最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.3 确定二次函数的表达式第二课时
2014.12
随堂练习
1.已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与 y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（8，0）（0，4），求 这个抛物线的解析式。
设y a( x 3) k
2
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2.已抛物线过点A（－1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且 BC＝ 3 2，求该抛物线的解析式.
3t（2≤t≤4），故选C.
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数学理解
3.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,a),B(1,-2), 求这个二次函数的表达式。 ,
题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字。请你根据 已有的信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解。
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(2014 资阳)如图，已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴的一个交 点为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C， 对称轴为 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2） 已知点 M 为 y 轴上的一个动点， 当△ABM 为等腰三角 形时，求点 M 的坐标； （3）将△AOB 沿 x 轴向右平移 m 个 单位长度（0＜ m＜3）得到另一个 三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为 S，用 m 的代 数式表示 S．
∴抛物线的解析式是 y=5x -12x+5
2014.12－1，10），（1，4）， （2，7）三点，求这个函数的表达式.并写出这个函数的对 称轴和顶点坐标。
解：设二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c. 把（-1，10）、（1，4）、（2，7）分别代入抛物 线 y=ax2+bx+c 得：
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y a( x 1) 2 2
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y=ax2 (a≠0) 不 同 二 次 函 数 表 达 式 的 特 点 y=ax2+c (a≠0)
顶点在原点
对称轴是y轴 顶点在x轴上
y=a(x-h)2 (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0) y=ax 2+bx+c (a≠0) y=ax 2+bx (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
3、交点式 y=a(x-x1) (x-x2) 已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。 4、平移式 y=a(x-h)2+k 将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减” 的法则，即可得出所求新函数的解析式。 2014.12
做一做
选择最优解法，求下列二次函数解析式： 1、已知抛物线的图象经过点(1,4)、(-1,-1)、(2,-2)，设抛物线解 y ax2 bx c 析式为__________. 2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，且经过点(1,4) ,设抛物线解 y a( x 2) 2 3 析式为____________. 3、已知二次函数有最大值6，且经过点(2, 3)，(-4,5)，设抛物 y a( x h) 2 6 线解析式为_________. 4、已知抛物线的对称轴是直线x=-2，且经过点(1,3)，(5,6)，设 2 y a ( x 2 ) 抛物线解析式为________. k 5、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6），求二次函数的解析式.
与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则
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9a+3b+c=0 a=-1 a-b+c=0 ，解得b=2 c=3 c=3
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
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(2014 资阳)如图， 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点 为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对 称轴为 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2） 已知点 M 为 y 轴上的一个动点， 当△ABM 为等腰三角 形时，求点 M 的坐标；
（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的解析式. 【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, 解之 得 c 1.
1 a , 3 2 b , 3 c 1.
解： （1）故抛物线的解析式为 y=﹣x2+2x+3． （2）①当 MA=MB 时，M（0，0） ； ②当 AB=AM 时，M（0，﹣3） ； ③当 AB=BM 时， M（0，3+3 2）或 M（0，3﹣3 2） ． 所以点 M 的坐标为： （0，0） 、 （0，﹣3） 、 （0，3+3 2） 、 （0，3﹣3 2） ．
y 1.已知抛物线的顶点为
-1
(-1，-3),与y轴交点为
(0，-5),求抛物线的解析式. 解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3, 由点( 0,-5 )在抛物线上得： a-3=-5, 得a=-2， 故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.
o
-3
x
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【跟踪训练2】
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B
例1.已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0， 5）三点，求抛物线的解析式.
解：把（2，1）、（1，-2）、（0，5）分别代 入抛物线 y=ax2+bx+c 得：
4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 a=2 解这个方程组得：b=-12 c=5
顶点式
一般式
图象经过原点
交点式
已知抛物线与x轴的交点坐标分别是 x1,x2，则选择交点式。 2014.12
三、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。
2、求二次函数解析式的常用思想：
转化思想 : 解方程或方程组 3、二次函数解析式的最终形式： 无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。
北师大版九年级数学下册
2.3 确定二次函数的表达式
（第2课时）
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二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
如何求二次函数的表达式？
已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法
求其表达式.
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列出如下表格:
x 0 1 2 2 3 4
y
3
0
0
3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这 个二次函数的解析式 y=x24x+3 .
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3.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
C A C B
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3.已知抛物线与坐标轴交于A,B,C三点，其中A的坐标为(-1,0)， B的坐标为（3，0），并且三角形ABC的面积是6. 求该抛物 线的解析式.
C A C B
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1．下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的
是( C )
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2.某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
2
a=2 解这个方程组得：b=-3 c=5
∴抛物线的解析式是 y=2x2-3x+5 3 2 31 ∵y=2x -3x+5=2(x- ) + 4 8 3 3 31 ∴抛物线的对称轴是 x= ，顶点坐标是（ ， ） 4 4 8 2014.12
y
A
C
O
B
x
∴所求抛物线的解析式为 y
1 2 2 x x 1. 3 3
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一、 求二次函数的解析式的一般步骤： 一设、二列、三解、四还原. 二、二次函数常用的几种解析式的确定
知识盘点
1、一般式 y=ax2+bx+c 已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。
2、顶点式 y=a(x-h)2+k 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。
s
4 3 2 3 4 3 2 3
O
y l
A
B
M
)
s
4 3 2 3
N
C
x
s
4 3 2 3
s
O
2
4
t
O
2
4
t
O
2
4
t
O
2
4
t
A
B
C
D
解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE= 2 3 ，当点M在OA
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 值不变为 2 3 ，所以S=
3 2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的 t 2
2
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(2014 资阳)如图， 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点 为 A（3，0） ，与 y 轴的交点为 B（0，3） ，其顶点为 C，对 称轴为 x=1． （1）求抛物线的解析式； （2） 已知点 M 为 y 轴上的一个动点， 当△ABM 为等腰三角 形时，求点 M 的坐标； 解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c
2.3 确定二次函数的表达式 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时由三点确定二次函数的表达式1.经历确定二次函数表达式y=ax2+bx+c的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.2.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式.1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养数学应用意识.2.在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力.1.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.2.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【重点】利用二次函数图象上的三个点的坐标确定二次函数表达式.【难点】运用待定系数法,采用多种方法确定二次函数表达式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习待定系数法和三元一次方程组的解法.导入一:思考下面的问题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?【学生活动】分析题目中的已知条件,回忆利用待定系数法列二元一次方程组来求二次函数表达式的方法后,互相交流,得出无法解决的结论.[设计意图]通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.导入二:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?师要求学生仔细观察,思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?[设计意图]通过对喷泉这一情境的探究,使学生不但明确了本节课所要探究的知识,同时更加明确了与上节课知识的联系与区别,可谓一举两得.【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.【学生活动】回忆上节课的做法,由学生独立解答,代表展示解题过程.解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【想一想】知道了函数图象上的三个点的坐标,能不能直接用待定系数法设成y=ax2+bx+c进行解答.【师生活动】学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【教师点评】通过上面的探究,可知如果已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点,那么就可以确定这个二次函数的表达式.[设计意图]利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫.(教材例2)已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.〔解析〕由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.【学生活动】学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤).解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=2+,所以二次函数图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为.[设计意图]通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力.[知识拓展]已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.课件出示:【议一议】一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.【师生活动】师要求学生仔细观察给出的三个点的特征,根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答,师巡视发现学生不同的解法,并找解法不同的学生板演:解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.【师生活动】通过两节课的探究,总结确定二次函数表达式的方法.【教师点评】二次函数表达式的确定方法:确定二次函数表达式待定系数法[设计意图]通过对“议一议”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力.1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤.2.二次函数表达式的确定方法.1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2)B.C.(-1,5)D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为.解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2-,∴该抛物线的顶点坐标为.第2课时1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.2.二次函数表达式的确定方法:确定二次表达式待定系数法一、教材作业【必做题】1.教材第45页随堂练习.2.教材第45页习题2.7第1,2题.【选做题】教材第45页习题2.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线()A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=33.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为.4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=.【能力提升】5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为()A.y=x2-4x-5B.y=-x2+4x-5C.y=x2+4x-5D.y=-x2-4x-56.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,-6),(1,0)和(-2,-6)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)若点A(m-2n,-8mn-10)在此二次函数图象上,求m,n的值.8.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).(1)求二次函数的解析式;(2)画出二次函数的图象.9.(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.①y随x变化的部分数值规律如下表:x-10123y03430②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图所示).(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.【拓展探究】10.如图①所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图②中阴影部分).【答案与解析】1.D (解析:这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式是y =x 2-3x +2.故选D .)2.D (解析:二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,把(1,-1),(2,-4),(0,4)分别代入表达式,得解方程组,得则二次函数的解析式为y =x 2-6x +4,所以它的对称轴是直线x =-=-=3.故选D .)3.y =-x 2+2x +(解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +.)4.-2(解析:把点(1,2)和(-1,-6)分别代入y =ax 2+bx +c (a ≠0),得①+②得2a +2c =-4,则a +c =-2.)5.C (解析:根据题意,x 1+x 2=-4,x 1x 2=-5,解得x 1=-5,x 2=1或x 1=1,x 2=-5,所以抛物线y =ax 2+bx +c 经过(-5,0),(1,0),(0,-5)三点,所以解得所以所求二次函数的表达式为y =x 2+4x -5.)6.y =x 2+x -(解析:∵对称轴为直线x =-1,且图象与x 轴交于A ,B 两点,AB =6,∴抛物线与x 轴交于(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y =2x 的图象上,∴y =2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2),设二次函数的解析式为y =a (x +1)2-2,把(2,0)代入得0=9a -2,解得a =,∴y =(x +1)2-2=x 2+x -,∴这个二次函数的表达式为y =x 2+x -.故填y =x 2+x -.)7.解:(1)由已知得解得∴二次函数的解析式为y =2x 2+4x -6.(2)∵y =2x 2+4x -6=2(x +1)2-8,∴顶点坐标为(-1,-8).(3)由已知,得-8mn -10=2(m -2n )2+4(m -2n )-6,m 2+4n 2+2m -4n +2=0,(m +1)2+(2n -1)2=0,∴m =-1,n =.8.解:(1)根据题意,得解得∴所求的解析式为y=-x2+2x+2.(2)二次函数的图象如图所示.9.解:(1)若选择①:根据表格,可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;若选择②,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将(-1,0),(1,4),(3,0)分别代入得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;若选择③,由图象得到抛物线的顶点坐标为(1,4),且过(0,3),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入得a=-1,则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:①对称轴为直线x=1,②当x=1时,函数有最大值,为4;③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一) 10.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP'=1,由题意知阴影部分的面积等于平行四边形A'APP'的面积,平行四边形A'APP'的面积为1×2=2,∴阴影部分的面积为2.本节课的重点是利用待定系数法列三元一次方程组求二次函数的表达式,所以解决问题的前提是会解三元一次方程组,所以提前要求学生对这一部分知识进行复习,就大大降低了本节课的难度,收到了非常好的效果.突破这一难点后,就让学生类比上节课的探究方法利用已知的三个点的坐标确定二次函数表达式.在解答过程中提醒学生对于表达式的选择,要具体问题具体分析,让学生自己总结出确定二次函数表达式的步骤和方法,为后面的“议一议”的一题多解做好充分的准备.没有精心设置问题的难度,使学生步步深入地探究出求二次函数表达式的方法和步骤,对于基础差的学生而言,直接解答有点吃力.课堂上注意讲课的节奏,尽量让中下游的学生跟上老师的步伐,多给学生自己练习的时间,让学生真正成为学习的主体.随堂练习(教材第45页)解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(0,2),(1,0)和(-2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-x2-x+2.习题2.7(教材第45页)1.解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,3),(2,0)和(3,4)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=x2-x+13.2.解法1:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,0),(3,0)和(2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-3x2+12x-9.解法2:设函数表达式为y=a(x-1)(x-3),将(2,3)代入表达式,解得a=-3,所以二次函数表达式为y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9.3.解:答案不唯一.如添加:C (-2,13).设函数表达式为y =ax 2+bx +c ,将(0,a ),(1,-2)和(-2,13)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y =x 2-4x +1.1.学生通过上节课的学习,已经掌握了利用待定系数法求二次函数表达式的方法,所以本节课可以利用类比的方法进行探究.2.课前做好三元一次方程组解法的复习是求三个未知系数进而确定二次函数表达式的关键.3.要学会对所给出的点的坐标特征进行分析,合理地设出表达式,能运用不同的解法求解二次函数的表达式,提高解决问题的能力.(2014·宁波中考)如图所示,已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ,求点D 的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y =x +1,并写出当x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.〔解析〕(1)根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,代入得出关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求得a ,b ,c ,从而得出二次函数的解析式.(2)令y =0,解一元二次方程,求得x 的值,从而得出与x 轴的另一个交点坐标.(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,∴∴∴二次函数的解析式为y =x 2-x -1.(2)令y =0,得x 2-x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).(3)图象如图所示.当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.[解题策略]本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.。
数学北师大版九年级下册《二次函数的图象与性质(第二课时)》教学设计
北师大版数学九年级下册第二章第2节《二次函数的图象与性质（第二课时）》教学设计陕西师范大学附属中学马翠一、教材分析二次函数的图象—抛物线是人们最熟悉的曲线之一，生活中的应用非常广泛。
本节课是北师大版数学九年级下册第二章二次函数第2节二次函数的图象与性质的第二课时。
该内容属于《全日制义务教育课程标准（2011版）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了二次函数定义、探究了y=±x2图象基础上，进一步探究函数y=ax2与y=ax2+c的图象与性质，既是前面所学知识的延续，又是探究其他二次函数图象的基础，起到了承上启下的作用。
二次函数的核心内容是它的概念和图象特征，本节课开始研究a、c对函数图象的影响，对后期研究一般的二次函数从方法和内容上有着重要的铺垫和打基础作用。
对二次函数图象的研究，充分体现了数形结合思想，通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质. 在以前学习的一次函数和反比例函数中都有所体现，结合本节课的内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。
从列表、解析式、图象三方面理解函数，分析a，c的影响，反应了研究函数图象的基本方法。
因此，学好本节课，将为今后的数学学习，尤其是函数学习，奠定坚实的基础。
二、学情分析学生的知识技能基础：在此之前，学生已掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，并刚刚学习了二次函数的基本概念，能利用描点法画抛物线的图象；对于抛物线的图象形状、开口方向、对称轴、顶点坐标有所了解；能够根据图象认识和理解二次函数的性质。
学生的图形计算器基础：学生通过培训已经初步掌握了HP Prime图形计算器的使用，对图形计算器的运用熟悉，且有浓厚的学习兴趣。
学生活动经验基础：九年级学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，开始有了数学抽象思维和一定的分析、归纳内能力，具备本节课的认知心理基础。
该阶段的学生几何直观能力也有了很大发展，教学中应深入浅出地引导分析，利用HP Prime图形计算器和几何画板相结合可以使学生更清晰的观察和认识图形，充分理解与归纳。
2024北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》教学设计
2024北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》教学设计一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章3.2节的内容。
本节课主要让学生掌握二次函数的通用形式，了解二次函数的各个系数与函数图象的关系，为后续学习二次函数的性质打下基础。
教材通过实例引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，进一步探究二次函数的性质。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念，对一次函数、二次函数有一定的了解。
但学生在确定二次函数表达式方面存在困难，难以把握二次函数的各个系数与函数图象的关系。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，并通过观察、操作、猜想、验证等方法，让学生体会二次函数的性质。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的通用形式；2.使学生了解二次函数的各个系数与函数图象的关系；3.培养学生解决实际问题的能力；4.引导学生运用数形结合的方法探究二次函数的性质。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的通用形式，二次函数的各个系数与函数图象的关系；2.难点：确定二次函数表达式，二次函数的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引出二次函数模型，激发学生兴趣；2.观察法：让学生观察二次函数图象，发现其性质；3.操作法：让学生动手操作，验证二次函数的性质；4.讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质；2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，巩固所学知识；3.板书：准备黑板，书写关键知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB=2，求抛物线的解析式。
2.呈现（10分钟）教师展示二次函数的图象，让学生观察并描述二次函数的性质。
引导学生关注二次函数的顶点、开口方向、对称轴等关键点。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，让学生动手操作，验证二次函数的性质。
确定二次函数的表达式(第2课时)教学设计 (2)
第二章二次函数《确定二次函数的表达式（第2课时）》教学设计说明一、学生知识状况分析在前几节课，学生已经分别学习了二次函数的图象与性质，确定二次函数的表达式（第1课时）．在此基础上，通过对待定系数法进一步探讨二次函数的表达式的确定方法．二、教学任务分析本节课是北师大版义务教育教科书九年级（下）第二章《二次函数》第三节的第2课时，主要是通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究,掌握求表达式的方法.能灵活的根据条件恰当地选取选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化.教学目标知识目标：经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.技能目标：会用待定系数法求二次函数的表达式.情感目标：逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.教学重点求二次函数的解析式.教学难点根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，求出函数解析式,解决实际问题.三、教法学法“问题情境—建立模型—应用与拓展”，让学生积极探索，并和同伴进行交流，勇于发表自己的观点，从交流中发现新知识.四、教学过程本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置．第一环节：情境引入（从现实情境和已有知识经验出发，讨论求二次函数表达式的方法）1.二次函数解析式有哪几种表达方式？一般式：y=ax 2+bx+c顶点式：y=a(x-h)2+k交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)2.如何求二次函数的解析式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式. 第二环节：问题解决例1已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．分析：（1）本题可以设函数的表达式为？（2）题目中有几个待定系数？（3）需要代入几个点的坐标？（4）用一般式求二次函数的表达式的一般步骤是什么？解：设所求的二次函数的表达式为c bx ax y ++=2由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）分别代入表达式，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 247410解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==532c b a∴所求函数表达式为5322+-=x x y∴831)43(253222+-=+-=x x x y ∴二次函数对称轴为直线43=x ，顶点坐标为)831,43( 例2 已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y 轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.解题过程略。
北师大版数学九年级下册2.3.2《确定二次函数的表达式》课件 (共18张PPT)
3、已知抛物线顶点在坐标原点，且图像经过（2，8）， 求二次函数的表达式.
议一议：
已知抛物线经过三点A（0，1），B（1，2）， C（2，1），求二次函数的解析式，你有几种 方法？与同伴进行交流.
知识盘点
1、 求二次函数的解析式的一般步骤：
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 交点式
例题精讲
例1：已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
a-b+c=10
y
由条件得： a+b+c=4 4a+2b+c=7
解方程组得： a=2,
ox
b=-3,
2.3.2确定二次函数的表达式
学习目标 1、会用待定系数法求二次 函数解析式. 2、能根据不同的条件选择 恰当的解析式求函数解析式。
• 如果要确定二次函数的关系式，需要几个条件呢？
y=ax2 (a≠0)
• 二次函数关系: y=ax2+k (a≠0) y=a(x-h)2 (a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k (a≠0) y=ax 2+bx+c (a≠0) 一般式
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
九年级数学下册第二章二次函数3确定二次函数的表达式教学课件(新版)北师大版
所以
4a 2
4a
2
22aa11153,.解得ba22,.
所以这个二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
想一想
在什么情况下，已知二次函数图象上两点的坐标就可 以确定它的表达式？ 二次函数 y=ax2+bx+c 可化为 y=a（x-h）2+k，顶点是 （h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另 一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 中一项系数，再知道图象上 两点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
例 1 已知二次函数 y=ax2+c 的图象经过点（2，3） 和（-1，-3），求这个二次函数的表达式.
做一做
已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标 为 1，且经过点（2，5）和（-2，13）， 求这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y=ax2+bx+1.
因为经过点（2，5）和（-2，13），
练习
1.抛物线 y=x2+4x+3 的开口向 上 ，对称轴是直 线 x=-2 ，顶点坐标为（-2，-1），图象与 x 轴 的交点为 （-3,0），（-1,0） ，与 y 轴的交点 为 （0，3）. 2.二次函数 y=3（x+1）2+4 的顶点坐标为（-1，4）.
一名学生推铅球，铅球行进高度 y（m）与水 平距离 x（m）之间的关系如图，你能求出 y 与 x 之间的关系式吗？
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？ 与同伴交流.
二次函数有如下三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）； （3）两根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
2.3 确定二次函数的表达式 课件北师大版数学九年级下册
2.3 确定二次函数的表达式
典题精析 例 已知二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点 A （1，3）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如果点 A 关于该抛物线对称轴的对称点是 B 点，且抛物线与 y 轴 的交点是 C 点，求△ABC 的面积． 解析：（1）设顶点式 y=a（x-3）2+5，然后把 A 点坐标代入求出 a 即可得 到抛物线的表达式；（2）利用抛物线的对称性得到 B（5，3），再确定出 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
，
∴△ABC 的面积= ×（5-1）×
=5．
易错：（1）设抛物线的表达式为 y=a（x-3）2+5， 将 A（1，3）代入上式得 3=a（1-3）2+5， 解得 a= . 错因：粗心导致丢掉负号. 满分备考：在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条 件，选择恰当的方法设出表达式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线 的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．
的解析式为 y=2x2+1.
2. D 提示：可设抛物线的表达式为 y=a（x-2）2+1，将点（3，0）代入求得
a+k=2，
得
解得
9a+k=3，
∴y=
.
-12-
2.3 确定二次函数的表达式
当对称轴为直线 x＝3 时，设抛物线表达式为 y＝ a（x-3）2+k. A（0，2），B（4，3）代入表达式，
a+k=2，
得
， 解得
9a+k=3，
∴y=
.
综上所述，抛物线的函数表达式为
或
．
答案：
或
题型解法：涉及距离时，一定要考虑点或直线的位置是不是唯一的.若位
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
新北师大版九年级数学下册第二章《确定二次函数的表达式(2)》公开课课件.ppt
。2021年1月14日星期四2021/1/142021/1/142021/1/14
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/142021/1/142021/1/141/14/2021
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/142021/1/14January 14, 2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
学 科网
解:建立如图所示的坐标系
则可设抛物线表达式为 :
y ax2 bx c
●C(-2,2)
●B(-4,0)
●A(0,0)
O
则有A点坐标为(0,0), C点坐标为(2,2). B点坐标为(4,0).
形成天才的决定因素 zxxkw
学科网
应该是勤奋学 科网.
作业
zxxkw
学科网
课本P73 页复习题 zxxkw
则可设抛物线表达式为 :
y ax2 c
●A(0,2)
●C(2,0)
O
●B(X,-1)
则有A点坐标为(2,0), C点坐标为(0,2).
小试牛刀 学 以 致 用 ， 勤 能 补 拙