2017年二模数学试卷
上海市杨浦区2017届高考数学二模试卷(详解版)
2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷一、填空题1．（4分）三阶行列式中，5的余子式的值是．2．（4分）若实数ω＞0，若函数f（x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=．3．（4分）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．4．（4分）设向量=（2，3）,向量=（6,t），若与夹角为钝角,则实数t的取值范围为．5．（4分)集合A={1，3,a2｝,集合B=｛a+1，a+2}，若B∪A=A,则实数a=．6．（4分）设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则｜z1﹣z2|=．7．设f（x）是定义在R上的奇函数,当x＞0时，f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为．8．若变量x、y满足约束条件,则z=y﹣x的最小值为．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2,0）,若满足|AF｜=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．11．已知a＞0，b＞0,当（a+4b）2+取到最小值时，b=．12．设函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a(x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．二、选择题13．设z∈C且z≠0，“z是纯虚数”是“z2∈R”的(）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．设等差数列｛a n}的公差为d，d≠0，若｛a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞015．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（）A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a16．对于定义在R上的函数f(x），若存在正常数a、b，使得f（x+a）≤f(x)+b 对一切x∈R均成立,则称f（x）是“控制增长函数”,在以下四个函数中：①f （x)=x2+x+1；②f（x）=; ③f（x）=sin（x2）；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有（）A．②③B．③④C．②③④D．①②④三、解答题17．（14分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4，P、Q分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；(2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．18．（14分）已知函数f（x）=．（1)判断函数f(x）的奇偶性,并证明；(2）若不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解，求c的取值范围．19．（14分)如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC上,现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直,街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．(1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因,三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元,问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）20．（16分）设数列｛a n｝满足a n=A•4n+B•n，其中A、B是两个确定的实数，B ≠0．（1)若A=B=1，求{a n｝的前n项之和;（2）证明：{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列｛a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．21．（18分)设双曲线Γ的方程为x2﹣=1,过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点,直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积;（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小,并说明理由；(3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题1．三阶行列式中，5的余子式的值是﹣12．【考点】OU：特征向量的意义．【分析】去掉5所在行与列，即得5的余子式，从而求值．【解答】解:由题意，去掉5所在行与列得:=﹣12故答案为﹣12．【点评】本题以三阶行列式为载体，考查余子式，关键是理解余子式的定义．2．若实数ω＞0，若函数f(x)=cos(ωx）+sin（ωx）的最小正周期为π，则ω=2．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和的正弦公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解:实数ω＞0，若函数f（x）=cos（ωx)+sin(ωx)=sin（ωx+）的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题．3．已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台)．【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，高为1，∴母线长l为:=，∴圆锥的侧面积为:πrl=π×1×=π,故答案为：π．【点评】题考查了圆锥的侧面积的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．4．设向量=（2，3）,向量=(6，t），若与夹角为钝角，则实数t的取值范围为（﹣∞，﹣4）．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意可得＜0，且、不共线,即，由此求得实数t的取值范围．【解答】解：若与夹角为钝角，向量=（2，3），向量=（6，t）,则＜0,且、不共线，∴，求得t＜﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4）．【点评】本题主要考查两个向量的数量公式，两个向量共线的性质，属于基础题．5．集合A={1，3，a2},集合B=｛a+1，a+2｝，若B∪A=A，则实数a=2．【考点】18:集合的包含关系判断及应用．【分析】根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值．【解答】解：由A∪B=A,得到B⊆A，∵A=｛1,3，a2},集合B={a+1,a+2},∴a+1=1，a+2=a2，或a+1=a2，a+2=1，或a+1=3,a+2=a2，或a+1=a2，a+2=3，解得：a=2．故答案为2．【点评】此题考查了并集的意义,以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值．6．设z1、z2是方程z2+2z+3=0的两根，则|z1﹣z2｜=2．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出z,即可求出|z1﹣z2|．【解答】解:由题意，z=﹣1±i，∴|z1﹣z2|=｜2i|=2，故答案为2．【点评】本题考查复数的运算与球模,考查学生的计算能力，比较基础．7．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时,f（x）=2x﹣3，则不等式f（x)＜﹣5的解为（﹣∞，﹣3)．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出当x＜0的解析式，讨论x＞0，x＜0，x=0,解不等式即可．【解答】解:若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f(x）=2x﹣3，∴当﹣x＞0时，f（﹣x)=2﹣x﹣3，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x)=2﹣x﹣3=﹣f(x),则f（x）=﹣2﹣x+3，x＜0,当x＞0时，不等式f(x）＜﹣5等价为2x﹣3＜﹣5即2x＜﹣2，无解，不成立；当x＜0时，不等式f（x)＜﹣5等价为﹣2﹣x+3＜﹣5即2﹣x＞8,得﹣x＞3，即x＜﹣3；当x=0时,f（0）=0，不等式f(x）＜﹣5不成立，综上,不等式的解为x＜﹣3．故不等式的解集为(﹣∞，﹣3）．故答案为（﹣∞，﹣3）．【点评】本题主要考查不等式的解集的求解,根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．8．若变量x、y满足约束条件，则z=y﹣x的最小值为﹣4．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A（8，4),化目标函数z=y﹣x,得y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A（8，4）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数m=2×6+6×4﹣2×4=28，由此能求出小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率．【解答】解：小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子,两人相互独立地进行,基本事件总数n=6×6=36，小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3包含的基本事件个数:m=2×6+6×4﹣2×4=28，∴小明掷出的点数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为：p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为(﹣2，0），若满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为8＜a＜12．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a ﹣2＜10＜a+2,即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足｜AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．已知a＞0，b＞0，当(a+4b）2+取到最小值时，b=．【考点】7F:基本不等式．【分析】根据基本不等式，，a=4b时取等号，进而得出，进一步可求出a=1,时，取到最小值，即求出了此时的b的值．【解答】解:∵a＞0，b＞0；∴，当a=4b时取“=”；∴（a+4b)2≥16ab；∴=8，当，即，a=1时取“=”；此时，b=．故答案为：．【点评】考查基本不等式，注意基本不等式等号成立的条件，不等式的性质．12．设函数f a(x)=｜x|+|x﹣a|,当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数f a（x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数f a（x）=|x｜+｜x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一f a（x）的图象上的点单位圆的,则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数f a(x）=｜x｜+|x﹣a|（当a在实数范围内变化)的图象．二、选择题13．设z∈C且z≠0,“z是纯虚数"是“z2∈R”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R"，反之不成立,例如取z=2．即可判断出结论．【解答】解：∵z∈C且z≠0，“z是纯虚数”⇒“z2∈R”，反之不成立，例如取z=2．∴“z是纯虚数”是“z2∈R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了纯虚数的定义、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．设等差数列｛a n}的公差为d,d≠0，若{a n}的前10项之和大于其前21项之和，则（）A．d＜0 B．d＞0 C．a16＜0 D．a16＞0【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，得到a1＜﹣15d，由此得到a16=a1+15d＜0．【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，d≠0，∵｛a n｝的前10项之和大于其前21项之和，∴10a1+＞21a1+d，∴11a1＜﹣165d，即a1＜﹣15d,∴a16=a1+15d＜0．故选:C．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15．如图，N、S是球O直径的两个端点，圆C1是经过N和S点的大圆，圆C2和圆C3分别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆，圆C1和C2交于点A、B，圆C1和C3交于点C、D，设a、b、c分别表示圆C1上劣弧CND的弧长、圆C2上半圆弧AB的弧长、圆C3上半圆弧CD的弧长，则a、b、c的大小关系为（)A．b＞a=c B．b=c＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】L*:球面距离及相关计算．【分析】分别计算a，b，c,即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，球心角∠COD=2α，则b=πR，a=2αR,∵CD＜AB,∴c＜b,∵CD=2Rsinα，∴c=2πRsinα，∵0＜α＜，∴=＞1，∴c＞a,∴b＞c＞a,故选D．【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键．16．对于定义在R上的函数f(x）,若存在正常数a、b,使得f(x+a)≤f（x）+b对一切x∈R均成立，则称f(x）是“控制增长函数"，在以下四个函数中：①f（x）=x2+x+1；②f（x）=；③f（x)=sin(x2)；④f（x）=x•sinx．是“控制增长函数"的有(）A．②③B．③④C．②③④D．①②④【考点】3T:函数的值．【分析】假设各函数为“控制增长函数",根据定义推倒f（x+a）≤f(x）+b恒成立的条件，判断a，b的存在性即可得出答案．【解答】解：对于①，f(x+a)≤f（x）+b可化为:（x+a)2+（x+a）+1≤x2+x+1+b，即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤对一切x∈R均成立，由函数的定义域为R,故不存在满足条件的正常数a、b,故f（x)=x2+x+1不是“控制增长函数";对于②,若f（x）=是“控制增长函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为:≤+b,∴｜x+a｜≤｜x|+b2+2b恒成立，又｜x+a｜≤|x｜+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b，∴≥，显然当a＜b2时式子恒成立,∴f（x）=是“控制增长函数”;对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a)﹣f（x）≤2，∴当b≥2时，a为任意正数,使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“控制增长函数”；对于④，若f（x）=xsinx是“控制增长函数”，则（x+a）sin（x+a）≤xsinx+b恒成立，∵（x+a）sin（x+a)≤x+a,∴x+a≤xsinx+b≤x+b,即a≤b，∴f（x）=xsinx是“控制增长函数"．故选C．【点评】本题考查了新定义的理解，函数存在性与恒成立问题研究，属于中档题．三、解答题17．（14分)（2017•杨浦区二模）如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4,P、Q 分别是棱BC与B1C1的中点．(1）求异面直线D1P和A1Q所成角的大小；（2）求以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）以D为原点，DA,DC，DD1为x，y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线D1P和A1Q所成角．（2）以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积V=．【解答】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1为x,y，z轴，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，4），P（2，4，0）,A1（4,0,4）,Q（2，4,4），=(2，4，﹣4)，=(﹣2,4,0）,设异面直线D1P和A1Q所成角为θ，则cosθ===，∴θ=arccoa．∴异面直线D1P和A1Q所成角为arccos．(2）∵==8，PQ⊥平面A1D1Q，且PQ=4,∴以A1、D1、P、Q四点为四个顶点的四面体的体积:V===．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查四面体的体积的求法，是中档题,考查推理论证能力、运算求解能力,考查转化化归思想、数形结合思想．18．（14分）（2017•杨浦区二模）已知函数f（x）=．(1）判断函数f(x）的奇偶性，并证明；（2）若不等式f（x）＞log9(2c﹣1）有解,求c的取值范围．【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】（1）利用奇函数的定义，即可得出结论；(2）f（x）===﹣+∈（﹣，），不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,可得＞log9（2c﹣1），即可求c的取值范围．【解答】解：(1）函数的定义域为R，f（x）==,f（﹣x）==﹣f（x），∴函数f(x）是奇函数；（2）f（x）===﹣+∈（﹣,）∵不等式f（x）＞log9（2c﹣1）有解,∴＞log9（2c﹣1），∴0＜2c﹣1＜3,∴．【点评】本题考查奇函数的定义，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．19．（14分）（2017•杨浦区二模）如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直,线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点,求三条街道的总长度；（2)由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）【考点】HU：解三角形的实际应用；HS：余弦定理的应用．【分析】（1）由P为于∠BAC的角平分线上，利用几何关系，分别表示丨PQ 丨,丨PR丨，丨RQ丨，即可求得三条街道的总长度；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°,根据三角函数关系及余弦定理，即可求得丨PQ丨,丨PR丨，丨RQ丨，则总效益W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ丨×400，利用辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得答案．【解答】解：(1）由P位于弧BC的中点,在P位于∠BAC的角平分线上，则丨PQ丨=丨PR丨=丨PA丨sin∠PAB=2×sin30°=2×=1,丨AQ丨=丨PA丨cos∠PAB=2×=，由∠BAC=60°,且丨AQ丨=丨AR丨,∴△QAB为等边三角形，则丨RQ丨=丨AQ丨=,三条街道的总长度l=丨PQ丨+丨PR丨+丨RQ丨=1+1+=2+；(2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ丨=丨AP丨sinθ=2sinθ，丨PR丨=丨AP丨sin（60°﹣θ）=2sin（60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ,丨AQ丨=丨AP丨cosθ=2cosθ,丨AR丨=丨AP丨cos（60°﹣θ）=2cos（60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ丨2=丨AQ丨2+丨AR丨2﹣2丨AQ丨丨AR丨cos60°, =(2cosθ）2+（cosθ+sinθ)2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3,则丨RQ丨=,三条街道每年能产生的经济总效益W，W=丨PQ丨×300+丨PR丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ)+400，=200sin(θ+φ）+400,tanφ=,当sin（θ+φ）=1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222,三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．【点评】本题考查三角函数的综合应用，考查余弦定理,正弦函数图象及性质，辅助角公式，考查计算能力,属于中档题．20．（16分）（2017•杨浦区二模）设数列{a n｝满足a n=A•4n+B•n,其中A、B是两个确定的实数，B≠0．(1)若A=B=1，求｛a n}的前n项之和；（2)证明:{a n}不是等比数列;（3）若a1=a2，数列{a n}中除去开始的两项之外,是否还有相等的两项？证明你的结论．【考点】8E:数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1)运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和；（2）运用反证法，假设{a n}是等比数列，由定义，设公比为q，化简整理推出B=0与题意矛盾,即可得证；(3）数列{a n}中除去开始的两项之外,假设还有相等的两项，由题意可得B=﹣12A，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，求出导数和单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）由a n=4n+n，可得{a n｝的前n项之和为（4+42+…+4n）+（1+2+…+n）=+n（n+1）=(4n﹣1）+（n2+n）；（2）证明：假设｛a n｝是等比数列，即有=q(q为公比),即为Aq•4n+Bq•n=A•4n+1+B•（n+1），即Aq=4A，Bq=B，B=0，解得q=4，B=0，这与B≠0矛盾,则{a n}不是等比数列；（3）若a1=a2,数列{a n｝中除去开始的两项之外，假设还有相等的两项，设为a k=a m,（k，m不相等），由a1=a2，可得4A+B=16A+2B,即B=﹣12A．则a n=A•4n+B•n=A（4n﹣12•n)，即有A(4k﹣12•k)=A（4m﹣12•m),即为4k﹣12•k=4m﹣12•m，构造函数f（x）=4x﹣12x，x＞0，f′(x)=4x ln4﹣12,由f′（x)=0可得x0=log4∈(1，2),当x＞x0时,f′（x）＞0,f（x）递增，故数列{a n}中除去开始的两项之外，再没有相等的两项．【点评】本题考查数列的求和方法:分组求和,考查等比数列和等差数列的求和公式，同时考查反证法的运用，以及构造函数法,考查化简整理的运算能力,属于中档题．21．(18分）（2017•杨浦区二模）设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B 在直线l2上的射影分别为C、D．（1)当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2)当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时,试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1,1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．【考点】KC：双曲线的简单性质．（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1,可得c==2,可得右焦点F（2,0）．当【分析】l1垂直于x轴，t=﹣2时,由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．即可得出面积．（2)作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN,垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．利用双曲线的第二定义可得：=,==．（3)存在实数t∈(﹣1,1),t=时,定点．下面给出证明分析：设直线AB的方程为：y=k(x﹣2）,A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2))．则C（t，k（x1﹣2）），D（t,k（x2﹣2）)．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k2）x2+4k2x ﹣4k2﹣3=0，分别得出:直线AD与BC的方程，进而得出．【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F(2，0)．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．代入双曲线可得：22﹣=1，焦点y=±3．∴四边形ABDC的面积S=4×6=24．(2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．则==+．===．∵｜AF｜＞｜FB|，∴＜．∴＜1．（3)存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明:设直线AB的方程为：y=k（x﹣2）,A(x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2)）．联立，化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=，x1•x2=．直线AD的方程为:y﹣k(x1﹣2）=(x﹣x1），令y=0，解得x=．直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2)=（x﹣x2）,令y=0，解得x=．由=，可得：（2+t）（x1+x2)﹣2x1•x2﹣4t=0．∴（2+t）•﹣2•﹣4t=0．化为:t=，不妨取k=1，则2x2+4x﹣7=0,解得x=．不妨取x1=，x2=．定点的横坐标x===．∴定点坐标．【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2017年上海市静安区中考数学二模试卷(解析版)
2017年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．2等于（）A．B．﹣C．D．﹣2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B． C．D．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的4．一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下表：那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是（）A．9和8 B．9和8.5 C．3和2 D．3和15．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（）A．正五边形B．正六边形C．等腰梯形D．平行四边形6．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2﹣1﹣20=．8．在实数范围内分解因式：2x2﹣6=．9．不等式组的解集是．10．函数y=的定义域是．11．如果函数y=的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是．12．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是．13．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为人．14．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是．15．如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，如果=，=，那么=（用向量、表示）．16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是．18．如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB=3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．化简：（﹣）÷，并求x=时的值．20．解方程： +=1．21．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E，AB=9，cos∠BAC=，tan∠DBC=．求：（1）边CD的长；（2）△BCE的面积．22．有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒．（1）问小盒每个可装这一物品多少克？（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n个，所有盒子所装物品的总量为w克．①求w关于n的函数解析式，并写出定义域；②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：（1）FD=CG；（2）CG2=FG•FC．24．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．25．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．2017年上海市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．2等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】2F：分数指数幂．【分析】根据分数指数幂和负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式===，故选（C）2．下列二次根式里，被开方数中各因式的指数都为1的是（）A．B． C．D．【考点】71：二次根式的定义．【分析】根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：A．x，y的指数分别为2，2．所以此选项错误；B．x2+y2的指数为1，所以此选项正确；C．x+y的指数为2，所以此选项错误；D．x，y的指数分别为1，2．所以此选项错误；故选B．3．关于x的方程x2﹣mx﹣1=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定的【考点】AA：根的判别式．【分析】先计算△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义即可判断方程根的情况．【解答】解：△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）=m2+4，∵m2≥0，∴m2+4＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．4．一次数学作业共有10道题目，某小组8位学生做对题目数的情况如下表：那么这8位学生做对题目数的众数和中位数分别是（）A．9和8 B．9和8.5 C．3和2 D．3和1【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：根据图表可得：9出现了3次，出现的次数最多，则众数是9；把这些数据从小到大排列，最中间的两个数是第4、5个数的平均数，则这8位学生做对题目数的中位数是：=8.5；故选B．5．在下列图形中，一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形的为（）A．正五边形B．正六边形C．等腰梯形D．平行四边形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形．【解答】解：A、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，B、正六边形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误，C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确，故选D．6．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A．如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B．如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C．如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D．如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形【考点】LC：矩形的判定；L9：菱形的判定．【分析】根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可．【解答】解：A、如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形；B、如果AD∥BC，AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，那么四边形ABCD是矩形；C、如果AD∥BC，AD=BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；D、如果AD∥BC，OA=OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；故选：A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2﹣1﹣20=﹣．【考点】6F：负整数指数幂；6E：零指数幂．【分析】根据负整数指数幂，零次幂，可得答案．【解答】解：原式=﹣1=﹣，故答案为：﹣．8．在实数范围内分解因式：2x2﹣6=．【考点】58：实数范围内分解因式；55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．【解答】解：2x2﹣6=2（x2﹣3）=2（x+）（x﹣）．故答案为2（x+）（x﹣）．9．不等式组的解集是＜x＜5．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：由①得x＞，由②得x＜5，故不等式组的解集是＜x＜5．故答案为：＜x＜5．10．函数y=的定义域是x≠3．【考点】E4：函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．11．如果函数y=的图象在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大，那么m的取值范围是m＜．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】先根据反比例函数的性质得出1﹣2k＜0，再解不等式求出k的取值范围．【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而增大，∴3m﹣1＜0，∴m＜．故答案为m＜．12．如果实数x满足（x+）2﹣（x+）﹣2=0，那么x+的值是2或﹣1．【考点】B4：换元法解分式方程．【分析】根据换元法，可得答案．【解答】解：设x+=u，原方程等价于u2﹣u﹣2=0，解得u=2或u=﹣1，x+=2或x+=﹣1，故答案为：2或﹣1．13．为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为1500人．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体．【分析】先根据频率分布直方图，得到从左至右前四组的频率，进而得出后两组的频率之和，最后根据总数×频率，即可得到体重不小于60千克的学生人数．【解答】解：∵从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，∴从左至右前四组的频率依次为0.02×5=0.1、0.03×5=0.15、0.04×5=0.2、0.05×5=0.25，∴后两组的频率之和为：1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.25=0.3，∴体重不小于60千克的学生人数约为：5000×0.3=1500人，故答案为：1500．14．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．【解答】解：∵从布袋里摸出两个球的方法一共有10种，摸到两个红球的方法有3种，∴摸到两个红球的概率是．故答案为：．15．如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，如果=，=，那么=﹣（用向量、表示）．【考点】LM：*平面向量．【分析】根据平面向量的平行四边形法则解题即可．【解答】解：∵在△ABC中，点D是边AC的中点，如果=，=，∴=（﹣）=﹣．故答案是：﹣．16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是﹣1．【考点】LE：正方形的性质；KK：等边三角形的性质．【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．【解答】解：∵四边形正方形ABCD，∴∠B=∠D=90°，AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，设BE=x，那么DF=x，CE=CF=1﹣x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，在Rt△EFC中，FE2=CF2+CE2，∴AB2+BE2=CF2+CE2，∴x2+1=2（1﹣x）2，∴x2﹣4x+1=0，∴x=2±，而x＜1，∴x=2﹣，即BE的长为=2﹣，∴CE=BC﹣BE=1﹣（2﹣）=﹣1．17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，点D在边AB上，△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，点C落在点C′，那么∠ACC′的度数是50°．【考点】R2：旋转的性质．【分析】先根据DB=DC，∠B=70°，∠ACB=90°，即可得到∠BCD=70°，∠ACD=90°﹣70°=20°，再根据旋转可得，∠B=∠A'CC'=70°，最后求得∠ACC'=70°﹣20°=50°．【解答】解：如图所示，∵△ABC绕点D旋转后点B与点C重合，∴DB=DC，又∵∠B=70°，∠ACB=90°，∴∠BCD=70°，∠ACD=90°﹣70°=20°，由旋转可得，∠B=∠A'CC'=70°，∴∠ACC'=70°﹣20°=50°．故答案为：50°．18．如图，⊙A和⊙B的半径分别为5和1，AB=3，点O在直线AB上，⊙O与⊙A、⊙B都内切，那么⊙O半径是 1.5或4.5．【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【分析】根据两圆内切时圆心距=两圆半径之差的绝对值，分两种情况求解即可．【解答】解：设⊙O半径是R，根据题意，分两种情况：①如图1，OA=5﹣R，OB=R﹣1，∵OA=AB+OB，∴5﹣R=3+R﹣1，解得R=1.5；②如图2，OA=5﹣R，OB=R﹣1，∵OA=OB﹣AB，∴5﹣R=R﹣1﹣3，解得R=4.5．故答案为1.5或4.5．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．化简：（﹣）÷，并求x=时的值．【考点】6D：分式的化简求值．【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（﹣）÷====，当x==2+时，原式=．20．解方程： +=1．【考点】AG：无理方程．【分析】根据完全平方公式，可化为整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：=1﹣，平方，得x+1=1﹣2+2x﹣5，2=x﹣58x﹣20=x2﹣10x+25x2﹣18x+45=0，解得x1=3，x2=15，经检验：x1=3，x2=15都是原方程的增根，∴原方程无解．21．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E，AB=9，cos∠BAC=，tan∠DBC=．求：（1）边CD的长；（2）△BCE的面积．【考点】T7：解直角三角形．【分析】（1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长；（2）根据题意可以求得BC和BC边上的高，从而可以求得△BCE的面积．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=9，cos∠BAC=，tan∠DBC=，∴设CD=5a，则BC=12a，AB=9a，∴9a=9，得a=1，∴CD=5a=5，即CD的长是5；（2）由（1）知，AB=9，BC=12，CD=5，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴AB∥CD，∴，作EF∥AB交CB于点F，则△CEF∽△CAB，∴，∴，解得，EF=，∴△BCE的面积是：．22．有两种包装盒，大盒比小盒可多装20克某一物品．已知120克这一物品单独装满小盒比单独装满大盒多1盒．（1）问小盒每个可装这一物品多少克？（2）现有装满这一物品两种盒子共50个．设小盒有n个，所有盒子所装物品的总量为w克．①求w关于n的函数解析式，并写出定义域；②如果小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同，求所有盒子所装物品的总量．【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用．【分析】（1）设小盒每个可装这一物品x克，根据题意，列出分式方程，求出x 的值即可；（2）①根据两种盒子的数量共有50个，所装物品的重量等于大盒物品质量之和+小盒物品质量之和；②根据小盒所装物品总量与大盒所装物品总量相同列出n的方程，求出n的值即可．【解答】解：（1）设小盒每个可装这一物品x克，根据题意得﹣=1，即x2+20x﹣2400=0，解得x1=40，x2=﹣60，它们都是原方程的解，但x=﹣60不合题意．答：小盒每个可装这一物品40克．（2）①w=40n+60（50﹣n）=3000﹣20n，（0＜n＜50，n为整数），②40n=60（50﹣n），解得n=30，w=2400；答：所有盒子所装物品的总量为2400克．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，点F在BA的延长线上，BE=AF，CF∥AE，CF与边AD相交于点G．求证：（1）FD=CG；（2）CG2=FG•FC．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠FAD=∠B，根据全等三角形的性质得到FD=EA，于是得到结论；（2）根据菱形的性质得到∠DCF=∠BFC，根据平行线的性质得到∠BAE=∠BFC，根据全等三角形的性质得到∠BAE=∠FDA，等量代换得到∠DCF=∠FDA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠FAD=∠B，在△ADF与△BAE中，，∴△ADF≌△BAE，∴FD=EA，∵CF∥AE，AG∥CE，∴EA=CG，∴FD=CG；（2）∵在菱形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCF=∠BFC，∵CF∥AE，∴∠BAE=∠BFC，∴∠DCF=∠BAE，∵△ADF≌△BAE，∴∠BAE=∠FDA，∴∠DCF=∠FDA，又∵∠DFG=∠CFD，∴△FDG∽△FCD，∴，FD2=FG•FC，∵FD=CG，∴CG2=FG•FC．24．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的正半轴相交于点A（2，0）和点B、与y轴相交于点C，它的顶点为M、对称轴与x轴相交于点N．（1）用b的代数式表示顶点M的坐标；（2）当tan∠MAN=2时，求此二次函数的解析式及∠ACB的正切值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．【分析】（1）由于二次函数过点A，从而可知c=2﹣2b，然后将c代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的顶点坐标．（2）根据解析式可求出MN=（b﹣2）2，由于点B的位置不确定，需要分情况讨论，求出b的值，从而求出二次函数的解析式，然后求出B、C的坐标后即可求出tan∠ACB．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A（2，0），∴0=﹣×4+2b+c∴c=2﹣2b∴y=﹣x2+bx+c=﹣x2+bx+2﹣2b=﹣（x﹣b）2+∴顶点M的坐标为（b，）（2）∵tan∠MAN==2∴MN=2AN．∵M（b，）∴N（b，0），∴MN=（b﹣2）2①当点B在点N左侧时，AN=2﹣b，∴（b﹣2）2=2（2﹣b）∴b=﹣2．不符合题意．②当点B在点N右侧时，AN=b﹣2，∴（b﹣2）2=2（b﹣2）∴b=6∴二次函数的解析式为y=﹣x2+6x﹣10∴点C（0，﹣10），∵点A、B关于直线MN对称，∴点B（10，0）．∵OB=OC=10，∴BC=10，∠OBC=45°，过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵AB=8，∴AH=BH=4，∴CH=6∴tan∠ACB===25．如图，已知⊙O的半径OA的长为2，点B是⊙O上的动点，以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C，AC的延长线与⊙O相交于点D．设线段AB的长为x，线段OC的长为y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当四边形ABDO是梯形时，求线段OC的长．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）由△ABC∽△OAB，推出=，可得=，推出BC=x2，由OC=OB﹣BC，可得y关于x的函数解析式y=2﹣x2；（2）分两种情形讨论①当OD∥A B时，②当BD∥OA时，分别想办法构建方程解决问题；【解答】解：（1）在⊙O与⊙A中，∵OA=OB，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=∠OAB，∴△ABC∽△OAB，∴=，∴=，∴BC=x2，∵OC=OB﹣BC，∴y关于x的函数解析式y=2﹣x2，定义域为0＜x＜2．（2）①当OD∥A B时，∴=，∴=，整理得x2+2x﹣4=0，∴x=﹣1（负值舍去），∴AB=，这时AB≠OD，符合题意．∴OC=2﹣x2=2﹣（﹣1）2=﹣1．②当BD∥OA时，设∠ODA=α，∵BD∥OA，OA=OD，∴∠BDA=∠OAD=∠ODA=α，又∵OB=OD，∴∠BOA=∠OBD=∠ODB=2α，∵AB=AC，OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=∠ACB=∠COA+∠CAO=3α，∵∠AOB+∠OAB+∠OBA=180°，∴2α+3α+3α=180°，∴α=22.5°，∠BOA=45°，∴∠ODB=∠OBD=45°，∠BOD=90°，∴BD=2，∵BD∥OA，∴=，∴=，∴y=2﹣2．OC=2﹣2，由于BD≠OA，OC=2﹣2符合题意．∴当四边形ABDO是梯形时，线段OC的长为﹣1或2﹣2．2017年7月12日。
2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷
2017年浙江省宁波市高三二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集，，则A. B.C. D.2. 把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则A. B. C. D.3. 的展开式中含项的系数为A. B. C. D.4. 随机变量的取值为，，．若，，则A. B. C. D.5. 已知平面，和直线，，若，则“”是“，且”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设，则函数的零点之和为A. B. C. D.7. 从，，，，这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数个数为A. B. C. D.8. 如图，，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若，且，则与离心率之和为A. B. C. D.9. 已知函数，则下列关于函数的结论中，错误的是A. 最大值为B. 图象关于直线对称C. 既是奇函数又是周期函数D. 图象关于点中心对称10. 如图，在二面角中，，均是以为斜边的等腰直角三角形，取中点，将沿翻折到，在的翻折过程中，下列不可能成立的是A. 与平面内某直线平行B. 平面C. 与平面内某直线垂直D.二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知函数，则函数的最小正周期为，振幅的最小值为．12. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是，体积是．13. 已知，是公差分别为，的等差数列，且，，若，，则；若为等差数列，则．14. 定义，已知函数，其中，，若，则实数的范围为；若的最小值为，则．15. 已知，，为坐标原点，若直线：与所围成区域（包含边界）没有公共点，则的取值范围为．16. 已知向量，满足，，若恒成立，则实数的取值范围为．17. 若，，则的最大值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的值．19. 如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，平面平面，点，分别为，的中点，．（1）证明：直线 平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. 设函数，．（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；（2）当时，记的极小值为，求的最大值．21. 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有．当点的横坐标为时，为正三角形．（1）求的方程；（2）若直线，且和有且只有一个公共点，试问直线是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22. 已知数列中，，，，为的前项和．证明：时．（1）；（2）．答案第一部分1. C 【解析】因为且，则．2. A 【解析】由，故．3. C 【解析】二项展开式通项为，故含的系数为．4. B 【解析】设，，由分布列的性质得，又由，联立可得，，所以．5. B【解析】如图，由可得或，故由不一定能推出且，反之若且，由线面平行的性质定理和判定定理易得，故是且成立的必要不充分条件．6. C 【解析】画出函数的图象如图，则要使，只需或，由得，或，由得或，故所求零点之和为．7. B 【解析】三个不相同的数组成三位数，首位与末位只能用奇数，中间位随意，故先排首位末位得．8. A 【解析】如图，连接，，由椭圆与双曲线的对称性知，又，所以，，又，故．9. D 【解析】选项正误原因当时故图象关于对称易得故为奇函数且由选项得即得故周期为不一定为故图象不关于点中心对称10. A【解析】选项正误原因因为直线与平面相交于点故平面内的直线与直线或相交或异面不可能平行因为与异面所以过可以作一平面与平行当点落在此平面时 平面因为直线与平面相交于点故过点能作一条直线与垂直则在平面内与所作的那条直线平行的无数条直线均与垂直过点作因为所以当在平面上的阴影落在上时第二部分11. ，【解析】函数，故最小正周期为，振幅．12. ，【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为，，，所以体积为，由于两个长方体重叠部分为一个边长为的正方形，所以表面积为．13. ，【解析】易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，由，，得，即得，化简得．14. ；【解析】做出函数的图象如图，要使需，要使的最小值为，需在第一象限的交点纵坐标为，从而得，故有．15.【解析】因为（含边界）与直线没有公共点，故得三个点，，在直线的同一侧，又代入，故有代入均小于．即有其表示的平面区域如图阴影部分，设则有，平移直线，易知经过点时最小，计算可得点的坐标为，故，无最大值，故的取值范围为．16.【解析】因为，且，如图，可得．又，故要使恒成立只需恒成立，即为或恒成立．由得，因为，所以没有使恒成立，由恒成立得恒成立，即只需或．一题多解设向量，夹角为，由两边平方得，，又，故要使恒成立，只需恒成立，即为或恒成立．由得，因为，所以没有使恒成立，由恒成立得恒成立，即只需或．17.【解析】当时，；当时，，令，则可化为．设，因为该方程一定有解，故得．综上的最大值为．第三部分18. （1）因为，所以由正弦定理得，又因为，所以，且为锐角，所以．（2）由（）知，，由正弦定理得，，，因为，所以．19. （1）取中点，连接，，如图，易知，．因为，平面，平面．得 平面，同理 平面，又，平面，平面，所以，平面 平面．又平面，所以直线 平面．（2）解法一：连接，．如图，因为平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以．又因为，，平面，平面，所以平面，平面平面．过点作于点，连接，由平面平面可知，平面．所以直线与平面所成角为．在直角三角形中，求得，在直角三角形中，求得，所以，．解法二：由，易得，又为中点．所以，因为为正三角形，所以，又平面平面，易得平面，故以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，由为中点得，，，．设平面的法向量为，则令，得，，则．设直线与平面所成角为，则．20. （1），由题知，，即，解得．（2）设，则，有，．可知在递减，在递增．．则极小值记，当时，为增函数；当，，此时为增函数．所以．易知，函数在上为减函数，，综上，极小值的最大值为．21. （1）由题意知，设，则的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）．由，解得，所以抛物线的方程为．（2）由（Ⅰ）知，设，，因为，则，由得，故，故直线的斜率为，因为直线和直线平行，故可设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得．设，则，，当时，则，可得直线的方程为，由，整理可得，所以直线恒过点，当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．22. （1）当时，因为所以与同号，又因为，，，所以当时，．（2）因为，有，有，所以与同号，又因为，，得．有．得．由可得，因此，，即，所以综上可得，．。
河南省郑州市2017届高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥20174．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．39．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．24011．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈+1N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．无数【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=i n（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【解答】解：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要注意指数函数、对数函数、三角函数的性质的合理运用．3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，S=1，n=1+1=2，第2次循环，S=1+，n=2+1=3，…当n=2018时，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出S的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2017．故选：B．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的分析对判断框进行判断，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．5．下列命题是真命题的是（）A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举出反例φ=，可判断A；举出正例α=，β=﹣，可判断B；求出向量的投影，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．【解答】解：当φ=时，函数f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，故A为假命题；∃α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B为真命题；向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为﹣2，故C为假命题；“|x|≤1”⇔“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要条件，故D为假命题，故选：B【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查奇数的奇偶性，特称命题，向量的投影，充要条件等知识点，难度中档．6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b 有两个相异零点的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】设所求的事件为A，由方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0求出ab范围，判断出是一个几何概型后，在坐标系中画出所有的实验结果和事件A构成的区域，再用定积分求出事件A构成的区域的面积，代入几何概型的概率公式求解．【解答】解：设事件A={使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点}，方程ax2+x+b=0有两个相异根，即△=1﹣ab＞0，解得ab＜1，∵在[1，e]上任取实数a，在[0，2]上任取实数b，∴这是一个几何概型，所有的实验结果Ω={（a，b）|1≤a≤e且0≤b≤2}，面积为2（e﹣1）；事件A={（a，b）|ab＜1，1≤a≤e且0≤b≤2}，面积S==1，∴事件A的概率P（A）=．故选A．【点评】本题考查了几何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的个数求出ab的范围，用定积分求不规则图形的面积，考查了学生综合运用知识的能力．7．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n 【考点】数列递推式．【分析】a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得a n+6=a n．即可得出．【解答】解：∵a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴a n+6=a n．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），z=2|x﹣2|+|y|=﹣2x+y+4，化为y=2x+z﹣4．由图可知，当直线y=2x+z﹣4过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）A．﹣1 B．0 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A．72 B．120 C．192 D．240【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，即可得出结论．【解答】解：由题意，末尾是2或6，不同的偶数个数为=120；末尾是4，不同的偶数个数为=120，故共有120+120=240个，故选D．【点评】本题考查排列、组合知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）A．4 B．5C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的模，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣m2=1，即n2﹣4m2=4，由双曲线﹣x2=1的渐近线方程为y=±2x，则由，解得交点A（，）；由，解得交点B（，）．=（，），=（，），则有|PA|•|PB|===．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的模求法，考查运算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f′（x）==，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k≥．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为：1．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】作图分析．【解答】解：如图：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S=6a2；正四面体的边长为则其表面积为4•sin60°=2a2；则面积比为6a2：2a2=：1．故答案为：：1．【点评】考查了学生的空间想象力．14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为112．【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数．【解答】解：幂函数y=x a的图象过点（3，9），∴3a=9，∴a=2，=（﹣1）r C8r28﹣r x，∴=（﹣）8的通项为T r+1令r﹣8=1，解得r=6，展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112，故答案为：112．【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力．15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为5．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】利用过P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，求出B的横坐标，即可求出点B到抛物线的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设A，B在直线x=﹣1的射影分别为D，E．∵2|PA|=|AB|，∴3（x1+1）=x2+1即3x1+2=x2，3y1=y2，∵A．B两点在抛物线y2=8x上∴3=，解得x1=，x2=3，∴点B到抛物线的焦点的距离为BF=3+2=5．故答案为5【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定B的横坐标．16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．【解答】解：设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角θ，则由余弦定理得cosθ==，∴sinθ====，∴根据公式三角形面积S=absinθ=×2x•2x•=，∴当x2=5时，三角形面积有最大值6．故答案为：6．【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件设出变量，根据三角形的面积公式以及三角函数的关系是解决本题的关键，利用二次函数的性质即可求出函数的最值，考查学生的运算能力．运算量较大．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2017•濮阳二模）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n+n+1（n∈N*）．+1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =log 3（﹣a n +1），求数列{}前n 项和为T n ，求证T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣，化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1），利用等比数列的通项公式即可得出．（II ）b n =log 3（﹣a n +1）=n ，可得=．再利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可证明．【解答】（I ）解：∵S n =a n +1+n +1（n ∈N *）．∴n=1时，﹣2=a 2+2，解得a 2=﹣8．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=a n +1+n +1﹣， 化为：a n +1=3a n ﹣2，可得：a n +1﹣1=3（a n ﹣1）， n=1时，a 2﹣1=3（a 1﹣1）=﹣9，∴数列{a n ﹣1}是等比数列，首项为﹣3，公比为3． ∴a n ﹣1=﹣3n ，即a n =1﹣3n ． （II ）证明：b n =log 3（﹣a n +1）=n ，∴=．∴数列{}前n项和为T n =++…++=＜．∴T n ＜．【点评】本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•濮阳二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接DE，通过证明四边形A1DEF是平行四边形得出EF∥A1D，从而EF∥平面A1CD；（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，则可证BM⊥平面A1CD，即∠BCM为所求线面角，设三棱柱棱长为1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】证明：（I）连接DE，∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE AC，∵F是A1C1的中点，∴A1F=A1C1，又AC A1C1，∴A1F DE，∴四边形A1DEF是平行四边形，∴EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）过B作BM⊥A1D交延长线于M，连接CM，∵ABC是等边三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM⊂平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM为直线BC与平面A1CD所成的角，设直三棱柱棱长为1，则BM=，∴sin∠BCM==．【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．19．（12分）（2017•濮阳二模）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N （200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；参考数据若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图即可求出a的值，（Ⅱ）根据正态分布的定义即可求出答案，（Ⅲ）根据分段函数的关系式代值计算即可．【解答】解：（Ⅰ）a=0.1﹣（0.002+0.009+0.022+0.024+0.008+0.002）=0.033，（Ⅱ）S2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.08=150所以为质量指标值Z服从正态分布N（200，150），所以P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826，故p（187.8，212.2）上的频率为0.6826；（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系y=，则y=0.4（175+185+195+205）+0.8×215﹣80+0.8×225﹣80﹣0.8×235﹣80=604【点评】本题考查了频率分布直方图和正态分布以及分段函数的问题，属于基础题．20．（12分）（2017•濮阳二模）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，即可求椭圆的离心率；（Ⅱ）CD的中点为M，证明|MA|2=|MB|2=d2+=，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a=，b=，c=，∴=；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入作差，整理可得（x1﹣x2）（x1+x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0．依题意，M（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，从而k AB=﹣1．直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．与椭圆方程联立，可得3x2﹣12x+18﹣m=0，∴|AB|=•|x1﹣x2|=．①∵CD垂直平分AB∴直线CD的方程为y﹣1=x﹣2，即x﹣y﹣1=0代入椭圆方程，整理得3x2﹣4x+2﹣m=0．又设C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3，x4是方程③的两根，∴x3+x4=，∴M（，﹣）于是由弦长公式可得|CD|=•|x3﹣x4|=．②点M到直线AB的距离为d==．③于是，由①②③式及勾股定理可得|MA|2=|MB|2=d2+=，此时|AB|＜|CD|故A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上．【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．21．（12分）（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a ∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a 的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，（）=ln﹣1，…6分从而g（x）的极大值，g（x）极大值=g又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•濮阳二模）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为直角坐标方程．曲线C的参数方程是（α为参数），利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，可得直线l被曲线C截得的弦长=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可．【解答】解：（I）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，展开可得：=0，化为：y﹣x=0．曲线C的参数方程是（α为参数），消去参数α可得：x2+（y﹣2）2=4，圆心C（0，2），半径r=2．∴圆心C到直线l的距离d==1，∴直线l被曲线C截得的弦长=2=2=2．（II）设Q圆C上的任意一点，P（x，y）为线段OQ的中点，则Q（2x，2y），代入圆C的方程可得：（2x）2+（2y﹣2）2=4，化为：x2+y2﹣2y﹣3=0，可得ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，即为各弦中点轨迹的极坐标方程．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•濮阳二模）已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）当a=0时，由不等式可得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，则h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令h（x）=|2x+1|﹣|x|，即h（x）=，故h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。
浙江省2017年高考数学二模试卷
浙江省2017年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．“ab＜0”是“|a﹣b|=|a|+|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ3．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，则下列结论中错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x）在区间[0，]上是增函数D．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x﹣1的图象向右平移个单位得到4．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足=1，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B． C．D．5．若a，b，c＞0，且a（a+b+c）+bc=16，则2a+b+c的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知向量，，满足||=2，||==3，若（﹣2）（﹣）=0，则|﹣|的最小值是（）A．2+B．2﹣C．1 D．27．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线经过双曲线的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|=p，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．已知a为实数，函数f（x）=x2﹣|x2﹣ax﹣2|在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A．[1，8]B．[3，8]C．[1，3]D．[﹣1，8]二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9．（6分）（2016浙江二模）已知函数f（x）=，则f（3）=；当x＜0时，不等式f（x）＜2的解集为．10．（6分）（2016浙江二模）若函数的最小正周期为2π，则ω=；=．11．（6分）（2016浙江二模）已知实数x，y满足不等式组，若实数，则不等式组表示的平面区域的面积为；若目标函数z=4x+3y的最大值为15，则实数a的值为．12．（6分）（2016浙江二模）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为；表面积为．13．（4分）（2016浙江二模）已知正方形ABCD中，点A（2，1），C（6，﹣3）．若将点A折起，使其与边BC的中点E重合，则该折线所在直线方程为．14．（4分）（2016浙江二模）若正数3x+4y+5z=6，则+的最小值．15．（4分）（2016浙江二模）已知函数，若函数y=f[f（x）﹣a]有6个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）=asinA ﹣bsinB，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1，∠ABC=90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP=2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．设函数f（x）=ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy=l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．已知椭圆L：=1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c=2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2017年浙江省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
2017年山东省青岛市高考数学二模试卷(理科)
2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．64005．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．116．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|=．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017年山东省青岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}，B={x|y=log2（x+2）}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|﹣2＜x≤3}B．{x|x＞3}C．{x|x≥3}D．{x|x＜﹣2}【解答】解：全集U=R，集合A={y|y=3﹣x2}={y|y≤3}，∴∁U A={y|y＞3}，又B={x|y=log2（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，∴（∁U A）∩B={x|x＞3}．故选：B．2．（5分）设复数z=﹣2+i（i为虚数单位），则复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴=﹣2+i+=﹣2+i+=．∴复数的虚部为．故选：A．3．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，另两名员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A．5800 B．6000 C．6200 D．6400【解答】解：∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为5200，5300，5500，6100，6500，6600，∴当另外两名员工的工资都小于5300时，中位数为=5400，当另外两名员工的工资都大于6500时，中位数为=6300，∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[5400，6300]，∴8位员工月工资的中位数不可能是6400．故选：D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出i=9，故选：B．6．（5分）已知x=﹣3，x=1是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的两个相邻的极值点，且f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，则f（0）=（）A．0 B．C．D．【解答】解：∵x=1，x=﹣3是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的两个极值点，∴f（x）的周期T═2×（1+3）=8，∴ω=，∵f（x）在x=﹣1处的导数f'（﹣1）＞0，∴函数f（x）在[﹣3，1]递增，∴f（1）=1，∴ω+φ=2kπ+，φ=2kπ+，f（0）=sin（+2kπ）=，故选：D．7．（5分）已知实数m＞1，实数x，y满足不等式组，若目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由z=x+my得y=﹣x+，∵m＞1，∴目标函数的斜率k=﹣∈（﹣1，0），作出不等式组对应的平面区域如图：由平移可知当直线y=﹣x+，经过点A时，目标函数取得最大值，此时z=x+my=3，由，解得A（，），同时，A也在直线x+my=3上，代入得+m=3，解得m=4，故选：C．8．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为（）A．10000立方尺B．11000立方尺C．12000立方尺D．13000立方尺【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=3×2×2=6，四棱锥的体积V2=×1×3×2=2，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V=V1+2V2=10立方丈=10000立方尺．故选：A．9．（5分）学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36 种B．30 种C．24 种D．6 种【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共种方法，故总的方法种数为：=36﹣6=30故选B10．（5分）设F为双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±x，由OF的垂直平分线为x=，将x=，代入y=x，则y=，则交点坐标为M（，），由M，到y=﹣x，即bx+ay=0的距离d==|OF|=，解得：2c=3b=3，即9a2=5c2，则双曲线的离心率e==，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0的解集为（﹣∞，﹣6）∪．【解答】解：由不等式|2x+1|﹣|5﹣x|＞0，可得（2x+1）2＞（5﹣x）2，即3x2+14x ﹣24＞0，解得x＜﹣6或x．故答案为：（﹣∞，﹣6）∪．12．（5分）已知向量，的夹角为120°，，，则=1．【解答】解：由已知向量，的夹角为120°，，，所以，所以=3，即4﹣2+2=3，解得=1；故答案为：1．13．（5分）曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．【解答】解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2x和圆x2+y2﹣x=0，倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，若直线l与抛物线和圆的交点自上而下依次为A，B，C，D，则|AB|+|CD|= 3．【解答】解：由圆x2+y2﹣x=0，即（x﹣）2+y2=可知，圆心为F（，0），半径为，抛物线y2=2x，得到抛物线焦点为F（，0），如图：|AB|+|CD|=|AD|﹣|BC|∵|BC|为已知圆的直径，∴|BC|=1，则|AB|+|CD|=|AD|﹣1．设A（x1，y1）、D（x2，y2），∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在抛物线上，由已知可知，直线l方程为y=x﹣，由消去y，得4x2﹣12x+1=0，∴x1+x2=3．∴|AD|=3+1=4，因此，|AB|+|CD|=4﹣1=3．故答案为：3．15．（5分）若函数f（x）对定义域内的任意x1，x2，当f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称函数f（x）为单纯函数，例如函数f（x）=x是单纯函数，但函数f（x）=x2不是单纯函数．若函数为单纯函数，则实数m的取值范围是m≤0．【解答】解：f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，且f（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0]上的值域为（0，1]，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上的值域为（﹣∞，m），∵f（x）是单纯函数，∴（﹣∞，m）∩（0，1]=∅，∴m≤0．故答案为：m≤0．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）﹣cos2x+．（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，f（A）=，a=3，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sin2x+cos2x）﹣cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=得：sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=，由余弦定理知a2=9=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤9（当且仅当b=c时等号成立），∴S=bcsinA≤×9×=，∴△ABC面积的最大值为．17．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，…（10分）所以…（12分）18．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，DAA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵ABB 1A1为矩形，AB=2，，D是AA1的中点，∴∠BAD=90°，，，从而，，∵，∴∠ABD=∠AB1B，…（2分）∴，∴，从而AB1⊥BD…（4分）∵CO⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=O，∴AB1⊥平面BCD，∵AB1⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BCD…（6分）（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1，所以△AOD和△B1OB相似，从而又，∴，，，，∴，，∵G为△AB1C的重心，∴，…（8分）设平面ABC的法向量为，，由可得，令y=1，则z=﹣1，，所以．…（10分）设直线GD与平面ABC所成角α，则=，所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为…（12分）19．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）在公差d不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．可得（a1+d）2=2a1+7d，且a32=a1a11，即（a1+2d）2=a1（a1+10d），解得a1=2，d=3，则a n=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；（Ⅱ）b n=（﹣1）n=（﹣1）n=•（﹣1）n•=•（﹣1）n•（+），∴T n=b1+b2+b3+…+b n=[﹣（+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+）]=[﹣1+（﹣1）n•）]．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B2、B1，O为坐标原点，四边形A1B1A2B2的面积为4，且该四边形内切圆的方程为x2+y2=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M、N是椭圆C上的两个不同的动点，直线OM、ON的斜率之积等于﹣，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵四边形A1B1A2B2的面积为4，又可知四边形A1B1A2B2为菱形，∴，即ab=2 ①由题意可得直线A2B2方程为：，即bx+ay﹣ab=0，∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为，∴圆心O到直线A2B2的距离为，即②…（3分）由①②解得：a=2，b=1，∴椭圆C的方程为：…（5分）（Ⅱ）若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m，M（x1，y1），N （x2，y2），由得：（1+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣1）=0∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，∴△=64m2k2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0得：1+4k2﹣m2＞0③由韦达定理：…（7分）∵直线OM，ON的斜率之积等于，∴，∴，∴2m2=4k2+1满足③…（9分）∴，又O到直线MN的距离为，，所以△OMN的面积…（12分）若直线MN的斜率不存在，M，N关于x轴对称设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），则，，又∵M在椭圆上，，∴，所以△OMN的面积S===1．综上可知，△OMN的面积为定值1．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=（1﹣m）lnx+﹣x，m∈R且m≠0．（Ⅰ）当m=2时，令g（x）=f（x）+log2（3k﹣1），k为常数，求函数y=g（x）的零点的个数；（Ⅱ）若不等式f（x）＞1﹣在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，g（x）=﹣lnx+x2﹣x+log2（3k﹣1），x＞0，所以，令g'（x）=0，解得x=1或（舍去），当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，所以y=g（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，所以y=g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以x=1是y=g（x）的极小值点，y=g（x）的最小值为g（1）=log2（3k﹣1）…（3分）当log2（3k﹣1）=0，即时，函数y=g（x）有一个零点，当log2（3k﹣1）＞0，即时，函数y=g（x）没有零点，当log2（3k﹣1）＜0，即时，函数y=g（x）有两个零点…（6分）（Ⅱ）由已知，令f'（x）=0，解得，由于，①若m＜0，则，故当x≥1时，f'（x）≤0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以，又因为，则不成立…（8分）②若，则，故当时，f'（x）≤0；当时，f'（x）＞0，即f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，所以，则，因此当时，恒成立…（11分）③若，则，故当x≥1时，f'（x）≥0，因此f（x）在[1，+∞）上单调递增，故，令，化简得m2﹣4m+2＞0，解得，所以…（13分）综上所述，实数m的取值范围是…（14分）。
2017年上海市普陀区高考数学二模试卷含详解
2017年上海市普陀区高考数学二模试卷一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是．12．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，M是直线DE上的动点，若△ABC的面积为1，则•+2的最小值为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2 14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B 两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．2017年上海市普陀区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题4分，满分54分）1．（4分）计算：（1+）3=1．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题；52：导数的概念及应用．【分析】根据题意，对（1+）3变形可得（1+）3=（+++1），由极限的意义计算可得答案．【解答】解：根据题意，（1+）3==（+++1）=1，即（1+）3=1；故答案为：1．【点评】本题考查极限的计算，需要牢记常见的极限的化简方法．2．（4分）函数f（x）=log2（1﹣）的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：1﹣＞0，解得：x＞1或x＜0，故答案为：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．3．（4分）若＜α＜π，sinα=，则tan=3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值，再利用半角公式求得tan的值．【解答】解：若＜α＜π，sinα=，则cosα=﹣=﹣，∴tan==3，故答案为：3．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，半角公式的应用，属于基础题．4．（4分）若复数z=（1+i）•i2（i表示虚数单位），则=﹣1+i．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简，再根据共轭复数的定义即可求出【解答】解：z=（1+i）•i2=﹣1﹣i，∴=﹣1+i，故答案为：﹣1+i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算以及共轭复数，是基础的计算题．5．（4分）曲线C：（θ为参数）的两个顶点之间的距离为2．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；34：方程思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形为普通方程，分析可得曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），由两点间距离公式计算可得答案．【解答】解：曲线C：，其普通方程为x2﹣y2=1，则曲线C为双曲线，且两个顶点的坐标为（±1，0），则则两个顶点之间的距离为2；故答案为：2．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，涉及双曲线的几何性质，关键是将曲线的参数方程化为普通方程．6．（4分）若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K的概率为（结果用最简分数表示）．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】先求出基本事件总数n=52×52，再求出两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，由此能求出两张牌都是K的概率．【解答】解：从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，在放回抽取的情形下，基本事件总数n=52×52，两张牌都是K包含的基本事件个数m=4×4，∴两张牌都是K的概率为p===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归转化思想，是基础题．7．（5分）若关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则实数m 的取值范围是[1，] ．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法．【分析】由题意，关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，转化为函数y=sin（x+）与函数y=m的图象有交点问题．【解答】解：由题意，sinx+cosx﹣m=0，转化为：sinx+cosx=m，设函数y=sin （x+）x∈[0，]上，则x+∈[，]∴sin（x+）∈[]∴函数y=sin（x+）的值域为[1，]关于x 的方程sinx+cosx﹣m=0在区间[0，]上有解，则函数y=m的值域为[1，]，即m∈[1，]故答案为：[1，]．【点评】本题考查了方程有解问题转化为两个函数的交点的问题．属于基础题．8．（5分）若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．9．（5分）若函数f（x）=log22x﹣log2x+1（x≥2）的反函数为f﹣1（x）．则f﹣1（3）=4．【考点】4R：反函数．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；51：函数的性质及应用．【分析】由题意，log22x﹣log2x+1=3，根据x≥2，即可得出结论．【解答】解：由题意，log22x﹣log2x+1=3，∵x≥2，∴x=4，故答案为4．【点评】本题考查对数方程，考查反函数的概念，正确转化是关键．10．（5分）若三棱锥S﹣ABC的所有的顶点都在球O的球面上．SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，则球O的表面积为20π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O 的表面积．【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．【点评】本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．11．（5分）设a＜0，若不等式sin2x+（a﹣1）cosx+a2﹣1≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是a≤﹣2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需：求得a≥1或a≤﹣2，而a＜0故答案为：a ≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．12．（5分）在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 的中点，M 是直线DE 上的动点，若△ABC 的面积为1，则•+2的最小值为 ．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】35：转化思想；41：向量法；5A ：平面向量及应用．【分析】由三角形的面积公式，S △ABC =2S △MBC ，则S △MBC =，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得则•+2，利用导数求得函数的单调性，即可求得则•+2的最小值； 方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D 、E 是AB 、AC 的中点，∴A 到BC 的距离=点A 到BC 的距离的一半， ∴S △ABC =2S △MBC ，而△ABC 的面积1，则△MBC 的面积S △MBC =，S △MBC =丨MB 丨×丨MC 丨sin ∠BMC=，∴丨MB 丨×丨MC 丨=． ∴•=丨MB 丨×丨MC 丨cos ∠BMC=． 由余弦定理，丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC ， 显然，BM 、CM 都是正数，∴丨BM 丨2+丨CM 丨2≥2丨BM 丨×丨CM 丨，∴丨BC 丨2=丨BM 丨2+丨CM 丨2﹣2丨BM 丨×丨CM 丨cos ∠BMC=2×﹣2×．．∴•+2≥+2×﹣2×=，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值是，方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，•+2的最小值是，故答案为：．【点评】本题考查了向量的线性运算、数量积运算、辅助角公式，余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）动点P在抛物线y=2x2+1上移动，若P与点Q（0，﹣1）连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2【考点】J3：轨迹方程．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设PQ中点为（x，y），进而根据中点的定义可求出M点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．【解答】解：设PQ中点为M（x，y），则P（2x，2y+1）在抛物线y=2x2+1上，即2（2x）2=（2y+1）﹣1，∴y=4x2．故选：B．【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若α、β∈R，则“α≠β”是“tanα≠tanβ”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据正切函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若“α≠β”，则“tanα≠tanβ”不成立，不是充分条件，反之也不成立，比如α=，β=，故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查正切函数的性质，是一道基础题．15．（5分）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．16．（5分）关于函数y=sin2x的判断，正确的是（）A．最小正周期为2π，值域为[﹣1，1]，在区间[﹣，]上是单调减函数B．最小正周期为π，值域为[﹣1，1]，在区间[0，]上是单调减函数C．最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数D．最小正周期为2π，值域为[0，1]，在区间[﹣，]上是单调增函数【考点】GS：二倍角的三角函数；H7：余弦函数的图象．【专题】15：综合题；35：转化思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】先化简函数，再利用余弦函数的图象与性质，即可得出结论．【解答】解：y=sin2x=（1﹣os2x）=﹣cos2x+∴函数的最小正周期为π，值域为[0，1]，在区间[0，]上是单调增函数，故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简，考查余弦函数的图象与性质，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BC、A1D1的中点．（1）求证：四边形B1EDF是菱形；（2）求异面直线A1C与DE所成的角（结果用反三角函数表示）．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】（1）由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF 为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，然后利用空间向量求异面直线A1C与DE所成的角．【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），E（1，，0），∴，，∴cos＜＞==．∴异面直线A1C与DE所成的角为arccos．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=时，f（x）取得最大值．（1）计算f（）的值；（2）设g（x）=f（﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】首先，根据已知得到f（x）=sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=asin（x+），（1）将代入解析式求值；（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．【解答】解：由已知得到f（x）=sin（x+θ），又x=时，f（x）取得最大值．所以a=b，f（x）=asin（x+），所以（1）f（）=asin（3π）=0；（2）g（x）为偶函数．理由：设g（x）=f（﹣x）=asin（﹣x）=acosx，所以函数g（﹣x）=g（x），为偶函数．【点评】本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．19．（14分）某人上午7时乘船出发，以匀速v海里/小时（4≤v≤20）从A港前往相距50海里的B地，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，计划当天下午4到9时到达C市．设乘船和汽车的所要的时间分别为x、y小时，如果所需要的经费P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（单位：元）（1）试用含有v、ω的代数式表示P；（2）要使得所需经费P最少，求x和y的值，并求出此时的费用．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）分析题意，找出相关量之间的不等关系，（2）求出x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域，要求走得最经济，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数p与直线截距的关系，进而求出最优．【解答】解：（1）由题意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽车、乘船所需的时间和应在9至14小时之间，∴9≤x+y≤14 ②因此满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分目标函数p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，当x=11，y=3时，p 最小，此时，p=123﹣33﹣3=87【点评】本题考查不等式关系的建立，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（16分）已知椭圆T：+=1，直线l经过点P（m，0）与T相交于A、B两点．（1）若C（0，﹣）且|PC|=2，求证：P必为Γ的焦点；（2）设m＞0，若点D在Γ上，且|PD|的最大值为3，求m的值；（3）设O为坐标原点，若m=，直线l的一个法向量为=（1，k），求△AOB 面积的最大值．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用两点之间距离公式，即可求得m的值，由椭圆的方程，即可求得焦点坐标，即可求证P必为Γ的焦点；（2）利用两点之间的距离公式，根据二次函数的单调性，当x0=﹣2时，取最大值，代入即可求得m的值；（3）求得直线AB的方程，代入方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，利用基本不等式的性质，即可求得△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）证明：由椭圆焦点F（±1，0），由|PC|==2，解得：m=±1，∴P点坐标为（±1，0），∴P必为Γ的焦点；（2）设D（x0，y0），y02=3（1﹣），|PD|2=（x0﹣m）2+y02=﹣2mx0+m2+3，﹣2≤x0≤2，有函数的对称轴x0=4m＞0，则当x0=﹣2时，取最大值，则|PD|2=1+4m+m2+3=9，m2+4m﹣5=0，解得：m=1或m=﹣5（舍去），∴m的值1；（3）直线l的一个法向量为=（1，k），则直线l的斜率﹣，则直线l方程：y﹣0=﹣（x﹣），整理得：ky+x﹣=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3k2+4）y2﹣6ky﹣3=0，则y1+y2=，y1y2=﹣，丨AB丨=•=，则O到直线AB的距离d=，则△AOB面积S=×丨AB丨×d=××==≤=，当且仅当=，即k2=，取等号，∴△AOB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．21．（18分）已知数列{a n}（n∈N*），若{a n+a n+1}为等比数列，则称{a n}具有性质P．（1）若数列{a n}具有性质P，且a1=a2=1，a3=3，求a4、a5的值；（2）若b n=2n+（﹣1）n，求证：数列{b n}具有性质P；（3）设c1+c2+…+c n=n2+n，数列{d n}具有性质P，其中d1=1，d3﹣d2=c1，d2+d3=c2，若d n＞102，求正整数n的取值范围．【考点】8B：数列的应用．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）{a n+a n+1}为等比数列，由a1=a2=1，a3=3，可得{a n+a n+1}的公比为2，可得a n+a n+1=2n，进而得出a4、a5的值；（2）证明{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；（3）求出d n+d n+1=2n，利用d n＞102，求正整数n的取值范围．【解答】解：（1）{a n+a n+1}为等比数列，∵a1=a2=1，a3=3，∴a1+a2=1+1=2，a2+a3=1+3=4，∴{a n+a n+1}的公比为2，∴a n+a n+1=2n，∴a3+a4=23=8，即a4=5，∴a4+a5=24=16，即a5=11；（2）∵b n=2n+（﹣1）n，∴b n+b n+1=2n+（﹣1）n+2n+1+（﹣1）n+1=3•2n，∴{b n+b n+1}是以公比为2的等比数列，∴数列{b n}具有性质P．（3）∵c1+c2+…+c n=n2+n，∴c1+c2+…+c n﹣1=（n﹣1）2+n﹣1，∴c n=2n，∵d1=1，d3﹣d2=c1=2，d2+d3=c2=4，∴d2=1，d3=3，∵数列{d n}具有性质P，由（1）可得，d n+d n+1=2n，∴d4=5，d5=11，d6=21，d7=43，d8=85，d9=171，∵d n＞102，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．【点评】本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2017年中考数学二模试卷含答案解析
2017年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×10103．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a34．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．15．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm27．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.88．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：2510．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ．12．要使式子有意义，则a的取值范围为．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球个．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是，当x= 时，y随x的增大而减小．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD 的长为．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？20．如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k，将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率．21．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．2017年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置）1．9的算术平方根是（）A．±3 B．3 C．D．【考点】22：算术平方根．【分析】根据开方运算，可得算术平方根．【解答】解：9的算术平方根是3，故选：B．2．2016年，巴彦淖尔市计划投资42亿元，完成300个嘎查村的建设任务．农村牧区“十个全覆盖”推进正酣．将42亿用科学记数法应表示为（）A．0.042×107B．0.42×108C．4.2×109D．42×1010【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42亿=42 0000 0000=4.2×109，故选：C．3．下列计算正确的是（）A．a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D．a6÷a2=a3【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方；4C：完全平方公式．【分析】根据合并同类项法则；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a3和a2不是同类项不能合并，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、应为（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误；D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误．故选B．4．不等式组的整数解的和是（）A．﹣1 B．1 C．0 D．1【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．【分析】先解出不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解，从而可以得到不等式组的整数解的和．【解答】解：解得，﹣2＜x≤，∴的整数解是x=﹣1，x=0，x=1，∵（﹣1）+0+1=0，故的整数解得和是0，故选C．5．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．35° B．40° C．50° D．65°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的侧面积为（）A．2πcm2B．4πcm2C．8πcm2D．16πcm2【考点】U3：由三视图判断几何体；MP：圆锥的计算．【分析】由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥，进而得出圆锥的高以及母线长和底面圆的半径，再利用圆锥侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线l=4cm，底面半径r=2÷2=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×4=4πcm2．故选B．7．已知一组数据：1，2，6，3，3，下列说法错误的是（）A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是3 D．方差是2.8【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【分析】分别求出这组数据的平均数、中位数、众数和方差，再分别对每一项进行判断即可．【解答】解：A、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项正确；B、把这组数据从小到大排列为：1，2，3，3，6，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；C、这组数据的平均数是（1+2+6+3+3）÷5=3，故本选项正确；D、这组数据的方差是： [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（6﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]=，故本选项正确；故选B．8．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，∴S正方形ABCD=2+，④说法正确，∴正确的有①②④．故选C．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K3：三角形的面积；L5：平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF 和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵DE：EC=2：3，∴DE：AB=2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴==， ==，∴====∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，故选D．10．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=，当2＜x≤3，s=1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．故选C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣3x3y+12x2y﹣12xy= ﹣3xy（x﹣2）2．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣3xy（x2﹣4x+4）=﹣3xy（x﹣2）2，故答案为：﹣3xy（x﹣2）212．要使式子有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0 ．【考点】72：二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥﹣2且a≠0．故答案为：a≥﹣2且a≠0．13．在一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球12 个．【考点】X4：概率公式．【分析】设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．【解答】解：设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是，∴=，解得x=12（个）．故答案为：12．14．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt △ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DC=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2），当x= ＜1 时，y随x的增大而减小．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】由于二次函数的二次项系数a=1＞0，由此可以确定抛物线开口方向，利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣可以确定对称轴，然后即可确定在对称轴的左侧y随x的增大而减小，由此得到x的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3，∴二次函数的二次项系数a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（﹣，），对称轴是x=﹣，∴此函数对称轴是x=1，顶点坐标是（1，2），∴当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：（1，2），＜1．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 a ．【考点】MC：切线的性质；MH：切割线定理；S7：相似三角形的性质．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OE、OF，∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴OECF是正方形，∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH（BH+a），∴BH=a或BH=a（舍去），∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为： a．三、解答题（共86分，解答应写成文字说明、证明过程、演算步骤）17．（1）计算：2sin60°﹣（）﹣1+（﹣1）0（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式=2×﹣2+1=﹣1；（2）原式=•=，当a=2+时，原式==+1．18．某校为了更好地开展球类运动，体育组决定用1600元购进足球8个和篮球14个，并且篮球的单价比足球的单价多20元，请解答下列问题：（1）求出足球和篮球的单价；（2）若学校欲用不超过3240元，且不少于3200元再次购进两种球50个，求出有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若已知足球的进价为50元，篮球的进价为65元，则在第二次购买方案中，哪种方案商家获利最多？【考点】CE：一元一次不等式组的应用；8A：一元一次方程的应用．【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，则根据所花的钱数为1600元，可得出方程，解出即可；（2）根据题意所述的不等关系：不超过3240元，且不少于3200元，等量关系：两种球共50个，可得出不等式组，解出即可；（3）分别求出三种方案的利润，继而比较可得出答案．【解答】解：（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+20）元，根据题意，得8x+14（x+20）=1600，解得：x=60，x+20=80．即足球的单价为60元，则篮球的单价为80元；（2）设购进足球y个，则购进篮球（50﹣y）个．根据题意，得，解得：，∵y为整数，∴y=38，39，40．当y=38，50﹣y=12；当y=39，50﹣y=11；当y=40，50﹣y=10．故有三种方案：方案一：购进足球38个，则购进篮球12个；方案二：购进足球39个，则购进篮球11个；方案三：购进足球40个，则购进篮球10个；（3）商家售方案一的利润：38（60﹣50）+12（80﹣65）=560（元）；商家售方案二的利润：39（60﹣50）+11（80﹣65）=555（元）；商家售方案三的利润：40（60﹣50）+10（80﹣65）=550（元）．故第二次购买方案中，方案一商家获利最多．19．某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．浠马中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图：（1）本次被调查的学生有200 名；（2）补全上面的条形统计图1，并计算出喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图中所占圆心角的度数；（3）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可，用喜好“菠萝味”牛奶的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；（3）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数即可．【解答】解：（1）10÷5%=200（名）答：本次被调查的学生有200名，故答案为：200；（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10=40（名），条形统计图如下：=90°，答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；（3）1200×（）=144（盒），答：草莓味要比原味多送144盒．20．如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；F7：一次函数图象与系数的关系． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出满足一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的情况，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限时，k ＜0，b ＞0，情况有4种， 则P==．21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E ．（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【考点】L8：菱形的性质；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y=可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+），利用三角形面积公式可得到••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），解方程得到t=﹣，从而可确定P点坐标．【解答】解：（1）当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；（2）把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x+，把B（﹣1，2）代入y=得m=﹣1×2=﹣2；（3）设P点坐标为（t， t+），∵△PCA和△PDB面积相等，∴••（t+4）=•1•（2﹣t﹣），即得t=﹣，∴P点坐标为（﹣，）．23．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC，交DC的延长线于点E．（1）求证：△ABC∽△DEB；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）求DE的长．【考点】MD：切线的判定；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°即可得出结论；（2）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论．（3）根据△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度．【解答】（1）BDE=∠CAB（圆周角定理）且∠BED=∠CBA=90°，∴△ABC∽△DEB；（2）证明：连结OB，OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO（SSS），∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线．（3）∵△BED∽△CBA，∴，即=，解得：DE=．24．已知，如图二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；（2）点E是BD的中点，点Q是线段AB上一动点，当△QBE和△ABD相似时，求点Q的坐标；（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）首先运用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把点D（2，m）代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，根据勾股定理可求出BD，易求出点A的坐标，从而得到AB长，然后分两种情况：①△QBE∽△ABD，②△QBE∽△DBA讨论，运用相似三角形的性质求出BQ，从而得到OQ，即可得到点Q的坐标；（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，从而得到满足条件的点M和点N的坐标．【解答】解：（1）由题可得：，解得：，则二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4．∵点D（2，m）在抛物线上，∴m=﹣×22+2+4=4，∴点D的坐标为（2，4）；（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图1，∵点D（2，4），点B（4，0），∴DH=4，OH=2，OB=4，∴BH=2，∴DB==2．∵点E为DB的中点，∴BE=BD=．令y=0，得﹣x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=﹣2，∴点A为（﹣2，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6．①若△QBE∽△ABD，则=，∴=，解得：BQ=3，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣3=1，∴点Q的坐标为（1，0）；②若△QBE∽△DBA，则=，∴=，∴BQ=，∴OQ=OB﹣BQ=4﹣=，∴点Q的坐标为（，0）．综上所述：点Q的坐标为（1，0）或（，0）；（3）如图2，由A（﹣2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，﹣2），连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C，即四边形CFNM的最短周长为：2+2．此时直线DF′的解析式为：y=3x﹣2，所以存在点N的坐标为N（，0），点M的坐标为M（1，1）．。
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平行线班级：____________ 电话：____________
○／／／／／○／／／／／○／／／／／
. .
11.从 1、2、3、4、5、6 六个数中任取一个数，取到的数是 6 的因数的可能性是
一、计算题.(每题 4 分，共 8 分)
4 4 7 23 1. 2 1 ( ) 5 5 4 35
○
线 封
考号：_____________
5.下列是由一些火柴搭成的图案：图①用了 5 根火柴，图②用了 9 根火柴，图③用了 13 根火柴， 按照这种方式摆下去，摆第 8 个图案用________根火柴棒.（ ）.
○ 密 密
封
四、解答题.（每题 6 分，共 30 分）
／／／／／○／／／／／○／／／／／○
订 不
○
线
○
A.130 元
15.如图，①，②，③，④都是由 9 个边长为 1 厘米的正方形组成的 3×3 平方厘米的正方形，其 中的阴影四边形的面积分别记为 S1， S2， S3 和 S4． 则 S1， S2， S3 和 S4 中最小的与最大的和是 方厘米． 平
装
内
4.在一个棱长为 4 的立方体内，放入直径为 1 的小球，最多可以放入（ A.64 个 B.65 个 C.66 个
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2017 年河南省第二次小升初联合模拟测评--数学试题
考 试 须 知 1.试卷总分为 90 分，考试时间 60 分钟 2.本考试内容分为四道大题 3.每道解答题请一定认真书写解答过程， 评卷时按照过程逐步 给分
是
. .
9.如图，将图沿线折成一个立方体，相对两个面上的数字之积最大是
1 10.现规定一种运算， a※b 3a b ，则 10※(5※2) = 2
考试校区：____________
A.33
B.32
C.31 度.（ C.70 ）
D.30
6.钟面上 3 时 30 分，时针和分针的夹角是 A.80 B.75
1 16.小亮看一本故事书，第一天看了全书的 ，第二天看了 42 页，这时已看的页数与全书页数之 6
比是 2：5，这本书还没有看的有多少页？ D.65
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12.如果一个五位数，从这个五位数中划去一个数字后，得到的四位数是 2017，就称之为“吉 2. 24% ： =
8 25
x 1.2
祥数”，那么“吉祥数”有________个. 13.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，∠1+∠2=___________. 14.如图，把圆平分成若干等份，剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的宽是 6 厘米，则长是 厘米.
20.甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，往返跑步，第一次相遇地点距离 AB 的中点 100 米，甲到 B 地、乙到 A 地后立即返回，乙的速度保持不变，甲的速度变为原来的 2 倍，第二 次相遇恰好在 AB 的中点，那么，A、B 两地相距多少米？
○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／每题 4 分，共 20 分）
3.品牌书包按相同折数打折销售，如果原价 200 元的书包，现价 180 元，那么原价 150 元的书包， 现价是（ ）. B.135 元 C.140 元 D.145 元 ）. D.68 个
第 13 题图 第 14 题图
姓名：______________
19.图中 ABCD 是边长为 4 米的正方形，分别以 AB、BC、CD、AD 为直径画半圆，求这四个半圆弧所 围成的阴影部分的面积。
／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○
18.“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全，小明骑单车上学，当他
封
骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是 他本次上学所用的时间与路程的关系示意图. 根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明在书店停留了多少分钟？ （2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
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17.两支同样长的蜡烛，第一支能点 3 小时，第二支能点 5 小时，同时点燃这两支蜡烛，多少小时 后，第一支蜡烛是第二支蜡烛的一半（剩余部分）？
7.对于自然数 n，将其各位数字之和记为 an，如 a5=5，a2010=2+0+1+0=3，则 a1+a2+a3+…+a99+a100= （ ）. A.881 B．891 C.901 D.911
三、填空题.(每题 4 分，共 32 分)
8.一个三位数，十位上的数字是“1”，这个数既能被 2、5 整除，又是 3 的倍数，这个数最小