协调等平衡子集类记为I E ∈Γ∈N 。
通常，假定等协调和等平衡子集之交仅包含一个元。
于是，可建立X 的元与笛卡尔积 Γ⨯N （记为A ）的元之间的一一对应，X = x （I ，E ）。
称A X 为外部作用响应空间。
由功原理得到的总势余能原理表明：精确解使总E *I T X T X 势能（）余能（）在I E 协调场集平衡场集上表达到驻值。
临近两个结构场X 和X+h 的距离除了用范数定义外，更方便地另行定义为d （X+h ，X ）= 1ed 2δΩΩ⎰，因为此时满足 22**[(,)]()()[(,)]()()E E I I d x h x T x h T x d x h x T x h T x +=+-+=+- 2. 把结构场空间X 中满足协调方程、位移边界条件平衡方程、力边界条件的子集C 称为X 的约束子集。
在X 上有连续泛函类Φ={ϕ}，其中泛函ϕ在每个约束子集C 上有极小点s 。
对给定的ϕ，各种约束子集C 的这种s 之全体构成X 的最小子集M 。
若两个结构场属同一约束最小子集，称它们是等约束等最小的。
通常，每个最小子集和约束子集之交仅一个元，就是精确解。
3. 在弹性体各种可能状态集中，若配上弹性能（f ，f ）作为范数，得到Banach 空间。
若配上两个状态的“相互作用能”（ˆf ，ˆˆf ）（例如（（ˆf ，ˆˆf ）= 2ij e d σΩΩ⎰1ij ）作为内积，得到Hilbert 空间H ，称为状态空间。
有两条途径产生非零状态：（i ）外力系p 在位移系u 上做功，产生“载荷应力状态f ´，即（f ´，f ´）=p u 。
全体f ´构成“载荷应力状态空间”H ´；（ii ）因材料缺陷（例如位错等）或热应力等使弹性系统不再与内蕴欧几里德几何或刚性支撑协调，即使无外力仍呈现非零状态，称为“自应力状态”f ´´。
若η表示几何非协调测度（例如非协调张量、Burgers 向量或刚性支撑偏差），x 表示相应的应力函数，则（f ´´，f ´´）= x η。
全体f ´´构成“自应力状态空间”H ´´。
于是，状态空间H = H ´⊕H ´´。
其中⊕是直和，意味着载荷应力和自应力直交：（f ´，f ´）=0 。
这构成Prager 和Synge [8]超圆方法的基础。
利用一般响应模型（例如以上第2种）可以描述结构分析的模型生成理论（例如有限元中由连续模型生成离散模型，板壳中由三维模型生成二维模型）。
过程如下：利用势余能方法，参照原模型定义新模型的应变和位移应力和接触力，并把--应力位移力应力方程和位移力边界条件移植于新模型。
据此在原结构场与新结构场之间建立对应关系——现行算子B 1：y=B 1x ，x ∈X ，y ∈Y 。
从而在Y 中（和X 一样）也可考虑平衡协调方程。
作某种限制（例如板壳的Kirchboff 假定，杆的Bernoulli 假定，有限元的允许场）使Y 的元和子集X ´⊂X 的元之间建立又一对应关系——线性算子B 2：x ´ = B 2y ，x ´∈X ´，称X ´为允许场空间。
称算子B= B 1 B 2：X -> X ´为内插算子。
X 中等约束等最小元的B 象在X ´中也等约束等最小。
然而，一般讲这些象元在X 中不一定等约束等最小。
特殊地，若内插算子B 使X ´中任二个等约束等最小元的B 象在X 中也等约束等最小，称B 是共形算子。
另引入算子X -> X ´ ，它把X 的每个约束与最小子集之交x 对应于X ´中相应的约束与最小子集之交x a ，称算子A 为近似算子。
把上述x ∈X 的A 象元x a ´∈X ´称为x 在X ´中的近似元。
有限元（和板壳）理论相当于把求泛函ϕ在C 上的最小值s 这个变分问题，近似为求ϕ在C ´上的最小值s a ´。
由于一般地C´⊄C ，它和Ritz 法不同。
因此得寻求新的收敛定理，以鉴别由有限元生成的离散模型或由板壳理论生成的低维模型的合理性，即须作收敛分析。
Oliveira [7]曾给出估计近似值的基本定理d 2（s ，s a ’）≤δϕ+a δϕ。
在Ritz 法中则为d （s ，s a ’） ≤ d （s ，s ’）。
因此，收敛分析归为两步：（i ）确定与精确解等约束的场s a ，并用近似解内插；（ii ）对精确解和近似解的泛函变分δϕ和a δϕ作量级估计。