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空间解析几何答案word

第八章空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+222222222222)1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y zy z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个顶点，设三角形的重心为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ∆的同比nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(131313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三角形FGH ∆的重心为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221mn mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ⋅++=⋅++=+⋅+=+=23241002||||)()(||400222所以242-=⋅b a ，)()(||b a b a b a -⋅-=-b a b a ⋅-+=2||||227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅. 解：因为0)()(=++⋅++c b a c b a ，所以0222||||||222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a ，而1||||||222===c b a ，所以23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量.解：kj i k j i kji b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=⨯=而83)3(5)7(||222=-++-=c ，所以)3,5,7(831--±=c e .7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //. 8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c（1）确定m 的值，使得b a +与c 平行. （2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=⨯+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，而c b a ⨯+)()99,0,99(32m m m --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平行.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=⋅-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ⋅-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-⋅---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹.解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面.（3）1254222=++z y x . 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 922=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 922=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.（6）0)3()2()1(4222=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在xOz 面上的投影为（22≤≤z x ），在yOz 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z .3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++4922222z x z y x .解：做变换⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52=y .所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=±==θθsin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：螺旋线在xOy 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 2cos 2z y x θθ，直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03sin 2x z y θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03sin 2x z y . 螺旋线在zOx 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03cos 2y z x θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03cos 2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++1164222z z y x .（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）⎪⎩⎪⎨⎧==-4116422y z x .§8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+zy x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离为1221|10122211|222=++-⨯+⨯+⨯=d .5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ⋅611)2(1|110201|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =x θcos ||||n i n ⋅611)2(1|010211|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =y θcos ||||n j n ⋅621)2(1|011201|222=+-+⨯+⨯-⨯=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程. 解：设所求平面的方程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求方程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程.解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x .（2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i kj i 2010112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题（1）直线421z y x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121.3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i . 所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 求直线⎩⎨⎧=---=-+-01023z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-+=+-+01202z y z y x 夹角的余弦.解：因为两直线的方向向量为k j i kj i n 2241111311++=---=，k j i kjin +-=-=232101112，设两直线的夹角为θ，则422151)2(3224|122234|cos 222222=+-+++⨯+⨯-⨯=θ. 5. 求点)5,1,2(P 在直线:L13111-=-=-zy x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. 6. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d . 8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . 第八章空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量OM 的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则OM =（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）. （6）直线pz z n y y m x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）. （10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c . 解：设=c ),,(z y x ，则c a⨯y x z y zy++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时，即c )21,1,21(--=长度最短.3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x j iAC AB +-+=---=⨯)1(221101，故ABC ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(.4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242yx z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在yOz 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222CB A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222C B A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程. 解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj i n 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为：0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即 02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2z y x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i kj i 43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ，所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y .11. 求直线321zy x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=.（5）222y x z +=，22x z -=.（6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

空间解析几何

空间解析几何.求解答过程谢谢.空间解析几何是一种系统的空间几何学，它使用简单的几何元素，如点、线段、面和体，来推理复杂的空间结构。

求解空间几何问题的基本步骤是：1.准备所需的元素；2.根据定义、定理和原理解释该空间结构的构造；3.对空间变换和其它变换进行适当的推理。

空间解析几何是一门探究物体的定位和形状的学科。

它集合了几何、微积分、代数、物理和计算机科学等多项学科协同创新，并使用数学解决一些空间问题的解决方法。

本文的目的是介绍空间解析几何的基本概念，并通过实例给出求解空间问题的步骤。

一、什么是空间解析几何空间解析几何（Spatial Analytic Geometry）是探究物体的定位和形状的学科，也可以叫做空间几何学。

它集合了几何、算术、代数、物理和计算机科学等多项学科、术语和概念，应用数学解决解析几何问题，研究方式综合多元素、多模态。

它不仅涉及形状和位置的探究，还有基于图像的空间加工、性能分析和可视化的处理，是一门相当丰富的学科。

二、空间解析几何主要概念1、坐标定位：坐标定位是将物体定位于一个特定的位置的表示方法，股票投资者可以使用坐标定位来实现多轴上的测量。

2、几何形体量度：用以测量几何形状的各种参量，如内接圆直径，面积，体积等，常用于测量地形面、工程坑槽等三维物体。

3、平面投影：使用几何学方法将三维物体投射到二维平面上，用以分析物体的位置、形状和尺寸等。

4、位置运算：位置运算是一种基于位置的算法，可以用于分析几何对象之间的关系。

三、空间解析几何求解过程1、收集数据：空间解析几何需要收集几何形状相关的位置数据，并按照特定格式用计算机处理这些数据。

2、定义几何形状：将收集到的数据用定义空间几何形状的方法（如坐标定位、几何沿面记号法等）转换成一系列几何内容。

3、应用计算机：针对这些定义的几何形状，可使用计算机空间分析技术，建立计算机模型，实现物体的分析和可视化。

4、结果统计：根据模拟或实际的空间物体分析数据，进行分析处理，得出完整的结果统计。

大学知识第八节空间解析几何

空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（）。

22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。

3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。

【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)，平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。

故选择B 。

4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（）A. 椭球面 B 。

旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。

6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。

高等数学第八章空间解析几何

任一点，那么向量 M 0M 与L的方向向量平s行.
所以,
两向量的对应坐标成比例, 由于
M0M
(xx 0，yy 0，zz 0)，
s(m，n，p)，
从而有
此方程组就是直线 L 的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程．
第六页，共30页。
z
s
M
M0
O
y
x
第七页，共30页。
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量
第二页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． z
s
O
y
x
第三页，共30页。
二、空间直线的对称式方程与参数方程
空间直线的方向向量：如果一个非零向量平行于
一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量．
x2t，y3t，z42t，
代入平面方程中，得
2(2t)(3t)(42t)60．
2x y z 6 0
解上列方程，得t1．
将 t 1 代入直线的参数方程，得所求交点的坐标为
x1，y2，z2．
第二十一页，共30页。
例6 求过点P(2，1，3)且与直线
垂直相交的直线的方程．
二、如何将直线的一般方程化为对称式方程？三、两直线的位置关系四、直线与平面的位置关系
五、关于平面束方程的概念
第二十九页，共30页。
谢谢！
第三十页，共30页。
即
(1l)x(1l)y(1l)z(1l)0，
其中l为待定的常数．这平面与平面xyz0垂直的条件是

大学高数空间解析几何

培养逻辑思维
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模型，包括曲面建模、实体建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表面的光照效果，以实现逼真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中的骨骼绑定、运动轨迹规划和角色动画等，以创建动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域取得新的突破和应用。

0808习题课2(空间解析几何部分)

第八章空间解析几何与向量代数
习题课（二）
思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: (1) 抛物柱面 2 y 2 x , 平面 z 0 及 x y z 1; 4 2 2 ( 2) 抛物柱面 x 2 1 z , 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
化简得:
25x 10 y 14z 23 0.
x 1 y 2 z 2 四. 求通过直线且垂直于平面 2 3 2 3 x 2 y z 5 0的平面方程 .
解: L : s ( 2,3,2), 平面 : n1 ( 3,2,1), 取所求平面: n s n1 ( 1,8,13),
所求平面为 x 20 y 7 z 12 0, 或 x z 4 0.
8(p49)
x4 y3 z 求过点 ( 3,1,2)且通过直线的平面方程 . 5 2 1
解法（一）
设已知点 M的坐标为 (3,1,2)，且直线 L过点N (4,3,0).
直线的方向向量 s （ 5,2， 1 ） , 平面的法向量 n MN s ,
x 1 4t . y t z 2 3t
六. 在平面 x y z 1 0内, 求作一直线 ,使它通过 y z 1 0 直线L : 与平面的交点 , 且与L垂直. x 2z 0
x y z 1 0 得交点 (0,1,0), 解: 解 y z 1 0 x 2z 0 L : s (0,1,1) (1,0,2) ( 2,1,1), 平面 : n (1,1,1), 取所求直线的方向向量: s1 s n ( 2,3,1),

高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案

习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==，进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7．一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==，因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==，所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求：（1）a b ⋅；（2）(2)(3)a b ⋅-；（3）()(2)a b a b +⋅-；（4）a b ⨯；（5）(2)(3)a b ⨯-；（6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=；（5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量．解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积．答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦，因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <．证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =，又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-，上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距，代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2．指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ；（2）012=-x ；（3）1=+y x ；（4）02=-z x ；（5）0=++z y x ；（6）1432=+-z y x ．答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3．求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===，所以两平面夹角π3θ=． 4．一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =，所以所求平面为12x y z ++=．5．一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6．求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程．解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-，所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---，由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1．分别求满足下列各条件的直线方程：（1）过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行；（2）过原点垂直于平面03=-++z y x ；（3）过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4）过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5）过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==；（3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-；（5）121311x y z +--==-． 2．分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2）过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-；（3）过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4）过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ．答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3．用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4．求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角．解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5．求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ；（2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=；（4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7．求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点．解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ．在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标．解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离．解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=，即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标．解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6．求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，，解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1．分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程；（2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程；（3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹．答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=；（2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ；（3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径：（1）222230x y z z ++--=；（2）2222420x y z x y z ++-++=．答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3．写出满足下列条件的旋转曲面方程：（1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周；（2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周；（4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+；（2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=；（4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =；（2）221x y -=；（3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面；（2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面；（3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=；（2）22194y x -= （3）22194x y +=；（4）22x z +=．答案：略．习题8-5（B ）1．一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2．画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）；（2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1．说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，；（2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，；（4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩，（2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4．求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影．解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5．画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-；（2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1．分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程．答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2．求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ；答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为；答案：)6,2,2--．解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭．解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是；答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为；答案：2302y z x -+==．解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是；答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=，故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=，所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程．解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=，即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=，依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---，所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=；（2）22214y x z -+=；（3）2221x y z --=；（4）222099x y z +-=；（5）224x y z -=；（6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程：（1）2x =；（2）5y =；（3）2z =；（4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，；（3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。

空间解析几何21578共19页文档

定义2
设有向量a,b，定义c如下： c的模|c|=|a|·|b|sin； (其中为a,b的夹角） c的方向由a,b按右手法则确定，
则称c为a,b的向量积，记为c=a×b, 又称为叉积或矢量积. 注： a×b是一个向量；而且其特征为方向与a与b都垂直，模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。
即
c a ba b ab si a ^ n b )(
b
a
向量积的性质：
① a×a=0;
② b×a=- a×b
向量的叉乘积不满足交换律
③(a+b) ×c=a ×c+b ×c
④(a×b)=a ×(b)= (a) ×b ⑤两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b=0
2.向量积的坐标表示法
设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 a×b =（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k
3.向量的模与方向余弦的坐标表示法
定理: 设向量aX i+Y j +Z k ，则
|a|= a2 X2Y2Z2
非零向量与三坐轴之间的夹角叫做该向量的方向角，方向角的余弦叫做向量的方向余弦，向量的方向余弦也可用向量的坐标表示
定理: 设非零向量aX i+Y j +Z k与x轴,y轴，
z轴的夹角分别为 , ,
——（坐标表达式）
cx cy cz
注：向量混合积的几何意义：
|[abc]|表示以a、b、c为
abc
棱a 的、平b 行、六c 共面面体的体积 [a .b c ]0. a
b
例 6 已知空间内不在一平面上的四点 A( x1, y1, z1 )、 B( x2 , y2 , z2 )、C( x3 , y3 , z3 )、 D( x4 , y4 , z4 ), 求四面体

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第八章空间解析几何简介章主要内容小结一、向量及其运算：向量的定义、性质、数量积、向量积，数量积与向量积的几何与物理意义。

二、空间直线与平面的方程： 1、空间平面：一般式方程：0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ；点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ；截距式方程：1=++czb y a x ；三点式方程：0131313121212111=---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x 。

2、空间直线：一般式方程：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ；对程式方程：pz z n y y m x x 000-=-=-；参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tp z z t n y y tm x x 000，),,(000z y x 为直线上一点，),,(p n m s = 为直线的方向向量。

3、线面之间的一般关系面与面的关系：平面),,( ,0:111111111C B A n D z C y B x A ==+++∏，平面),,( ,0:222222222C B A n D z C y B x A ==+++∏，垂直：0021212121=++⇔=⋅C C B B A A n n；平行：212121210C C B B A A n n ==⇔=⨯；重合：21212121210D D C C B B A A n n ===⇔=⨯；夹角公式：2121θcos n n n n ⋅=；线与线的关系：直线,1111111p z z n y y m x x L -=-=-：),,(1111p n m s =，直线,2222222p z z n y y m x x L -=-=-：),,(2222p n m s =，垂直：0021212121=++⇔=⋅p p n n m m s s；；平行：212121210p pn n m m s s ==⇔=⨯；共面：0)(2121=⋅⨯P P s s ，),,(,),,(22221111z y x P z y x P ；异面：0)(2121≠⋅⨯P P s s，),,(,),,(22221111z y x P z y x P；夹角公式：2121cos s s s s⋅=θ；面与线的关系：平面：),,(,0C B A n D Cz By Ax ==+++，直线：),,(,000p n m s p z z n y y m x x =-=-=-，垂直： CpB n A m n s ==⇔=⨯0；平行：00=++⇔=⋅C p B n A m n s；直线在平面内：0=⋅n s且0000=+++D Cz By Ax ；夹角公式：ns ns ⋅=ϕsin ；4、几个相关的问题（1）过直线⎩⎨⎧=+++=+++00:22221111D z C y B x A D z C y B x A L 的平面束方程0)()(2222211111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λλ()0,21不全为λλ。

（2）点),,(0000z y x M 到平面0:=+++∏D Cz By Ax 的距离222000CB A DCz By Ax d +++++==，1M 为平面∏上任一点。

（3）点),,(0000z y x M 到pz z n y y m x x L 111:-=-=-的距离pn m z z y y x x kj i CB A d 0101012221---++==。

（4）异面直线21,L L的距离d ==。

三、空间曲面与曲线1、空间曲面一般方程：0),,(=z y x F旋转曲面的方程、柱面方程、二次曲面的方程（椭球面、抛物面、双曲面、锥面），掌握各种曲面的标准方程。

2、空间曲线一般方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ；参数式方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 。

空间曲线在坐标面上的投影曲线。

3、旋转曲面：（1）平面曲线绕平面中的一条直线旋转；（2）空间曲线（参数方程）绕定直线旋转。

4、常见曲面：椭圆抛物面、锥面、球面、柱面。

例1 用向量方法证明正弦定理：C cB b A a sin sin sin ==。

证明：由三角形的面积公式S ABC =∆==A bc sin =B ca sin =C ab sin = 所以CcB b A a sin sin sin ==。

例2 已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(C B A 求三角形ABC 的面积。

解：14)2,6,4(2142122221=-===∠=∆kj i A S ABC。

例3 已知四面体的顶点)4,3,2,1)(,,(=k z y x A k k k k ，求该四面体的体积。

解：已知四面体的体积相当于以向量413121,,A A A A A A 为棱的平行六面体体积的61，14141413131312121241312161],,[61z z y y x x z z y y x x z z y y x x A A A A A A V ---------==。

例4 证明四点)17,15,10(,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(D C B A 共面。

证明：因为016149221543],,[==，故D C B A ,,,四点共面。

例5 已知向量b a,的夹角43πθ=，且3,2==b a ，求b a -。

解：172)()(2=+-=+⋅-⋅=-⋅-=-b b a a a b a b a b a θ所以17=-b a。

例6 求曲线⎩⎨⎧==02x y z 绕z 轴旋转的曲面与平面1=++z y x 的交线在xoy 平面的投影曲线的方程。

解：旋转曲面方程为22y x z +=，它与所给平面的交线为⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z ，此曲线向xoy 面的投影柱面方程为：122=+++y x y x ，此曲线在xoy 面的投影曲线方程为⎩⎨⎧==+++0122z y x y x 。

例7 直线1101:zy x L ==-绕z 轴旋转一周，求此旋转曲面的方程。

解：在L 上任取一点),,1(000z y M ，设),,(z y x M 为0M 绕z 轴旋转轨迹上任一点，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==2022001y y x z z y ，所以旋转曲面方程为：1222=-+z y x 。

例8 求与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行，且过点)5,2,3(-的直线方程。

解：所求直线的方向向量设为21n n s⨯=512401---=kj i )1,3,4(---=，利用点向式可得直线的对称式方程：153243-=-=+z y x 。

例9 求直线241312-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点。

解：将直线方程化成参数形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z t y tx 2432，代入平面方程，解得1-=t ，所以交点为)2,2,1(。

例10 求过点)3,1,2(，且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线方程。

解：过点)3,1,2(，且垂直与已知直线12131-=-=+zy x 的平面方程为0)3()1(2)2(3=---+-z y x ，设两直线交点为),21,31(t t t P -++-，则P 点在平面上，代入得73=t ，所以),73713,72(-P 利用两点式得所求直线方程为431122-=--=-z y x 。

例11 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程。

解：过已知直线的平面束方程为0)1(1=++-+--+z y x z y x λ，从中选择λ，使其与已知平面垂直，即01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ，得,1-=λ投影平面为01=--z y所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--01z y x z y 。

例12 设一平面平行于已知直线⎩⎨⎧=+-+=-0502z y x z x ，且垂直于已知平面,0347=-+-z y x 求该平面法线的方向余弦。

解：已知平面的法向量)4,1,7(1-=n，求出已知直线的方向向量)2,1,1(=s，取所求平面的法向量为1n s n⨯=417211-=kj i )4,5,3(2-=，方向余弦为：,513cos =α504cos ,505cos -==γβ。

例13 求过直线⎩⎨⎧=+-=++0405:z x z y x L ，且与平面01284=+--z y x 夹成4π角的平面方程。

解：过直线⎩⎨⎧=+-=++0405:z x z y x L 的平面束方程为：04)1(5)1(=+-+++λλλz y x ，其法向量为}1,5,1{1λλ-+=n已知平面的法向量为}8,4,1{--=n ，选择λ，使434cos 11-=⇒⋅=λπn n n n，从而所求平面方程为：012720=-++z y x 。

例14 设平面π是过空间直线⎩⎨⎧=+--=+-0620223:z y x y x L 的平面，且点)1,2,1(M 到π的距离为1，求π的方程。

解：（利用平面束）过L 的平面束0)62()223(=+--++-z y x y x μλ0)62()()22()3(=++-+--++μλμμλμλz y x1)()22()3(62443222=-+--++++---+=μμλμλμλμμλμλd ，解得μλμλ31,21-=-=所以平面π：01022=-++z y x 或01634=-+z y 。

例15 求过点)1,1,1(0M ，且与两直线,12:1⎩⎨⎧-==x z x y L ⎩⎨⎧-=-=1243:2x z x y L 都相交的直线L 。

解：先求交点;,21M M 将21,L L 的方程化为参数方程,12:1⎪⎩⎪⎨⎧-===t z t y tx L ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==1243:2t z t y t x L 设L 与它们的交点分别为)1,2,(1111-t t t M ，)12,43,(2222--t t t M ，因为210,,M M M 三点共线，所以2010//M M M M ，即222531211212121--=--=--t t t t t t ，得2,021==t t ，所以)3,2,2(),1,0,0(21M M -，直线211111:-=-=-z y x L 。