2021年中考数学一轮专题训练：与圆相关的计算含答案
2021中考数学一轮专题训练：与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB ＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．92. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是( )A. 3πcmB. 4πcmC. 5πcmD. 6πcm3. (2020·南充）如图，AB是O的直径，CD是弦，点,C D在直径AB的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB∠∠∠=，4CD=，则CD的长为（）O DCBAA．2πB．4πC2πD2π4. (2019•温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为()A．3π2B．2πC．3πD．6π5. 2019·唐山乐亭期末如图，圆锥的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm，则这个圆锥的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．60π cm 2C ．30π cm 2D ．48π cm 26. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为()A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m7. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝45°，⊙O 的半径r ＝4，则阴影部分的面积为( )A ．4π－8B ．2πC ．4πD ．8π－88. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3π B.3πC.32 3πD ．4π9. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶910. 如图，将两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a )重合在一起，下面一张纸片保持不动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移a 个单位长度，则空白部分与阴影部分的面积之比是( )A ．5∶2B ．3∶2C ．3∶1D ．2∶1二、填空题（本大题共10道小题）11. 若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为 .12. 如图，△ABC 是☉O 的内接三角形，∠BAC=60°，的长是，则☉O 的半径是 .13. （2020·哈尔滨）一个扇形的面积是13π2cm ，半径是6cm ，则此扇形的圆心角是 度.14. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是________．15. （2020·武威）若一个扇形的圆心角为60°，面积为cm2，则这个扇形的弧长为cm（结果保留π）．16. （2020·新疆）如图，⊙O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下转成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．17. (2019•海南)如图，O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧BD所对的圆心角BOD∠的大小为__________度．18. （2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA的长为．DCB19. 如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则BD︵所对的圆心角∠BOD的大小为________度．20. 在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10 m．拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2)．(1)如图1，若BC＝4 m，则S＝________m2.(2)如图2，现考虑在(1)中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变．则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为________m.①②三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦且与小半圆相切，AB＝24，求图中阴影部分的面积．22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与☉O的位置关系，并说明理由;(2)求证:点H为CE的中点.23. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.24. 当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，现量得CD＝90 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．25. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？26. (2019•襄阳)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥． (1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若6DE =，63BC =，求优弧BAC 的长．答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2.【答案】D 【解析】如解图，由题意可知，OA ＝4 cm ，AB ＝5cm ，在Rt △AOB 中，利用勾股定理可求得OB ＝3 cm ，∴该圆锥的底面周长是6π cm.3. 【答案】D【解析】∵AB 是直接，∠AOD ：∠ DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA ：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴22OC =∴222CD ππ==.故选D. 4. 【答案】C【解析】该扇形的弧长=90π63π180⨯=．故选C ．5. 【答案】B6. 【答案】B[解析] AB ︵的展直长度＝108π·10180＝6π(m)．故选B.7. 【答案】A[解析] 由题意可知∠BOC ＝2∠A ＝45°×2＝90°.∵S 阴影＝S 扇形OBC －S △OBC ，S 扇形OBC ＝14S 圆＝14π×42＝4π，S △OBC ＝12×42＝8，所以阴影部分的面积为4π－8.故选A.8. 【答案】C[解析] 如图∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，∴OD⊥AC，∴AD＝12AC＝12AO，∴∠AOD＝30°，OD＝3 3. 作BF＝AC，E为BF的中点．同理可得∠BOE＝30°，∴∠DOE＝150°－60°＝90°，∴点D所经过的路径长为nπR180＝90π×3 3180＝3 32π.9. 【答案】D10. 【答案】C[解析] 正六边形的面积＝6×34×(2a)2＝6 3a2，阴影部分的面积＝a·2 3a＝2 3a2，∴空白部分与阴影部分的面积之比是＝6 3a2∶2 3a2＝3∶1.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】[解析]如图，已知正六边形ABCDEF，连接OE，作OM⊥EF于M，则OE=EF，EM=FM，OM=2，∠EOM=30°，在Rt△OEM中，cos∠EOM=，∴=，解得OE=，故其外接圆半径为.12. 【答案】2[解析]连接OB，OC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵的长为π，∴设☉O半径为r，得=π，解得r=2.即☉O的半径为2.13. 【答案】130【解析】本题考查了扇形面积公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键，根据S ＝360r 2πn ＝36062 πn ＝13π，解得：n ＝130°，因此本题答案为130．14. 【答案】24π15. 【答案】设扇形的半径为R ，弧长为l ，根据扇形面积公式得；＝，解得：R ＝1， ∵扇形的面积＝lR ＝，解得：l ＝π． 故答案为：．16. 【答案】3【解析】本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA ，OB ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ．∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，OA ＝OA ，所以△OAB ≌△OAC ，所以∠OAB ＝∠OAC ＝12∠BAC ＝12×60°＝30°．在Rt △OAD 中，因为∠OAC ＝30°，OA ＝2，所以OD ＝1，ADOD ⊥AC ，所以AC ＝2AD＝BC l ＝60180×π×．设此圆锥的底面圆的半径为r ，则2πr，解得r．17. 【答案】144【解析】五边形ABCDE 是正五边形，∴(52)1801085E A -⨯︒∠=∠==︒．∵AB 、DE 与O 相切，∴90OBA ODE ∠=∠=︒，∴(52)1809010810890144BOD ∠=-⨯----=︒︒︒︒︒︒，故答案为：144．18. 【答案】3【解析】如答图，连接OC 、OD 、CD ，则∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°．∵OB ＝OD ＝OC ，∴△OCD 和△OBD 均为正三角形．∴∠ODC ＝∠BOD ＝60°．∴AB ∥CD ．∴S △BCD ＝S △OCD ．∴S 阴影部分＝S 扇形OCD ．∴26033602r ππ⋅=．解得r ＝3，于是半圆的半径OA 的长为3．故答案为3．19. 【答案】144[解析] ∵⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB ，DE 分别相切于点B ，D ，∴OB ⊥AB ，OD ⊥DE.∵正五边形每个内角均为108°， ∴∠BOD ＝∠C ＋∠OBC ＋∠ODC ＝108°×3－90°×2＝144°.20. 【答案】88π；52 【解析】(1)因为AB ＋BC ＝10 m ，BC ＝4 m ，则AB ＝6m ，小狗活动的范围包括三个部分，第一部分是以点B 为圆心，10为半径，圆心角为270°的扇面；第二部分是以C 为圆心，6为半径，圆心角为90°的扇形，第三部分是以A 为圆心，4为半径，圆心角为90°的扇形，则S ＝270π·102360＋90π·62360＋90π·42360＝88πm 2；(2)当在右侧有一个等边三角形时，设BC ＝x 米，根据题意得S ＝270π·102360＋30π·（10－x ）2360＋90π·x 2360＝π3x 2－53πx ＋2503π，所以当x ＝－(－53π)÷(2×π3)＝52时，S 最小，即此时BC 的长为52米．三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】[解析] 小圆向右平移，使它的圆心与大圆的圆心重合，于是阴影部分的面积可转化为大半圆的面积减去小半圆的面积．解：将小半圆向右平移，使两半圆的圆心重合，如图，连接OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝BC ＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC 为小半圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半圆＝12π·OB2－12π·OC2＝12π(OB2－OC2)＝12π·BC2＝72π.22. 【答案】[解析](1)连接OD ，AD ，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得BD=CD ，再证明OD 为△ABC 的中位线得到OD ∥AC ，根据DH ⊥AC ，所以OD ⊥DH ，然后根据切线的判定定理可判断DH 为☉O 的切线.(2)连接DE ，由圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B ，再证明∠DEC=∠C ，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH. 解:(1)DH 与☉O 相切.理由如下: 连接OD ，AD ，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为☉O的切线.(2)证明:连接DE，如图，∵四边形ABDE为☉O的内接四边形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点.23. 【答案】解:(1)证明:连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA，OD=OC，∴△AOC≌△AOD(SAS)，∴∠ADO=∠ACO.∵CE是☉O的直径，AC为☉O的切线，∴OC⊥AC，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD⊥AB.∵OD为☉O的半径，∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3， ∵∠BDO=180°-∠ADO=90°， ∴BO 2=BD 2+OD 2， ∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B ， ∴△BDO ∽△BCA ， ∴=，∴=， ∴AC=6.24. 【答案】解：由题意可知△ACD ≌△AC′D′，所以可将△AC′D′旋转到△ACD 处，使阴影部分面积成为一部分环形面积，可通过两扇形面积之差求得， 即雨刷CD 扫过的面积S 阴影＝S 扇形ACC′－S 扇形ADD′＝90π×1152360－90π×352360＝π4(115＋35)×(115－35)＝3000π(cm2)． 答：雨刷扫过的面积为3000π cm2.25. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30，∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)． (2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ， 则2π·x ＝20π，解得x ＝10，∴圆锥的高＝302－102＝20 2(cm)， ∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．26. 【答案】(1)连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠， ∴BD CD =，∴OD BC ，BH CH =，∵DG BC ∥， ∴OD DG ⊥， ∴DG 是圆O 的切线． (2)连接BD 、OB ，如图， ∵点E 是ABC △的内心， ∴ABE CBE ∠=∠， ∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==， ∵1332BH BC == 在Rt BDH △中，333sin 62BH BDH BD ∠===， ∴60BDH ∠=︒， 而OB OD =，∴OBD △为等边三角形， ∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==， ∴120BOC ∠=︒， ∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．2021中考数学 一轮专题训练：与圆有关的位置关系一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列直线中，一定是圆的切线的是()A ．与圆有公共点的直线B ．垂直于圆的半径的直线C ．到圆心的距离等于半径的直线D ．经过圆的直径一端的直线2. 2019·泰安如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠A ＝119°，过点C 的圆的切线交BO 的延长线于点P ，则∠P 的度数为( )A ．32°B ．31°C ．29°D ．61°3. 2018·舟山用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是( ) A ．点在圆内B ．点在圆上C ．点在圆心上D ．点在圆上或圆内4. 2020·武汉模拟在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以点A 为圆心，4.8为半径的圆与直线BC 的公共点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．不能确定5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4.若以点A 为圆心，4为半径作⊙A ，则下列各点中在⊙A 外的是( )A．点A B．点BC．点C D．点D6. 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为()A．E，F，G B．F，G，HC．G，H，E D．H，E，F7.如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°.过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是( )A. 25°B. 40°C. 50°D. 65°8. 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为()A.13B. 5 C．3 D．29. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 的最小值为( )A ．5B ．4 2C ．4.75D ．4.810. 如图0，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图0A.32 B ．2C.81313 D.121313二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，P A ，PB是☉O 的切线，A ，B 为切点，点C ，D 在☉O 上.若∠P=102°，则∠A+∠C= .12. 如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与☉O 相切于点D ，E ，若点D 是AB的中点，则∠DOE= .13. (2019•河池)如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=__________ ．14. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，以点A为圆心，以1为半径画圆，则点O，B，C，D中，点________在⊙A内，点________在⊙A 上，点________在⊙A外．15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________.16. 2019·兴化期中已知等边三角形ABC的边长为2，D为BC的中点，连接AD.点O在线段AD上运动(不与端点A，D重合)，以点O为圆心，33为半径作圆，当⊙O与△ABC的边有且只有两个公共点时，DO的取值范围为________．17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是______________．18. 已知l1∥l2，l1，l2之间的距离是3 cm，圆心O到直线l1的距离是1 cm，如果圆O与直线l1，l2有三个公共点，那么圆O的半径为________cm.19. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．20. 如图，⊙M的圆心为M(－2，2)，半径为2，直线AB过点A(0，－2)，B(2，0)，则⊙M关于y轴对称的⊙M′与直线AB的位置关系是________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与P A相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．22. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.以AC为直径作☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.(1)求证:DE是☉O的切线.(2)若DE=，∠C=30°，求的长.23. 如图，已知平面直角坐标系中，A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．(1)写出经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：(________，________)；(2)判断点D(5，－2)与⊙M的位置关系.24.如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，P是CD的延长线上一点，且AP＝AC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)若PD＝5，求⊙O的直径．25. 如图，AB是☉O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为☉O的切线.(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.26. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】A3. 【答案】D4. 【答案】B5. 【答案】C6. 【答案】A[解析] 设小正方形的边长为1个单位长度，所以OA＝12＋22＝ 5. 因为OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内；OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内；OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内；OH＝22＋22＝2 2＞OA，所以点H在⊙O外．故选A.7. 【答案】B 【解析】∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝65°.如解图，连接OC.∵OB＝O C，∴∠ABC＝∠BCO＝65°.∵CD是⊙的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠BCD＝90°－∠BCO＝25°，∴∠D＝∠ABC－∠BCD＝65°－25°＝40°.解图8. 【答案】B[解析] ∵PQ与⊙O相切，∴∠OQP＝90°，∴PQ＝OP2－OQ2＝OP2－22，∴当OP最小时，PQ最小．而OP的最小值是点O到直线l的距离3，∴PQ的最小值为32－22＝ 5.故选B.9. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.10. 【答案】B[解析] ∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠PBC＝90°.∵∠P AB＝∠PBC，∴∠ABP＋∠P AB＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设圆心为O，连接OC交⊙O于点P，此时CP 最小．在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝5，OP＝OB＝3，∴PC＝OC－OP＝5－3＝2，∴PC的最小值为2.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】219°[解析]连接AB，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.12. 【答案】60°[解析]连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ，∵AB 与☉O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB. ∵D 是AB 的中点，∴OD 是AB 的垂直平分线，∴OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD=∠AOB=30°， 同理∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD +∠AOE=60°， 故答案为60°. 113. 【答案】76【解析】∵PA PB 、是O 的切线，∴PA PB PA OA =⊥，，∴90PAB PBA OAP ∠=∠∠=︒，，∴90903852PBA PAB OAB ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴180525276P ∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：76．14. 【答案】OB ，DC [解析] ∵四边形ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，AO＝BO ＝CO ＝DO. 设AO ＝BO ＝x.由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，即x2＋x2＝12，解得x ＝22(负值已舍去)，∴AO ＝22＜1，AC ＝2＞1，∴点O 在⊙A 内，点B ，D 在⊙A 上，点C 在⊙A 外．15. 【答案】3＜r ＜5[解析] 连接BD.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝3，则BD＝32＋42＝5.由题图可知3＜r ＜5.16. 【答案】0<DO <33或2 33<DO <3 [解析] ∵等边三角形ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝1，AD ＝ 3. 分四种情况讨论：(1)如图①所示，当0<DO <33时，⊙O 与△ABC 的BC 边有且只有两个公共点，(2)如图②所示，当DO ＝33时， ⊙O 与△ABC 的边有三个公共点；(3)如图③所示，当⊙O经过△ABC的顶点A时，⊙O与△ABC的边有三个公共点，则当33<DO≤2 33时，⊙O与△ABC的边有四个或三个公共点．(4)如图④所示，当2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边有两个公共点．综上，当0<DO<33或2 33<DO<3时，⊙O与△ABC的边只有两个公共点．故答案为0<DO<33或2 33<DO< 3.17. 【答案】R＝4.8或6<R≤8[解析] 当⊙C与AB相切时，如图①，过点C作CD⊥AB于点D.根据勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·CD＝12AC·BC，解得CD＝4.8，所以R＝4.8；当⊙C与AB相交时，如图②，此时R大于AC的长，而小于或等于BC的长，即6<R≤8.18. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.19.【答案】254【解析】如解图，连接EO 并延长交AD 于点F ，连接OD 、OA ，则OD ＝OA.∵B C 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ⊥AD ，∴DF ＝AF ＝12AD ＝6，在Rt △ODF 中，设OD ＝r ，则OF ＝EF －OE ＝AB －OE ＝8－r ，在Rt △O DF 中，由勾股定理得DF 2＋OF 2＝OD 2，即62＋(8－r)2＝r 2，解得r ＝254.∴⊙O 的半径为254.解图20. 【答案】相交[解析] ∵⊙M 的圆心为M (－2，2)，则⊙M 关于y 轴对称的⊙M ′的圆心为M ′(2，2)．因为M ′B ＝2>点M ′到直线AB 的距离，所以直线AB 与⊙M ′相交．三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】证明：如图，连接OC，过点O作OD⊥PB于点D. ∵⊙O与P A相切于点C，∴OC⊥P A.∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥P A，OD⊥PB，∴OD＝OC，∴直线PB与⊙O相切．22. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD，∵OC=OD，AB=AC，∴∠1=∠C，∠C=∠B.∴∠1=∠B.∵DE⊥AB，∴∠2+∠B=90°.∴∠2+∠1=90°，∴∠ODE=90°，∴DE为☉O的切线.(2)连接AD，∵AC为☉O的直径，∴∠ADC=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，BD=CD.∴∠AOD=60°.∵DE=，∴BD=CD=2，∴OC=2，∴的长=π×2=π.23. 【答案】解：(1)20(2)∵⊙M的半径AM＝22＋42＝2 5，线段MD＝（5－2）2＋22＝13＜2 5，∴点D在⊙M内．24. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠OCA＝30°，∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，∴OA⊥P A.又∵OA是⊙O的半径，∴P A是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OD＝OA.∵PD＝5，∴2OA＝2PD＝2 5，∴⊙O的直径为2 5.25. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD，∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO=60°，∴AE∥OC.∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∴CE为☉O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC，∠COD=60°，∴△OCD为等边三角形，∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO，∴AD=AO=CO=DC，∴四边形AOCD为菱形.26. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l. 又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考演练：与圆有关的综合题(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：与圆有关的综合题（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤2．如图，已知直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB．则△P AB面积的最大值是（）A．8B．12C．D．3．如图，四边形ABCD为菱形，AB＝BD，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，连接BG并延长交AD于点F，连接DG并延长交AB于点E，BD与CG交于点H，连接FH，下列结论：①AE＝DF；②FH∥AB；③△DGH∽△BGE；④当CG为⊙O的直径时，DF＝AF．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）．（4）连结AE、AF、BE、BF，如图（5）．经过以上操作，小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S四边形AEBF：S扇形BEMF＝3：π．以上结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M 的切线，切点为N，分别交AC、BC于点E、F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是（）A．3B．4C．4.8D．56．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD＝5，BD＝2，则DE＝；②∠ACB＝∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cos F＝；则正确的结论是（）A．①③B．②③④C．③④D．①②④7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA于D，若直线GH 与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，则下列结论：①AG＝CH；②GH＝；③直线GH的函数关系式y＝﹣；④梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，⊙P的半径为．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．9．如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上的一点，MN⊥AB，垂足为N，P，Q分别为、上一点（不与端点重合）如果∠MNP＝∠MNQ，给出下列结论：①∠1＝∠2；②∠P+∠Q＝180°；③∠Q＝∠PMN；④MN2＝PN•QN；⑤PM＝QM其中结论正确的序号是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．④⑤10．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE＝7．下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•P A；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为π﹣；④若PC＝24，则tan∠PCB＝．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22B．24C．10D．1212．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，垂足为点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．则下列结论正确的有（）①∠CBD＝∠CEB；②＝；③点F是BC的中点；④若＝，tan E＝．A．①②B．③④C．①②④D．①②③13．如图，在锐角△ABC中，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点D，F．若E，D关于BC对称，连接EF交BC于点G，AG⊥BC，AG与CD相交于点P，则点P一定为△DFG 的（）A．外心B．内心C．垂心D．以上答案都不对14．如图，等边△ABC边长为2，射线AM∥BC，P是射线AM上一动点（P不与A点重合），△APC的外接圆交BP于Q，则AQ长的最小值为（）A．1B．C．D．15．如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，，四边形ABCD为矩形，且AB＝2BC，OF⊥CD于F，OD，EF相交于P点，下列结论：①；②PD＝PE；③OE ⊥OD；④PD＝4PO，其中正确的结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．对于一个矩形ABCD及⊙M给出如下定义：在同一平面内，如果矩形ABCD的四个顶点到⊙M上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3交x轴于点M，⊙M的半径为2，矩形ABCD 沿直线运动（BD在直线l上），BD＝2，AB∥y轴，当矩形ABCD是⊙M的“伴侣矩形”时，点C的坐标为．17．如图，边长为4的正方形ABCD内接于圆O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①＝；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．18．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0），设点M转过的路程为m（0＜m＜1）．（1）当m＝时，n＝；（2）随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．19．如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ，给出如下结论：①DQ＝1；②＝；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ＝，其中正确结论是（填写序号）20．如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1，点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N（n，0）．设点M转过的路程为m（0＜m＜1），随着点M的转动，当m从变化到时，点N相应移动的路径长为．21．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE ＝CF；②线段EF的最小值为2；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在上，则AD＝2；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是16．其中正确结论的序号是．22．如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA＝OB＝OC，且∠AOB＝120°，折线NG﹣GH﹣HE﹣EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．（1）如图2①，若点H在线段OB时，则的值是；（2）如果一级楼梯的高度HE＝（8+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是．23．如图，△ABC是⊙O内接正三角形，将△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别交AB，AC于点M，N，DF交AC于点Q，则有以下结论：①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；③△DNQ的周长等于AC的长；④NQ＝QC．其中正确的结论是．（把所有正确的结论的序号都填上）24．如图，两个半圆外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y＝x相切．若半圆O1的半径为1，则半圆O2的半径R＝．25．如图：已知菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，动点P在边AB上运动，以点O为圆心，OP为半径作⊙O，CQ切⊙O于点Q．则在点P运动过程中，切线CQ的长的最大值为．26．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC 的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：①∠A始终为60°；②当∠ABC＝45°时，AE＝EF；③当△ABC为锐角三角形时，ED＝；④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点M是边AB的中点，连结CM，点P从点C出发，以1cm/s的速度沿CB运动到点B停止，以PC为边作正方形PCDE，点D落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当t＝时，点E落在△MBC的边上；（2）以E为圆心，1cm为半径作圆E，则当t＝时，圆E与直线AB或直线CM 相切．28．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．则线段EF的最小值为．29．如图，点A（2，0），以OA为半径在第一象限内作圆弧AB，使∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则点E的坐标为；若点E落在半径OB上，则点E的坐标为．30．如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一点，是以原点为圆心，半径为1的圆，且A（﹣1，0），B（0，1），点M是上的一个动点，连结PM，作直角△MPM1，并使得∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，我们称点M1为点M的对应点．（1）设点A和点B的对应点为A1和B1，当t＝1时，求A1的坐标；B1的坐标．（2）当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，求M1的运动路径长．31．如图，已知△ABC，AC＝BC，∠C＝90°．O是AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则∠CDG＝，若AB＝，则BG＝．32．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝4，∠CBA＝30°，点D在AO上运动，点E与点D关于AC对称：DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为；③当AD＝1时，EF与半圆相切；④当点D从点A运动到点O时，线段EF扫过的面积是4．其中正确的序号是．33．如图，已知⊙O经过点A（2，0）、C（0，2）．直线y＝kx（k≠0）与⊙O分别交于点B、D，则四点A、B、C、D组成的四边形面积的最大值为．34．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC 中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．BD＝6，sin C＝．则下面结论正确的有（填序号）（1）AC与⊙O相切；（2）EF＝EG；（3）⊙O的直径等于8；（4）AB2＝AC AE．35．如图，已知∠MON＝90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为t（s），其中0＜t＜8．（1）求OP+OQ的值；（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．（3）求四边形OPCQ的面积．36．某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现著名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；（2）求证：，且其比值k＝；（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．37．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tan B的值．38．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求EDC部分的面积．39．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：H为CE的中点；（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．40．在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC 中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．41．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．42．探究活动一：如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有k AB＝＝2，k AC＝＝2，发现k AB＝k AC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则k PQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，k PQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率k ST＝．探究活动二数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．综合应用如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．43．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，∠CDE＝∠CAD．（1）求证：CD2＝AC•EC；（2）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（3）若AE＝EC，求tan B的值．44．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD＝BF；（2）填空：①若⊙O的半径为5，tan B＝，则CF＝；②若⊙O与BF相交于点H，当∠B的度数为时，四边形OBHE为菱形．45．已知：△ABC为等边三角形．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）射线AO交BC于点D，交⊙O于点E，过E作⊙O的切线EF，与AB的延长线交于点F．①根据题意，将（1）中图形补全；②求证：EF∥BC；③若DE＝2，求EF的长．46．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝6，BO＝6，以点O为圆心，以2为半径作优弧，交AO于点D，交BO于点E．点M在优弧上从点D开始移动，到达点E 时停止，连接AM．（1）当AM＝4时，判断AM与优弧的位置关系，并加以证明；（2）当MO∥AB时，求点M在优弧上移动的路线长及线段AM的长；（3）连接BM，设△ABM的面积为S，直接写出S的取值范围．47．已知：图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．操作：将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．思考：（1）求直角三角尺边框的宽．（2）求证：∠BB′C′+∠CC′B′＝75°．（3）求边B′C′的长．48．问题探究：（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，请在四边形ABCD内找一点P，使∠BPD ＝90°，（2）如图2，AB为⊙O的直径，AC＝BC，D为上一点，连接CD、BD、AD，若CD ＝2，BD＝1，求AD的值．问题解决：（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，过B作射线BE，与AD边或CD边交于点E，过D作DF⊥BE于点F，△ABF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在请说明理由．49．已知△ABC内接于⊙O，点D在弦AB上，设∠CAB＝α，∠ACD＝β．（1）如图1，当⊙O的半径OB＝3，α＝30°时，求的长；（2）如图1，试用含α的代数式表示∠OBC的大小；（3）如图2，点P是DC延长线上的一点，连接PB．若∠ABC＝β，且PD＝PB，求证：PB是⊙O的切线．50．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．参考答案1．解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，②假设∠AOC＝∠AEC，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝∠C，∴∠A＝∠ABC，∴，∵OC∥BD∴∠C＝∠CBD，∴∠ABC＝∠DBC，即：∴C，D是半圆的三等分点，而与“C，D是⊙O上的点”矛盾，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD，④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°，∵点O为圆心，∴AF＝DF，⑤、由④有，AF＝DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD＝2OF，⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选：D．2．解：∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x﹣4y﹣12＝0，即OA＝4，OB＝3，由勾股定理得：AB＝5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：×AB×CM＝×OA×OC+×OA×OB，∴5×CM＝4×1+3×4，∴CM＝，∴圆C上点到直线y＝x﹣3的最大距离是1+＝，∴△P AB面积的最大值是×5×＝，故选：C．3．解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，又∵AB＝BD，∴△ABD和△BCD是等边三角形，∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝∠BCD＝∠CDB＝∠BDA＝60°，又∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∴∠DCH＝∠DBF，∠GDH＝∠BCH，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠GDH＝60°﹣∠EDB，∠DCH＝∠BCD﹣∠BCH＝60°﹣∠BCH，∴∠ADE＝∠DCH，∴∠ADE＝∠DBF，在△ADE和△DBF中，∴△ADE≌△DBF（ASA）∴AE＝DF故①正确，②由①中证得∠ADE＝∠DBF，∴∠EDB＝∠FBA，∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠BDC＝60°，∠DBC＝60°，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，∴∠BGE＝180°﹣∠BGC﹣∠DGC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FGD＝60°，∴∠FGH＝120°，又∵∠ADB＝60°，∴F、G、H、D四个点在同一个圆上，∴∠EDB＝∠HFB，∴∠FBA＝∠HFB，∴FH∥AB，故②正确，③∵B、C、D、G四个点在同一个圆上，∠DBC＝60°，∴∠DGH＝∠DBC＝60°，∵∠EGB＝60°，∴∠DGH＝∠EGB，由①中证得∠ADE＝∠DBF，∴∠EDB＝∠FBA，∴△DGH∽△BGE，故③正确，④如下图∵CG为⊙O的直径，点B、C、D、G四个点在同一个圆⊙O上，∴∠GBC＝∠GDC＝90°，∴∠ABF＝120°﹣90°＝30°，∵∠A＝60°，∴∠AFB＝90°，∵AB＝BD，∴DF＝AF，故④正确，正确的有①②③④；故选：D．4．解：∵纸片上下折叠A、B两点重合，∴∠BMD＝90°，∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴∠BNF＝90°，∴∠BMD＝∠BNF＝90°，∴CD∥EF，故①正确；根据垂径定理，BM垂直平分EF，又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四边形MEBF是菱形，故②正确；∵ME＝MB＝2MN，∴∠MEN＝30°，∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，又∵AM＝ME（都是半径），∴∠AEM＝∠EAM，∴∠AEM＝∠EMN＝×60°＝30°，∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，同理可求∠AFE＝60°，∴∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r，则EN＝r，∴EF＝2EN＝r，∴S四边形AEBF：S扇形BEMF＝（×r×2r）：（πr2）＝3：π，故④正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．5．解：延长EF，过点B作直线平行AC和EF相交于P，∵AE＝5，EC＝3，∴AC＝AE+CE＝8，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，∵以OB为直径画圆M，∴AC是⊙M的切线，∵DN是⊙M的切线，∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，∴∠DNM＝∠DOE＝90°，∵∠MDN＝∠EDO，∴△DMN∽△DEO，∴DM：MN＝DE：OE，∵MN＝BM＝OM＝OB，∴DM＝OD+OM＝3MN，∴DE＝3OE＝3，∵OE∥BP，∴OD：OB＝DE：EP，∵OD＝OB，∴DE＝EP＝3，∴BP＝2OE＝2，∵OE∥BP，∴△EFC∽△PFB，∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，∴EF：EP＝3：5，∴EF＝EP×＝1.8，∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．故选：C．6．解：①如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BDE＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴，由AD＝5，BD＝2，可求DE＝，①不正确；②如图2，连接CD，∠FCD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，∴∠FCD＝∠ABD，若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB，则有：∠ABD＝∠ADB，与已知不符，故②不正确；③如图3，∵∠F＝∠F，∠F AD＝∠FBC，∴△FDA∽△FCB；故③正确；④如图4，连接CD，由②知：∠FCD＝∠ABD，又∵∠F＝∠F，∴△FCD∽△FBA，∴，由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：AF＝8，FB＝，∴BD＝BF﹣DF＝，∵直径AG⊥BD，∴DH＝，∴FH＝，∴cos F＝＝，故④正确；故选：C．7．解：①∵四边形OABC是矩形，∴OE＝BE，BC∥OA，OA＝BC，∴∠HBE＝∠GOE，∵在△BHE和△OGE中，∠HBE＝∠GOE，OE＝BE，∠HEB＝∠GEO，∴△BHE≌△OGE（ASA），∴BH＝OG，∴AG＝CH．②如图1，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，则由矩形的性质，点E在AC上．∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，∵在△CME和△ADE中，∠MCE＝∠DAE，CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，∴△CME≌△ADE（ASA），∴CM＝AD＝2﹣1＝1，∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB，∴MD切⊙O于D，∵HG切⊙O于F，E（1，），∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME，在Rt△MHE中，有MH2+ME2＝HE2，即（1﹣x）2+（）2＝（+x）2，解得x＝．∴H（，1），OG＝2﹣＝，∴G（，0）．∴GH2＝（﹣）2+（0﹣1）2＝，∴GH＝，③设直线GH的解析式是：y＝kx+b，把G、H的坐标代入得，解得：，∴直线GH的函数关系式为y＝﹣x+，④如图2，连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH＝AG，∠HCO＝∠GAB，OC＝AB，∴△OCH≌△BAG（SAS）．∴∠CHO＝∠AGB．∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F．∴OH平分∠CHF．∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA．∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE．∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE＝BE，∴△HOE≌△GBE（SAS）．∴∠OHE＝∠BGE．∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA．∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上．过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA．∴＝，设半径为r，则，解得r＝．故选：D．8．解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．9．解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图∵MN⊥AB，∠MNP＝∠MNQ，则∠1＝∠2，故①正确；∵AB是⊙O的直径，MN⊥AB，＝，∵∠1＝∠2，∠ANC＝∠2，∴∠1＝∠ANC，∴P，C关于AB对称，则＝，＝，∴∠Q＝∠PMN，故③正确；∵∠P+∠PMN＜180°，∠Q＝∠PMN，∴∠P+∠Q＜180°，故②错误；∵∠MNP＝∠MNQ，∠Q＝∠PMN，∴△PMN∽△MQN，∴MN2＝PN•QN，PM不一定等于MQ；故④正确，⑤错误．故选：B．10．解：①连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD．∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC．即AC平分∠DAB．故正确；②∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB+∠ACD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB．又∵∠ACE＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB+∠ACE，∠PCF＝∠PCB+∠BCE．∴∠PFC＝∠PCF．∴PC＝PF，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△P AC，∴PC：P A＝PB：PC，∴PC2＝PB•P A，即PF2＝PB•P A；故正确；③连接AE．∵∠ACE＝∠BCE，∴＝，∴AE＝BE．又∵AB是直径，∴∠AEB＝90°．∴AB＝BE＝×7＝14，∴OB＝OC＝7，∵PD是切线，∴∠OCP＝90°，∵BC＝OP，∴BC是Rt△OCP的中线，∴BC＝OB＝OC，即△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴S△BOC＝，S扇形BOC＝×π×72＝π，∴阴影部分的面积为π﹣；故错误；④∵△PCB∽△P AC，∴，∴tan∠PCB＝tan∠P AC＝＝，设PB＝x，则P A＝x+14，∵PC2＝PB•P A，∴242＝x（x+14），解得：x1＝18，x2＝﹣32，∴PB＝18，∴tan∠PCB＝＝＝；故正确．故选：C．11．解：对于直线y＝kx﹣3k+4＝k（x﹣3）+4，当x＝3时，y＝4，故直线y＝kx﹣3k+4恒经过点（3，4），记为点D．过点D作DH⊥x轴于点H，则有OH＝3，DH＝4，OD＝＝5．∵点A（13，0），∴OA＝13，∴OB＝OA＝13．由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BD＝2＝2×＝2×12＝24．故选：B．12．证明（1）∵BC⊥AB于点B，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BAD＝∠CEB，∴∠CEB＝∠CBD，故①正确．（2）∵∠C＝∠C，∠CEB＝∠CBD，∴△EBC∽△BDC，∴＝，故②正确，（3）∵∠EBD＝∠BDF＝90°，∴DF∥BE，假设点F是BC的中点，则点D是EC的中点，∴ED＝DC，∵ED是直径，长度不变，而DC的长度是不定的，∴DC不一定等于ED，故③是错误的．（4）∵＝，设BC＝3x，AB＝2x，∴OB＝OD＝x，∴在RT△CBO中，OC＝x，∴CD＝（﹣1）x∵由（2）知，＝∴＝＝＝，∵tan E＝∴tan E＝，故④正确，故选：C．13．解：∵B、D、F、E四点共圆，∴∠BDF+∠BEF＝180°．∵∠BDF+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BEF．∵E、D关于BC对称，∴∠BDG＝∠BEG，∴∠BDG＝∠ADF，∵BC为直径，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴∠FDC＝∠GDC，∴CD为∠FDG的角平分线；∵E、D关于BC对称，BC为直径，∴＝，∴∠EFC＝∠DBC，∵所对的角为∠BCF、∠BEF，∴∠BCF＝∠BEF，∵∠BDG＝∠BEG，∴∠BCF＝∠BDG，在△BDG和△FCG中，∵∠BDG＝∠FCG，∠DBG＝∠CFG，∴△BDG∽△FCG，∴∠BGD＝∠CGF，∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠AGC＝90°，∴∠DGA＝∠FGA，∴GA为∠DGF的角平分线，∵CD、AP交于点P，∴点P为△DFG的内心．故选：B．14．解：过点B作BD⊥直线AP，垂足为D，过点C作CE⊥直线AP，垂足为E，连接QC，如图，则有BD∥CE．∵AP∥BC，∠BDE＝90°，∴四边形BCED是矩形，∴∠DBC＝∠ECB＝90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBA＝∠ECA＝30°，∴AD＝1，AE＝1，∴BD＝，CE＝．设AP＝x，则DP＝x+1，EP＝．在Rt△BDP中，BP2＝BD2+DP2＝3+（x+1）2＝x2+2x+4．在Rt△CEP中，CP2＝CE2+EP2＝3+（x﹣1）2＝x2﹣2x+4．∵AM∥BC，∴∠APB＝∠CBP．∵∠APB＝∠ACQ，∴∠ACQ＝∠CBP．∵∠QAC＝∠CPB，∴△AQC∽△PCB，∴＝，∴AQ＝2×，∴AQ2＝4×＝4×＝4×（1﹣）＝4×（1﹣）＝4﹣，当＝0即x＝2时，AQ2取到最小值为，此时AQ＝．故选D．方法二：如图，易知∠PQC＝∠P AC＝∠ACB＝60°，∴∠BQC＝120°，∴点Q的运动轨迹是，∴当AQ⊥BC时，AQ的长最小，设AQ交BC于G，此时AG＝，OG＝BQ＝AQ，∴AQ的最小值为，故选：D．15．解：过E作EN垂直DC交AB于点M，设圆的半径为R，∵AB为⊙O的直径，，∴∠AOE＝60°，∵EN⊥DC，四边形ABCD为矩形，∴EN⊥AB，在Rt△EMO中，∠AOE＝60°，则∠OEM＝30°，∴OM＝R，EM＝R，易得四边形OMNF为矩形，则MN＝OF＝BC＝AB＝R，∴NF＝OF＝R，∵△EMH∽△ENF，∴＝，即＝，解得：MH＝R，则OH＝OM﹣MH＝（2﹣）R，在Rt△OHF中，HF＝＝（﹣）R，∵△OPH∽△DPF，∴＝＝2﹣，∵HP+PF＝HF＝（﹣）R，∴HP＝（﹣）R，PF＝R，∴＝，故①正确；同理可得：OP＝R，PD＝R，在Rt△EMH中，EH＝＝＝，则EP＝EH+HP＝DP＝R，故②正确；∠AOE+∠AOD＝60°+45°＝105°，故③错误；＝＝2﹣≠，故④错误．综上可得①②正确，共2个．故选：B．16．解：如图所示，矩形在这两个位置时就是⊙M的“伴侣矩形”，根据直线l：y＝x﹣3得：OM＝，ON＝3，由勾股定理得：MN＝＝2，①矩形在x轴下方时，分别过A、D作两轴的垂线AH、DG，由cos∠ABD＝cos∠ONM＝＝，∴＝，AB＝，则AD＝1，∵DG∥y轴，∴△MDG∽△MNO，∴，∴，∴DG＝，。
2021年中考数学 专题训练：与圆相关的计算(含答案)
2021中考数学专题训练：与圆相关的计算一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB 和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶42. 正八边形的中心角是()A．45°B．135°C．360°D．1080°3. 如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为()A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm4. (2019•贵阳)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是A．30°B．45°C．60°D．90°5. 2018·宁夏用一个半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则这个圆锥的底面圆半径是()A．10 B．20 C．10π D．20π6. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为()A．6 B．7 C．8 D．97. 2019·天水模拟一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是()A．60°B．90°C．120°D．180°8. 如图，边长为3的正五边形ABCDE的顶点A，B在半径为3的圆O上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆O 上时，点C转过的度数为()A．12°B．16°C．20°D．24°9. 2019·宁波如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为()A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm10. 2018·黑龙江如图在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图阴影部分的面积为( )图A.143π－6B.259πC.338π－3 D.33＋π二、填空题11. 如图①，把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图②所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 .12. 若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm .13. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是________°.14. (2019•扬州)如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在弧AC 上，且B C 是⊙O 的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=__________．15. 2018·烟台如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点O为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF .将扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________.16. 佳佳对科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折(如图①所示)，旋转放置，做成科学方舟模型(如图②所示)．图①中正五边形的边心距OB 为2，图②中AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝________．三、解答题17. 如图，以△ABC 的边BC 为直径作☉O ，点A 在☉O 上，点D 在线段BC 的延长线上，AD=AB ，∠D=30°. (1)求证:直线AD 是☉O 的切线;(2)若直径BC=4，求图中阴影部分的面积.18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作☉O ，点D 为☉O 上一点，且CD=CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E. (1)判断直线CD 与☉O 的位置关系，并说明理由; (2)若BE=2，DE=4，求☉O 的半径及AC 的长.19. 如图，☉O与△ABC的AC边相切于点C，与AB，BC边分别交于点D，E，DE∥OA，CE是☉O的直径.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若BD=4，CE=6，求AC的长.20. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE21. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB 交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB＝43且CFCP＝34时，求劣弧BD︵的长度．2021中考数学专题训练：与圆相关的计算-答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝ 5.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝25π，∴l1∶l2＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝5π∶25π＝1∶2.2. 【答案】A3. 【答案】C【解析】设弓形高为CD，则DC的延长线过点O，且OC⊥AB，因为半径为13，所以OB＝OD＝13，因为弓形高为8，所以CD＝8，在RtΔOBC 中，根据勾股定理得OC2＋BC2＝OB2，即BC＝OB2－OC2＝132－（13－8）2＝12，由垂径定理得AB＝2BC＝24 cm.4. 【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD=(62)1806-⨯︒=120°，BC=CD，∴∠CBD=12(180°-120°)=30°，故选A．5. 【答案】A6. 【答案】D[解析] ∵正方形的边长为3，∴BD ︵的长度为6，∴S 扇形ADB ＝12lR ＝12×6×3＝9.7. 【答案】D8. 【答案】A[解析] 设点E 第一次落在圆上时的对应点为E ′，连接OA ，OB ，OE ′，如图．∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴∠EAB ＝108°.∵正五边形ABCDE 绕点A 逆时针旋转，点E 第一次落在圆O 上的点E ′处， ∴AE ′＝AE ＝3.∵OA ＝AB ＝OB ＝OE ′＝3，∴△OAE ′，△OAB 都为等边三角形， ∴∠OAB ＝∠OAE ′＝60°， ∴∠E ′AB ＝120°， ∴∠EAE ′＝12°，∴当点E 第一次落在圆O 上时，点C 转过的度数为12°.9. 【答案】B10. 【答案】B[解析] ∵AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，∴AC 2＋BC 2＝25＝AB 2，∴△ABC为直角三角形．由旋转的性质得，△ADE 的面积＝△ABC 的面积，由图可知，阴影部分的面积＝△ADE 的面积＋扇形ADB 的面积－△ABC 的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB 的面积＝40π×52360＝259π.二、填空题11. 【答案】4-π[解析]如图，∵新的正方形的边长为1+1=2，∴恒星的面积=2×2-π×12=4-π，故答案为:4-π.12. 【答案】9【解析】由n＝360rl得120＝360×3l，解得l＝9.13. 【答案】120【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设扇形的圆心角为n°，则2π×2＝nπ·6180，解得n＝120.14. 【答案】15【解析】如图，连接OB，∵AC是⊙O的内接正六边形的一边，∴∠AOC=360°÷6=60°，∵BC是⊙O的内接正十边形的一边，∴∠BOC=360°÷10=36°，∴∠AOB=60°–36°=24°，即360°÷n=24°，∴n=15，故答案为：15．15. 【答案】3∶2[解析] 如图连接OA，OB，OF.∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OF，∠AOF＝∠AOB＝60°，∠E＝120°.∵M为AF的中点，∴∠AOM＝30°.由题意，得ON＝OM.易证△BON≌△AOM，∴∠BON＝∠AOM＝30°，∴∠MON＝120°.设AM＝a，则AB＝OA＝2a，OM＝3 a，∴扇形MON的弧长为120×π×3a180＝2 33πa，则r1＝33a.同理可得，扇形DEF 的弧长为120×π×2a 180＝43πa ，则r 2＝23a ，∴r 1∶r 2＝3∶2.16. 【答案】522 [解析] 如图①，连接OF ，OE .由题意，知AB ⊥EF ，则S 正五边形AGFED ＝5×S △OEF ＝5×(12EF ·OB )＝2.5×2EF ＝5 2BE .如图②，连接AE .S 正五边形AGFED ＝2×S 四边形ABED ＝2×(S △ABE ＋S △ADE )＝2×(12AB ·BE ＋12DE ·AC )＝AB ·BE ＋DE ·AC ＝AB ·BE ＋2BE ·AC ＝BE ·(AB ＋2AC )，∴5 2BE ＝BE ·(AB ＋2AC )． ∴AB ＋2AC ＝5 2，∴AC ＋12AB ＝52 2.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OA ，∵AD=AB ，∠D=30°，∴∠B=30°，∠DAB=120°. ∵BC 是直径， ∴∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，∠BCA=60°， ∵AO=CO ，∴△ACO 是等边三角形， ∴∠CAO=60°，∴∠DAO=∠CAO +∠DAC=90°， ∴直线AD 是☉O 的切线.(2)由(1)知，Rt △ADO 中，AO=2，∠D=30°， ∴AD=2，∴S Rt △ADO =×2×2=2，又∵S==，扇形AOC=S Rt△ADO-S扇形AOC=2.∴S阴影18. 【答案】解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:连接CO.∵点D在圆上，∴OD=OB，又∵CD=CB，CO=CO，∴△COD≌△COB(SSS).∵∠ABC=90°，∴∠ODC=∠ABC=90°，∴OD⊥DC，∴直线CD与☉O相切.(2)设☉O的半径为x，∵DE=4，∴OE=4-x.在Rt△OBE中，BE2+BO2=OE2，即22+x2=(4-x)2，解得x=1.5，∴OD=OB=1.5.AB=2OB=3.∵CB，CD是圆的切线，∴CB=CD.则设CB=CD=y，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即y2+42=(y+2)2，解得y=3，∴BC=3.在Rt△ABC中，AC==3.19. 【答案】解:(1)证明:连接OD，∵DE∥OA，∴∠AOC=∠OED，∠AOD=∠ODE，∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，∴∠AOC=∠AOD，又∵OA=OA ，OD=OC ，∴△AOC ≌△AOD (SAS)，∴∠ADO=∠ACO. ∵CE 是☉O 的直径，AC 为☉O 的切线， ∴OC ⊥AC ，∴∠OCA=90°，∴∠ADO=∠OCA=90°，∴OD ⊥AB.∵OD 为☉O 的半径，∴AB 是☉O 的切线.(2)∵CE=6，∴OD=OC=3，∵∠BDO=180°-∠ADO=90°，∴BO 2=BD 2+OD 2，∴OB==5，∴BC=8，∵∠BDO=∠OCA=90°，∠B=∠B ，∴△BDO ∽△BCA ， ∴=， ∴=， ∴AC=6.20. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE ==∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-21. 【答案】(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径， ∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠DCP ＝90°，∴∠ACB ＝∠DCP ＝90°，又∵∠BAC ＝∠D ，∴△ACB ∽△DCP ，∴∠EBC ＝∠P ，∵CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°，∴∠CBP ＝90°，∴∠BEC ＝∠CBP ，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB ，∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34，∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形， ∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.。
中考数学专题训练：与圆有关的计算(附参考答案)
中考数学专题训练：与圆有关的计算（附参考答案）1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，B 为AC⏜上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300√3 m，BD＝150 m，则AC⏜的长为( )A．300π m B．200π mC．150π m D．100√3π m2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )A．30°B．60°C．105°D．210°3．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的两点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从点A走到点B，走便民路比走观赏路少走( )A．(6π－6√3)米B．(6π－9√3)米C．(12π－9√3)米D．(12π－18√3)米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )A．8－πB．4－πC．2－π4D．1－π45．如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形FCD的圆心C 是AB⏜的中点，且扇形FCD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．π2－1 B ．π2－2 C ．π－1D ．π－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点M 在AB⏜上，则∠CME 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，C 为圆上的一点，BC⏜＝3AC ⏜，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G .若H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为( )A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r ＋l ＝6，这样的圆锥的侧面积( ) A ．有最大值94π B ．有最小值94π C ．有最大值92πD ．有最小值92π9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面圆的半径是( )A ．π4 B ．√24 C ．12D ．110．圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为( ) A ．2π B ．3π C ．32πD ．12π11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA .若∠CAO ＝40°，∠ACB ＝70°，则阴影部分的面积是( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π12．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( )A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍13．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A ′，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4√3B ．6C ．43πD ．83π14．如图，要用一张扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)．若该圆锥的底面圆周长为20π cm ，侧面积为240π cm 2，则这个扇形的圆心角的度数是_______度．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝2√3，半径为1的⊙O 在Rt △ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)17．已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，C 为⊙O 上一点，连接CA ，CB .(1)如图1，若C 为AB⏜的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长； (2)如图2，若AC ＝2，OD 为⊙O 的半径，且OD ⊥CB ，垂足为点E ，过点D 作⊙O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．18．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin ∠MFG的值为______．19．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．20．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线⏜的中点，弦CE，BD相交于点F.交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是BD(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O的直径长．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.(1)求证：CF是⊙O的切线．(2)如果AB＝10，CD＝6.①求AE的长；②求△AEF的面积．参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．D6．D 7．C8．C 9．B10．C 11．C 12．B 13．D14．150 15．2√7＋1 16．4－π17．(1)∠CAB＝45°AC＝3√2(2)FD＝2√2 18．√5519.2620．(1)∠OCB＝60°(2)⊙O的直径长为6√321．(1)证明略(2)①AE＝454②△AEF的面积为2258。
2021年九年级数学中考一轮复习《圆》自主复习达标测评(附答案)
2021年春九年级数学中考一轮复习《圆》自主复习达标测评（附答案）1．已知一个扇形的弧长为π，半径是3，则这个扇形的面积为（）A．πB．C．D．3π2．如图，AB是圆O的直径，C、D、E都是圆上的点，其中C、D在AB下方，E在AB上方，则∠C+∠D等于（）A．60°B．75°C．80°D．90°3．如图，两个正六边形ABCDEF、EDGHIJ的顶点A、B、H、I在同一个圆上，点P在上，则tan∠API的值是（）A．2B．2C．2D．14．如图，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB 的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为（）A．1B．C．3D．25．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD∥OC，若CO＝，AC ＝2，则AD＝（）A．3B．2C．D．6．如图，点A，D，B，C是圆O上的四个点，连接AB，CD，相交于点E，若∠BOD＝40°，∠AOC＝120°，则∠AEC等于（）A．70°B．75°C．80°D．85°7．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．9π﹣4D．9π﹣28．如图，半径为3的⊙O与边长为8的正方形ABCD相切于点P、Q，⊙O与对角线BD交于M、N两点，则tan∠OMN的值为（）A．B．C．D．9．如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．710．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于．11．如图，点A，B，C都在⨀O上，tan∠ABC＝，将圆O沿BC翻折后恰好经过弦AB的中点D，则的值是．12．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C，D在半圆上，OC⊥AB，＝2，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为．13．如图，AB为⊙O的直径，＝2，M为的中点，过M作MN∥OC交AB于N，连结BM，则∠BMN的度数为．14．用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．15．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC交于点D，则图中阴影部分的面积为．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为．17．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣2，0），半径为2．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．18．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为．19．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA 的度数是°．20．如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O切线；（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．21．如图，DO是⊙O的半径，点F是直径AC上一点，点B在AD的延长线上，连接BC，使得∠ABC＝∠AOD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BF，若AD＝，tan∠ABC＝，BF＝，求CF的长．22．如图：△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，交AC于点E，点F在AC的延长线上，∠CBF＝∠BAC．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若FC＝2，BF＝6，求CE的长．23．如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，接DC并延长交y轴于点F，过点D作DH⊥x轴于点H．若点D、F的坐标分别是（6，﹣1），（0，1）．（1）求证：△FOC≌△DHC；（2）判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C 两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作平行四边形GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若DE＝17，CE＝13，求⊙O的半径．25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB．（1）连接AC、BD，求证：AC＝BD；（2）如图2，连接OC、AD相交于点E，求证：∠AEC＝3∠ADC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE，若BE＝2，CE＝3，求⊙O的半径．26．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AD＝2，BD＝3，则⊙O的直径＝；（3）若PC＝2PF，BF＝a，求CP（用a的代数式表示）．参考答案1．解：由题意，S＝×π×3＝，故选：C．2．解：连接OE，根据圆周角定理可知：∠C＝∠AOE，∠D＝∠BOE，则∠C+∠D＝（∠AOE+∠BOE）＝90°，故选：D．3．解：如图，连接AE，EI，AH，过点J作JM⊥EI于M．∵ABCDEF是正六边形，∴∠DEF＝∠F＝120°，∵F A＝FE，∴∠FEA＝∠F AE＝30°，∴∠AED＝90°，同法可证，∠DEI＝∠EIH＝90°，∴∠AED+∠DEI＝180°，∴A，E，I共线，设IH＝IJ＝JE＝a，∵JM⊥EI，∴EM＝MI＝a，∴AI＝2EI＝2a，∵∠API＝∠AHI，∴tan∠API＝tan∠AHI＝＝＝2，故选：A．4．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴＝，∴＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，故选：D．5．解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，∵AD∥OC，∴四边形OEAG是矩形，∴OG＝EA，∵OF⊥AC，OA＝OC＝，AC＝2，∴CF＝1，∴OF＝＝，∵，∴，解得AE＝，∴OG＝，∵OG⊥AD，∴AG＝＝＝，∴AD＝2AG＝，故选：D．6．解：连接BC，∵对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC，∠AOC＝120°，∴∠ABC＝AOC＝60°，同理可得：∠DCB＝BOD＝＝20°，∴∠AEC＝∠ABC+∠DCB＝60°+20°＝80°，故选：C．7．解：延长CD，DA交⊙O于E，F，由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，故选：B．8．解：如图，连接AO并延长交BD于点H，连接OP，OQ，∵⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，∴OP⊥AB，OQ⊥AD，∵OP＝OQ，∴四边形APOQ是正方形，∴OA＝OQ＝3，∵∠QAO＝∠ABH＝45°，∴∠AHB＝90°，∵AB＝8，∴AH＝AB•sin45°＝8×＝4，∴OH＝AH﹣OA＝，在Rt△OMH中，OM＝3，根据勾股定理，得MH＝＝＝，∴tan∠OMN＝＝＝．故选：B．9．解：延长AO交BC于D，过点O作OE⊥BC于E，如图所示：设AB的长为x，∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝x；∵OA＝4，BC＝10，∴BE＝BC＝5，DE＝x﹣5，OD＝x﹣4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD，∴x﹣5＝（x﹣4），解得：x＝6．故选：C．10．解：连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC＝4，∴BC＝＝4，故答案为：4．11．解：如图，连接AC，CD，过点C作CE⊥AB于E．设AD＝DB＝2a．∵∠ABC＝∠CBD，∴＝，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴AE＝ED＝a，∴BE＝DE+DB＝3a，∵tan∠ABC＝＝，∴EC＝2a，∴BC＝＝＝a，∴＝＝，故答案为：．12．解：如图，连接AD，P A，PD，OD．∵OC⊥AB，OA＝OB，∴P A＝PB，∠COB＝90°，∵＝2，∴∠DOB＝×90°＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD＝60°∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB•sin∠ABD＝3，∵PB+PD＝P A+PD≥AD，∴PD+PB≥3，∴PD+PB的最小值为3，故答案为：3．13．解：连接OM．∵AB是直径，＝2，∴∠BOC＝×180°＝60°，∵＝，∴∠MOB＝∠COM＝30°，∵OM＝OB，∴∠B＝∠OMB＝（180°﹣30°）＝75°，∵OC∥MN，∴∠MNB＝∠COB＝60°，∴∠BMN＝180°﹣∠BNM﹣∠NBM＝180°﹣60°﹣75°＝45°，故答案为：45°．14．解：设圆锥的底面半径为r．由题意，2πr＝，∴r＝3，故答案为：3．15．解：作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，设DF＝x，∵∠DFO＝90°，∠DOF＝60°，∴∠ODF＝30°，∴OF＝DF•tan30°＝x•＝x，∴DE＝x，∵∠AOB＝90°，半径OB＝2．∴OB＝OA＝2，∠OAB＝∠OBA＝45°，∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB，∴＝+，解得x＝3﹣，∴阴影部分的面积是：﹣＝（3﹣）+﹣（3﹣）＝﹣1﹣3+＝+2﹣4，故答案为：+2﹣4．16．解：如图，连接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OA＝OB＝AB＝3，即⊙O的半径是3，故答案为：3．17．解：当AD与⊙C相切，且在x轴的上方时，△ABE的面积最小，连接CD，则CD⊥AD，∴A、B两点的坐标是（2，0），（0，2），在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝OC+OA＝4，由勾股定理，得：AD＝2，∴S△ACD＝AD•CD＝×2×2＝2，∵△AOE∽△ADC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AOE＝S△ADC＝∴S△ABE＝S△AOB﹣S△AOE＝×2×2﹣＝2﹣．故答案为：2﹣．18．解：如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为8，∴AB＝OA＝OB＝8，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF＝AB＝4，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．故答案为：12．19．解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝CBA，∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，∴∠AIB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．20．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE＝90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠DAE+∠OAD＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD＝6，∴DF＝FC＝3．在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，∴OD＝＝＝5，在Rt△AED中，AE＝4，ED＝2，∴AD＝，∴AD的长是．21．解：（1）连接CD，∵，∴．∵，∴∠ACD＝∠ABC．∵AC是⊙O直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝90°．∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝90°．∴BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线；（2）在△ACD中，∠ADC＝90°，，，∴AC＝4．在△ABC中，∠ACB＝90°，，AC＝4，∴BC＝3．在△BCF中，∠BCF＝90°，，BC＝3，∴．22．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAD＝BAC，∵∠CBF＝BAC，∴∠CBF＝∠BAD，∴∠CBF+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝90°，即BF⊥OB，∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：设AB＝AC＝m，则AF＝AC+CF＝m+2，在Rt△ABF中，∵BF2+AB2＝AF2，∴62+m2＝（m+2）2，解得：m＝8，∴AB＝AC＝8，AF＝8+2＝10，连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠ABF＝90°，∵∠BAE＝∠F AB，∴△ABE∽△AFB，∴，∴AE＝＝＝6.4，∴CE＝AC﹣AE＝8﹣6.4＝1.6．23．（1）证明：∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，﹣1），∴DH＝OF，在△FOC与△DHC中，，∴△FOC≌△DHC（AAS）；（2）解：⊙P与x轴相切．理由如下：如图，连接CP．∵△FOC≌△DHC，∴DC＝CF，∵AP＝PD，∴CP∥AF，∴∠PCE＝∠AOC＝90°，即PC⊥x轴．又PC是半径，∴⊙P与x轴相切．24．（1）DE是⊙O的切线；证明：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，又∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，∵四边形GDEC为平行四边形，∴DG＝CE＝13，CG＝DE＝17，∵∠DOG＝90°∴OD2+OG2＝DG2，即r2+（17﹣r）2＝132，解得r1＝5，r2＝12，当r＝5时，OG＝12，点G在⊙O外，∴r＝5不成立，舍去，∴r＝12．25．解：（1）连接BC，如图1，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AC＝BD；（2）∵CD∥AB．∴∠OCD＝∠AOC，∵∠AOC和∠ADC所对的弧是，∴∠AOC＝2∠ACD，∴∠ECD＝2∠EDC，∵∠AEC＝∠ECD+∠EDC，∴∠AEC＝3∠ADC；（3）连接BD，延长CO与⊙O交于点F，连接AF，设OE＝x，则OA＝OB＝OC＝x+3，EF＝2x+3，∵CD∥AO，∴，即，∴DE＝•AE，AD＝•AE，∵∠EAF＝∠ECD，∠EDC＝∠EF A，∴△AEF∽△CED，∴，即，∴，∴AE2＝x（2x+3），∴，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB2﹣AD2＝BD2＝BE2﹣DE2，即，化简得，2x2+9x﹣26＝0，解得，x＝2，或x＝﹣6.5（舍），∴OA＝OB＝x+3＝5，即⊙O的半径为5．26．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CEB+∠CBE＝90°，∵∠ABC＝∠EFD，∠EFD＝∠FDB+∠FBD，∴∠EBC＝∠FDB，∵∠CEB＝∠CDF，∴∠CDF+∠FDB＝90°，即∠CDB＝90°，∴CD⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）解：∵∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴CD2＝AD•BD＝2×3＝6，∴CD＝，∴⊙O的直径为，故答案为：．（3）解：∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∴∠DCF+∠CDF＝90°，又∵∠CDB＝90°，∴∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠FDB＝∠DCF，∵∠EBC＝∠FDB，∴∠EBC＝∠DCF，∴△PCF∽△PBC，∴＝，∵PC＝2PF，∴＝＝∴PB＝2PC＝4PF，又PB＝PF+BF，∴4PF＝PF+BF，∴PF＝BF＝a，∵PC＝2PF．∴PC＝a．。
2021年中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质(含答案)
2021中考数学 一轮专题训练：圆的有关性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，在⊙O 中，AB ︵＝CD ︵，∠1＝45°，则∠2等于( )A ．60°B ．30°C ．45°D ．40°2. 如图所示，AB是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，CD ⊥AB.若∠DAB ＝65°，则∠BOC 等于( )A ．25°B ．50°C ．130°D ．155°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD︵上一点，且DF︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC ＝105°，∠BA C ＝25°，则∠E 的度数为( ) A . 45° B . 50° C . 55° D . 60°4. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A．30°B．40°C．50°D．60°5. 如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB 相交于点P，下列结论错误的是()A．AP＝2OP B．CD＝2OPC．OB⊥AC D．AC平分OB6.如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是(2，a)(a＞2)，半径为2，函数y＝x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为2 3，则a的值是()A．2 B．2＋ 2C．2 3 D．2＋ 38. 2020·武汉模拟小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160 mm，直角顶点A到轮胎与地面接触点B的距离AB为320 mm，请帮小名同学计算轮胎的直径为()A．350 mm B．700 mmC．800 mm D．400 mm9. 如图，在半径为13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是()A．2 6 B．2 10 C．2 11 D．4 310. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为()A．70°B．60°C．50°D．40°二、填空题（本大题共10道小题）11. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.12. 2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.13. 2018·毕节如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．14. 当宽为3 cm的刻度尺的一边与⊙O相切于点A时，另一边与⊙O的两个交点B，C处的读数如图所示(单位：cm)，那么该圆的半径为________cm.15. 如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B 两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝________°.17. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．18. 如图，在⊙O中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为________．19. 如图2，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm ，下雨前水面宽为60 cm ，一场大雨过后，水面宽为80 cm ，则水位上升________cm. 链接听P39例4归纳总结20. 如图，AB ，CD是半径为5的⊙O 的两条弦，AB ＝8，CD ＝6，MN 是⊙O 的直径，AB ⊥MN 于点E ，CD ⊥MN 于点F ，P 为EF 上的任意一点，则PA ＋PC 的最小值为________．三、解答题（本大题共6道小题）21. 2018·牡丹江 如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，AD ⊥OC 于点D .求证：AB ＝2AD .22.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠A ＝2∠BCD ，点E 在AB 的延长线上，∠AED ＝∠ABC. (1)求证：DE 与⊙O 相切；(2)若BF ＝2，DF ＝10，求⊙O 的半径．23. 2018·天津 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，∠BAC ＝38°.(1)如图①，若D 为AB ︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小；(2)如图②，过点D 作⊙O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，若DP ∥AC ，求∠OC D 的大小．24.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F . (1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线．25. 如图，AB是☉O的直径，点C为的中点，CF为☉O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF.(1)求证:△BFG≌△CDG;(2)若AD=BE=2，求BF的长.26. 已知OA＝5，sin∠O＝35，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A′与直线OA相切，求x的值；②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值．2021中考数学一轮专题训练：圆的有关性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C3. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.4. 【答案】D5. 【答案】A[解析] ∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，∴∠CPO＝90°，即OB⊥AC，∴选项C正确；∴CP＝AP.又∵OA＝OD，∴OP是△ACD的中位线，∴CD＝2OP，∴选项B正确；∴CD＝OB＝2OP，即P是OB的中点，∴AC平分OB，∴选项D正确．6. 【答案】B 【解析】由垂径定理可得DH＝2，所以BH＝BD2－DH2＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(3)2＝1×BA，AB＝3.7. 【答案】B[解析] 如图，连接PB，过点P作PC⊥AB于点C，过点P作横轴的垂线，垂足为E，交AB于点D，则PB＝2，BC＝ 3.在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝1.∵直线y＝x平分第一象限的夹角，∴△PCD和△DEO都是等腰直角三角形，∴PD＝2，DE＝OE＝2，∴a＝PE＝2＋ 2.故选B.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于点G，连接OB，OD，OE，如图所示．则DF＝CF，AG＝BG＝12AB＝3，∴EG＝AG－AE＝2.在Rt△BOG中，OG＝OB2－BG2＝13－9＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝2OG＝2 2.∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝12OE＝ 2.在Rt△ODF中，DF＝OD2－OF2＝13－2＝11，∴CD＝2DF＝2 11.故选C.10. 【答案】D[解析] ∵∠BOC＝110°，∴∠AOC＝70°.∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°.∵OA＝OD，∴∠D＝∠A＝70°.在△OAD中，∠AOD＝180°－(∠A＋∠D)＝40°.二、填空题（本大题共10道小题） 11. 【答案】52° [解析]∵圆内接四边形对角互补， ∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°.∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.12. 【答案】2或14 [解析] ①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，如图①， ∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AE ＝8 cm ，CF ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴EO ＝6 cm ，OF ＝8 cm ， ∴EF ＝OF －OE ＝2 cm ；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，连接OA ，OC ，过点O 作OE ⊥CD 于点E 并反向延长交AB 于点F ，如图②，∵AB ＝16 cm ，CD ＝12 cm ， ∴AF ＝8 cm ，CE ＝6 cm. ∵OA ＝OC ＝10 cm ， ∴OF ＝6 cm ，OE ＝8 cm ， ∴EF ＝OF ＋OE ＝14 cm.∴AB 与CD 之间的距离为2 cm 或14 cm.13. 【答案】30°[解析] 如图，连接OC .∵AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°. ∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°.∵CE ⊥OA ，∴∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝90°－60°＝30°.14. 【答案】25615. 【答案】5 [解析] ∵OE 过圆心且与PA 垂直，∴PE ＝EA.同理PF ＝FB ，∴EF 是△PAB 的中位线，∴EF ＝12AB ＝5.16. 【答案】70 [解析] 如图，连接AC.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵C 为弧BD 的中点，∴∠CAB ＝12∠DAB ＝20°， ∴∠ABC ＝70°.17. 【答案】52° [解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠D ＝180°. ∵∠B ＝64°，∴∠D ＝116°.又∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠AEC ＝∠D ＝116°.又∵∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ，∴∠BAE ＝52°.18. 【答案】12 [解析] 连接OD.因为CD ⊥OC ，所以CD ＝OD2－OC2，根据题意可知圆的半径一定，故当OC 最小时CD 最大，故当OC ⊥AB 时CD 最大，此时CD ＝12AB ＝12.19. 【答案】10或70 [解析] 对于半径为50 cm 的圆而言，圆心到长为60 cm 的弦的距离为40 cm ，到长为80 cm 的弦的距离为30 cm.①当圆心在两平行弦之外时，两弦间的距离＝40－30＝10(cm)；②当圆心在两平行弦之间时，两弦间的距离＝40＋30＝70(cm)．综上所述，水位上升10 cm 或70 cm.20. 【答案】7 2 [解析] 如图，连接OB ，OC ，BC ，则BC 的长即为P A ＋PC 的最小值．过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则四边形EFCH 为矩形，∴CH ＝EF ，EH ＝CF .根据垂径定理，得BE ＝12AB ＝4，CF ＝12CD ＝3，∴OE ＝OB 2－BE 2＝52－42＝3，OF ＝OC 2－CF 2＝52－32＝4， ∴CH ＝EF ＝OE ＋OF ＝3＋4＝7，BH ＝BE ＋EH ＝BE ＋CF ＝4＋3＝7. 在Rt △BCH 中，由勾股定理，得BC ＝7 2，则P A ＋PC 的最小值为72.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】证明：如图，延长AD 交⊙O 于点E ，∵OC ⊥AD ，∴AE ︵＝2AC ︵，AE ＝2AD .∵AB ︵＝2AC ︵，∴AE ︵＝AB ︵，∴AB ＝AE ，∴AB ＝2AD .22. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO ，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝∠A ，(2分)解图又∵∠DEA ＝∠CBA ，∴∠DEA ＋∠DOE ＝∠CAB ＋∠CBA ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠ACB ＝90°，(5分)∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD ，可得△FBD ∽△DBO ，∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.23. 【答案】解：(1)如图①，连接OD .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝90°－∠BAC ＝90°－38°＝52°.∵D 为AB ︵的中点，∠AOB ＝180°，∴∠AOD ＝90°，∴∠ABD ＝12∠AOD ＝45°.(2)如图②，连接OD .∵DP 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥DP ，即∠ODP ＝90°.∵DP ∥AC ，∠BAC ＝38°，∴∠P ＝∠BAC ＝38°.∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD ＝∠P ＋∠ODP ＝128°，∴∠ACD ＝64°.∵OC ＝OA ，∠BAC ＝38°，∴∠OCA ＝∠BAC ＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.24. 【答案】(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴AEDE＝EF EA，∴AE2＝EF·ED；(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．解图25. 【答案】解:(1)证明:∵C是的中点，∴=.∵AB是☉O的直径，且CF⊥AB，∴=，∴=，∴CD=BF.在△BFG和△CDG中，∵∴△BFG≌△CDG(AAS).(2)如图，过C作CH⊥AD，交AD延长线于H，连接AC，BC，∵=，∴∠HAC=∠BAC.∵CE⊥AB，∴CH=CE.∵AC=AC，∴Rt△AHC≌Rt△AEC(HL)，∴AE=AH.∵=，∴CD=BC.又∵CH=CE，∴Rt△CDH≌Rt△CBE(HL)，∴DH=BE=2，∴AE=AH=AD+DH=2+2=4，∴AB=4+2=6.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠BEC，∵∠EBC=∠ABC，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=AB·BE=6×2=12，∴BF=BC=2.26. 【答案】（1）如图2，作AE ⊥BC ，垂足为E ，那么E 是BC 的中点．在Rt △OAE 中，OA ＝5，sin ∠O ＝35，所以AE ＝3． 在Rt △BAE 中，AB ＝AD ＝5－x ，AE ＝3，BE ＝1122BC y =， 由勾股定理，得2221(5)3()2x y -=+． 整理，得221016y x x =-+．定义域是0≤x ＜2．图2 图3（2）①如图3，将⊙A 沿直线OB 翻折后得到⊙A ′，AA ′＝2AE ＝6．作A ′H ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △A ′AH 中，AA ′＝6，sin ∠A ′＝35，所以AH ＝185，A ′H ＝245． 若⊙A ′与直线OA 相切，那么半径等于A ′H ．解方程2455x -=，得15x =． ②如图4，在Rt △A ′DH 中，222241814'()(5)25555A D x x x =+--=-+． 对于⊙A ′，R ＝5－x ；对于⊙D ，r ＝DO ＝x ；圆心距d ＝A ′D ．如果两圆外切，由d ＝R ＋r ，得2142555x x x x -+=-+．解得145x =（如图4）． 如果两圆内切，由d ＝|R －r |，得21425|5|5x x x x -+=--． 解得86515x =>．所以两圆不可能内切．图4 图5考点伸展当D为OA的中点时，⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系？⊙A′和⊙D等圆，R＝52，两圆不可能内切．当D为OA的中点时，DH＝AH－AD＝18511 5210-=．此时'5A D==<．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．。
2021年中考数学专项训练： 与圆的有关计算(含答案)
一、选择题8.（2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=︒，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.1π-B.12π- C.12π-D.122π-{答案}B{解析}本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB-S 正方形CEOD=290(2)360π⨯-12=2π-1，因此本题选B ．9．（2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC ∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π{答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝21OB ＝21OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝21，∴∠COM ＝60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360)32(602⋅π＝2π．10．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．41m B ．43m C ．415m D ．23m {答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr ＝180190⋅π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝415(m)．9．（2020·乐山）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）AO M CBDA ．π4 B ．π－32 C ．π－34 D ．32π{答案}B{解析}先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2－BC 2＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90⋅π⋅22360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．(2020·南充）3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B 运动路径的长度为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π{答案}A{解析}点B 的运动路径的长度是以点A 为圆心，AB 为半径的弧长，由题意知半径为2，圆心角为90°，∴点B 的运动路径的长度是902180π⨯=π，故选A ． （2020·德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为A. 4πB. 4πC. 8πD. 4π{答案}A{解析}如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴142AOB S ∆=⨯⨯=6个弓形的面积和是24616ππ⋅-⨯=-∴阴影部分的面积是2162(16121642πππππ⨯⋅--=-+=.8.（2020·达州）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）A.53πB. 52πC. 54πD.56π{答案}B{解析}由“折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切”可知：∠OAB=∠OBA=45°，所以∠AOB=90°，劣弧AB 的长=90π×5180=52π．6．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π{答案} A{解析}本题考查了由于△CDE 与△COD 同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC 面积相等．而△COB ＝△CDE ＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．（2020·山西）8．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘）通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，，两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）A ．80πcm 2B ．40πcm 2C ．24 πcm 2D ．2πcm 2第9题图{答案}B{解析}本题考查阴影面积的计算．由题意得OA ＝16cm ，OC ＝CD ＝4cm ，根据扇形面积公式，得S 阴影＝S 大扇形AOB －S 小扇形COD ＝26016360π⋅⋅－2604360π⋅⋅＝40πcm 2．故选B.9.（2020·株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A. 4πB. 6C. D. 83π{答案}D{解析}求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°. 由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos△ACA 1=1BC A C =12. ∴△ACA 1=60°.∴扇形ACA 1的面积为2460360π⨯⨯=83π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83π. 故选：D（2020·包头）9、如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（ ）A ．2πB ．4π CDODCBA{答案}D{解析}∵AB 是直接，∠AOD ：∠DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA ：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴OC =∴90222180CD π==.故选D.6．（2020·咸宁）如图，在O 中，2OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积为（ ）A.2πB. πC.22π-D.2π-{答案}D{解析}本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴S 阴影=S 扇形OAB-S △OAB=29021223602π⋅⋅-⨯⨯=2π-，因此本题选D ．13．（2020·毕节）如图，己知点C ，D 是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为13π，则图中阴影部分的面积为（ ） A ． 6π B ． 316π C ． 24π D ． 12π{答案}A ，{解析}本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积 ． 解：∵点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∵OC ＝OD ，∴△C OD 是等边三角形． ∴∠CDO ＝60°． ∴CD ∥AB ．∴S △C OD ＝S △CAD ．∵弧CD 的长为13π∴13π＝60180r π⋅⋅．∴r ＝1． ∴S 阴影＝扇形COD ＝2601360π⋅⋅＝6π．故选A ． 10．（2020·淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）A ．2π+2B ．3πC ．5π2D ．5π2+2【解析】如图，点O 的运动路径的长=OO 1̂的长+O 1O 2+O 2O 3̂的长=90⋅π⋅2180+45⋅π⋅2180+90⋅π⋅2180 =5π2，故选：C ．9. （2020·攀枝花） 如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30︒，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A.2πB. 34πC. πD. 3π{答案}D{解析}整个图形的面积可拆分为扇形ABA '的面积加上旋转后的半圆的面积，也可拆分为阴影部分的面积加上旋转前的半圆的面积，所以可知阴影部分的面积为扇形ABA '的面积.13．（2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（ ）A ．B ．1C ．D ．{答案} D ．A{解析}设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，解得r＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．11．（2020•呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，又∵D为BC的中点，∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，∴DE＝DC＝2，∴∠DEC＝∠C＝20°，∴∠BDE＝40°，∴扇形BDE的面积＝，故答案为：．6．（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1﹣B．C．2﹣D．1+【解析】连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．9．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）A．4﹣B．2﹣C．2﹣πD．1﹣【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD＝，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA＝OH＝2，在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE＝×2×2﹣＝2﹣π．故选：B．二、填空题14.(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为cm(结果保留π).{答案}18π{解析}本题考查了扇形弧长的计算，根据弧长公式计算即可：l＝12027180π⨯＝18πcm.13．（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为．{答案}34π{解析}本题考查了弧长公式180n rlπ=.∵n＝45°，r＝3，∴45331801804n rlπππ⨯⨯===，因此本题答案为34π．14．（2020·嘉兴）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．{答案}π，12{解析}本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由∠AO´B＝90°知AB为⊙O的直径，AB＝22，所以O´A＝O´B＝2，所以S＝22902360360n rπππ⨯⨯==，根据围成圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆（设底面圆的半径为1r）的周长得到：19022180rππ⨯⨯=，解得1r＝12．因此本题答案为π，12。
2021年九年级数学中考一轮复习知识点中考真题演练：圆的有关计算(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习中考真题演练：圆的有关计算（附答案）1．人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R，那么它的边长是（）A．R sin20°B．R sin40°C．2R sin20°D．2R sin40°2．已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于（）A．1：2：2B．1：2：2C．1：2：D．1：：23．已知正多边形的边心距与边长的比为，则此正多边形为（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正十二边形4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π5．如图，⊙O的直径AB＝6，若∠BAC＝50°，则劣弧AC的长为（）A．2πB．C．D．6．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）A．cm B．cm C．3cm D．cm7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是AB的三等分点，如果⊙O的半径为1，P是线段AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．如图，有一住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2 000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1）是（）A．6000m2B．6016m2C．6028m2D．6036m29．如图所示，⊙O的直径EF为10cm，弦AB，CD分别为6cm和8cm，且AB∥EF∥CD，则图中两个弓形部分的面积和为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．πcm210．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．11．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中余下部分的面积为（结果保留根号和π）．12．已知扇形的弧长为4π，半径为48，则此扇形的圆心角为度．13．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为．（结果保留π）14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA ＝2，则三角形AOD与三角形BCD部分的面积和为．15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则弓形BE部分的面积为．16．圆锥底面圆的半径为1，侧面积等于3π，则它的母线长为．17．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是cm2．18．明明家打算在一块长为16米，宽为4米的矩形土地上搭建一个截面为半圆形的全封闭蔬菜棚，并全部盖上塑料薄膜（如图所示），则所需薄膜的面积至少为平方米．（结果可含π，不考虑埋入土中部分的面积）19．某圆柱形的零件，其高为5cm，底面半径为2cm，为防锈需要涂油漆的面积为cm2．20．试比较下面两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点．例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等．不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形．相同点：（1）；（2）；不同点：（1）；（2）．21．已知正方形ABCD的边心距OE＝cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．22．如图，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形OABC，BC∥AO，A（﹣2，0），B（﹣1，1），将直角梯形OABC绕点O顺时针旋转90°后，点A、B、C分别落在点A′、B′、C′处．请你解答下列问题：（1）在如图直角坐标系xOy中画出旋转后的梯形O′A′B′C′；（2）求点A旋转到A′所经过的弧形路线长．23．如图，已知圆锥的母线长OA＝8，底面圆的半径r＝2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求小虫爬行的最短路线的长．24．如图，已知：⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：AC＝CP；（2）若PC＝6，求图中CBP部分的面积（结果精确到0.1）．（参考数据：，π＝3.14）25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AB＝13，BC＝5．（1）求sin∠BAC的值；（2）如果OD⊥AC，垂足为D，求AD的长；（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0.1）26．下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF ＝8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．参考答案1．解：经过正九边形的中心O作边AB的垂线OC，则∠O＝20°，在直角△OBC中，根据三角函数得到BC＝OB sin20°＝2R sin20°．∴边长AB＝2R sin20°．故选：C．2．解：等边三角形的一边上的高的倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的倍，∴r：a：R＝1：2：2．故选：A．3．解：如图，圆A是正多边形的内切圆；∠ACD＝∠ABD＝90°，AC＝AB，CD＝BD是边长的一半，当正多边形的边心距与边长的比为，即如图有AB＝BD，则△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°，∠CAB＝90°，即正多边形的中心角是90度，所以它的边数＝360÷90＝4．故选：B．4．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．5．解：如图，连接CO，∵∠BAC＝50°，AO＝CO＝3，∴∠ACO＝50°，∴∠AOC＝80°，∴劣弧AC的长为＝，故选：D．6．解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr＝，r＝cm．故选：A．7．解：连接OC、CD、OD，则CD∥AB．∴S△CPD＝S△OCD；因此S阴影＝S半圆﹣S扇形OCD＝×π×12﹣，＝﹣＝．故选：A．8．解：∵如图：草坪是由长分别为AB、BC、AC，宽为3m的3个矩形与三个半径为3m的扇形组成的，又∵AB+AC+BC＝2000m，三个扇形正好组成一个圆，∴草坪的面积为：S＝2000×3+9π＝6000+9π＝6028m2．故选：C．9．解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；在Rt△OBG中，BG＝3cm，OB＝5cm，因此OG＝4cm；同理：在Rt△OCH中，CH＝4cm，OC＝5cm，因此OH＝3cm；sin∠DOF＝＝，sin∠BOF＝＝，sin∠COE＝＝，sin∠AOE＝＝；即∠DOF＝∠AOM＝∠COE＝∠BOM，∠CON＝∠DON＝∠AOE ＝∠BOF因此S扇形OAE＝S扇形OBF＝S扇形CON＝S扇形ODN；∴S阴影＝S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND＝S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND＝S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN＝S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF＝S⊙O＝cm2．故选：A．10．解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得：∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，∴S△MPN＝cm2，∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG＝PM＝cm，OG＝PM＝，在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP＝＝7cm，设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH＝x，OH＝x，∴PH＝（5﹣x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，解得：x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为：811．解：正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE于H，∠DOE＝＝60°，∴OD＝OE＝DE＝1，∴OH＝，∴正六边形ABCDEF的面积＝×1××6＝，∠A＝＝120°，∴扇形ABF的面积＝＝，∴图中阴影部分的面积＝﹣，故答案为：﹣．12．解：设扇形的圆心角为n°，则＝4π，解得，n＝15，故答案为：15．13．解：∵△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）＝40°，∵AB＝4，∴的长为＝．故答案为．14．解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．15．解：连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，∵OA＝OB＝OE，∴∠B＝∠OEB＝30°，∴∠BOE＝120°，∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，＝﹣×，＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣．16．解：设它的母线长为l，根据题意得×2π×1×l＝3π，解得l＝3，即它的母线长为3．故答案为3．17．解：圆锥的母线长＝＝5（cm），所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．故答案为15π．18．解：所需薄膜的面积即为圆柱的表面积的一半，根据表面积公式可得π×4×16÷2+π×（4÷2）2÷2×2＝36π平方米．19．解：圆柱的底面积＝2×2×π＝4π，侧面积应该是2×2×π×5＝20π，因此需要涂油漆的面积＝20π+4π×2＝28πcm2．20．解：相同点不同点①都有相等的边．①边数不同；②都有相等的内角．②内角的度数不同；③都有外接圆和内切圆．③内角和不同；④都是轴对称图形．④对角线条数不同；⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同．21．解：连接OC、OD，∵圆O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC、BD的交点，∴∠0DE＝∠ADC＝45°，∵OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠DOE＝180°﹣∠OED﹣ODE＝45°，∴OE＝DE＝，由勾股定理得：OD＝＝2，∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π•22＝4π，答：这个正方形外接圆⊙O的面积是4π．22．解：（1）A（﹣2，0），旋转后即是（0，2），B（﹣1，1），旋转后就是（1，1）C（1，0）如图：（4分）（2）点A旋转到A'所经过的弧形路线长＝＝π．（8分）23．解：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，∵l＝2πr＝∴扇形的圆心角＝×360°＝90度，由勾股定理求得它的弦长是＝8．故答案为：8．24．（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径，∴AO＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°．∴∠COP＝2∠ACO＝60°．∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC．∴∠P＝30°．∴∠A＝∠P．∴AC＝PC．（2）解：在Rt△OCP中，tan∠P＝，∴OC＝2∵S△OCP＝CP•OC＝×6×2＝且S扇形COB＝2π，∴S阴影＝S△OCP﹣S扇形COB＝．25．解：（1）∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°．∵AB＝13，BC＝5，∴sin∠BAC＝；（2）在Rt△ABC中，AC＝＝＝12，∴AD＝AC＝6；（3）S阴影部分＝≈36.3（平方单位）．26．解：由题意可知：＝6π，＝4π，设∠AOB＝n，AO＝R，则CO＝R﹣8，由弧长公式得：＝4π，∴，解得：n＝45，R＝24，故扇形OAB的圆心角是45度．∵R＝24，R﹣8＝16，∴S扇形OCD＝×4π×16＝32π（cm2），S扇形OAB＝×6π×24＝72π（cm2），纸杯侧面积＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝72π﹣32π＝40π（cm2），纸杯底面积＝π•22＝4π（cm2）纸杯表面积＝40π+4π＝44π（cm2）。
2021年 中考数学 专题训练：与圆有关的性质(含答案)
2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质一、选择题1. 如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A．50°B．55°C．60°D．65°2. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是()A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm3. 下列语句中不正确的有()①过圆上一点可以作圆中最长的弦无数条；②长度相等的弧是等弧；③圆上的点到圆心的距离都相等；④在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．A．1个B．2个C．3个D．4个4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，=.若∠C=110°，则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 2019·赤峰如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6. (2019•广元)如图，AB ，AC分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．5B ．4C ．13D ．4.87. 下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形的四个顶点在同一个圆上；③平行四边形的四个顶点在同一个圆上．其中正确的有( )链接听P37例3归纳总结 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8. 如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB ＝50°，若P 为AB︵上一点，∠AOP ＝55°，则∠POB 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°9. (2019•镇江)如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒10. 2019·天水如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE .若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°二、填空题11.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E 在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.︵13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC 上一点，则∠D＝________．14. 如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB.若AB＝10，CD＝8，则圆心O到弦CD 的距离为________．15. 如图所示，OB ，OC 是⊙O 的半径，A 是⊙O 上一点．若∠B ＝20°，∠C ＝30°，则∠A ＝________°.16. (2019•娄底)如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．17. 如图，⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ，若∠C ＝25°，则∠D ＝________°.18. 如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.三、解答题19.如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥B C.20.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.(1)求证：DE与⊙O相切；(2)若BF＝2，DF＝10，求⊙O的半径．21. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，∠=∠．AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23==，求阴影部分的面积．CE AE2021 中考数学专题训练：与圆有关的性质-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A3. 【答案】B[解析] ①②不正确．4. 【答案】A[解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵=，∴∠CAB=∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．7. 【答案】B[解析] 矩形的两条对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，故它的四个顶点在以对角线的交点为圆心、对角线长的一半为半径的圆上．8. 【答案】B9. 【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°–∠C=70°， ∵DC CB =，∴∠CAB=12∠DAB=35°， ∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°–∠CAB=55°，故选A ．10. 【答案】C二、填空题11.【答案】50°【解析】∵AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴∠BAT ＝90°，在Rt △BAT 中，∵∠ABT ＝40°，∴∠ATB ＝50°.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】40°【解析】AC 是⊙O 的直径⇒∠ABC ＝90°⇒⎭⎪⎬⎪⎫ ∠A ＝90°－50°＝40°∠A 和∠D 都是BC ︵所对的圆周角 ⇒∠D ＝∠A ＝40°. 14. 【答案】315. 【答案】50 [解析] 连接OA ，则OA ＝OB ，OA ＝OC ，∴∠OAB ＝∠B ，∠OAC ＝∠C ，∴∠BAC ＝∠OAB ＋∠OAC ＝∠B ＋∠C ＝20°＋30°＝50°.16. 【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1．17. 【答案】65[解析] ∵∠C ＝25°，∴∠A ＝∠C ＝25°.∵⊙O 的直径AB 过弦CD 的中点E ， ∴AB ⊥CD ，∴∠AED ＝90°， ∴∠D ＝90°－25°＝65°.18. 【答案】58[解析] 方法一：如图①，连接OB.∵在△OAB 中，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA.又∵∠OAB ＝32°，∴∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝180°－2×32°＝116°.又∵∠C ＝12∠AOB(一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半)， ∴∠C ＝58°.方法二：如图②，过点A作直径AD，连接BD，则∠ABD＝90°，∴∠C＝∠D ＝90°－32°＝58°(同弧所对的圆周角相等)．三、解答题19. 【答案】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，∴∠MOP＝∠B,故MO∥BC.20. 【答案】(1)证明：如解图，连接DO，∴∠BOD＝2∠BCD＝∠A，(2分)解图又∵∠DEA＝∠CBA，∴∠DEA＋∠DOE＝∠CAB＋∠CBA，又∵∠ACB＝90°，∴∠ODE＝∠ACB＝90°，(5分)∴OD⊥DE，又∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．(7分)(2)解：如解图，连接BD，可得△FBD ∽△DBO ， ∴BD BO ＝DF OD ＝BF BD ，(8分)∴BD ＝DF ＝10，∴OB ＝5，(10分)即⊙O 的半径为5.21. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒， ∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠， ∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．(2)∵CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠， ∴2AEO EAC ∠=∠， ∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π。
2021年中考复习数学 专项突破：与圆相关的计算(含答案)
2021中考数学专项突破：与圆相关的计算一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是()A．15π B．30π C．45π D．60π2. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为()A．288°B．144°C．216°D．120°3. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A．53cm B．10 cmC．6 cm D．5 cm4. 若正方形的外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为()A. 2 B．2 2 C.22D．15.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝43，则S阴影＝( )A. 2πB. 83πC.43πD.38π6. 以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是 ( ) A.38B.34C.24D.287. 如图，一根5 m 长的绳子，一端拴在围墙墙脚的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，那么小羊A 在草地上的最大活动区域的面积是( )图A.1712π m2 B.176π m2 C.254π m2D.7712π m28. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶99. （2020·乐山）在△ABC中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）A．π4B ．π－32 C ．π－34 D ．32π10. (2019•南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形O ABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A ．6πB ．33πC ．23πD ．2π二、填空题（本大题共6道小题） 11. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为 .12.(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ︒∠=，则阴影部分面积为________．13. (2020·荆门)如图7所示的扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，C 为AB 上一点，∠AOC ＝30°，连接BC ，过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，则图中阴影部分的面积为______．14. 如图所示，有一直径是2 米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的D CA B最大扇形ABC，则：(1)AB的长为________米；(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．15. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．16. (2019•贵港)如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120 ，点A与点B 的距离为23，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图D6-10，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3，求的长.18. （2020·河北）如图13，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD，以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆，点P 为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP.（1）①求证：△AOE≌△POC；②写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由.（2）若OC=2OA=2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）.19. 如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°，(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．20.如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连接CG.(1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；(3)当CG＝3，BE＝92，求CD的长．2021中考数学专项突破：与圆相关的计算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D[解析] 圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形，其中r＝6，h＝8，所以母线长为10，所以圆锥的侧面积＝πrl＝π×6×10＝60π.故选D.2. 【答案】A[解析] 设所需扇形铁皮的圆心角为n°，圆锥底面圆的半径为4x，则母线长为5x，所以底面圆周长为2π×4x＝8πx，所以n180×π×5x＝8πx，解得n＝288.3. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm22105-=3cm．故选A．4. 【答案】A[解析] 如图所示，连接OA，OE.∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD 是正方形， ∴AE ＝OE.在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA2＝AE2＋OE2，∴22＝AE2＋OE2， ∴OE ＝ 2.故选A.5.【答案】B【解析】如解图，连接OC ，设CD 与OB 交于点E ，∵在⊙O 中，弦CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝23，∵∠BCD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，在Rt △EOD 中，O E ＝DEtan60°＝2，∴OD ＝4，∴BE ＝OB －OE ＝4－2＝2，在△DOE 和△CBE 中，CE ＝DE ，∠CEB ＝∠DEO ，OE ＝BE ，∴△DOE ≌△CBE ，∴S 阴影＝S 扇形OBD ＝60×π×42360＝83π.6. 【答案】D[解析] 如图①，∵OC ＝1，∴OD ＝12；如图②，∵OB ＝1，∴OE ＝22；如图③，∵OA ＝1，∴OD ＝32，则该三角形的三边长分别为12，22，32. ∵(12)2＋(22)2＝(32)2，∴该三角形是以12，22为直角边长，32为斜边长的直角三角形，∴该三角形的面积是12×12×22＝28.故选D.7. 【答案】D[解析] 如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5 m ，∴其面积为90π×25360＝25π4(m2)；小扇形的圆心角是180°－120°＝60°，半径是1 m ，则其面积为60π360＝π6(m2)，∴小羊A 在草地上的最大活动区域的面积为25π4＋π6＝7712π(m2)．8. 【答案】D9. 【答案】B【解析】先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2－BC 2＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90⋅π⋅22360－12×3×1－90⋅π⋅(3)2360＝π－32．10. 【答案】A【解析】如图，连接OB ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB=OC ，∴AB=OA=OB ， ∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=60°， ∵OC ∥AB ，∴S △AOB=S △ABC ，∴图中阴影部分的面积=S 扇形AOB=60π366π360⋅⨯=，故选A ．二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】4π[解析]设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr=，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的面积为4π.12. 【答案】6π【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．阴影部分面积为26066360ππ⨯=，故答案为：6π．13. 【答案】23π3 【解析】∵OC ＝OA ＝2，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，CD ＝1，OD 3S 阴影＝S △OCD＋S 弓BC＝12×3×1＋2602360π－3×22＝23π3．14. 【答案】(1)1(2)14 [解析] (1)如图，连接BC.∵∠BAC ＝90°，∴BC 为⊙O 的直径，即BC ＝ 2. ∵AB ＝AC ，AB2＋AC2＝BC2＝2， ∴AB ＝1(米)．(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r 米． 根据题意，得2πr ＝90·π·1180，解得r ＝14.15. 【答案】2π－4[解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB－S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.16. 【答案】43【解析】如图，连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，3AM =，∴2OA =， ∵240π22π180r ⨯=，∴43r =，故答案为：43．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 内接于圆O ， ∴∠DCB +∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°， ∴∠DCB=180°-105°=75°. ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC ， ∴BD=CD.(2)∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°， 由圆周角定理，得所对的圆心角的度数为60°， 故的长===π.18. 【答案】解：解：（1）①证明：∵OA=OB，OE=OC，∠AOE=∠POC，∴△AOE≌△POC；②∠1+∠C=∠2.理由：∵△AOE≌△POC，∴∠E=∠C.∵∠1+∠E＝∠2，∴∠1+∠C=∠2.（2）相切.如图，∵CP与小半圆相切，∴CP⊥OP.在Rt△OPC中，∵OP=1，OC=2,∴cos∠COP=12，∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°.∴S扇形EOD=2 120243603ππ⨯=.【解析】本题考查了平行四边形的性质、垂直的性质、三角形内角和定理、平行线的性质和全等三角形的判定和性质等知识．（1）在△AOE中，由∠AEO和∠AOE的度数求得∠EAO的度数，再由AC平分∠DAE求得∠OAD的度数，进而由AD∥BC得到∠ACB＝∠OAD，问题得解；（2）先根据AAS证明△AEO≌△CFO，再根据相似三角形对应边相等得到AE＝CF.19. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OA.∵AD＝AB，∠D＝30°，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠DAB＝120°.∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，∴∠BCA＝60°.∵AO＝CO，∴△ACO是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠DAO＝∠CAO＋∠DAC＝90°，即AD⊥AO.又∵AO 是⊙O 的半径，∴直线AD 是⊙O 的切线．(2)由(1)知Rt △ADO 中，AO ＝2，∠D ＝30°， ∴OD ＝2AO ＝4，∴AD ＝2 3，∴SRt △ADO ＝12×2 3×2＝2 3.∵△ACO 是等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∴S 扇形OAC ＝60π×22360＝2π3，∴S 阴影＝SRt △ADO －S 扇形OAC ＝2 3－2π3.20. 【答案】(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心， ∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC ，∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①，∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点， ∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得， BC 2＋12BC －3＝0，即2BC 2＋BC －6＝0， 解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD ＝332.。
2021年中考一轮复习数学章节试卷(圆)(含解答)
2021年数学中考章节复习试卷（圆）总分：120分 答题时间：120分钟班级:__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题（共8小题；共24分）1. 如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠C =90∘，AC =√2，以点 C 为圆心画弧与斜边 AB 相切于点 D ，交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F ，则图中阴影部分的面积是 ( )A. 1−π4B. π−14C. 2−π4D. 1+π42. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，PO 交 ⊙O 于点 B ，PA =4,OA =3，则 sin∠AOP 的值为 ( )A. 34B. 35C. 45D. 43 3. 下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 4. 已知 ⊙O 的半径为 r ，那么，垂直平分半径的弦的长是 ( )A. √32rB. 2√3rC. √3rD. 4√3r5. 以半径为 1 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ( )A. √38B. √34C. √24D. √286. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 P 是 ⊙O 上一个动点（点 P 不与点 A ，B 重合），在点 P 运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点 P ，使得 PA >AB ；②若 PB ⌢=2PA ⌢，则 PB =2PA ；③ ∠PAB 不是直角；④ ∠POB =2∠OPA ．上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )A. ①③B. ③④C. ②③④D. ①②④7. 如图，⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为2，则AB⏜的长为 ( )A. π5B. 2π5C. 3π5D. 4π58. 如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为 ( )A. √32π B. √33π C. √34π D. √36π二、填空题（共8小题；共24分）9. 制作一个圆锥模型，已知圆锥底面圆的半径为 3.5cm，侧面母线长为6cm，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为度．10. 已知正n边形的一个外角与一个内角之比为1:3，则n等于．11. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个"圆材埋壁"的问题："今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何?"意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深 ED=1寸，锯道长 AB=1尺（1尺 =10寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．12. 在边长为3cm，4cm，5cm的三角形白铁皮上剪下一个最大圆，则此圆的半径为cm．13. 如图，在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)，点P在线段OA上，以AP为半径的⊙P周长为1．点M从A开始沿⊙P按逆时针方向转动，射线AM交x轴于点N(n,0)，设点M转过的路程为m （0<m<1）．（1）当m=14时，n=；（2）随着点M的转动，当m从13变化到23时，点N相应移动的路径长为．14. 如图所示，若干全等正五边形排成环状．如图所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需个正五边形．15. 如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90∘，上底AD为√3，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30∘．则图中阴影部分的面积为（不取近似值）．16. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连接CG．下列说法：① AG>GE；② AE=BF；③点G运动的路径长为π；④ CG的最小值为√5−1．其中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）三、解答题（共10小题；共72分）17. 如图，请观察这个图形是怎么画出来的?并请画出这个图形（小组之间交流）．18. 如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．19. 如图，在 △ABC中，∠B=90∘，点 D为 AC上一点，以 CD为直径的 ⊙O交 AB于点 E，连接 CE，且 CE平分 ∠ACB．（1）求证：AE是 ⊙O的切线；．（2）连接 DE，若 ∠A=30∘，求 BEDE20. （1）如图，用半径R=3cm，r=2cm的钢球测量口小内大的内孔的直径D．测得钢球顶点与孔口平面的距离分别为a=4cm，b=2cm，则内孔直径D的大小为．（2）如图，在矩形ABCD内，已知⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AD，DC相切，⊙O2与边AB，BC相切．若AB=4，BC=3，⊙O1与⊙O2的半径分别为r，R．求O1O2的值．（3）如图，某市民广场是半径为60米，圆心角为90∘的扇形AOB，广场中两个活动场所是圆心在OA，OB上，且与扇形OAB内切的半圆⊙O1，⊙O2，其余为花圃．若这两个半圆相外切，试计算当两半圆半径之和为50米时活动场地的面积．21. 如图①，半径为R，圆心角为n∘的扇形面积是S扇形=nπR2360．由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2360=1 2⋅nπR180⋅R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．（1）设扇环的面积为S扇环，AB⏜的长为l1，CD⏜的长为l2，线段AD的长为ℎ（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=12×(上底+下底)×高，用含l1，l2，ℎ的代数式表示S扇环，并证明．（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图② 所示的扇环形花园，线段AD的长ℎ为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?22. 如图所示，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE．若∠A= 65∘，求∠DOE的度数．23. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）．24. 如图，已知正方形ABCD的边心距OE=√2cm，求这个正方形外接圆⊙O的面积．25.（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA= PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+√2PB；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）26. 如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60∘．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积．答案一、选择题1. 答案：A解析：连接 CD ，如图，∵ AB 是圆 C 的切线，∴ CD ⊥AB ，∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴ AB =√2AC =√2×√2=2，∴ CD =12AB =1，∴图中阴影部分的面积 =S △ABC −S 扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360=1−π4．2. C3. 答案：B解析：①直径是最长的弦，正确；②在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误；③经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，正确；④错误．4. C5. D6. 答案：B解析：①因为直径是圆中最长的弦，故①错误，②若 PB ⌢=2PA ⌢则 PB <2PA ，故②错误，③因为直径所对的圆周角是 90∘，∠APB =90∘，所以 ∠PAB 不可能是 90∘，故③正确，④连接 PA ，PO ，如图∵ ∠POB =∠PAO +∠APO又 ∠PAO =∠APO∴ ∠POB =2∠OPA故④正确．7. 答案：D解析：如图．∵⊙O 为正五边形 ABCDE 的外接圆，⊙O 的半径为 2，∴∠AOB =360∘5=72∘． ∴AB ⏜=72π×2180=45π．8. 答案：B解析：连接 AC ，AG ．∵GO ⊥AB ， ∴O 为 AB 的中点，即 AO =BO =12AB ．在 Rt △AOG 中，OG =1，根据勾股定理，得 AO =√3．∴AB =2√3．在 Rt △AOC 中，OC =3，根据勾股定理，得 AC =2√3．∵CF ⊥AE ，∴△ACF 始终是直角三角形，点 F 的运动轨迹为以 AC 为直径的半圆．当点 E 位于点 B 时，CO ⊥AE ，此时 F 与 O 重合；当 E 位于点 D 时，CA ⊥AE ，此时 F 与 A 重合，所以当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为 AO⏜． 在 Rt △ACO 中，tan∠ACO =AO CO =√33， ∴∠ACO =30∘，∴AO⏜ 的度数为 60∘． ∵AC =2√3，∴AO ⏜=60π×√3180=√33π． 二、填空题9. 21010. 答案： 8解析：设一个外角为 x ∘，则相邻内角为 3x ∘．∴ x +3x =180∘，∴n=360÷45=8．11. 答案：26解析：由题意可知 OE⊥AB，∵OE为 ⊙O半径，∴AD=BD=12AB=12尺 =5寸，设半径 OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r−1，则 Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r−1)2+52=r2，解得：r=13，∴木材直径为 26寸．12. 答案：1解析：由勾股定理的逆定理可得，边长为3cm，4cm，5cm的三角形是直角三角形，其内切圆半径r=a+b−c2=3+4−52=1（cm）．13. 答案：−1；2√33解析：当m=14时，直线PM与x轴平行，∠NAO=45∘，∴n=−1；当m=13时，∠NAO=30∘，NO=√33，当m=23时，∠NAO=30∘，NO=√33，点N相应移动的路径长为2√33．14. 答案：7解析：延长正五边形的相邻两边，交于圆心，∵正五边形的外角等于360∘÷5=72∘，∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180∘−72∘−72∘=36∘ . ∴360∘÷36∘=10 .∴排成圆环需要10个正五边形.15. 答案：21√34−π解析：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．∵∠ABC=90∘，AD=√3，∠ABD为30∘，∴BD=2√3，∵OB=OE，∠DBC=60∘，OF⊥BE，∴OF=32．∵CD为⊙O的切线，∴∠BDC=90∘，∴∠C=30∘，∴BC=4√3，S阴影=S梯形ABCD−S△ABD−S△OBE−S扇形ODE=(AD+BC)×AB2−AD⋅AB2−BE⋅OF2−120×π×(√3)2360=(√3+4√3)×32−3√32−3√34−π=21√34−π.16. 答案：②④解析：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，∴∠AGB=90∘不变，∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧．当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时AG=GE，故①错误；∵BF⊥AE，∴∠AEB+∠CBF=90∘，∵∠AEB+∠BAE=90∘，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，{∠BAE=∠CBF,∠ABE=∠BCF=90∘, AB=BC,∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE=BF，∴故②正确；∵当E点运动到C点时停止，∴点G运动的轨迹是14圆，可得轨迹为π2，故③错误；CG的最小值为OC−OG=√5−1，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．17. 答案：作法：1．以 O 点为圆心，任意长为半径画圆，2．用量角器或尺规找到 ⊙O 三等分点 A ，B ，C ；3．分别取 AB ⌢ 、 AC ⌢ 、 BC ⌢的中点，以中点为圆心，同等长度（即 ⊙O 的半径）为半径画弧即可得到图案．解析：观察可知 A ，B ，C 是 ⊙O 的三等分点，所以需要先将 ⊙O 三等分，圆内的三段弧分别经过 A ，B ，C 中的其中两点和圆心 O ，所以取每段弧的中点，以中点为圆心，⊙O 的半径为半径画弧即可．18. 答案： AC 的长为 30．解析： 如图，连接 OA ，OC ，设 OC 交 AB 于 H ，∵C 是 弧 AB 的中点，∴OH ⊥AB ，AB =2AH ， 在 Rt △OAH 中，OA =25，AH =24，根据勾股定理得：OH =√OA 2−AH 2=7，∴HC =OC −OH =25−7=18，在 Rt △AHC 中，根据勾股定理得：AC =√AH 2+HC 2=30，∴AC 的长为 30．19. （1） 答案：见解析解析：连接 OE ，如图 1 所示：∵ CE 平分 ∠ACB ，∴ ∠ACE =∠BCE ，又∵ OE =OC ，∴ ∠ACE =∠OEC ，∴ ∠BCE =∠OEC ，∴∠AEO=∠B，又∵∠B=90∘，∴∠AEO=90∘，即 OE⊥AE，∵OE为 ⊙O的半径，∴AE是 ⊙O的切线．（2）答案：BEDE =√32．解析：连接 DE，如图 2所示：∵CD是 ⊙O的直径，∴∠DEC=90∘，∴∠DEC=∠B，又∵∠DCE=∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A=30>∘，∠B=90∘，∴∠ACB=60∘，∴∠DCE=12∠ACB=12×60∘=30∘，∴CECD =cos∠DCE=cos30∘=√32，∴BEDE =√32．20. （1）9cm（2）连接O1，O2，并分别过O1，O2作AB，BC的平行线（如图）．易得：O1O22=O1E2+O2E2．即(R+r)2=[4−(R+r)]2+[3−(R+r)]2．化简得：(R+r)2−14(R+r)+25=0．解得O1O2=R+r=7−2√6，7+2√6不合题意，舍去．（3）当两圆半径之和为50米时，有O1O=60−r，O2O=60−R．O1O2=50．(60−r)2+(60−R)2=502．即R2+r2−120(R+r)+4700=0．所以R2+r2=1300．所以活动场所面积=12πR2+12πr2=12π⋅1300=650π（平方米）．21. （1）S扇环=12(l1+l2)ℎ．证明如下：S扇环=S扇形OAB−S扇形ODC =nπR2360−nπr2360=nπ360(R2−r2)=12⋅nπ180(R+r)(R−r)=12(nπR180+nπr180)⋅ℎ=12(l1+l2)ℎ.（2）由l1+l2+2ℎ=40，得l1+l2=40−2ℎ．∴S扇环=12(l1+l2)ℎ=12(40−2ℎ)⋅ℎ=−ℎ2+20ℎ=−(ℎ−10)2+100(0<ℎ<20).∴当ℎ=10时，S扇环有最大值为100．∴当线段AD的长为10m时，花园的面积最大，最大面积为100m2．22. ∵∠A=65∘，∴∠B+∠C=115∘．∵OB=OD，OC=OE，∴∠ODB=∠B，∠OEC=∠C．∴∠DOB+∠COE=130∘．∴∠DOE=50∘．23. 答案：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360∘6=60∘，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=4m，∴正六边形ABCDEF的周长为：6×4=24m．过O点作OM⊥AB于M点在Rt△AOM中，∠AOM=30∘∵OA=4cm，∴AM=2cm∴OM=√42−22=2√3cm×4×2√3=24√3cm2≈41.6cm2∴正六边形的面积为：6×12所以地基的周长和24m，面积为41.6cm2解析：因为是正六边形，可以把这个图形看成是6个正三角形组成．所以边长等于半径，即可求出周长．过中心O作OM⊥AB于M，所以弦心距为OM，构建直角三角形根据三线合一得∠AOM=30°利用 30°所对的直角边与斜边的关系求出AM的值，再根据勾股定理求出OM的值．即可求出ΔAOB 的面积，再乘6即可．24. 连接OC，OD．∵圆O是正方形ABCD的外接圆，∴O是对角线AC，BD的交点，∠ADC=45∘．∴∠ODE=12∵OE⊥CD，∴∠DOE=90∘−∠ODE=45∘，∴OE=DE=√2cm．由勾股定理得OD=2+DE2=2(cm)，∴这个正方形外接圆⊙O的面积是π⋅22=4π(cm2)．25. （1）在AP上截取PM=BP，连接BM．∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60∘，AB=BC．∴∠APB=∠ACB=60∘．∵PM=BP，∴△BPM是正三角形．∴∠MBP=60∘．∵∠ABM=∠CBP，∴△ABM≌△CBP．∴AM=PC，∴AP=PB+PC．（2）∵过点B做BN⊥PB，交PA于点N．∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90∘，∠AOB=90∘．∴∠APB=45∘，PB=BN．根据勾股定理得PN=√2PB，∵∠ABC=∠NBP=90∘，∴∠ABN=∠CBP，∴△ABN≌△CBP，∴AN=PC，∴PA=PC+√2PB．（3）答案：结论PA=√3PB+PC．解析：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP，∴MP=QM．∵∠APB=30∘，，∴cos30∘=PMBPPB，∴PM=√32∴PQ=√3PB，∴PA=PQ+AQ=√3PB+PC．26. （1）等边三角形（2）PA+PB=PC．证明：如图，在PC上截取PD=PA，连接AD．∵∠APC=60∘，∴△PAD是等边三角形．∴PA=AD，∠PAD=60∘．∵∠BAC=60∘，∴∠PAB=∠DAC．∵AB=AC，∴△PAB≌△DAC．∴PB=DC．∵PD+DC=PC，∴PA+PB=PC．（3）当点P为AB⏜的中点时，四边形APBC面积最大．理由如下：如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，∵S△PAB=12AB⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF．∴S四边形APBC =12AB(PE+CF)．∵当点P为AB⏜的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O直径，∴四边形APBC面积最大．∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=√3．∴S四边形APBC =12×2×√3=√3．。