应用泛函分析习题解答

d1 (α1 , α 2 ) = d X ( x1 , x2 ) + dY ( y1 , y2 ) ；
2 d 2 (α1 , α 2 ) = d X ( x1 , x2 ) + dY2 ( y1 , y2 )
可以验证 d1 与 d 2 均是 X × Y 的度量。 关于 d1 的验证很容易，略去，我们仅验证 d 2 。 对于任意的 α1 = ( x1 , y1 ) ， α 2 = ( x2 , y2 ), α 3 = ( x3 , y3 ) ∈ X × Y ，
m∈M
≤ λ || x − x1 || + (1 − λ ) || x − x2 ||= inf || x − m ||
所以 || x − ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ||= inf || x − m || ，即有 λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ K x 。所以 K x 是一
映射。 11. 证明：对任意的 x, y ∈ S ，且 x > y
| Tx − Ty |=|
1 1 1 + x − − y |≤ ( x − y )(1 − ) <| x − y | 。 x y xy
假如 T 在 S 上有不动点 x0 ∈ S ，则由 Tx0 = x0 可知
x0 +
1 = x0 ， x0 ≥ 1 x0
2 2 2 ≤ dX ( x1 , x3 ) + d X ( x3 , x2 ) + dY2 ( y1 , y3 ) + dY2 ( y3 , y2 ) 2 ( x1 , x3 ) + dY2 ( y1 , y3 ) ) + 2(dX 2 ( x1 , x3 ) + dY2 ( y1 , y3 ) ) = (dX 1/ 2
所以，对任意的 x ∈ [a, b] ， lim f n ( x) = f ( x) ，由于 f n ( x) ≥ 0 ，对 n ≥ 1, x ∈ [a, b] ，
n →∞
所以 f ( x) ≥ 0 ，对 x ∈ [a, b] ，即有 f ∈ K 。这样 K 就是闭集。
6 证 明 ： 不 妨 设 X 是 非 平 凡 的 ， 即 含 有 非 零 向 量 。 对 于 任 意 的 n, m ≥ 1 ， 由
d 2 (α1 , α 2 ) ≥ 0 ， d 2 (α1 , α 2 ) = 0 ⇔ α1 = α 2 ， d 2 (α1 , α 2 ) = d 2 (α 2 , α1 ) 是显然的。
2 d 22 (α1 , α 2 ) = d X ( x1 , x2 ) + dY2 ( y1 , y2 )
≤ ( d X ( x1 , x3 ) + d X ( x3 , x2 ) ) + ( dY ( y1 , y3 ) + dY ( y3 , y2 ) )
n→∞
λ
|| x ' ||
x'，
则 || x ||= λ ，则 lim x n = x 。
n→∞
7.
证明： （ 1 ）任取子列 xnk
n →∞
{ }
∞
k =1
⊂ { xn } 和 ymk
{ }
∞
k =1
⊂ { yn } ，对于任意的 ε > 0 ，由
lim || xn − yn ||= 0 ，存在自然数 N 使得当 k > N 时， || xk − yk ||< ε 。
1/ 2
2 2 2 2 2 1/ 2 2 1/ 2 ≤ (|| x1 ||2 (|| x2 ||2 ) X + || x2 || X + || y1 ||Y + || y2 ||Y +2(|| x1 || X + || y1 ||Y ) X + || y2 ||Y ) 2 1/ 2 2 1/ 2 =|| x1 ||2 + (|| x2 ||2 X + || y1 ||Y ) X + || y2 ||Y )
2
2 2 ≤ dX ( x1 , x3 ) + d X ( x3 , x2 ) + dY2 ( y1 , y3 ) + dY2 ( y3 , y2 ) + 2d X ( x1 , x3 )d X ( x3 , x1 ) + 2dY ( y1 , y3 )dY ( y3 , y1 )
(d
2 X
( x3 , x2 ) + dY2 ( y3 , y2 ) )
2
(
2 1/ 2
)
=|Baidu Nhomakorabeaλ | f ( x, y ) 。
（3）对 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，
2 f ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = (|| x1 + x2 ||2 X + || y1 + y2 ||Y )
1/ 2
2 2 2 ≤ (|| x1 ||2 X + || x2 || X +2 || x1 || X || x2 || X + || y1 ||Y + || y2 ||Y +2 || y1 ||Y || y2 ||Y )
x + m∈ y + N ， 取 n ∈ N 使得 x + m = y + n ， 则 m = n − ( x − y) ∈ N ， 所以 M ⊆ N 同
理 N ⊆ M 。所以 M = N 。 设 M = N 且x − y ∈ M 。对任意的 m ∈ M ， x + m = y + ( x − y + m) ∈ y + N ，即 有 x + M ⊆ y + N 。类似可证 y + N ⊆ x + M 。所以 x + M = y + N 。 14. 类似。 15.证明略。 16. 证明：对任意 x ∈ X ，由 ( x, u ) = ( x, v ) 可知道，( x, u − v) = 0 。所以，令 x = u − v 可得 || u − v || = ( u − v, u − v ) = 0 ，即 u = v 。
b
∫
b
a
| x(t ) | dt = 0 时， 可知 x(t ) = 0, a ≤ t ≤ b ， 即x=0。
b a
q (λ x) = ∫ | λ x(t ) | dt =| λ | ∫ | x(t ) | dt =| λ | q( x) ；
a
（iii） q ( x + y ) =
∫
b
a
| x(t ) + y (t ) | dt ≤ ∫ | x(t ) | dt + ∫ | y (t ) | dt = q( x) + q( y ) 。
k →∞
, n 。 这 样 就 当 k > N 时 ， 有 d ∞ ( xk , x0 ) < ε ， 即 有
lim d ∞ ( xk , x0 ) = 0 。所以 ( X , d ∞ ) 是完备的。
3.证明：对任意的 α1 = ( x1 , y1 ) 与 α 2 = ( x2 , y2 ) ∈ X × Y ，令
lim ξi( k ) = ξi(0) , i = 1, 2,
k →∞
∞ k =1
为 Cauchy 数列，因此存在 ξi
∈R 使
,n。
记 x0 = (ξ1 , ξ 2 ,
(0) (0)
对任意 ε > 0 ， 由上式， 存在自然数 N 使得当 k > N 时， , ξ n(0) ) 。
| ξi( k ) − ξi(0) |< ε , i = 1, 2,
1/ 2 2
1/ 2
(
1/ 2
2 ( x3 , x2 ) + dY2 ( y3 , y2 ) ) + (dX
)
= ( d 2 (α1 , α 3 ) + d 2 (α 3 , α 2 ) )
2
所以 d 2 (α1 , α 2 ) ≤ d 2 (α1 , α 3 ) + d 2 (α 3 , α 2 ) 。这样 d 2 为 X × Y 上的一个度量（距离） 。 4.证明： 对于任意的 x(t ), y (t ) ∈ C[a, b] ，及 λ ∈ F ， 且当 q ( x) = （i）q ( x) ≥ 0 ， （ii）
⎧ x3 , x ∈ R \ Q 在区间 [0,1) 上的 Lebesgue 积分。 ⎩1, x ∈ Q
n →∞ 1
∫
x3
nx sin x dx 1 + n2 x2 , 0 < x < 1 ，证明
1 = 1 − x + x 2 − x3 + 1+ x 1 1 1 ln 2 = 1 − + − + 2 3 4
a a
b
b
所以 q 为空间 C[a, b] 上的一个范数。
5.证明： 设范数为 || ||∞ 。任取 { f n ( x)}n =1 ⊂ K 使得 f n ( x ) → f ( x) ∈ C[ a, b] 。由于
∞
|| ||∞
| f n ( x) − f ( x) |≤|| f n − f ||∞ ， x ∈ [a, b] 。
第二部分 赋范线性空间
1. 证 明 ： 对 任 意 的 x, y, z ∈ X ， 由 三 角 不 等 式 ， d ( x, y ) + d ( y, z ) ≥ d ( x, z ) ，
d ( y, z ) ≤ d ( y, x) + d ( x, z ) ，于是 d ( x, y ) ≥ d ( x, z ) − d ( z, y ) 和 d ( x, y ) ≥ d ( z , y ) − d ( x, z ) = −[d ( x, z ) − d ( z, y )]
由 于 nk → ∞, mk → ∞ ( k → ∞ ) ， 所 以 存 在 自 然 数 K 使 得 当 k > K 时 ，
nk > N , mk > N ，从而 || xnk − ymk ||< ε 。所以 lim || xnk − ymk ||= 0 ，即这两个子列等同。
k
（2）由 || yn − x ||≤|| yn − xn || + || xn − x || 可知， y n → x(n → ∞ ) 。 8. 证明： （1）对 ( x, y ) ∈ X × Y ， f ( x, y ) ≥ 0 ，且 f ( x, y ) = 0 ⇔ x = θ , y = θ 。 （2）对 ( x, y ) ∈ X × Y 及 λ ∈ F ， f (λ x, λ y ) = || λ x || X + || λ y ||Y
第一部分 预备知识
1. 证明 有理数集 Q 是可数的。 2. 设 A = aij 是一个实的 n × n 矩阵, 证明
( )
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ min ⎨max aij ⎬ ≥ max ⎨min aij ⎬ , 1≤ j ≤ n ⎩ 1≤i ≤ n ⎭ 1≤i ≤ n ⎩ 1≤ j ≤ n ⎭
何时上面的等号成立? 3. 求 f ( x ) = ⎨ 4. 求 lim 5. 试从
这是不可能的。
第三部分
12.解： M = (0, x1 , x2 ,
Hilbert 空间与共轭算子
{
) | ( x1 , x2 , ) ∈ l 2 } 。
13.证明：设 x + M = y + N ， x, y ∈ X 。由 θ ∈ M ∩ M ，显然 y ∈ x + M ，于是存在
m ∈ M 使 y = x + m 。这样 x − y = −m ∈ M 。同理， x − y ∈ N 。对于任意的 m ∈ M ，
|| xn − xm ||≥||| xn || − || xm ||| 可知道， {|| xn ||} 是一个 Cauchy 数列，令 lim || xn ||= λ 。若
λ = 0 ，取 x = θ ，就有 lim x n = x 。当 λ ≠ 0 ，任取 x ' ∈ X ， x ' ≠ θ ，令 x =
1/ 2
= f ( x1 , y1 ) + f ( y2 , x2 )
所以 f 为 Y × X 上的范数。 9. 证明：设 K x 是非空的。对于任意的 x1 , x2 ∈ K x ， λ ∈ [0,1] ， λ x1 + (1 − λ ) x2 ∈ M ，则
m∈M
inf || x − m ||≤|| x − ( λ x1 + (1 − λ ) x2 ) ||=|| λ ( x − x1 ) + (1 − λ ) x2 ||
m∈M
个凸集。
10.解：令 f ( x) =
x 1 1 1 1 + ， | f '( x) |=| − 2 |≤ , x ≥ 1 2 x 2 x 2
对于任意的 x, y ≥ 1 ，由微分中值定理，
| Tx − Ty |=| f ( x) − f ( y ) |≤| f '(ξ ) || x − y |≤| x − y | / 2 ， ξ ≥ 1 ，所以 T 是一个压缩
这样 d ( x, y ) ≥| d ( x, z ) − d ( z , y ) | 。 2.证明：任取 X 的一个 Cauchy 序列 xk = (ξ1 , ξ 2 ,
(k ) (k )
k , l →∞
{
, ξ n( k ) )}
∞ k =1
，由
(0)
lim d ∞ ( xk − xl ) = 0 及知道 {ξi( k ) }