山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中高三数学第二次联考试题 理【会员独享】

山西省临汾一中、康杰中学、忻州一中、长治二中2012届高三第二次四校联考（数学理）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. 若集合{}{}A x x y yB A ∈==-=,cos ,1,0,1 ,则=B A A. {}0 B. {}1C. {}1,0D.{}1,0,1-2. 已知z 是纯虚数,iz -+12是实数,那么z 等于 A.i 2 B. i C.i - D.i 2-3. 曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程是A. 033=+-y xB. 022=+-y xC. 012=+-y xD. 013=+-y x 4. 已知,54sin =θ且,1cos sin >-θθ则=θ2sin A. 2524-. B. 2512- C. 54- D. 25245. 下列选项叙述错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为假命题.B. 若命题01,:2≠++∈∀x x R x p ，则p ⌝01,:2=++∈∃x x R x .C. “2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件.D. 若“q p ∨”为假命题，则“q p ⌝∧⌝”也为假命题. 6. 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是21，构造数列{}n a ，使得 1()1()n n a n ⎧=⎨-⎩当第次出现正面时当第次出现反面时，记)(*21N n a a a S n n ∈+⋅⋅⋅++=．则24=S 的概率为 A.161 B. 81 C. 41 D. 21 7. 将函数)6(sin 22cos 1)(2π--+=x x x f 的图象向左平移)0(>m m 个单位后所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π8. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是A. (30，42]B. (42，56]C. (56，72]D. (30，72)9. 若双曲线)0,0(122>>=-b a by a x 的一个焦点与抛物线ax y 82=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A. 2B. 3C. 2D. 3 10. 设函数,)(3x x f =若20πθ≤≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围为A. )1,0(B. )0,(-∞C. )21,(-∞ D. )1,(-∞ 11. 在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC ∆、ACD ∆、ADB ∆ 的A. 2πB. 6πC. D. 24π12. 偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且在]1,0[∈x 时，1)(+-=x x f ，则关于x 的方程)1lg()(+=x x f ，在]9,0[∈x 上解的个数是A. 7B. 8C. 9D. 10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，13. 在821⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含x 项的系数是14. 一个几何体的三视图如图，其中正视图是腰长 为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆， 则该几何体的体积是 __________.正视图侧视图俯视图15. 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040，（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么a 的值为_________.16. 若函数()f x x =()0a >没有零点，则a 的取值范围为 _________.三、解答题：解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤， 17.（本小题满分10分）数列{n a }中，21=a ，cn a a n n +=+1(c 是不为0的常数，*N n ∈)， 且1a ，2a ，3a 成等比数列. （1） 求数列{n a }的通项公式； （2） 若n b =nn cn ca ⋅-，求数列{nb }的前n 项和T n ． 18.（本小题满分12分） 如图，在△ABC 中，52,4==AC B π,552cos =C . （1） 求A sin ；（2） 设BC 的中点为D ，求中线AD 的长. 19. (本小题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥ABCD P -中，,90AD BC ABC ∠=︒∥,PA ⊥平面ABCD ,3=PA ,6,32,2===BC AB AD（1） 求证：BD ⊥平面PAC ； （2） 求二面角P BD A --的大小. 20. (本小题满分12分)从某校高三年级900名学生中随机抽取了50名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160,第二组[)160,165…第八组[]190,195，右图是按上述分组方法得到的条形图． （1）根据已知条件填写下面表格：ABDCPABCDE（2）估计这所学校高三年级900名学生中，身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （3）在样本中，若第二组有1人为男生，其余为女生，第七组有1人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，用X 表示实验小组中男同学的人数，求X 的分布列及期望EX ．21.(本小题满分12分)已知 F 1、F 2是椭圆14222=+y x 的两焦点，1F 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足21PF PF ⋅=1.过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点. （1）求P 点坐标;（2）求证直线AB 的斜率为定值; （3）求△PAB 面积的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+= （1）求)(x f 的单调区间;（2）设22)(2+-=x x x g ,若对任意),0(1+∞∈x ,均存在[]1,02∈x ,使得)()(21x g x f <,求实数a 的取值范围.2011-2012学年四校高三第二次联考数学答案(理科)一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二13．-56 14．π6315.1 16．()0,1()2,+∞三.解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤） 17解.(1)由已知c a +=22，c a 323+=， ………………1分则)32(2)2(2c c +=+得2=c ，从而n a a n n 21+=+， ……………2分2≥n 时)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=n ⨯++⨯+⨯+222122 =22+-n n ………………4分n =1时，21=a 也适合上式，因而22+-=n n a n ………………5分(2) n b =n nn n n a 2122-=⋅-， ………………6分 则n n b b b T +++= 21=n n n n 2122222120132-+-++++- =n T 2114322122222120+-+-++++n n n n ，错位相减法， ………… 9分 求得 n n n T 211+-= ………………10分18. 解：（1）由552cos =C ，C 是三解形内角， 得55)552(1cos 1sin 22=-=-=C C ………………2分 C C C B C B A sin 4cos cos 4sin )sin()](sin[sin πππ+=+=+-=10103552255222=⋅+⋅= …………………6分 （2）在△ABC 中，由正弦定理，6101032252sin sin sin sin =⋅===A B AC ，BC B AC A BC321==⇒BC CD ， …………………9分又在△ADC 中，552cos ,52==C AC ，由余弦定理得，C CD AC CD AC AD cos 222⋅⋅-+= 55523522920=⨯⨯⨯-+=……………12分 19. (1)如图，建立坐标系，则：(0,0,0),(23,0,0),(23,6,0),(0,2,0),(0,0,3)A B C D P ，(0,0,3),(23,6,0),(23,2,0)AP AC BD ∴===-， …………2分 0,0.BD AP BD AC ∴⋅=⋅= ,BD AP BD AC ∴⊥⊥，又 PAAC A =， BD PAC ∴⊥面. ………………6分（2）设平面ABD 的法向量为)100(，，=m ，设平面PBD 的法向量为，),,(z y x n =则 0=⋅BD n ，0=⋅BP n …………8分(BP =-2030yz⎧-+=⎪∴⎨-+=⎪⎩解得，yz x⎧=⎪⎨=⎪⎩令3=x，则()2,3,3=…………………10分--------4分（2）由条形图得前五组频率为0．04+0．08+0．2+0．2+0．3=0．82，后三组频率为1-0．82=0．18．估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数900×0．18=162．--------8分（3）随机变量X可取0,1,2．且413413)0(=⨯⨯==XP，127342311)1(=⨯⨯+⨯==XP，613421)2(=⨯⨯==XP． --------10分所以随机变量的分布列为∴期望126212140=⨯+⨯+⨯=EX． ---------12分21. （1）由题可得F1(0, 2), F2(0, －2), 设P(x0, y0)(x0>0, y0>0)则)2,(),2,(11yxPFyxPF---=--=,1)2(2221=--=⋅∴yxPFPF………………2分),(yxP在曲线上，则21)2(24:24,14202222220==----=∴=+yyyyxyx得从而则点P的坐标为（1，2）………………4分（2）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k(k>0)则BP 的直线方程为：y －2=k(x －1)222222222222212)2(2,2)2(21),,(04)2()2(2)2(142)1(2k k k k k k x k k k x y x B k x k k x k y x x k y B B B B +--=-+-=+-=+=--+-++⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-则设得由222222kk k x A +-+=同理可得 ………………6分2228)1()1(,224k kx k x k y y k k x x BA B A B A +=----=-+=-则 ∴AB 的斜率2=--=BA BAAB x x y y k 为定值 ………………8分 （3）设AB 的直线方程：m x y +=204224:14222222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=m m x x y x m x y 得 22220)4(16)22(22<<->--=∆m m m 得由 ……………9分3||m d AB P =的距离为到3)214(||2⋅-=⋅m AB ……………10分2)28(81)8(813||3)214(21||21222222=+-≤+-=⋅⋅-=⋅=∆m m m m m m d AB S PAB 则当且仅当m=±2∈（－22，22）取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2 ………………12分 22. 解： (1) )0(11)(>+=+='x xax x a x f . ………………1分 ①当0≥a 时，由于0>x ，故01>+ax ，0)(>'x f所以，)(x f 的单调递增区间()+∞,0. ………………3分 ②当0<a 时，由0)(='x f ，得ax 1-= 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上，0)(>'x f ，在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 上0)(<'x f ，所以，函数)(x f 的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0，单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a ………6分 （2）由已知，转化为max max )()(x g x f < ……………8分 因为2)(max =x g ………………9分 由(Ⅱ)知，当0≥a 时，)(x f 在()+∞,0上单调递增，值域为R ，故不符合题意.(或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意.) ……………10分当0<a 时，)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,1a 上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1ln(1)1(a aaf ---=-+-=-，………11分所以)ln(12a --->，解得31ea -<. ………12分。