四川省成都市届高三二诊模拟考试数学理科试卷有答案
四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案
成都高2021级高考模拟试题（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,40A B x x =--=-<，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1,2 C.{}1,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，所以{}1,0,1A B =- .故选：A2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A.B.1- C.1D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（）A.2B.12C.12-D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，解得2m =-，所以D 正确.故选：D.4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）A.ma n B.na mC.2ma n D.2na m【答案】C 【解析】【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积mn=⨯正方形的面积22m ma a n n=⨯=．故选：C ．6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p =（）A.2B.2或4C.1或2D.1【答案】B 【解析】【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.7.设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A.()p q ∧⌝ B.()p q⌝∧ C.p q∧ D.()p q⌝∨【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2xx x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）A.3B.12C.-2D.43【答案】B 【解析】【分析】由已知可得数列递推式122n na a +=-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-，由此可知数列{}n a 的周期为4，故202345053312a a a ⨯+===，故选：B9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（）A.(1,1)-B.(,3)-∞-C.(3,)-+∞D.(1,)(,1)+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．10.将函数1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（）A.511,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,42⎛⎤⎥⎝⎦C.114,2⎛⎤⎥⎝⎦D.11,72⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362ω<-≤，解不等式即可.【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142ω<≤，所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C .11.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.53B.32C.D.2【答案】A 【解析】【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为43b a =，所以53c e a ====，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（）（1）三棱锥11B BED -的体积为20（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为35（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5CE =（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知125MC =，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为1111111111255103325B BED E BB D BB D V V S MC --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为125MC =，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为123545=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.c c o os 515s 7= _______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===．故答案为：1414.若3nx⎛- ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为___________.【答案】270【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由3nx⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为232n=，解得5n =，所以53x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155C 313C rr r r r r rr T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3522r -=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3253C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()32113f x x ax x =-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113f x x ax x =-++，可得()221f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =_________．【答案】2025【解析】【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14nn n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 114144413n nn +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ ，又()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=，令()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：2025三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y3 3.5 3.54由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1221,ˆˆˆn niii in ii nni in ii x x y y x y nxybay xb x x xnx ====---===--∑∑∑∑．【答案】（1）35（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x+++++++++>6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5x =63105P ∴==；【小问2详解】1(20304050)354x =+++=，1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =，又4120330 3.540 3.5504505iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400i i x ==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA A =即可求解；（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2A =，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，2222b c a A bc +-=，再由余弦定理得，cosA A =，即tan A =，(0,π)A ∈ ，π3A ∴=．【小问2详解】1sin 2ABC S cb A == π,643A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+2111324222b cb cb cb -≥==，当且仅当2bc ==时取等号，BD ∴的最小值为19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π9，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23333-.【解析】【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为33-.【小问1详解】证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .【小问2详解】由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136R =，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66O O AO ==，则在1Rt O OA △，则22211OO OA O A +=，即2OA =,在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -系，得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，设()(),,,,,m a b c n x y z ==分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和2203202n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-，则cos ,33m n m n m n⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --的余弦值为33-.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k+-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()12ln h x ax x x=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，从而构造函数()1ln 1t t t t ω-=-+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，所以()1210f a =-='，解得12a =，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12a =.【小问2详解】方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即0012ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x xϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0eϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，因为12,x x 是方程12ln ax x x =-的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，22212ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()1212122ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即2121122ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22122x y -=（2）12m =【解析】【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB+=，即可求得答案.【小问1详解】曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则2222(2)))x y αα-+=+，即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，则曲线2C 的直角坐标方程为22122x y -=．【小问2详解】因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，且点P 为曲线1C ：()2223x y -+=的圆心，所以EF =．因为直线l的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），将其代入曲线2C的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s，则12124s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <，故1212121111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=1,2m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．【答案】（1）(][),04,-∞+∞U （2）3【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.【小问1详解】当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][),04,∞∞-⋃+.【小问2详解】当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。
2021届四川省成都市高三理数第二次诊断性检测试卷及答案
高三理数第二次诊断性检测试卷一、单项选择题1.设集合，，那么〔〕A. B. C. D.i为虚数单位．那么复数的虚部为〔〕A. B. C. -1 D. 13.命题“ ，〞的否认为〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，4.袋子中有5个大小质地完全相同的球．其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球．那么摸出的两个球颜色相同的概率为〔〕A. B. C. D.5. ，，那么的值为〔〕A. B. C. -3 D. 36.在中，，为边中点，点在直线上，且，那么边的长度为〔〕A. B. C. D. 67.圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，那么该圆柱的侧面积的最大值为〔〕A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π8. 是曲线上的动点，点在直线上运动，那么当取最小值时，点的横坐标为〔〕A. B. C. D.9.数列的前项和满足，记数列的前项和为，．那么使得成立的的最大值为〔〕A. 17B. 18C. 19D. 2010.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间之间的关系为．如果前2小时消除了20%的污染物，那么污染物减少50%大约需要的时间为〔参考数据：，，〕〔〕A. 4hB. 6hC. 8hD. 10h11. 为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点．那么当取最大值时，的值为〔〕A. 2B.C.D.12.四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有以下结论：①线段的长度为1；②假设点为线段上的动点，那么无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③ 的余弦值的取值范围为；④ 周长的最小值为．其中正确结论的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13.函数，假设，那么的值为________．14.正项数列满足，．假设，，那么的值为________．15.设双曲线的左，右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为，直线与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为．假设点恰好为线段的中点，那么直线的斜率的值为________．16.定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．假设，，，那么，，的大小关系为________．〔用符号“ 〞连接〕三、解答题17.的内角，，的对边分别为，，，．〔1〕求角的大小；〔2〕假设，，求的面积．18.某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量〞换算成费用，称之为“失效费〞．某种机械设备的使用年限〔单位：年〕与失效费〔单位：万元〕的统计数据如下表所示：使用年限〔单位：年〕 1 2 3 4 5 6 7失效费〔单位：万元〕〔Ⅰ〕由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；〔精确到0.01〕〔Ⅱ〕求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费．参考公式：相关系数．线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，．参考数据：，，．19.如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.椭圆：经过点，其长半轴长为2．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕设经过点的直线与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求△的面积的取值范围．21.函数，其中．〔Ⅰ〕假设存在唯一极值点，且极值为0，求的值；〔Ⅱ〕讨论在区间上的零点个数．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求曲线和直线的极坐标方程；〔2〕假设点在直线上且，射线与曲线相交于异于点的点，求的最小值．23.设函数的最小值为．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕假设，，证明：．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】由题设，，而，∴.故答案为：A.【分析】首先由对数函数的单调性求解出集合A，再由并集的定义得出答案即可。
成都市高考数学二诊试卷（理科）含答案解析
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在15～65的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表：
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．若对∀m，n∈R，有g（m+n）=g（m）+g（n）﹣3，求 的最大值与最小值之和是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
A．﹣16 B．﹣6 C． D．6
7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则 的值为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；
②EP∥BD；
③EP∥面SBD；
④EP⊥面SAC，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围．
22．直角坐标系中曲线C的参数方程为 （θ为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足|BM|=2|AM|，求直线l的方程．
四川省成都市2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题(A)含答案
成都2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A 卷）（答案在最后）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数11i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.12D.1i 2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，结合虚部的定义即可求解.【详解】11i 1i 2z -==+，所以z 的虚部是12-.故选：A2.若集合{}121,2,|A B y y x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，则a A ∈是a B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出值域，得到[)0,B ∞=+，故A 是B 的真子集，得到答案.【详解】由幂函数的性质可知[)0,B ∞=+，则A 是B 的真子集，则a A ∈是a B ∈的充分不必要条件.故选：A3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（）A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124【答案】B 【解析】【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得.【详解】学生数学成绩从小到大为117,117,118,121,123,125,131,132，对于选项A ，极差是13211715-=，故A 错误；对于选项B ，中位数是1211231222+=，故B 正确；对于选项C ，众数是117，故C 错误；对于选项D ，平均数是1(1172118121123125131132)1238x =⨯++++++=，故D 错误.故选:B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是（）A.3π2B.5π3C.7π3D.9π2【答案】A 【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，再求出其体积即可.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，且圆柱的高为1，底面半径为1，球的半径为1，故这个几何体的体积23433π11π1π382V =⨯⨯+⨯⨯=.故选：A5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，又23691010a a a a a ++++=，所以6510a =，则62a =，所以48624a a a +==.故选：B.6.若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A.45B.23C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭124312434222532453245a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛++++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A7.当π02x <≤时，关于x 的不等式()()2sin cos23sin 0a x x x x +--≤有解，则a 的最小值是（）A.2B.3C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据sin x x <，将问题转化为2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，利用二倍角公式以及基本不等式即可求解最值求解.【详解】当π02x <≤时，记sin ,cos 10y x x y x '=-=-≤，故函数sin y x x =-在π02x <≤上单调递减，故sin sin 000x x -<-=，故sin x x <，所以2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，由于π02x <≤，所以sin 0x >，所以22sin 3cos222sin a x x x ≥-=+，所以min1sin sin a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.由1sin 2sin x x+≥，当且仅当π2x =时取等号，所以a 的最小值是2.故选：A8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到,,A B C 三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是（）A.48B.36C.24D.12【答案】C 【解析】【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12223212C C A =种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有11232212C C A =种，则共有24种.故选：C9.已知抛物线24y x =，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点,A B 的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是（）A.14B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设出过点过A 处的切线方程与抛物线联立，由Δ0=，得出其斜率，化简点过A 处的切线方程，同理得出点过B 处的切线方程,根据题意得出点C 的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，设过A 处的切线方程是()11y y k x x -=-，联立()11y y k x x -=-，24y x =得2114440y y y x k k-+-=，由题意Δ0=，即221112116164240,20,y y y k k k k y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭，则在A 处的切线方程为1122y y x x =+，同理，B 处的切线方程为2222y y x x =+，设交点C 的坐标为00(,)x y ，点00(,)C x y 在两条切线上，所以101022y y x x =+，202022y y x x =+，则直线AB 的方程是0022yy x x =+.又AB 过其焦点(1,0)，易知交点C 的轨迹是=1x -，所以()01,C y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB的距离是2d ==所以当00y =时距离最小值为2.故选：D10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，F 为四边形11DCC D 对角线的交点，下列说法：①//EF 平面11BCC B ；②若//EF 平面11ADD A ，则//BC AD ；③若四边形ABCD 矩形，且11EF D C ⊥，则四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱.其中正确说法的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理及性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理逐一判断可得结果.【详解】对于①，若//EF 平面11BCC B ，过F 作1//FH CC 交11C D 于其中点H ，连接EH ，FH ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以//FH 平面11BCC B ，又//EF 平面11BCC B ，且FH EF F ⋂=,,EF FH ⊂平面EFH ，所以平面//EFH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFH ，所以//EH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面1111D C B A ，且平面11BCC B 平面111111A B C D B C =，所以//EH 11C B .当11A D 与11C B 不平行时，//EH 11C B 不成立.①是假命题.对于②，同①，//EH 11C B ，则//BC AD .②是真命题.对于③，四边形ABCD 矩形，所以//AD BC .AD ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，//AD 平面11BCC B ，又11//DD CC ，同理1//DD 平面11BCC B ,且1AD DD D = ,所以平面11AA D D //平面11BCC B ，所以四棱柱1111ABCD A B C D -可看作四边形11AA D D 为上底面，四边形11BCC B 为下底面的四棱柱，过F 作1CC 的平行线交11C D 于点H ，则H 为11C D 的中点，连接EH ，由条件有11EH D C ⊥，又11EF D C ⊥，且EH EF E =I ,则11D C ⊥平面EFH ，则11FH D C ⊥，1//FH DD ，所以111DD D C ⊥，又1111D A D C ⊥，且1111DD D A D = ，所以11D C ⊥平面11ADD A ，则四棱柱1111ADD A BCC B -为直四棱柱.但当上底面11ADD A 变化时，不能确保111DD A D ⊥，即1DD ⊥平面1111D C B A 不一定成立，故③是假命题.故选：B.11.已知函数2()22cos x x f x x x -=+++，若a f =，1e (e )b f =-，1π(π)c f =，则（）A.c b a <<B.a c b <<C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断()f x 的奇偶性与单调性，再构造函数ln ()xg x x=，利用导数判断得111πe 22πe <<，从而得解.【详解】因为2()22cos x x f x x x -=+++的定义域为R ，又()()()22()22cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以()f x 是偶函数，又()(22)ln 2(2sin )x x f x x x -'=-+-，令()2sin h x x x =-，则()2cos 0h x x ='->恒成立，所以()()00h x h >=，即2sin 0x x ->，又22x x y -=-在()0,∞+上单调递增，所以0022220x x y -=->-=，所以()0f x '>在()0,∞+上恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，构造函数ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以(4)(π)(e)g g g <<，又ln 2ln 424=，所以ln 2ln 4ln πln e 24πe=<<，所以111πe 22πe <<，所以111πe e (π)(e )(e )f f f f <<=-，所以a c b <<.故选：B.12.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，已知l 的斜率为k ，,b k a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且222AF F B =，160F AB ∠= ，则直线AB 的斜率是（）A. B.C.33D.2【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线定义由余弦定理可求得双曲线离心率3e =，联立2222:194x y C t t -=和直线2:03l x my m ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭方程并利用韦达定理结合222AF F B =可解得m =，可得结果.【详解】设2F B x =，则22,3F A x AB x ==，如下图所示：由双曲线定义，得1122,2AF a x F B a x =+=+；在1AF B △中，由余弦定理，得2221112cos 60BF AF AB AF AB =+- ，即()()()()2222223322a x a x x x a x +=++-+，解得3ax =.在12AF F △中，由余弦定理，得2221212122cos 60F F AF AF AF AF =+- ，即()()()2224222222c a x x x a x =++-+，解得双曲线离心率3e =.令()30a t t =>，则,2c b t ==，所以2222:194x y C t t -=，设直线2:03l x my m ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，联立双曲线和直线l 整理可得()22249160m y t --+=，则212122216,4949t y y y y m m +==--；由222AF F B =，得122y y =-，解得m =，所以AB k =故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用余弦定理求得离心率之后，联立直线和双曲线的方程利用韦达定理由线段比例关系求得其斜率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a =（1，-2），b =（2，m ），若a ⊥b，则m =______．【答案】1【解析】【分析】根据a b ⊥即可得出0a b ⋅= ，进行数量积的坐标运算即可求出m ．【详解】∵a b ⊥；∴220a b m ⋅=-=r r ，∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知实数,x y 满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则32z x y =+的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得答案.【详解】作出0 4340 yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩满足的可行域如图中阴影部分所示，对于434x y+≤，令01y,x=∴=，则可行域中的点A坐标为(1,0)，作出直线32y x=-并平移，当直线过点(1,0)A时，32z x y=+取到最大值，max31203z=⨯+⨯=，所以32z x y=+的最大值是3，故答案为：315.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则12na a a取最大值时，n的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前n项和及等比中项求出通项公式可得结果.【详解】因为1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则211221111227,3339a S x a S S x x x⎛⎫==+=-=-=-⎪⎝⎭，323321123327a S S x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由数列{}n a为等比数列，所以0x≠，则2213a a a=，即2212279327x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得27=-x，所以127273nnS⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当1n=时，1112727183a S==-⨯+=，当2n ≥时，111111272718333n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时当1n =时也符合；所以11183n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，1118,3a q ==，所以23426,2,3a a a ===，当4n ≥时，1n a <，所以12n a a a 取最大值时，n 的值是3.故答案为：3.16.当1x ≥时，恒有221ln e 1e x x x x mx mx+≤----成立，则m 的取值范围是__________.【答案】(],e 2-∞-【解析】【分析】根据函数有意义可得e xm x <在[)1,+∞上恒成立.，进而可得e m <：由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----可得()()()()22ln 11ln e e x x x x mx mx +++≤-+-，构造函数可得2e 1x x m x --≤，进而可得e 2m ≤-，从而可得答案.【详解】由题意，得210e x x mx+>-.又210x +>恒成立，所以e 0xmx ->在[)1,+∞上恒成立，即e xm x<在[)1,+∞上恒成立.令()()e 1xg x x x =≥，则()()2e 1x x g x x-'=，当1x ≥时，()0g x '≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e g x g ==，所以e m <①.由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----，得()()()()22ln 1ln e e 1x x x mx mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln e e xxx x mx mx +++≤-+-.构造函数()ln h x x x =+，则()()21e xh x h mx+≤-因为()ln h x x x =+在()0,∞+上是增函数，所以21e xx mx +≤-，所以2e 1x x m x--≤.令()()2e 11x x f x x x --=≥，则()()()21e 1x x x f x x--'-=.构造函数()'()e 1()e 1xxm x x m x =-+⇒=-,(),0x ∈-∞时'()0m x <，()m x 递减：()0,x ∈+∞时'()0m x >，()m x 递增，所以()(0)0m x m ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e 2f x f ==-，所以e 2m ≤-②.由①②知e 2m ≤-.故答案为：(],e 2-∞-.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，B 箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满600元有一次B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（1）某三位顾客各有一次B 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数ξ的分布列；（2）某顾客消费额为600元，请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大【解析】【分析】（1）由题意可知，三人中中奖人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来求出对应的概率，进而列出分布列；（2）由题意可知，可以在A 箱摸奖2次，或者在B 箱内摸奖1次，求出A 箱与B 箱所得奖金的期望值，然后比较大小，进而得出结论.【小问1详解】三位顾客每人一次B 箱内摸奖中10元代金券的概率都为15，中奖10元代金券的人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21314481C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()333113C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故ξ的分布列为ξ0123P6412548125121251125【小问2详解】可以A 箱摸奖1次所得奖金的期望值为11850301016101010⨯+⨯+⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为44250301034101010⨯+⨯+⨯=，A 箱摸奖2次所得奖金的期望值为21632⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，所以这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．18.已知sin (R)cos x m m x =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，设()f x λ=.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）若ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()3f A =，且ABC外接圆的半径为3，D 是BC 边的中点，求线段AD 长度的最大值.【答案】（1）π(π,0),Z 6k k -∈（2）2.【解析】【分析】（1）由方程组消元即得()f x 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得其对称中心；（2）利用（1）中结论和()3f A =求得角A ，由正弦定理和条件求得边a 长，利用余弦定理和线段中点的向量表达式求得||AD的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.【小问1详解】由sin cos x m x =⎧⎪⎨=⎪⎩得π()sin )336f x x x x =+=+.令ππ,Z 6x k k +=∈，解得ππ,Z 6x k k =-∈，所以函数()f x 的对称中心为π(π,0),Z 6k k -∈.【小问2详解】如图，由（1）知23π23())363f A A =+=，()0,πA ∈，∴π3A =，又ABC 外接圆的半径为33，由正弦定理得：213a A =⨯=，∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得221bc b c =+-.又因2AD AB AC =+，则22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅ ，即得：222224||2()1AD c b bc c b =++=+- 由222212b c bc b c +=+-≤，解得：222c b +≤，（当且仅当1b c ==时等号成立），故24||3AD ≤ ，即max ||2AD = ，此时，1b c ==.19.如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上靠近1C 的三等分点.（1）求证：1AC 与平面BDE 不垂直；（2）在线段BE 上是否存在一点F 使得平面11B D F ⊥平面BDE ？若存在，请计算BFBE的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1217【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，由它们的数量积不为0即可得证；（2）设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈，求出两个平面的法向量（其中一个含参），由平面11B D F ⊥平面BDE 即可得法向量数量积为0，由此即可列方程求解.【小问1详解】以D 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，()()111(3,3,0),(0,0,0),(0,3,2),(3,3,3),(0,0,3),3,0,3,0,3,0B D E B D A C .1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，因为1(3,3,3)(0,3,2)30A C DE ⋅=--⋅=≠，所以1AC 与平面BDE 不垂直..【小问2详解】存在点F ，且1217BF BE =.设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈.(3,3,0),(0,3,2)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111330320n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令12y =-，得1(2,2,3)n =-.()()1113,3,0,3,0,23B D B F λλ=--=--，设平面11B D F 的法向量为()2222,,n x y z =，则()2112221223303230n B D x y n B F x z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，23z λ=，得2(23,23,3)n λλλ=--+.若平面11B D F ⊥平面BDE ，则120n n ⋅=，即464690λλλ-+-+=，解得1217λ=，[]0,1λ∈.所以在线段BE 上存在一点F 使得平面11B D F 与平面BDE 垂直，且1217BF BE =.20.已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆E 于,A B 两点，△ABF 面，1OF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知过点0(4,)P y 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，是否存在定点P ，使得直线,FM FN 的斜率之和为定值？若存在，求出定点P 的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，(4,0)P ，0.【解析】【分析】（1）当△ABF 面积的最大时直线与椭圆的交点恰为上下两个顶点，此时可知bc =，根据1c =和222a b c =+即可求解；（2）设出直线l 的方程和直线与椭圆的交点坐标，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用韦达定理把FM FN k k +化为含有0y 的式子即可求解.【小问1详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，∵12ABF AOF BOF A B S S S OF y y bc =+=-≤ (当且仅当,A B 是y 轴与椭圆的交点时取等号)，∴bc =.又∵1c OF ==，∴23b =，2224a b c =+=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,y kx m =+1122(,),(,),M x y N x y 由0(4,)P y 在直线l 上，得04m y k =-，将直线l 和椭圆方程E 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222()4384120k x kmx m +++-=，由()22Δ44812360k m =-+>，得2243k m +>，由根与系数的关系，得122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故直线,FM FN 的斜率之和为()()()12121212121212122211111kx x m k x x my y kx m kx m x x x x x x x x +-+-+++=+=-----++022220062464489364249y k mk m km k y y k ---==++-+--要使上式为定值，则00,y =故(4,0)P ，且0.FM FN k k +=21.已知函数2()f x x ax =-,0.x >（1）是否存在实数a 使得()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）求函数2()()ln h x f x a x =-在区间(1,e )a 上的零点个数（e 为自然对数的底数）.【答案】（1）存在，a >0；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得0a >，再利用二次函数单调性即可求解.（2）由已知可得0a >，利用导数求出函数()h x 在(0,)+∞上的最小值，再分段讨论并结合零点存在性定理求解即得.【小问1详解】函数2()f x x ax =-，0x >，由()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，得0a >，函数()f x 在[],21a a +上单调递增，于是()00f a =≥，因此0a >，所以对任意的0a >都能满足()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立.【小问2详解】由区间(1,e )a ，得e 1a >，则0a >，函数22()ln h x x ax a x =--，0x >，求导得2(2)()()2a x a x a h x x a x x+-'=--=，当0x a <<时，()0h x '<，当x a >时，()0h x '>，则函数()h x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2min ()()ln h x h a a a ==-，设函数()e (0)a g a a a =->，求导处()e 10a g a '=->，()g a 在(0,)+∞上是增函数，于是()(0)10g a g >=>，即e a a >，①当2ln 0a a ->，即01a <<时，函数()h x 在(1,e )a 上无零点；②当2ln 0a a -=，即1a =时，函数()h x 在(1,)a e 上无零点；③当2ln 0a a -<，即1a >时，1e a a <<，显然(1)10h a =-<，()0h a <，23(e )e e a a a h a a =--，令23()e e ,1x x m x x x x =-->，求导得22()2e e e 3x x x m x x x =---'，令22,1()2e e e 3x x x x x x x ϕ=-->-，求导得2()4e 2e e 6x x x x x x ϕ'=---，令2()4e 2e e 6,1x x x F x x x x =--->，求导得则22()8e 3e e 63e e 1e (2e 3(e 2)0())x x x x x x x x F x x x '=---=-+-+->，则函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)4e 3e 60F x F >=-->，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)2e 2e 30x ϕϕ>=-->，于是函数()m x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)e e 10m x m >=-->，因此23(e e e 0(1))a a a h a a a =-->>，即函数()h x 在(1,e )a 上有一个零点，所以当01a <≤时，函数()h x 无零点；当1a >时，函数()h x 有一个零点【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过定点()1,0，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B .（1）若π3α=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若(1,0)P ，求PA PB ⋅的最小值.【答案】（1）523(,33（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标与参数方程间的转化得曲线C 的普通方程，再将其与直线的参数方程联立，再利用韦达定理即可得到答案；（2）将直线参数方程代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理即可得到其最值.【小问1详解】2sin 4cos ρθθ=两边同乘ρ得()2sin 4cos ρθρθ=，根据sin ,cos y x ρθρθ==得曲线C 的普通方程为24y x =，当π3α=时，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得238160t t --=设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则1283t t +=，所以M 对应的参数为12423t t +=，代入参数方程，得点M的直角坐标5(,33.【小问2详解】将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，∴1224||4sin PA PB t t α⋅=⋅=≥，当且仅当π2α=时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()()217f x f x x +-<+的解集；（2）若对于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，证明:()()9f x a f x b c -+++≥.【答案】（1）{}23x x -<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得()()31,1211,1031,0x x f x f x x x x x --<-⎧⎪+-=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，分类讨论解不等式即可；（2）由绝对值不等式可得()()f x a f x b c a b c -+++≥++，由基本不等式可得9a b c ++≥，进而分析证明，注意等号成立的条件.【小问1详解】因为()()31,121121,1031,0x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪+-=++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当1x <-时，可得317x x --<+，解得2<<1x --；当10x -≤≤时，可得17x x -+<+，解得10x -≤≤；当0x >时，可得317x x +<+，解得03x <<；综上所述：不等式()()217f x f x x +-<+的解集是{}23x x -<<.【小问2详解】由绝对值不等式的性质，可得()()()()1111f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c -+++=+-++++≥+--+++=++，当且仅当()()110x a x b c +-+++≤取等号.由于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，则()111a a c b c b a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭39b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b c ===时取等号，此时()()()()11270x a x b c x x +-+++=-+≤，即72x -≤≤，所以()()9f x a f x b c -+++≥，当且仅当3a b c ===且72x -≤≤取等号.。
四川省成都市2019届高三二诊模拟考试数学理科试卷含答案
2019届2018~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位，则复数.3A .3B -.3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<< .{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B.3D4.则sin 2α的值为5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积 为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f=A. B. C. D.9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上若,则的离心率为A. B. C. D.10.，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有① y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．133项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}n a 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，（1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2018年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，矩形BDEF所在平面与正方形ABC D所在平面垂直，点M为AE的中点.（1）求证：BM//平面EFC，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值.（2）若DE AB20、（本小题满分12分）,O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点, 若3PB PA +=0，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为（t 为参数）， 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+. （1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2019届2018-2019学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题二、填空题13. 20-； 14. 4；三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分 (2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知B D E F A B C ⊥面面，而B D E D ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ， 所以,1,1,MB ⎛= EFC 的法向量为()1,1,1m =-，则0MB m ⋅=即MB m ⊥，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知.1,1,MB ⎛= , 1,0,DM ⎛=所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =- 又()1,0,1AE =-,6cos ,n AE =所以直线AE 与面BDM12分 20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分 （2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，②由0∆>，可得22340m n -+>…….6分 又因为3PB PA +=0，可得123y y -=③…………7分分分满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为此时直线l 的方程为分 21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F矛盾；………………………………..3分 当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…分 此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分 22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得, 设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。
四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试理科数学试卷答案
2023—2024 学年度下期高2024届二诊模拟考试三、解答题：17．【详解】（1）因为n n S a ⎫⎧⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以3212132S S S a a a =+，即()121232321a a a a a a a +++=+从而得到()1111223312a d a d a d a d++=+++，化简得()10a d d −=0d ≠所以10a d −=（2）当10a d −=，11a =时，n a n =，()1111111n n n n n n a a +==−++， 所以111111112231198n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−=−< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得8n <，又因为N n *∈， 90，所以在ABC 中，45，由余弦定理有：2224cos45BC AB =+=+⨯⨯，所以，90，所以BC ⊥，PA AC A =，因为PC ⊂平面PC ⊥，在PAC △所以，PC ⊥AC BC C =，AC 、BC ，所以PC ⊥面ABCD .ABCD ，AB AD ，以点为坐标原点，AD 、AB 、CP 的方向分别为的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则有)0,2,0、()1,0,0、()1,1,2P ，设(()1,1,,,2BE BP λλλλλ==−−，其中，则(),2,2AE AB BE λλλ=+=−，(1,1,0AC =，()1,1,2AP =，设(),,n x y z =为面EAC 的法向量，则有()20n AE x y z n AC x y λλ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+⎪⎩λ=−，则y λ=，1z λ=−，所以，平面EAC 的一个法向量为(),,1n λλλ=−−，5cos ,sin α=∴由题意可得()2222,cos 361AP nAP n n AP λλ⋅−===⋅⨯+−，可得23λ+⎦0fx ．有x >)0,1，增区间为)1ln x x −，若x 0f x； 0，可得0f x ；若x =．单调递增，增区间为(0,0fx ，有1x >或，故函数()f x 的增区间为(−0f x ，有x a >−)0,1，(),a −+∞，减区间为在()0,1上单调递减，在在()0,∞+上单调递增；()S=AOB 故当α=。
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科(三)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三下册二诊模拟数学理科（三）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共12小题。
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(x ＋2)}，则A ∩B ＝( )A.(－2，－1]B.(－2，3]C.(－2，1]D.[－2，1]2.若复数(b ∈R )的实部与虚部相等，则b 的值为( )1－b i2＋i A.－6B.－3C.3D.63.“m <0”是“函数f (x )＝m ＋log 2x (x ≥1)存在零点”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知sin α＝，α∈，则cos的值为( )1010A.eq B.eq C.eqD.eq5.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝，b sin A ＝4，则a 的值为( )203A.6B.5C.4D.36.已知函数f (x )＝cos－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P，若要得到一个偶函数的图象，3则需将函数f (x )的图象( )A.向左平移个单位长度2π3B.向右平移个单位长度2π3C.向左平移个单位长度π3D.向右平移个单位长度π37.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，||＝2，＝＋，若M 是线1323段AB 的中点，则·的值为( )A.eqB.2C.2D.338.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.eq π＋12D.eq π＋19.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A.7πB.14πC.eq πD.eq10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＋f (x )＝0，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则下列不等式正确的是( )A.f(log 27)<f (－5)<f (6)B.f(log 27)<f (6)<f (－5)C.f(－5)<f (log 27)<f (6)D.f(－5)<f (6)<f (log 27)11.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.eq B.eq C.eq ＋1D.eq －112.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.eq B.eq C.eqD.eq第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学(理)模拟测试卷(附答案)
2023_2024学年四川省成都市高三二诊数学（理）模拟测试卷一、单选题1．已知集合，则（ ）{}()20|{|2ln 2}3A x x x B x y x =+-≤==+，A B = A ．B ．C ．D ．(2,1]--(2,3]-(2,1]-[2,1]-【正确答案】C【分析】先化简集合然后用交集的定义即可求解,,A B 【详解】因为，{}{}23|1|230A x x x x x =+-≤-≤≤=，()}ln 2|2{}{|B x y x x x ===+>-所以(2,1]A B =- 故选：C2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（ ）()1iR 2i b b -∈+b A ．B ．6-3-C ．D ．36【正确答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据题意得到方程，解得即可.【详解】解：，()()()()()21i 2i 221i1i 2i 2i i 2i 2i 2i 55b b b b b b ----+---+===++-故由题设，解得；221b b -=--3b =-故选：B3．“”是“函数存在零点”的0m <2()log (1)f x m x x =+≥A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】A 【详解】显然由于，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反21,log 0x x ≥≥之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．4．已知，则的值为sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 26a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABCD【正确答案】A【详解】分析：根据同角三角函数关系由，于是可得sinα=cos α=，然后再根据两角和的余弦公式求解即可．sin2,cos 2αα详解：∵，sin α=0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴cos α==∴，3sin22sin cos 25ααα===．224cos 212sin 125αα=-=-⨯=∴1413cos 22sin 262525πααα⎛⎫+=-=-⨯=⎪⎝⎭故选A ．点睛：本题属于给值求值的问题，考查同角三角函数关系、倍角公式、两角和的余弦公式的运用，考查学生的计算能力和公式变形能力．5．的内角所对的边分别为，且，则的值为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 20tan ,sin 43a B b A ==a A ．6B ．5C ．4D ．3【正确答案】B【分析】根据正弦定理可得，再结合同角商数关系，平方关系，最后求得.sin 4a B =a 【详解】由得，又，所以，从而，,sin 4sin sin a b b A A B ==sin 4a B =20tan 3a B =3cos 5B =4sin 5B =所以.5a =故选：B6．已知函数的图象过点，若要得到一个偶函π())cos (03)2f x x x ωωω=--<<π(,0)3P 数的图象，则需将函数的图象()f x A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度2π32π3C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度π3π3【正确答案】B【详解】函数．由已知，所π()cos 2sin()6f x x x x ωωω-=-πππ()2sin(0336f ω=⨯-=以，解得．因为，所以，，所以πππ()36k k ω-=∈Z 13()2k k Z ω=+∈03ω<<0k =12ω=．令，得（），所以函数的1π()2sin(26f x x =-1πππ()262x k k -=+∈Z 4π2π3x k =+Z k ∈()f x 图象的对称轴为（）．时，对称轴方程为；时，对称轴4π2π3x k =+Z k ∈0k =4π3x =1k =-方程为．要得到一个偶函数的图象，可将该函数的图象向左平移个单位长度，或2π3x =-4π3向右平移个单位长度，故选B ．2π3点睛：本题主要考查了三角函数式的化简以及三角函数图象的变换，属于基础题；变换过程中三点提醒：（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是．sin y A x ω=()sin y A ωx φ=+ϕω||ϕ7．已知，是圆上的两个动点，，，若是线段A B 224+=O: x y ||2AB = 1233OC OA OB =+M 的中点，则的值为（ ）.AB OC OM ⋅A B ．C ．2D ．3【正确答案】D【分析】判断出是等边三角形，以为基底表示出，由此求得的值.OAB ∆,OA OB OM OC OM ⋅ 【详解】圆圆心为，半径为，而，所以是等边三角形.由于是线段O ()0,02||2AB =OAB ∆M 的中点，所以.所以AB 1122OM OA OB =+ OC OM ⋅ 12331122OA O O O B A B ⎛⎫=+⋅⎛⎫+ ⎪⎝ ⎪⎭⎝⎭ .22111623OA OA OB OB =+⋅⋅+ 21422cos 603323=+⨯⨯⨯+= 故选：D本小题主要考查用基底表示向量，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.8．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为），则该几何体的体积1等于A ．B ．C ．D ．12π+5123π+4π+543π+【正确答案】A【详解】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的体积即可.详解：由三视图可知该几何体是一个组合体，从下到上依次为：长宽高分别为的长方体；半径为的半球；底面半径为，高为的圆锥；2,2,31R =1R =1h =据此可得该几何体的体积为：.3214122311112233V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9．点，，，均在同一球面上，且，，两两垂直，且，，A B C D AB AC AD 1AB =2AC =，则该球的表面积为3AD =A ．B ．C ．D 7π14π72π【正确答案】B【分析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，A BCD -对角线的长为球的直径，然后解答即可．【详解】解：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，A BCD -它也外接于球，对角线的长为球的直径，d =外接球的表面积是2414ππ=故选：B ．10．已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，()f x ()()20f x f x +=+[0,1]x ∈，则下列不等式正确的是()21=log ()f x x +A ．B ．()()2log 756()f f f -<<()()2log 7()65f f f -<<C ．D ．()()25log (76)f f f <<-()()256o )l g 7(f f f -<<【正确答案】C【分析】先通过已知条件推出函数的最小正周期，然后利用函数的性质计算或估4T =()f x 计、、的值或范围即可比较大小.()2log 7f ()6f (5)f -【详解】由，得，所以，的周期.()()++2=0f x f x ()()=+2f x f x -()+4()f x f x =()f x 4T =又，且有，()()f x f x -=-()()20=0=f f -所以，.()()2551log 2==1()==f f f -----()()620f f ==又，所以，即，22log 73<<20log 721<-<270log 14<<因为时，，[0,1]x ∈()2()[]log 10,1f x x +∈=所以()222log 7log 727()(log )4f f f =--=-222277log (log 1)log (log )42=-+=-又，所以，所以，271log 22<<2270log (log 12<<2271log (log 02-<-<所以.2(5)(log 7)(6)f f f -<<故选：C.本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强11．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上A 24x y =B P 且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的||||PA m PB =m P ,A B 离心率为（ ）A B C D 11【正确答案】C【分析】首先利用两点间距离表示，再结合基本不等式求最值，并且求得点的坐标，根2m P 据双曲线上的点和焦点坐标，即可求得双曲线的离心率.【详解】设，，，则(,),0P x y y ≥()0,1A -()0,1B()()222222222222(1)4(1)4(1)4112(1)(1)141PA x y y y y y y m PB y y x y y y ++++++=====+≤=+++-+-，当且仅当时取等号，此时, ，1y =()2,1P ±22c =所以.1c e a ===故选：C12．已知，，若存在，，使得，{|()0}M f αα=={|()0}N g ββ==M α∈N β∈||n αβ-<则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，()f x ()g x n 2()21x f x -=-2()e xg x x a =-1则实数的取值范围为a A ．B ．C ．D ．214(,]e e214(,]e e 242[,e e3242[,e e【正确答案】B【详解】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点()f x R 22(2)210f -=-=()f x 2，故.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由{2}M =|2|1β-<13β<<()g x (1,3)，得，所以，记，则2()e 0x g x x a =-=2e x a x =2e xx a =2()((1,3))e x x h x x =∈，所以当时，，函数单调递增；222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'(1,2)x ∈()0h x '>()h x 当时，，函数单调递减.所以.而，(2,3)x ∈()0h x '<()h x 24()(2)e h x h ≤=1(1)e h =，所以，所以的取值范围为.故选B.391(3)e e h =>214()(2)e e h x h <≤=a 214(,]e e 点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇1到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函2exx a =数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题13．已知向量满足，则的夹角等于,a b ()cos2018,sin2018,2a a b =+=,a b __________.【正确答案】π3【分析】将两边平方可得，然后利用夹角公式即可求得答案a +1a b ⋅= 【详解】由条件知1,2,a b a b ===+= 则所以，222||27,a b a b a b +=++⋅= 1a b ⋅= 故1cos ,,2a b a b a b ⋅==因为所以0,π,a b ≤≤,3a b π=故π314．若的展开式中的系数为,则常数项为________.()()512x a x ++3x 20【正确答案】14-根据二项展开式的通项公式,写出的系数列方程求出的值,即可求得答案.3x a 【详解】的展开式中的系数为:()()512x a x ++3x 2233552220C a C ⋅+⋅⋅=∴408020a +=解得:14a =-∴()()()55112124x a x x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭=的二项式展开通项公式为:()512x +()5152rrr T C x -+=的常数项为:.∴()51124x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()550544211x C --=-故答案为:.14-本题主要考查了展开式中的常数项,解题关键是掌握二项式通项公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.15．点M 是双曲线渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2+y 2-4x +3=0相切，2214y x -=则圆M 的半径的最小值等于________.1【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M 的半径最小，得到圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.此时圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R ，从而可解.【详解】不妨设点M 是渐近线2x -y =0上一点.∵圆C ：x 2+y 2-4x +3=0的标准方程为，()2221x y -+=∴圆心C （2，0），半径R =1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x -y =0垂直.因此圆M 的半径的最小值r min =|MC |min -R .由于，故.min ||MC =min 1r -116．如图所示，在圆内接四边形中，，，，，则四边形ABCD 6AB =3BC =4CD =5AD =的面积为_____________．ABCD【正确答案】【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围0＜C ＜π，利用同角三22477BD =3cos 7C =-角函数基本关系式可求sin C ，利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】如图所示，连接，因为为圆内接四边形，BD ABCD所以180°，则，利用余弦定理得，A C +=cos cos A C =-22265cos 265BD A +-=⨯⨯，解得，所以．22234cos 234BD C -+=⨯⨯22477BD =3cos 7C =-由，得22sin cos 1C C +=sin C因为，所以，180A C +=︒sin sin A C ==．11563422ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯⨯⨯= 四边形故答案为.本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题17．已知等比数列的前项和为， ，， 是，{}n a n n S 12a =()*0n a n N >∈66S a +44S a +的等差中项.55S a +（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，数列的前项和为，求.1212log n n b a -=12n n b b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T 【正确答案】(1) .212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2).221n nT n =--【分析】（1）由是，的等差中项，推出，再根据数列是等比66S a +44S a +55S a +644a a ={}n a 数列，即可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）根据（1）可得数列的通项{}n a {}n b 公式，进而可得数列的通项公式，再根据裂项相消法求和，即可求得.12n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【详解】（1）∵是，的等差中项，66S a +44S a +55S a +∴()6644552S a S a S a+=+++∴，66445566S a S a S a S a +--=+--化简得，，644a a =设等比数列的公比为，则，{}n a q 26414a q a ==∵，∴，∴，()*0n a n N>∈0q >12q =∴.1211222n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得.2n-31211221log log ()232n n b a n -===-设.()()1221123212321n n n C b b n n n n +===-----∴121111111112111133523212121n n n T C C C n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.：本题主要考查求等比数列的通项公式以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（3）；（4）1k=()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18．某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：B 项目测试成绩频数分布表分数区间频数[0,10)2[10,20)3[20,30)5[30,40)15[40,50)40[50,60]35将学生的成绩划分为三个等级，如下表：分数[0,30)[30,50)[50,60]等级一般良好优秀(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？优秀一般或良好总计男生女生总计(3)将样本的概率作为总体的概率，并假设A 项目和B 项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A 项目等级比B 项目等级高的概率.参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.828参考公式K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++【正确答案】（1）40；（2）详见解析；（3）0.3.（1）根据A 项目测试成绩频率分布直方图，计算出A 项目等级为优秀的频率，由此计算出A 项目等级为优秀的人数.（2）填写好列联表，计算出的值，由此判断有95%以上的把握认为“A 项目等级为优22⨯2K 秀”与性别有关.（3）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】(1)由A 项目测试成绩频率分布直方图，得A 项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，所以A 项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.(2)由(1)知A 项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A 项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出如下2×2列联表：优秀一般或良好总计男生262652女生143448总计4060100则K 2＝≈4.514.1002634261440604852⨯⨯-⨯⨯⨯⨯由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A 项目等级比B 项目等级高”为事件C .记“A 项目等级为良好”为事件A 1，“A 项目等级为优秀”为事件A 2，“B 项目等级为一般”为事件B 0，“B 项目等级为良好”为事件B 1.于是P (A 1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P (A 2)＝0.4.由频率估计概率得P (B 0)＝＝0.1，P (B 1)＝＝0.55.235100++1540100+因为事件Ai 与Bj 相互独立，其中i ＝1,2，j ＝0,1，所以P (C )＝P (A 1B 0＋A 2B 0＋A 2B 1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.所以随机抽取一名学生，其A 项目等级比B 项目等级高的概率为0.3.本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，考查列联表独立性检验，考查相互独立22⨯事件概率乘法公式，考查数据分析与处理能力，属于中档题.19．在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）中，侧面底面，底面111ABC A B C -11AA C C ⊥ABC 是边长为2的正三角形，，.ABC 11A A A C =11⊥A A AC（1）求证：；111A C B C ⊥（2）求二面角的正弦值.111B A C C --【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取的中点，连接，，通过证明，，证得11A C D 1B D CD 11⊥CD A C 111B D A C ^平面，由此证得.11A C ⊥1B CD 111A C B C⊥（2）解法一：利用几何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦11A B C 11A C C 值，再求得其正弦值.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，，11A C D 1B D CD ∵，111==C C A A A C ∴，11⊥CD A C ∵底面是边长为2的正三角形，ABC ∴，，2AB BC ==11112A B B C ==∴，又，111B D A C ^1⋂=B D CD D ∴平面，且平面，11A C ⊥1B CD 1B C 1B CD ∴.111A C B C ⊥（2）解法一：如上图，过点作于点，连接.D 1DE A C ⊥E 1B E ∵侧面底面，11AA C C ⊥ABC ∴侧面平面，又，侧面平面，11AA C C ⊥111A B C 111B D A C ^11AA C C 11111A B C A C =∴侧面，又平面，1B D ⊥11AA C C 1A C 11AA C C ∴，又且，11B D A C ⊥1DE A C ⊥1⋂=B D DE D ∴平面，∴，1A C ⊥1B DE11⊥B E AC ∴为所求二面角的平面角，1∠B ED ∵，∴，1111112A B B C A C ===1B D =又∴，112==EDCC 11tan ∠===B DB ED ED∴二面角.111B A C C --法二：如图，取的中点，以为坐标原点，射线，，分别为，，轴的AC O O OB OC1OA x y z 正方向建立空间直角坐标系，则，(0,0,0)O ，，，，B 1(0,0,1)A 11,1)-B 1(0,2,1)-C (0,-1,0)C ∴，，111,0)A B =-1(0,1,1)AC =-- 设为平面的法向量，(,,)m xy z =11A B C ∴，11100m A B y m A C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令，得，y= m 又为平面的一个法向量，n =11A C C 设二面角的大小为，显然为锐角，111B A C C --θθcos cos ,m θ=〈则∴二面角.sin θ==111B A C C --本小题主要考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知抛物线和圆的公共弦过抛物线的焦点，且弦长为22(0)x py p =>222(0)x y r r +=>F 4.(1)求抛物线和圆的方程；(2)过点的直线与抛物线相交于两点，抛物线在点处的切线与轴的交点为，求F ,A B A x M 面积的最小值.ABM △【正确答案】(1)225x y +=【分析】（1）由题意可知，求得的值，得到抛物线的方程，进而求得圆的方程. p （2）设直线的方程为：，联立方程组，求的及，利用导数求得切l =+1y kx 1212,x x x x +||AB 线方程，得到，利用点到直线的距离公式，求的距离，表示出面积的表达式，利用导数，M 研究函数的单调性和最值，即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，为公共弦长，且,，则EP =4EP (0,)2pF (,2p P p 所以，则，故抛物线的方程为.=2=4EP p =2p 24x y =又，所以， 所以圆的方程为.22222p p OF r ⎛⎫+== ⎪⎝⎭25r =225x y +=（2）,设直线的方程为：，并设，(0,1)F l =+1y kx ()()1122,,,A x y B x y 联立，消可得，.2=4=+1x y y kx ⎧⎨⎩y 2440x kx --=所以,12124,4x x k x x +==-.()241k =+由于，则，所以在点的切线的斜率为，切线为，214y x =2x y '=A 12x ()1112x y y x x -=-令，可得，， 所以点到直线的距离=0y 1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭M ABd故，(21141222ABM S AB d k =⋅=⨯++ 又，代入上式并整理可得：21111144y x k x x --==，令，可得为偶函数，()22114116ABM x S x +=()()224x f x x+=()f x 当时，，0x >()()2234168x f x x x xx +==++，令，可得()()()222224341638x x f x x x x +-=+'-=()=0f x 'x =当，，单调递减，当，，单调递增，x ⎛∈ ⎝()0f x '<()f x x ∞⎫∈+⎪⎭()0f x '>()f x 所以，因此当的最小值为x =()f x 1x =ABM S .116=本题主要考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，利用题设条件确定圆锥曲线方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，利用函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21．已知函数，且.()()()ln ,g x ax a x f x xg x =--=()0g x ≥(1)求实数的值；a (2)证明：存在，且时，.0x ()00f x '=00101x x <<<<，()()0f x f x ≤【正确答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）要使，即，对求导，得到的单调性和最值，即可()0g x ≥()min 0g x ≥()g x ()g x 求出实数a 的值；（2）对求导，则，设，再对求导，利用导数()f x ()22ln f x x x'=--()22ln h x x x=--()h x 性质推导出是在的唯一极大值点，即可证明.0x x =()f x ()0,1【详解】（1）显然的定义域为，且.()g x ()0,∞+()1,0g x a x x '=->因为，且，故只需.()0g x ≥()10g =()10g '=又，则，∴.()11g a '=-10a -=1a =若，则.显然当时，，此时在上单调递减；1a =()11g x x '=-01x <<()0g x '<()g x ()0,1当，，此时在（1，+∞）上单调递增.1x >()0g x '>()g x 所以是的唯一极小值点，1x =()g x 故.综上，所求的值为1.()()10g x g ≥=a （2）由（1）知.()()2ln ,22ln f x x x x x f x x x=-'--=-设，则()22ln h x x x=--()12h x x'=-当时，；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<当时，，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0h x '>所以在上单调递减，()h x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭在上单调递增.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()21e 0,0,10,2h h h -⎛⎫><= ⎪⎝⎭又所以在有唯一零点，在上有唯一零点1，()h x 10,2⎛⎤ ⎝⎦0x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭且当时，；当时；()00,x x ∈()0h x >()0,1x x ∈()0h x <因为，所以是的唯一极大值点.()()f x h x '=0x x =()f x 即是在的最大值点，所以成立.0x x =()f x ()0,1()()0f x f x ≤22．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，xOy 1:0l x =()(22:111C x y -+-=轴的正半轴为极轴建立极坐标系.x (1)求的极坐标方程；1,l C (2)若直线的极坐标方程为，设与的公共点分别为，求的面积.2l()πR 4θρ=∈12,l l C ,A B OAB 【正确答案】(1)答案见解析；(2)1+【分析】（1）由公式法求出的极坐标方程；1,l C（2）、代入)=0求得、ρ2，由此能求π2θ=π4θ=(22cos 21sin ρρθρθ--1ρ出△OAB 的面积．【详解】（1）∵，cos ,sin x y ρθρθ==∴的极坐标方程为，即，1lcos 0ρθ=()πR 2θρ=∈的极坐标方程为.C (22cos 21sin 30ρρθρθ--++=（2）将代入，π2θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=11ρ=+将代入，π4θ=(22cos 21sin 30ρρθρθ--++=得，解得(22130ρρ-+++=21ρ=故△OAB 的面积为.(21π1sin 124⨯⨯=23．已知.()11f x x ax =+--（1）当时，求不等式的解集；=1a ()1f x >（2）若时不等式成立，求的取值范围.()0,1x ∈()f x x>a 【正确答案】（1）；（2）．1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭(]0,2【分析】（1）方法一：将代入函数解析式，求得，利用零点分段法将=1a ()11f x x x =+--解析式化为，分类讨论即可求得不等式的解集；()2,1,=2,1<<1,2, 1.x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩（2）方法一：根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可()0,1x ∈()f x x>以化为时，分情况讨论即可求得结果.()0,1x ∈11ax -<【详解】（1）［方法一］：【通性通法】零点分段法当时，，即，所以不等式等价于=1a ()11f x x x =+--()2,1=2,1<<12,1x f x x x x -≤--≥⎧⎪⎨⎪⎩()1f x >或或，解得：．12>1x ≤--⎧⎨⎩1<<12>1x x -⎧⎨⎩12>1x ≥⎧⎨⎩12x >故不等式的解集为．()1f x >1>2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭［方法二］：【最优解】数形结合法如图，当时，不等式即为．=1a ()1f x >|1||1|1x x +-->由绝对值的几何意义可知，表示x 轴上的点到对应的点的距离减去到1对应|1||1|x x +--1-点的距离．结合数轴可知，当时，，当时，1=2x |1||1|1x x +--=12x >．故不等式的解集为．|1||1|1x x +-->()1f x >1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）［方法一］：【通性通法】分类讨论当时，成立等价于当时，成立．()0,1x ∈11x ax x +-->()0,1x ∈11ax -<若，则当时，；0a ≤()0,1x ∈111ax ax -=-≥若，由得，，解得：，所以，故．0a >11ax -<111ax -<-<20x a <<21a ≥02a <≤综上，的取值范围为．a (]0,2［方法二］：平方法当时，不等式成立，等价于时，成立，即(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈11ax -<成立，整理得．2211ax -<(2)0ax ax -<当时，不等式不成立；=0a 当时，，不等式解集为空集；0a <(2)0ax ax ->当时，原不等式等价于，解得．0a >220a x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20x a <<由，解得．故a 的取值范围为．>021a a ≥⎧⎪⎨⎪⎩02a <≤(0,2]［方法三］：【最优解】分离参数法当时，不等式成立，等价于时，成立，(0,1)x ∈|1||1|x ax x +-->(0,1)x ∈|1|1ax -<即，解得：，而，所以．故a 的取值范围为．111ax -<-<20a x <<22x >02a <≤(0,2]【整体点评】（1）方法一：利用零点分段法是解决含有两个以及以上绝对值不等式的常用解法，是通性通法；方法二：利用绝对值的几何意义解决特殊类型的绝对值不等式，直观简洁，是该题的最优解．（2）方法一：分类讨论解出绝对值不等式，利用是不等式解集的子集求出，是通性通()0,1法；方法二：本题将绝对值不等式平方，转化为解含参的不等式，利用是不等式解集的子集()0,1求出，虽可解出，但是增加了题目的难度；方法三：利用分离参数，将不等式问题转化为恒成立最值问题，思想简单常见，是该题的最优解．。
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2018届2017~2018学年下期二诊模拟考试数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，则复数61ii-的虚部为.3A.3B - .3C i.4D i -2.已知全集U =R ，集合{|30}A x x =-<，1{|2}.4x B x =>那么集合U A C B ⋂等于.{|23}A x x -≤≤.{|23}B x x -<<.{|2}C x x ≤-.{|3}D x x <3.若,x y 满足约束条件02326x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩,则z x y =+ 的最小值是.3A -.6B3.2C.3D4.若1sin()3πα-=，2παπ≤≤,则sin 2α的值为42.9A -22.9B -22.9C42.9D 5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为.2A 3.2B 5.3C 8.5D 6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为2 ，则此四棱锥最长的侧棱长为.23A .11B .13C .10D7.等比数列{}n a 中，20a >则25""a a <是35""a a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知函数()f x 对任意x ∈R 都有(4)()2(2)f x f x f +-=，若(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则(2018)f = A. B. C.D .9、已知是双曲线的左、右焦点, 点在上,23B π∠=若,则的离心率为A.B.C.D.10.已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =⋅-+，将()f x 图像的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位后得到函数()g x ，在区间[0,]π上随机取一个数x ，则()1g x ≥的概率为1.3A1.4B1.5C1.2D 11.若函数y =f (x )的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t ,则称函数y =f (x )为“t 函数”.下列函数中为“2函数”的个数有①y =x -x 3 ②y =x +e x ③y =x ln x ④y =x +cos xA.1个B.2 个C.3 个D.4个 12、已知向量满足，若，的最大值和最小值分别为，则等于A. B.2 C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13、若1()n x x-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14、已知数列{}na 的各项都为正数，前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为1的等差数列，且5=62S ，则2=a15．已知四面体ABCD 的所有棱长都为,O 是该四面体内一点,且点O 到平面ABC 、平面ACD 、平面ABD 、平面BCD 的距离分别为,x ,和y ,则+的最小值是 .16．为抛物线上一点，且在第一象限，过点作垂直该抛物线的准线于点为抛物线的焦点,为坐标原点, 若四边形的四个顶点在同一个圆上,则该圆的方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）如图，,,a b c 分别是锐角ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，sin cos =2b A a B a +，4sin 5BAC ∠=. （1）求sin C 的值；（2）若点D 在边BC 上,3BD CD =，ABC ∆的面积为14，求AD 的长度.18. （本小题满分12分）2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》，某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科，每个考生，英语，语文，数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率； （2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立，用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，矩形BDEF 所在平面与正方形ABC D 所在平面垂直，点M 为AE 的中点. （1）求证：BM //平面EFC（2）若DE AB =，求直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆上顶点和右顶点的直线与圆2212:7O x y +=相切,O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率大于0的直线l 交椭圆C 于A B 、两点（A 在x 轴上方），交x 轴正半轴于P 点,若3PB PA +=0，求AOB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.21.（本小题满分12分） 已知a ∈R ，()(1)ln f x ax x =-（1）若2()ln f x x x x ≤--恒成立，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，，求a 的范围并证明1()4f x >.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； (2)若2PA PB AB⋅=,求a 的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|32|f x x =+.（1）解不等式()4|1|f x x <--（2）若0a >，不等式||()4x a f x --≤恒成立，求实数a 的取值范围．石室中学高2018届2017-2018学年下期二诊模拟考试数学参考答案（理科）一、选择题13.20-；14. 4；15. 16.三、解答题17. 解：（1，因B 为锐角，所以分，分（2分分，由余弦定理，2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅，解得5AD =…………………………12分18..(1).记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，分(2)随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.所以X 的分布列为:19..(1)由题知BDEF ABCD ⊥面面，而BD ED ⊥，BDEF ABCD=BD 面面∩，DE BDEF ⊂面 所以DE ABCD 面⊥，以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD=1，则()1,1,0B ，，()0,0,1E ，()1,1,1F ，()0,1,0C ，所以,1,1,2MB ⎛= 而面EFC 的法向量为()1,1,1m =-，则0MB m ⋅=即MB m ⊥，又面MB EFC ⊄，所以//面MB EFC ;……………6分(2)由（1）知1,1,MB ⎛= ,1,0,DM ⎛= 所以面BDM 的法向量为()1,1,1n =-又()1,0,1AE =-,6,3n AE=所以直线AE 与面BDM 12分20.解： （1）设切线为0bx ay ab +-=，则，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程分（2）设直线l 为(0,0)x my n m n =+>>，联立 得222(34)63120m y mny n +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，②由0∆>，可得22340m n -+> (6)分又因为3PB PA +=0，可得123y y -=③…………7分分分当且仅当13103,32m m n m ===即，时，满足0∆>， 所以AOB ∆面积的最大值为3,此时直线l 的方程为31032x y =+………12分21. 解(1)由题:得1ln 0x a x --≥ 令:，，…………………1分 所以F ，且．所以当时恒成立，此时在上单调递增，(0,1),()0x F x ∴∈<这与F 矛盾；………………………………..3分当 时令，解得，所以在上单调递减，在 上单调递增，即 ，又因为，又F(1)=0 所以………………………..6分(2)1'()ln f x a x a x =+-21''()(0)ax f x x x+=> ①若0a ≥时, 知:'()f x 在(0,)+∞单调递增,不合题…②若0a <时, 知:'()f x 在1(0,)a-单调递增,在1(,)a-+∞单调递减只需要22111'()ln()20f a a e a e aaa--=-+>∴-<∴<-………………….9分此时知道：()f x 在1(0,)x 单减，12(,)x x 单增，2(,)x +∞单减 且易知:1210x x a<<-<1111111'()0ln 0ln 1f x a x a x x ax =⇒+-=∴=- 111111111()(1)ln (1)(1)2f x ax x ax ax ax ax ∴=-=--=--又110ax -<<1()4f x ∴>…………………………………………………12分22. (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分23. （1）不等式．当，，解之得；当时，，解之得；当时，，无解．综上，不等式的解集为．…………………… 5分（2）令，则当时，．欲使不等式恒成立，只需，即．又因为，所以，即…………………………….10分。