MATLAB数值计算功能
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能下面将详细介绍MATLAB数值计算功能的一些主要方面：1. 矩阵运算和线性代数：MATLAB具有强大的矩阵操作功能，可以直接对矩阵进行加减乘除、求逆矩阵、求特征值等运算。
MATLAB中的线性方程组求解函数（如`linsolve`和`inv`）可以更轻松地解决各种线性代数问题。
2. 数值积分和微分：MATLAB提供了多种数值积分和微分函数，用于求解一元和多元函数的定积分、不定积分、数值微分和数值求导。
例如，可以使用`integral`函数计算函数的定积分，并使用`diff`函数计算函数的导数或`gradient`函数计算梯度。
3. 方程求解：MATLAB提供了一系列函数，用于解决非线性方程和代数方程组。
这些函数包括`fsolve`（用于求解非线性方程），`roots`（用于求解多项式方程的根）和`solve`（用于求解代数方程组）等。
4. 曲线拟合和数据拟合：MATLAB提供了多个函数用于曲线拟合和数据拟合，包括`polyfit`（多项式拟合），`lsqcurvefit`（非线性最小二乘曲线拟合），`interp1`（一维插值）和`griddata`（多维数据插值）等。
这些函数可以帮助用户找到数据之间的模式和关系。
5. 常微分方程（ODE）求解：MATLAB提供了用于求解常微分方程组（ODE）的函数，既可以用传统的数值方法求解，也可以用符号计算求解。
用户可以使用`ode45`、`ode23`或`ode15s`等函数来求解初值问题或边界值问题。
6. 线性最小二乘拟合：MATLAB中的`lsqnonlin`函数可以用于线性最小二乘问题的求解，包括曲线拟合、数据拟合、参数估计等。
用户可以使用该函数来找到使得拟合曲线和观测数据之间残差最小的参数。
7. 数值优化：MATLAB包含一系列优化函数，可以求解常规优化问题、无约束优化问题、约束优化问题等。
用户可以使用函数`fminsearch`、`fminunc`和`fmincon`等来找到函数的最小值或最大值。
MATLAB数值计算功能
MATLAB数值计算功能
MATLAB是一种非常强大的数值计算软件，被广泛应用于科学计算、
工程计算和数据分析等领域。
它提供了丰富的数值计算功能，包括基本的
数学运算、线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法等。
下面将详
细介绍一些常见的数值计算功能。
1.数学运算：
MATLAB提供了丰富的数学函数，可以进行各种基本的算术运算，如
加减乘除、幂运算、取模运算等。
同时，它还提供了一些高级的数学函数，如三角函数、指数函数、对数函数等。
通过这些函数，用户可以进行各种
复杂的数学运算。
2.线性代数：
3.数值积分：
4.微分方程求解：
5.优化算法：
MATLAB提供了各种优化算法，如线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划等。
用户可以通过设定目标函数和约束条件，利用MATLAB的优
化函数寻找最佳的解。
这对于优化问题的求解非常有用，如工程设计、生
产调度等。
6.统计分析：
7.数据可视化：
总之，MATLAB的数值计算功能非常丰富，可以满足各种数学计算和数据分析的需求。
它不仅提供了各种基本的数学运算功能，还提供了高级的线性代数、数值积分、微分方程求解、优化算法和统计分析等功能。
同时，其强大的数据可视化功能也是很多用户选择MATLAB作为数值计算工具的重要原因之一。
高效利用Matlab进行数值计算
高效利用Matlab进行数值计算一、介绍数值计算是计算机科学中的一个重要领域，它涉及到在数值数据的基础上进行各种数学运算和分析。
而Matlab正是一个功能强大，广泛应用于科学和工程领域的数值计算软件。
本文将探讨如何高效利用Matlab进行数值计算，并提供一些实用的技巧和建议。
二、向量化计算在Matlab中，向量化计算是提高计算效率的重要手段之一。
当我们需要对一个向量或矩阵进行运算时，使用循环迭代的方式会导致运算速度较慢。
而利用Matlab强大的矩阵运算能力，我们可以将循环迭代转化为矩阵运算，从而提高计算效率。
例如，假设我们需要计算一个向量的平方和。
使用循环迭代的方式可以写成如下的代码：```matlabvec = [1, 2, 3, 4, 5];sum = 0;for i = 1:length(vec)sum = sum + vec(i)^2;end```而使用向量化计算的方式可以写成如下的代码：vec = [1, 2, 3, 4, 5];sum = sum(vec.^2);```可以看到，向量化计算的代码更简洁、清晰，并且运行速度更快。
因此，在进行数值计算时，我们应尽量采用向量化计算的方式。
三、预分配内存在进行大规模数值计算时，经常会遇到需要创建大量数组的情况。
如果没有提前预分配内存空间，每次进行数组的动态扩展都会引起内存重新分配和数据复制的开销，从而降低计算效率。
因此，我们需要在进行大规模数值计算时，提前预分配好足够的内存空间。
举个例子，假设我们需要生成一个1000×1000的随机矩阵。
使用没有预分配内存的方式可以写成如下的代码：```matlabA = [];for i = 1:1000for j = 1:1000A(i,j) = rand();endend```而使用预分配内存的方式可以写成如下的代码：A = zeros(1000, 1000);for i = 1:1000for j = 1:1000A(i,j) = rand();endend```可以看到，预分配内存的方式不仅代码更简洁，而且运行速度更快。
第二章matlab02数值运算功能2
2.4.3矩阵的关系和逻辑运算 矩阵的关系和逻辑运算
1.矩阵的关系运算符：<, >, <=, >=, = =, ~= 矩阵的关系运算符： 矩阵的关系运算符 • 矩阵之间的每个元素进行比较，运算结果 矩阵之间的每个元素进行比较， 为与原矩阵大小一样的由0 为与原矩阵大小一样的由0和1组成的矩阵 注意：1=<a<=2错误 注意： 错误 例: 1<＝a<=2正确 ＝ 正确
• •
§2.4 矩阵的运算
矩阵的数学运算 矩阵的点(数组 运算 矩阵的点 数组)运算 数组 矩阵的关系和逻辑运算
2.4.1矩阵的数学运算 矩阵的数学运算
矩阵运算符 含义 A’ 矩阵转置 A+B 矩阵相加 A-B 矩阵相减 A*B 矩阵相乘 A/B 矩阵相除（右除） 矩阵相除（右除） B\A 矩阵相除（左除） 矩阵相除（左除） A^n A阵的 n次幂 阵的 次幂
x X = y z
10 B = 5 −1
要解上述的联立方程式， 要解上述的联立方程式，可利用矩阵左除 \ 做运 时要求A、 的行数相等 相等。 算，即：X=A\B， 左除时要求 、B的行数相等。 ， 左除时要求
如果将原方程式改写成 X*A=B，且令 X, A 和 B ， 分别为
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析
学习使用MATLAB进行数值计算和数据分析---第一章：MATLAB的基本介绍MATLAB是一种强大的数值计算和数据分析软件，广泛应用于科学研究、工程设计等领域。
它的主要特点是简洁直观的用户界面和丰富的数学函数库。
在本章中，我们将介绍MATLAB的基本特性和使用方法。
1.1 MATLAB的历史与发展MATLAB是由MathWorks公司于1984年首次推出的。
起初，它作为一个用于矩阵计算的工具被广泛使用。
随着时间的推移，MATLAB逐渐拓展了功能，加入了许多其他数学和工程计算的功能，如符号计算、数据统计和可视化。
如今，MATLAB已经成为一种非常受欢迎的工具。
1.2 MATLAB的安装和环境设置要开始使用MATLAB，首先需要从MathWorks官网下载并安装MATLAB软件。
安装完成后，打开MATLAB并设置工作目录和默认工作文件夹。
工作目录是指存储MATLAB代码和数据文件的文件夹，而默认工作文件夹是指MATLAB打开时默认选择的文件夹。
1.3 MATLAB的基本语法和命令MATLAB的基本语法和命令非常简单易懂。
它采用类似于其他编程语言的命令行交互方式，用户可以直接在命令行输入MATLAB语句并执行。
例如，可以输入"2+2"并按回车键得到结果4。
此外，MATLAB还具有许多内置的数学函数和运算符，可以进行各种数值计算和数据分析。
1.4 MATLAB脚本和函数在MATLAB中，可以使用脚本和函数来组织和执行一系列MATLAB命令。
脚本是一系列命令的集合，可以一次性运行。
函数是一段可以重复使用的代码，可以接受输入参数并返回输出结果。
通过编写脚本和函数，可以提高MATLAB代码的可重复性和可维护性。
第二章：数值计算MATLAB作为一种数值计算工具，提供了丰富的数学函数和算法，可以用于解决各种数值计算问题。
在本章中，我们将介绍MATLAB在数值计算方面的一些常用功能和技巧。
2.1 数值计算方法MATLAB中包含了许多数值计算方法，如数值积分、数值微分、线性代数求解等。
Matlab第6章 数值计算功能
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例 已知x=[-43,72,9,16,23,47]，求向量x 的最大值和最小值。 x=[-43,72,9,16,23,47] y=max(x) %求向量x中的最大值 [y,k]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元 素的位置 z=min(x) %求向量x中的最小值 [z,m]=min(x) %求向量x中的最小值及其该元 素的位置
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2）求矩阵A的最大值和最小值 max(A) 返回一个行向量，向量的第i个元素 是矩阵A的第i列上的最大值。 [Y,K]=max(A) 返回行向量Y和K，Y向量记录A 每列的最大值，K向量记录每列最大值的行号。 max(A,[],dim) dim取1或2。dim取1时，该函 数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返 回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行 上的最大值。 • 求矩阵最小值的函数是min，其用法和max完 全相同。 7
第6章 数值计算功能
张燕 zy29209@
1
数据分析
MATLAB提供了方便的数据分析函数，可以 对较复杂的向量或矩阵元素进行数据分析。 分析原则 如果输入是向量，则按整个向量进行运算 如果输入是矩阵，则按列进行运算，运算 和列向量一样
2
6.1 数据统计和相关分析 6.2 差分与积分 *6.3 卷积和快速傅立叶变换
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a）梯形法求积分 原理：把积分区间(a,b)分成n个小梯形，然后 将这n个小梯形的面积求和。 MATLAB提供了trapz()函数计算数值积分 梯形法求积分的结果不很精确
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Z=trapz(Y) 以单位间隔，采用计算若干梯形 面积的和的方法来计算某函数的近似积分。 如果Y为向量，计算Y的积分；如果Y是矩阵， 得一个每列积分的行向量。 Z=trapz(X,Y) 用梯形积分法，依据X计算Y 的积分，X为自变量，Y为函数。如果X、Y 为向量，则大小必须相同；如果Y为矩阵， 则Y的列元素个数必须等于length(X)。 Z=trapz(X,Y,dim) dim=1，和trapz(X,Y)相 同，按列计算积分，dim=2，按行计算积分。
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数值计算功能向量及其运算1、向量生成(1 )、直接输入向量元素用“[]”括起来，用空格或逗号生成行向量，用分号生成列向量a1=[11 14 17 18]a2=[11,14,17,18] a2=[11;14;17;18] %列向量用“'可以进行向量转置a1=[11 14 17 18]a4=a1' %a1行向量,a4列向量也可以用组合方法：A=[1 2 3];B=[7 8 9];C=[A 4 ones(1,2) B](2)、等差元素向量生成冒号生成法：Vec=VecO:n:Veen,其中Vec表示生成地向量，VecO表示第一个元素,n表示步长,Vecn表示最后一个元素使用linespace函数：Vec=linespace(VecO,n,Vecn)其中Vec表示生成地向量，VecO表示第一个元素,n 表示生成向量元素个数(默认n=100),Vecn表示最后一个元素vec1=10:5:50vec2=50:-5:10vec3=li nspace(10,50,6)2、向量地基本运算(1 )、向量与数地四则运算向量中每个元素与数地加减乘除运算(除法运算时，向量只能作为被除数，数只能作为除数) vec1=li nspace(10,50,6)vec1+100vec2=logspace(0,10,6) %对数等分向量vec2/100(2)、向量与向量之间地加减运算向量中地每个元素与另一个向量中相对应地元素地加减运算vec1=li nspace(10,50,6)vec2=logspace(0,2,6)vec3=vec1+vec2(3)、点积、叉积和混合机点积：dot函数，注意向量维数地一致性x仁[11 22 33 44]x2=[1 2 3 4]sum(x1.*x2) %还可以采用sum 函数计算向量地点积叉积：cross 函数,注意向量维数地一致性(由几何意义可知,向量维数只能为3)x1=[11 22 33 44] x2=[1 2 3 4]x3=cross(x1,x2) %报错,维数只能为 3x1=[11 22 33]x2=[1 2 3]x3=cross(x1,x2)混合积：结果为一个数，先求cross,再求dota=[1 2 3]b=[2 4 3]c=[5 2 1]v=dot(a,cross(b,c))v=cross(a,dot(b,c)) %报错矩阵及其运算MATLAB地基本单位是矩阵，逗号或空格区分同一行不同元素，分号区分不同行1、矩阵地生成4 种方法：在command window 直接输入；通过语句和函数产生；M 文件中建立；外部数据文件中导入(1)、直接输入：把矩阵元素直接排列到方括号中,每行元素用逗号或空格相隔,行与行之间用分号相隔martix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]冒号用法：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]B=A(1:2,:)(2)文件导入：*.mat*.txt*.datload 文件名参数直接导入：File—Import Data2、矩阵地基本数值运算(1)、矩阵与是常数地四则运算(除法时,常数只能作为除数) matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=100+matrixm2=100-matrixm3=100*matrixm4=matrix/2(2)、矩阵之间地四则运算加减法：矩阵各个元素之间地加减法,必须是同型矩阵matrix=[1 1 1 1;2,2,2,2;3,3,3,3;4 4 4 4]m1=20*matrixm3=[11 22 33;1 2 3;4 5 6] m4=matrix-m1 m5=m3+m1 %报错,非同型矩阵乘法：用*, 左矩阵地列数需等于右矩阵地行数A=[1 1 1 1;2 2 2 2;3 3 3 3;4 4 4 4]B=[1 5 9 2;6 3 5 7;2 5 8 9;4 5 6 3]C=A*BD=[1 5 9;6 3 5;2 5 8]E=A*D % 报错,4*4 矩阵不能与3*3 矩阵相乘除法：左除(AX=B则X=A\B,相当于X= inv(A)*B,但是左除稳定性好)右除/ (XA=B 则X=B/A,相当于X=B*inv(A)) 个人认为：左除相当于逆矩阵左乘,右除相当于逆矩阵右乘%解方程组XA=B地解,本列中A=[2 1-1; 2 1 0;1 -1 1] ;B=[1 -1 3;4 3 2] A=[2 1 -1; 2 1 0;1 -1 1] B=[1 -1 3;4 3 2]X=B/A矩阵可以使用比较运算符：结果矩阵地对应位置为0 或 1 数据变换：floorceil round fix rem [n,d]=rat(A)： A 表示为两个整数阵对应元素相除地形式A=n./d3、矩阵地特征参数运算(1)、乘方与开方乘方：A A p计算A地p次方p>0： A 地p 次方p<0: A逆矩阵地abs(p)次方A=[1 2 3 4;4 5 6 7;4 5 6 7;8 9 10 11]B=AA10开方：若有X*X=A, 则有sqrtm(A)=XA=magic(5)B=sqrtm(A)BA2 %验证正确性( 2 ) 、指数与对数指数：expm(X)=V*diag(exp(diag(D)))/V ( [V,D]=eig(X))对数：L=logm(A)，与指数运算互逆X=rand(4)Y=expm(X)A=randn(4)B=logm(A)(3)、逆运算inv 函数,充要条件：矩阵地行列式不为0A=[1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4]B=inv(A)广义逆矩阵(伪逆) ：pinv(A)非奇异矩阵地pinv 与inv 相同(4)、行列式det 函数A=[1 0 0 0;1 2 0 0;2 1 3 0;1 2 1 4]B=inv(A)y=det(B)i=x*y(5)、特征值E=eig(X)：生成由X地特征值组成地列向量[V,D]=eig(X)：V是以X地特征向量为列向量地矩阵，D是由矩阵X地特征值构成地对角阵D=eigs(X)：生成由X地特征值组成地列向量(eigs函数使用迭代法求解矩阵地特征值和特征向量,X必须是方阵，最好是大型稀疏矩阵)[V,D]=eig(X)：V是以X地特征向量为列向量地矩阵，D是由矩阵X地特征值构成地对角阵X=magic(3)A=[1 0 0;0 0 3;0 9 0]E=eig(X)[V D]=eig(X)D=eigs(A)[V D]=eigs(A)(6)、矩阵(向量)地范数norm(X) ：2-范数norm(X,2)：2-范数norm(X,1)：1-范数norm(X,inf) ：无穷范数norm (X , 'fro ')：Frobenius 范数normest(X):只能计算2-范数，并且是2-范数地估计值，用于计算norm(X)比较费时地情况X=hilb(4)norm(4)norm(X)norm(X，2)norm(X，1)norm(X，inf)norm(X，'fro')normest(X)( 7)、矩阵地条件数运算矩阵地条件数是判断矩阵“病态”成都地一个度量，矩阵A地条件数越大，表明A越病态，反之，表明 A 越良态,Hilbert 矩阵就是有名地病态矩阵cond(X)：返回关于矩阵X地2-范数地条件数cond(X,P)：关于矩阵X地P-范数地条件数(P为1、2、inf或'ro')rcond(X)：计算矩阵条件数地倒数值，该值越接近0就越病态，越接近1就越良态con dest(X):计算关于矩阵X地1-范数地条件数地估计值M=magic(3);H=hilb(4);c1=cond(M)c2=cond(M，1) c3=rcond(M)c4=condest(M)h1=cond(H) h2=cond(H，inf)h3=rcond(H) h4=condest(H)由以上结果可以看出，魔术矩阵比较良态，Hilbert 矩阵是病态地()、秩T=rand(6)rank(T) %6，满秩矩阵T1=[1 1 1;2 2 3]r=ran k(T1) %r=2，行满秩矩阵(9)、迹trace 函数，主对角线上所有元素地和，也是特征值之和M=magic(5)T=trace(M)T1=eig(M)T2=sum(T1)4、矩阵地分解运算(1)、三角分解( lu)非奇异矩阵A ( n*n ),如果其顺序主子式均不为0,则存在唯一地单位下三角L和上三角阵U, 从而使得A=LU[L,U]=lu(X):产生一个上三角矩阵U和一个下三角矩阵L,使得X=LU,X可以不为方阵[L,U,P]=lu(X):产生一个单位下三角矩阵L、一个上三角矩阵U和交换矩阵P,PX=LUY=lu(X):如果X是满矩阵将产生一个lapack'地dgetrf和zgetrf地输出常式矩阵Y;如果X 是稀疏矩阵，产生地矩阵Y将包含严格地下三角矩阵L和上三角矩阵U,这两种情况下，都不会有交换矩阵PX=[6 2 1 -1;2 4 1 0;1 1 4 -1;-1 0 -1 3][L U]=lu(X)[L U P]=lu(X)Y=lu(X)(2)、正交分解( qr)对于矩阵A(n*n),如果A非奇异，则存在正交矩阵Q和上三角矩阵R使得A满足关系式A=QR, 并且当R地对角元都为正时，QR分解是唯一地[Q,R]=qr(A):产生一个与A维数相同地上三角矩阵R和一个正交矩阵Q,使得满足A=QR[Q,R,E]=qr(A):产生一个交换矩阵E、一个上三角矩阵R和正交阵Q,这三者满足AE=QR[Q,R]=qr(A,0):对矩阵A进行有选择地QR分解，当矩阵A为m*n且m>n,那么只会产生具有前n列地正交矩阵QR=qr(A)：只产生矩阵R,并且满足R=chol(A'*A)A=[17 3 4;3 1 12;4 12 8][Q R]=qr(A)[Q R E]=qr(A)[Q R]=qr(A,0)R=qr(A)[Q,R]=qrdelete(A,j):去除第j 列求QR分解[Q,R]=qrdelete(A,j,x)：在第j列插入x后求QR分解(3)、特征值分解( eig)[V,D]=eig(X)：V是以矩阵X地特征向量作为列向量构成地矩阵，D是矩阵X地特征值构成地对角阵,满足XV=VD[V,D]=eig(A,B)：对矩阵A、B做广义特征值分解，使得AV=BVDA=magic(4)[V D]=eig(A)Z=A*V-V*DB=[17 3 4 2;3 1 12 6;4 12 8 7;1 2 3 4][V D]=eig(A,B)Z=A*V-B*V*D(4)、Chollesky 分解(chol)当矩阵A (n*n)对称正定时，则存在唯一地对角元素为正地上三角矩阵R使得A=R'*R,当限定R 地对角元素为正地时候,该分解是唯一地当矩阵A为非正定阵时，会提示出错A=[4 -1 1;-1 4.25 2.75;1 2.75 3.5]R=chol(A)R'*R %=AA=[0 4 0;3 0 1;0 1 3]R=chol(A)%报错,A为非正定阵( 5)奇异值分解( svd)[U,S,V]=svd(X)：与矩阵X维数相同地对角阵S、正交矩阵U和正交矩阵V使得满足X=USV[U,S,V]=svd(X,O):X为M*N矩阵，当M>N时，生成地矩阵U只有前N列元素被计算出来，并且S 为N*N 矩阵X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12][U S V]=svd(X)X=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12ckl[U S V]=svd(X,0)Schur分解(正交阵和schur阵)[U,T]=schur(A)：A=UTU'schur阵是主对角线元素为特征值地三角阵5、矩阵地一些特殊处理size(A)：求矩阵A地行数、列数diag(A):求出矩阵A地对角元素repmat(A):将矩阵A作为单位，赋值成m*n矩阵,其中每个元素都是A矩阵cat(k,A,B)： k=1合并后形如[A;B]( A,B列数相等)；k=1合并后形如[A,B]( A,B行数相等)( 1)、矩阵地变维reshape(X,M,N):将矩阵X地所有元素分配到一个M*N地新矩阵，当矩阵X地元素不是M*N时,返回错误reshape(X,M,N,P,…)：返回由矩阵X地元素组成地M*N*P* ••多维矩阵若果M*N*P* ••与X地元素数不同时,将返回错误reshape(X,[M,N,P,••]):与上一条相同A=rand(4,2)reshape(A,2,4)reshape(A,[2,2,2])用冒号变维：A=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];B=ones(2,6);B(:)=A(:)( 2)、矩阵地变向rot90(A) ： A 按逆时针旋转90 度rot90(A,K): A按逆时针旋转90*K度filpud(X):将X上下翻转fliplr(X):将X左右翻转flipdim(X,DIM) :将X 地第DIM 维翻转X=[1 4;2 5;3 6]rot90(X)rot90(X,-1)flipud(X)fliplr(X)flipdim(X,2) %左右翻转6、特殊矩阵地生成(1)、零矩阵和全 1 矩阵地生成A=zeros(M,N):生成M*N 地零矩阵A=zeros(size(B)):生成与B同型地零矩阵A=zeros(N):生成N阶零矩阵仿真全1矩阵地生成与零矩阵地生成类似，使用ones函数A=zeros(4,5)B=[1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;9 8 7 6 5;8 7 6 5 4]A=zeros(size(B))A=zeros(5)C=ones(5,6)C=ones(3)( 2)、对角矩阵地生成A=diag(V,K)： V为某个向量,K为向量V偏离主对角线地列数,K=0表示V为主对角线,K>00表示V 在主对角线以上,K<0 表示V 在主对角线以下A=diag(V):相当于K=0v=[1 9 8 1 6]diag(v,1)diag(v)(3)、随机矩阵地生成rand(N) :生成N*N 地随机矩阵,元素值在(0.0,1.0)之间rand(M,N)randn(N)：生成N*N地随机矩阵,元素之服从正态分布N(0,1)randn(M,N)rand(5)randn(5)(4)、范德蒙德矩阵地生成A=vander(V):有A(I,j)=v(i)n-jv=[1 3 5 7 9]A=vander(v)(5)、魔术矩阵地生成它是一个方阵,方阵地每一行,每一列以及每条主对角线地元素之和都相同( 2 阶方阵除外) magic(N):生成N阶魔术矩阵，使得矩阵地每一行，每一列以及每条主对角线元素和相等,N>0 (N=2 除外)magic(2)magic(3)magic(4)(6)、Hilbert 矩阵和反Hilbert 矩阵地生成Hilbert矩阵地第i行、第j列地元素值为1/(i+j-1),反Hilbert矩阵是Hilbert矩阵地逆矩阵hilb(N):invhilb(N) :生成N 阶地反Hilbert 矩阵A=hilb(5)B=invhilb(5)C=A*Brandpem(n)：随机排列hess(A)： hess矩阵pascal(n)： PascaI矩阵hankel(c)：Hankel 矩阵wilkinson(n)：wilkinson 特征值测试矩阵blkdiag(a,b,c,d)：产生以输入元素为对角线元素地矩阵注：diag 函数地输入参数只能有一个(可以为向量)compan(u):友矩阵hadamard(n)：hadamard 矩阵toeplitz(c,r):托布列兹阵数组及其运算1 、数组寻址和排序(1)、数组地寻址A=randn(1,10)A(4) %访问A地第4个元素A(2:6) %访问 A 地第 2 到 6 个元素A(6:-2:1)A([1 3 7 4]) %访问 A 中1、3、7 和 4 号元素A(4:end) %end 参数表示数组地结尾(2)、数组地排序sort(X):将数组X中地元素按升序排序X是多维数组时，sort(X)命令将X中地各列元素按升序排序X是复数时,sort(X)命令将X中地各个元素地模abs(X)按升序排序X是一个字符型单元数组，sort(X)命令将X中地各列元素按ASCII码升序排序Y=sort(X,DIM,MODE)： DIM选择用于排列地维，MODE决定了排序地方式(hscend '升序，'descend ' 降序)，该命令生成地数组Y与X是同型地X=[3 7 5;0 4 2]sort(X，1) %纵向升序排序sort(X，2) %横向升序排序sort(2) 2、数组地基本数值运算( 1 ) 、加减法(与矩阵加减法相同)X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X-YV=X+Y( 2)、数组地乘除法乘法用“ •* ”：X、Y有相同维数，X.*Y表示X和Y中单个元素之间地对应乘积除法用“ ./”：注意“ ./”和“ ”完全不同X=[10 52 96 12 56]Y=[2 26 3 4 8]Z=[10 52 96 12 56 42]Z1=X.*YZ2=X.*Z %报错，维数问题Z3=X./Y %Z3=5，2，32，3，7Z4=X.\Y %Z4=0.2，0.5，0.0313，0.3333，0.1429Z5=X.\Z %报错，维数问题( 3)、数组地乘方两个数组之间地乘方X=[1 4 7]Y=[2 5 8]Z=X.A Y乘方运算时指数为标量X=[3 6 9]Z=X.A3乘方运算时底数为标量X=[4 5 6 7 8 9]Z=3.A X数组和矩阵也可以进行exp、log、sqrt等运算，是对每个对应元素进行运算3、数组地关系运算小于( <),小于等于( <=),大于( >),大于等于( >=),等于( ==) ,不等于( ~=),结果为1, 则关系式为真,结果为0,则关系式为假%rem(X,n),求余函数,X为被除数,n为除数M=magic(7)N=(rem(M,3))N=(rem(M,3)<=1)N=(rem(M,3)==1)N=(rem(M,3)>=1)4、数组地逻辑运算与( &),或( | ),非( ~),其中与、或可以比较两个标量或者两个同阶数组(或矩阵) ,非运算时针对数组(或矩阵中地每一个元素) ,当逻辑为真则返回1,当逻辑为假则返回0 M=[1 1 0;0 1 0;1 0 0]N=[1 0 1;1 1 1;0 0 0]M|NM&N~Ncat :串接flipdimfliplrflipudkron：积数组permute :重组repmatreshaperot90稀疏型矩阵1、稀疏矩阵地生成(1)、speye 函数：生成单位稀疏矩阵speye(size(A))speye(M,N):维数为M和N中较小地一个speye(N)A=eye(10)speye(size(A))speye(7,6)speye(5)(2)、sprand函数：生成随机稀疏矩阵(元素服从0-1之间地随机分布)R=sprand(S):产生与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵，但它地元素都是0-1上地随机数Rsprand(M,N,D):产生一个M*N地随机稀疏矩阵R,它地非您元素地个数近似为M*N*D,注意D 地值在0-1 之间且不要过大v=[3 5 6 2 1 9 6 5 5 6]S=diag(v)R=sprand(S)R=sprand(10,10,0.08)(3)、sparse 函数S=sparse(X)：将矩阵X转化为稀疏矩阵SS=sparse(l,j,s,m,n,nzm)：生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j 地对应值为坐标地位置上,其中nzm=length(s)S=sparse(l,j,s):生成m*n地稀疏矩阵S,向量s地元素分布在以向量i地对应值和向量j地对应值为坐标地位置上,其中m=max(i),n=max(j)S=sparse(m,n)：是sparse([],[],[],m,n,0)地简化形式i=[6 2 7 7 4 1 2 5]j=[1 3 2 7 2 8 3 2] s=[8 3 7 7 1 7 0 2]X=diag(s,-2)S=sparse(X)S1=sparse(i,j,s,10,10,7) %报错,nzmax=length(s)S1=sparse(i,j,s,10,10,8)S2=sparse(i,j,s,10,9) %默认nzmax=length(s)S2=sparse(i,j,s) %m=max(i),n=max(j)2、稀疏矩阵地操作(1)、nnz 函数：用于求非零元素地个数nz=nnz(S):返回S总非零元素个数D=nnz(S)/prod(size(S)):表示稀疏矩阵S中非零元素地密度v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,-1)nz=nnz(S)D=nnz(S)/prod(size(S))(2)、sponse 函数R=sponse(S：生成一个与稀疏矩阵S结构相同地稀疏矩阵R,但是在矩阵S中地非零元素地位S=sprandsym(10,0.05)R=spones(S)(3)、spalloc 函数S=spalloc(m,n,nzm):生成一个所有元素都为0地m*n阶稀疏矩阵，计算机利用这些空间来存储nzm 个非零元素n=3;v=sprand(n,1,0.33) %生成3*1 地稀疏列向量s=spalloc(n,n,1*n) %分配3*3 地空间,最终可以存储 3 个非零元素for j=1:ns(:,j)=(v) %v为含有一个非零元素地稀疏列向量end(4)、full 函数S=full(X):将稀疏矩阵(三元组表示)转换为满矩阵(矩阵表示)s(6,1)=8;s(4,2)=1;s(5,3)=60;s(6,2)=57;s(1,7)=25;s(3,8)=37;full(s)( 5)、find 函数l=find(X):返回矩阵X地非零元素地位置,如匸find(X>100)返回X中大于100地元素地位置[l,J]=find(X):返回X中非零元素所在地行I和列J地具体数据[l,J,V]=find(X)：除了返回I和J还返回矩阵中非零元素地值V注：find(X)和find(X~=0)会产生同样地I和J,但是后者会生成一个包括所有非零元素位置地向量S(10,50)=82;S(32,14)=82;S(251,396)=25;I=find(S)[I J]=find(S)[I J V]=find(S)( 6 ) 、issparse 函数issparse(S):返回值为1说明矩阵S是一个稀疏矩阵，返回值为0时说明矩阵S不为稀疏矩阵v=[6 2 7 7 4 1 3 5]S=diag(v,2)R=sparse(S)N=issparse(S) %返回0,不为稀疏矩阵Y=issparse(R) %返回1,为稀疏矩阵。