江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟考试

江苏省如东高级中学2008届高三四月份模拟考试 数学试题2008.04.14

姓名 学号 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上

1、集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若BA，则a=__________0,21,31 2、定义运算法则如下：

a,2512,1258412,lglg,2123121NMbababab则M+N= 5 3、、已知)(1562Nnnnan，则数列na的最大项是 第12项和第13项 4、已知x、yR，则不等式组|1|||20yxyxx所表示的平面区域的面积是 ．54

5、已知数列{an}的前n项和122nnSn,则25531aaaa= 350 6、函数sin3yx在区间0,t上至少取得2个最大值，则正整数t的最小值是 8 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,abc，它们相互之间的夹角均为120o，且 |1kabc｜，则实数k的取值范围是 k<0或k>2

8、三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是 15,20,25

9、已知α，β均为锐角，且21sinsin，1coscos3，则cos() 10、A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为 23

11、定义两种运算：ab22ab，2()abab，则函数2()(2)2xfxx的奇偶性为 奇函数 12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的"基本量".设na是公比为q的无穷等比数 列，nS为na的前n项和。下列na的四组量中，一定能成为该数列"基本量"的是第__①_④___组 (写出所有符合要求的组号).①1S与2S；②2a与3S;③1a与na;④q与na.其中n为大于1的整数。 13、已知集合0,Pm，2250,QxxxxZ，若PQ，则m等于 1或2

14、1,2pxqxpq条件：条件：，则是的 充分但不必要条件 条件 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、已知A(3,0),B(0,3),C()sin,cos.

（1）若的值；求)4sin(,1BCAC （2）若|13,(0,)OAOCOBOC｜且，求与的夹角 解：（1）)3sin,(cos),sin,3(cosBCAC 1)3(sinsincos)3(cosBCAC 得1)sin(cos3sincos22 ,32sincos

32)4sin(

（2）13|OCOA｜ ,21cos,13sin)cos3(22 ,23sin,3),,0( ),23,21(C 的夹角为与设OCOBOCOB,233

则

233233||||cosOCOBOCOB

6),0(即为所求。

16、A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x,y,z≥0，且6zyx），B有 一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜 （1）写出A胜的所有基本事件 （2）用x, y，z表示B胜的概率； （3）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？ 解：⑴显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件： ①A1：“A B均取红球”；②A2：“A B均取白球”；③A3：“A B均取黄球”

⑵616)(,316)(,216)(321zAPyAPxAP

,3623)()()()(321zyxAPAPAPAP36

231)(zyxBP

（3）由（1）知3623)(zyxAP，0,0,0,6zyxzyx又 于是32121()36362xyzxzPA 6,0xyz，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为.21

17、已知abcossincossin，，，，其中0。 （1）求证：ab＋与ab－互相垂直； （2）若kab与kab（k0）的长度相等，求。 解析：（1）因为()()ababaabbab＋·－·＋·－22 abab22222222110||||cossincossin

所以ab＋与ab－互相垂直。 （2）kabkk＋，coscossinsin， kabkkcoscossinsin，，

所以||coskabkk221， ||coskabkk221，

因为||||kabkab， 所以kkkk222121coscos， 有22kkcoscos， 因为k0，故cos0， 又因为00，， 所以2。

18、学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程。A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分。全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容。学校规定学生每学期收看选修课不超过1400

分钟，研讨时间不得少于1000分钟。两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 解：设选择A、B两套课程分别为X、Y次，z为学分，则 xy4040x32y140020x40y1000xyN





、

（4分） 图示:（3分）

目标函数 z5x4y （1分） 由方程组解得点A(15,25) , B(25,12.5) 由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分。（4分）

19、定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x1、x2∈D,都有|f(x1)－f(x2)|＜1,则称函数y=f(x)为“Storm函数”．已知函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)． （1）若2a，求过点(1,2)处的切线方程； （2）函数()fx是否为“Storm函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由． 分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值． 解：（1）2()31fxx，2k，切线方程为2yx． （2）函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的导数是f′(x)=3x2－1,

当3x2－1=0时,即x=±33,

当x＜33时,f′(x)=3x2－1＜0;当x＞33时,f′(x)=3x2－1＞0, 故f(x)在x∈［－1,1］内的极小值是a－932．

同理,f(x)在x∈［－1,1］内的极大值是a+932． ∵f(1)=f(－1)=a, ∴函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+932,最小值是a－932, 因为|f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|, 故|f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|=934＜1． 所以函数f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函数”．

20、已知函数1)(xcbxxf的图象过原点，且关于点)1,1(成中心对称. (1) 求函数)(xf的解析式； (2) 若数列}{na满足：2110,1,[()]nnnaaafa，求2a，3a，4a的值，猜想数列}{na的通项公式na，并证明你的结论； (3) 若数列}{na的前n项和为nS，判断nS与2的大小关系，并证明你的结论. (1)解：∵函数1)(xcbxxf的图象过原点， ∴0)0(f即0c， ∴1)(xbxxf. 又函数xbbxcbxxf11)(的图象关于点1,1成中心对称， ∴1b，1)(xxxf .

(2)解：由题意有21)1(nnnaaa 即11nnnaaa， 即1111nnaa，即1111nnaa. ∴数列{na1}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴nnan)1(11，即nan1. ∴21nan. ∴ 412a，913a，1614a，21nan. (3)证明：当),,4,3,2(2nkk时，kkkkkak111)1(112 212)111()3121()211(121nnnaaaSnn

故 2nS