四川省成都市2020届高三下学期第二次诊断考试 理科数学(含答案)
（Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）设直线 l：x=my+1（m∈R）与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与圆 x2+y2=a2 相交于 C，D 两点， 求|AB|·|CD|2 的取值范围．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) x2 2x m ln(x 1) ，其中 m∈R．
（Ⅰ）当 m>0 时，求函数 f（x）的单调区间；
C. x 1 k , k Z 2
D. x 1 k , k Z 24
9.如图，双曲线 C
x2 ：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左，右交点分别是 F1(c,0) ， F2 (c,0) ，直线
y
bc 2a
与双曲线 C
的两条渐近线分别相交于
A, B
两点.若 BF1F2
3
，则双曲线 C
的离心率为（
A
B
C
7.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A.16
B.48
C.96
D D.128
8. 已 知 函 数
f (x) sin(x )(0 ),
f
(
)
0
，
则
函
数
f (x) 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为
2
4
（）
A. x k , k Z 4
B. x k , k Z 4
PM PN
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲） 已知函数 f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）≥6； （Ⅱ）设 g（x）=-x2+2ax，其中 a 为常数若方程 f（x）=g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实 数根，求实数 a 的取值范围．
1C 2A
参考答案
点．
·4·
（Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD （Ⅱ）若 PE=3，求二面角 D 一 PE 一 B 的余弦视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一
批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该
）
·2·
A.2
42
B.
C. 2
3
23
D.
3
10. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 点 P, Q 分 别 为 AB, AD 的 中 点 ， 过 点 D 作 平 面 使
B1P ∥平面，A1Q ∥平面
，若直线
B1D1
平面
M
，则
MD1 MB1
的值为（
）
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
4
3
13． x 14 的展开式中 x2 的系数为
。
14．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B ，a=2，b= 3 ，则△ABC 的面积 3
为
。
15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球 O 的表面
上，若球 O 的表面积为 28π，则该三棱柱的侧面积为
（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值
时，称该年为 A 级利润年，否则称为 B 级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司 2020 年的年利润视作该
年利润的实际值，现从 2013 年至 2020 年这 8 年中随机抽取 2 年，求恰有 1 年为 A 级利润年的概
率．
公司 2013 年至 2019 年的年利润 y 关于年份代号 x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份
代号线性相关）：
年份
2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号 x
1234567
年利润 y（单位：亿元） 29 33 36 44 48 52 59
（Ⅰ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2020 年（年份代号记为 8）的年利润；
D.x x 2
3.某中学有高中生 1500 人，初中生 1000 人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方
法从高中生和初中生中抽取一个容量为 n 的样本。若样本中高中生恰有 30 人，则 n 的值为（ ）
A.20
B.50
C.40
D.60
4.曲线 y x3 x 在点 (1,0) 处的切线方程为（ ）
A. 2x y 0
B. 2x y 2 0
C. 2x y 2 0 D. 2x y 2 0
5.已知锐角 满足 2sin 2 1 cos 2 ，则 tan =（ ）
1
A.
B.1
C.2
D.4
2
·1·
6.函数 f (x) cos x ln( x2 1 x) 在[1,1] 的图象大致为（ ）
已知
an
是递增的等比数列，a1=1，且
2a2，
3 2
a3
，
a4
成等差数列．
（Ⅰ）求数列an 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn
log2
1 an1 log2
an2
， n N 。求数列{bn}的前
n
项和
Sn．
18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心，PO⊥平面 ABCD，E 为 BC 的中
第一卷 3B 4D 5C 6B 7B 8C 9A 10B 11D 12C
第二卷
13. 6
3
14.
2
15. 36
16. 0
·7·
·8·
·9·
·10·
·11·
·12·
f
(x)
ln x x
,
g(x)
xe x
，若存在
x1
(0,),
x2
R
，使得
f
( x1 )
g(x2 )
k(k
0)
成立，则 ( x2 )2 ek 的最大值为（ ） x1
A. e2
B. e
4
C.
e2
1
D.
e2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
·3·
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
2
3
x y 1 0 11.已知 EF 为圆 (x 1)2 ( y 1)2 1的一条直径，点 M (x, y) 的坐标满足不等式组 2x y 3 0 ，
y 1
则 ME MF 的取值范围为（ ）
9 A.[ ,13]
2
B. [4,13]
C. [4,12]
7 D.[ ,12]
2
12.已知函数
。
16．经过椭圆 x2 y2 1中心的直线与椭圆相交于 M，N 两点（点 M 在第一象限），过点 M 作 x 轴的 2
垂线，垂足为点 E，设直线 NE 与椭圆的另一个交点为 P．则 cos∠NMP 的值是
。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
符合题目要求的．
1.复数 z 满足 z(1 i) 2 （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ）
A. i
B.- i
C.-1
D.1
2.设全集U R ，集合 M x x 1 ， N x x 2 ，则 (CU M ) N =（ ）
A.x x 2
B.x x 1
C.x1 x 2
·5·
n
(xi x)( yi y)
参考公式： bˆ i1 n
, aˆ y bˆx
(xi x)2
i 1
20．（本小题满分 12 分）
x2
已知椭圆
E： a
2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左，右焦点分别为
F1（-1，0），F2（1，0），点
P
在椭
圆 E 上，PF2⊥F1F2，且|PF1|=3|PF2|． 等守其，平
成都市 2020 届高中毕业班第二次诊断性检测
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，第 1 卷（选择题）1 至 2 页，第Ⅱ卷（非选择题）3 至 4 页，
共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干
净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
（Ⅱ）设 g(x)
f
(x)
1 ex
，若 g(x)
1 ，在 (0,) 上恒成立，求实数 m x 1
的最大值．
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方
x m2
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2m
（m
为参数）．以坐标原点
O
为极点，x
·6·
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin cos 1 0 ．
2020年四川省成都市高考(理科)数学二诊试卷 含解析
2020年高考（理科）数学二诊试卷一、选择题.1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．604．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0 5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．1C．2D．46．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．1288．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（）A．B．C．D．11．已知EF为圆（x﹣1）2+（y+1）2＝1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]12．已知函数，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为（）A．e2B．e C．D．二、填空题13．（x+1）4的展开式中x2的系数为．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为．16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是．三、解答题17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y（单位：29333644485259亿元）（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设，若，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z满足z（1+i）＝2，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：B．2．设全集U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，则（∁U M）∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}【分析】进行补集和交集的运算即可．解：U＝R，M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞2}，∴∁U M＝{x|x≥1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x＞2}．故选：A．3．某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n的样本．若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．60【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解：由分层抽样的定义得＝＝100，解得n＝50，故选：B．4．曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣2＝0C．2x+y+2＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】先根据题意求出切点处的导数，然后利用点斜式直接写出切线方程即可．解：y＝x3﹣x∴y′＝3x2﹣1，所以k＝3×12﹣1＝2，所以切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0故选：D．5．已知锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，则tanα＝（）A．B．1C．2D．4【分析】由已知利用二倍角公式可得4sinαcosα＝2sin2α，结合sinα＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．解：∵锐角α满足2sin2α＝1﹣cos2α，∴4sinαcosα＝2sin2α，∵sinα＞0，∴2cosα＝sinα，可得tanα＝2．故选：C．6．函数在[﹣1，1]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD；又，故排除A．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．16B．48C．96D．128【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0，i＝1执行循环体，S＝4，i＝2不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝16，i＝3不满足判断框内的条件i＞3，执行循环体，S＝48，i＝4此时，满足判断框内的条件i＞3，退出循环，输出S的值为48．故选：B．8．已知函数，则函数f（x）的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意求出φ，再利用诱导公式，求出函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求出结果．解：∵函数＝sin（+），∴+＝π，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，令2x＝kπ，求得x＝，k∈Z，则函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝，k∈Z，故选：C．9．如图，双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】联立⇒即B（﹣，），利用直线BF1的斜率＝．求得即可．解：联立⇒．即B（﹣，），直线BF1的斜率＝．∴．则双曲线C的离心率为e＝．故选：A．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为AB，AD的中点，过点D作平面α使B1P∥平面α，A1Q∥平面α，若直线B1D1∩平面α＝M，则的值为（）A．B．C．D．【分析】取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，由线面平行的判定定理和面面平行的判定定理、性质定理，可得B1P∥平面DNK，A1Q∥平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，结合三角形的中位线定理可得所求值．解：取BC的中点T，连接PT，B1T，QT，取A1D1的中点N，C1D1的中点K，连接NK，ND，KD，AC，A1C1，QT，在正方形ABCD中，AC∥PT，在正方形A1B1C1D1中，A1C1∥KN，由截面ACC1A1为矩形，可得AC∥A1C1，可得PT∥NK，又PT⊄平面DNK，NK⊂平面DNK，可得PT∥平面DNK，由QT∥AB，AB∥A1B1，可得QT∥A1B1，且QT＝A1B1，可得四边形A1B1TQ为平行四边形，即有B1T∥A1Q，又ND∥A1Q，可得B1T∥ND，B1T⊄平面DNK，ND⊂平面DNK，可得B1T∥平面DNK，且B1T∩PT＝T，可得平面B1TP∥平面DNK，由B1P⊂平面B1TP，可得B1P∥平面DNK，由ND∥A1Q，A1Q⊄平面DNK，ND⊂平面DNK，可得A1Q∥平面DNK，结合题意可得平面BNK即为平面α，由NK与B1D1交于M，在正方形A1B1C1D1中，A1C1∥KN，可得＝，故选：B．11．已知EF为圆（x﹣1）2+（y+1）2＝1的一条直径，点M（x，y）的坐标满足不等式组，则的取值范围为（）A．[，13]B．[4，13]C．[4，12]D．[，12]【分析】由约束条件作出可行域，由数量积的坐标运算求得表达式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：不等式组，作出可行域如图，A（﹣2，1），B（0，1），C（﹣，﹣），∵P（1，﹣2），O（0，0），M（x，y），，∴＝（）•（）＝+﹣﹣＝﹣+2＝﹣1＝（x﹣1）2+（y+1）2﹣1，所以当x＝﹣2，y＝1时，的取最大值：12，当x＝，y＝时，的取最小值为；所以则的取值范围是[，12]；故选：D．12．已知函数，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g （x2）＝k（k＜0）成立，则的最大值为（）A．e2B．e C．D．【分析】利用导数研究函数f（x）可得函数f（x）的单调性情况，且x∈（0，1）时，f （x）＜0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，同时注意，则，即x2＝lnx1，，，进而目标式转化为，构造函数h（k）＝k2e k，k＜0，利用导数求其最大值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），，∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，注意f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；x∈（e，+∞）时，f（x）＞0，同时注意到，所以若存在x l∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则0＜x1＜1且，所以，即x2＝lnx1，，，故，令h（k）＝k2e k，k＜0，则h′（k）＝2ke k+k2e k＝ke k（2+k），令h′（k）＜0，解得﹣2＜k＜0，令h′（k）＞0，解得k＜﹣2，∴h（k）在（﹣∞，﹣2）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．（x+1）4的展开式中x2的系数为6．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2得展开式中x2的系数．解：（x+1）4的展开式的通项为T r+1＝C4r x r令r＝2得T3＝C42x2＝6x∴展开式中x2的系数为6故答案为：6．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，a＝2，b＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：由余弦定理可得，，解可得，c＝1，所以△ABC的面积S＝＝＝．故答案为：15．已知各棱长都相等的直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）所有顶点都在球O 的表面上，若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为36．【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，即可求解．解：如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，设球的半径为r，由球O的表面积为28π，得4πr2＝28π，∴r＝，设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH＝，∴r2＝7＝（）2+（a）2，∴a＝2．则三棱柱的侧面积为S＝3a2＝36．故答案为：36．16．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P．则cos∠NMP的值是0．【分析】由题意的对称性，设M的坐标由题意可得N，E的坐标，进而求出直线MN，NE的斜率，求出直线NE的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出P的坐标，再求MP的斜率可得与MN的斜率互为负倒数，所以直线MN，MP互相垂直，进而可得cos∠NMP的中为0．解：设M（m，n），由椭圆的对称性可得N（﹣m，﹣n），E（m，0），所以k MN＝，k NE＝，所以直线NE的方程为：y＝（x﹣m），联立直线NE与椭圆的方程：，整理可得：（1+）x2﹣x+﹣2＝0，所以﹣m+x P＝＝，所以x P＝+m，y P＝（x P﹣m）＝，所以k MP＝＝﹣，所以k MN•k NP＝﹣1，即MP⊥NP，所以cos∠NMP＝0，故答案为：0三、解答题：共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是递增的等比数列，a1＝l，且2a2，a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）{a n}的公比设为q，由a1＝l，可得q＞1，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）运用对数的运算性质可得b n＝＝﹣，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．解：（Ⅰ）{a n}是递增的等比数列，设公比为q，a1＝l，且q＞1，由2a2，a3，a4成等差数列，可得3a3＝2a2+a4，即3q2＝2q+q3，即q2﹣3q+2＝0，解得q＝2（1舍去），则a n＝a1q n﹣1＝2n﹣1；（Ⅱ）＝＝＝﹣，则前n项和S n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PE＝3，求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．【分析】（I）由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得：PO⊥AC．进而判断出线面面面垂直．（Ⅱ）取AB的中点O，连接OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP＝，设平面DPE的法向量为＝（x，y，z），则•＝•＝0，可得．同理可得平面PEB的法向量，再利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：由正方形ABCD可得：AC⊥BD．由PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．又PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD，AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：取AB的中点O，连接OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP＝＝．O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（﹣2，﹣2，0），P（0，0，），＝（2，4，0），＝（2，2，），设平面DPE 的法向量为＝（x，y，z ），则•＝•＝0，∴2x+4y＝0，2x+2y +z＝0，取＝（﹣2，，2）．同理可得平面PEB 的法向量＝（0，，2）．cos ＜，＞＝＝＝．由图可知：二面角D﹣PE﹣B的平面角为钝角．∴二面角D﹣PE﹣B 的余弦值为﹣．19．某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）：年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y（单位：29333644485259亿元）（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年，将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率．参考公式：．【分析】（Ⅰ）结合表中的数据和的公式计算出回归直线方程的系数即可得解；（Ⅱ）比较8年的实际利润与相应估计值的大小，可得出这8年中被评为A级利润年的有3年，评为B级利润年的有5年，然后利用排列组合与古典概型的思想即可算出概率．解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得，，，所以，．所以y关于x的线性回归方程为．当x＝8时，（亿元）．故预测该公司2020年的年利润为63亿元．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28，33，38，43，48，53，58，63．其中实际利润大于相应估计值的有3年，故这8年中被评为A级利润年的有3年，评为B级利润年的有5年，记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A级利润年”的概率为P，则．20．已知椭圆的左，右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），点P在椭圆E上，PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l：x＝my+1（m∈R）与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2＝a2相交于C，D两点，求|AB|•|CD|2的取值范围．【分析】（Ⅰ）由焦点的坐标及PF2⊥F1F2，且|PF1|＝3|PF2|求出a的值，再有a，b，c 之间关系求出b的值，进而求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求圆心O到直线l的距离，由半个弦长，半径和圆心到直线的距离构成直角三角形可得弦长CD，进而求出|AB|•|CD|2的表达式，进而可得取值范围．解：（Ⅰ）因为P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝，|PF1|＝，因为PF2⊥F1F2，所以|PF2|2+|F1F2|2＝|PF1|2，又|F1F2|＝2，所以a2＝2，b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆的标准方程为：+y2＝1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程：，整理可得（2+m2）y2+2my﹣1＝0，y1+y2＝，y1y2＝，所以弦长|AB|＝|y1﹣y2|＝，设圆x2+y2＝2的圆心O到直线l的距离为d＝，所以|CD|＝2＝2，所以|AB|•|CD|2＝4＝＝（2﹣），因为0，∴，∴4≤|AB|•|CD|2，所以|AB|•|CD|2的取值范围[4，16）．21．已知函数f（x）＝x2+2x﹣mln（x+1），其中m∈R．（Ⅰ）当m＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设，若，在（0，+∞）上恒成立，求实数m的最大值．【分析】（I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系，先确定导数的正负，进而可求函数的单调区间；（II）由已知不等式恒成立，转化为求解函数的范围问题，构造函数，结合导数与函数性质进行求解．解：（I）当m＞0时，＝，x＞﹣1，令f′（x）＝0可得x＝（舍），或x＝﹣1，当x时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（）时，f′（x）＞0，函数单调递增，（II）由题意可得，在（0，+∞）上恒成立，（i）若m≤0，因为ln（x+1）＞0，则﹣mln（x+1）≥0，所以，令G（x）＝，x＞0，则G′（x）＝，因为x＞0，所以，，又因为＞2x+2＞2，∴G′（x）＞0在x＞0时恒成立，故G（x）在（0，+∞）上单调递增，所以G（x）＞G（0）＝0，故当m≤0时，在（0，+∞）上恒成立，（ii）若m＞0，令H（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0，则H′（x）＝e x﹣1＞0，故H（x）（0，+∞）上单调递增，H（x）＞H（0）＝0，所以e x＞x+1＞0，所以，由题意知，f（x）（0，+∞）上恒成立，所以f（x）＞0（0，+∞）上恒成立，由（I）知f（x）min＝f（）且f（0）＝0，当即m＞2时，f（x）在（0，）上单调递减，f（）＜f（0）＝0，不合题意，所以≤0即0＜m≤2，此时g（x）﹣＝≥，令P（x）＝，x＞0，则P′（x）＝2x+2﹣＝＞＝＞0，∴P（x）在（0，+∞）上单调递增，P（x）＞P（0）＝0恒成立，综上可得，m的最大值为2．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0．（Ⅰ）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P（2，1），设直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的极坐标方程为ρsinθ﹣ρcosθ+1＝0，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．曲线C的参数方程为（m为参数）．转换为直角坐标方程为y2＝4x．（Ⅱ）由于点P（2，1）在直线l上，所以直线l的参数方程为（t为参数），将直线的参数方程代入y2＝4x的方程，整理得：．所以，t1t2＝﹣14，所以＝＝．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥6；（Ⅱ）设g（x）＝﹣x2+2ax，其中a为常数，若方程f（x）＝g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围，【分析】（Ⅰ）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），根据根的情况，分类讨论即可求出a的取值范围．解：（Ⅰ）原不等式即|x﹣1|+|x+3|≥6，当x≥1时，化简得2x+2≥6，解得x≥2，当﹣3＜x＜1时，化简得4≥6，此时无解，当x≤﹣3时，化简得﹣2x﹣2≥6，解得x≤﹣4，综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（Ⅱ）由题意f（x）＝，设方程f（x）＝g（x）的两根为x1，x2，（x1＜x2），①当x2＞x1≥1时，方程﹣x2+2ax＝2x+2等价于2a＝x++2，y＝x++2≥2+2＝2+1，当且仅当x＝时取等号，易知当a∈（+1，]在（1，+∞）上有两个不相等的实数根，此时方程x2+2ax＝4，在（0，1）上无解，∴a∈（+1，]满足条件．②当0＜x1＜x2≤1时，x2+2ax＝4等价于2a＝x+，此时方程2a＝x+在（0，1）上显然没有两个不相等的实数根．③当0＜x1＜1≤x2，易知当a∈（，+∞），方程2a＝x+在（0，1）上有且只有一个实数根，此时方程﹣x2+2ax＝2x+2在[1，+∞）上也有一个实数根，∴a∈（，+∞）满足条件，综上所述，实数a的取值范围为（+1，+∞）．。
(2020届成都高三)二诊理科数学试题和答案
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.12.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}2>=x x N ，则N M C U )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A.20B.50C.40D.60 4.曲线x x y −=3在点)0,1(处的切线方程为（ ）A.02=−y xB.022=−+y xC.022=++y xD.022=−−y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2−=，则αtan =（ ） A.21B.1C.2D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f −+⋅=在]1,1[−的图象大致为（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.16B.48C.96D.1288.已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈−=,4ππ B.Z k k x ∈+=,4ππC.Z k k x ∈=,21π D.Z k k x ∈+=,421ππ 9.如图，双曲线C )0,0(12222>>=−b a by a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F −，)0,(2c F ，直线a bc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.324 C.2 D.33210.在正方体1111D C B A ABCD −中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面 11，则11MB MD 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 11.已知EF 为圆1)1()1(22=++−y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+−103201y y x y x ，则MF ME ⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,27[ 12.已知函数x xe x g xxx f −==)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x 212)(的最大值为（ ） A.2e B.e C.24e D.21e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()41x +的展开式中x 2的系数为 。
2020届成都高三二诊数学理科试题(含答案)(2020.4.8考)
数学 (理科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
C; ２．
A; ３．
B; ４．
D; ５．
C; ６．
B; ７．
B; ８．
C; ９．
A; １０．
B; １１．
D; １２．
C．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
４ 分
１
１
(Ⅱ )由题意,可知 x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)＞
－ 在(
０,＋∞ )上恒成立 ．
x＋１ ex
(
i)若 m ≤０,∵l
n(
x＋１)＞０,∴－ml
n(
x＋１)≥０．
１
１
１
１
∴x２ ＋２x－ml
n(
x＋１)－
＋ x ≥x２ ＋２x－
＋ x．
x＋１ e
x＋１ e
１
１
１
１
构造函数 G (
x)＝x２ ＋２x－
x１ ,
B(
x２ ,
y１),
y２)．
联立
x＝my＋１
２
,消去 x,得(
m２ ＋２)
y ＋２my－１＝０．
x２ ＋２y２ ＝２
{
２m
１
,
∴Δ＝８m２ ＋８＞０,
．
y１ ＋y２ ＝－ ２
y１y２ ＝－ ２
m ＋２
m ＋２
２ ２(
m２ ＋１)
∴ AB ＝ １＋m２ y１ －y２ ＝
．
m２ ＋２
７ 分
设圆 x２ ＋y２ ＝２ 的圆心 O 到直线l 的距离为d,则 d＝
2020届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学(理)试题(解析版)
2020届四川省成都市高三毕业班第二次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合,,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】进行交集、补集的运算即可．【详解】∁U B＝{x|﹣2＜x＜1}；∴A∩（∁U B）＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：A．【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．2．已知双曲线的焦距为4,则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出c＝2，再根据1+b2＝c2＝4，可得b，即可求出双曲线C的渐近线方程. 【详解】双曲线C：的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，∵1+b2＝c2＝4，∴b，∴双曲线C的渐近线方程为y x，故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题.3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．－1 D．1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先通过解分式不等式化简条件乙，再判断甲成立是否推出乙成立；条件乙成立是否推出甲成立，利用充要条件的定义判断出甲是乙成立的什么条件．【详解】条件乙：，即为⇔若条件甲：a＞b＞0成立则条件乙一定成立；反之，当条件乙成立，则也可以，但是此时不满足条件甲：a＞b＞0，所以甲是乙成立的充分非必要条件故选：A．【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q 为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．5．为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
四川省成都市2020届高三下学期第二次诊断考试 理科数学(含答案)
f
(x)
ln x x
,
g(x)
xe x
，若存在
x1
(0,),
x2
R
，使得
f
( x1 )
g(x2 )
k(k
0)
成立，则 ( x2 )2 ek 的最大值为（ ） x1
A. e2
B. e
4
C.
e2
1
D.
e2
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
·3·
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
A
B
C
7.执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ）
A.16
B.48
C.96
D D.128
8. 已 知 函 数
f (x) sin(x )(0 ),
f
(
)
0
，
则
函
数
f (x) 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为
2
4
（）
A. x k , k Z 4
B. x k , k Z 4
点．
·4·
（Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD （Ⅱ）若 PE=3，求二面角 D 一 PE 一 B 的余弦值．
19．（本小题满分 12 分）
某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖据中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一
批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润．该
PM PN
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲） 已知函数 f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）解不等式 f（x）≥6； （Ⅱ）设 g（x）=-x2+2ax，其中 a 为常数若方程 f（x）=g（x）在（0，+∞）上恰有两个不相等的实 数根，求实数 a 的取值范围．
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学(理)试卷及解析
2020届四川省成都市高三第二次诊断性检测数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位),则z 的虚部为（ ）A. iB. i -C. 1-D. 1【答案】C【解析】21i z =+,分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知,22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-,故z 的虚部为1-. 故选：C. 2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>,则()U M N ⋂=（ ）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥ 【答案】A【解析】先求出U M ,再与集合N 求交集.【详解】由已知,{|1}U M x x =≥,又{}|2N x x =>,所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人,初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间,采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人,则n 的值为（ ）A. 20B. 50C. 40D. 60【答案】B【解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意,30=150015001000n ⨯+,解得50n =. 故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（ ）A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --= 【答案】D【解析】 只需利用导数的几何意义计算曲线在点1x =处的导数值即可.【详解】由已知,'231y x =-,故切线的斜率为12x y ='=,所以切线方程为2(1)y x =-,即220x y --=.故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A. 12 B. 1 C. 2D. 4【答案】C【解析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可.【详解】由已知,24sin cos 2sin ααα=,因α为锐角,所以sin 0α≠,2cos sin αα=, 即tan α=2.故选：C.6. 函数())cos ln f x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（ ）。