角中角(内含60,45度角)
三角函数特殊角值表高中
三角函数特殊角值表高中在高中数学学习中，三角函数是一个重要的概念，其中特殊角的数值是至关重要的。
特殊角值表是帮助学生快速查阅各角度对应三角函数值的重要工具。
本文将介绍一些高中数学中常用的特殊角值表。
一、主要特殊角在三角函数中，我们通常会用到一些特殊的角度，如0度、30度、45度、60度和90度。
这些特殊角度对应的正弦、余弦和正切值是我们计算过程中的基础。
1. 0度当角度为0度时，正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。
2. 30度当角度为30度时，正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为√3/3。
3. 45度当角度为45度时，正弦值为√2/2，余弦值为√2/2，正切值为1。
4. 60度当角度为60度时，正弦值为√3/2，余弦值为1/2，正切值为√3。
5. 90度当角度为90度时，正弦值为1，余弦值为0，正切值为未定义。
二、特殊角值表下面是一个包含常见特殊角度的三角函数数值表：角度正弦值余弦值正切值0°01030°1/2√3/2√3/345°√2/2√2/2160°√3/21/2√390°10未定义通过这个特殊角值表，我们可以在计算过程中很方便地查找不同角度对应的三角函数数值，帮助我们更好地理解和运用三角函数的概念。
三、结语三角函数特殊角值表是高中数学中一个基础但重要的工具，帮助我们更好地理解和运用三角函数。
熟练掌握这些特殊角对应的数值，将有助于我们在解题中更加灵活和高效。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
(完整版)三角函数特殊角值表
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan√3/31√3-√3-1-√3/31、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y2、列表法：说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从02122 23 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为2m 形式，正切、余切值可表示为3m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．30˚ 123145˚ 1212 60˚ 3函数名正弦余弦正切余切正割余割符号sin cos tan cot sec csc正弦函数sin（A）=a/c余弦函数cos（A）=b/c正切函数tan（A）=a/b余切函数cot（A）=b/a其中a为对边，b为邻边，c为斜边三角函数对照表三角函数SIN COS TAN 三角函数SIN COS TAN 0°0 1 0 90° 1 0 无1°0.0174 0.9998 0.0174 89°0.9998 0.0174 57.2899 2°0.0348 0.9993 0.0349 88°0.9993 0.0348 28.6362 3°0.0523 0.9986 0.0524 87°0.9986 0.0523 19.0811 4°0.0697 0.9975 0.0699 86°0.9975 0.0697 14.3006 5°0.0871 0.9961 0.0874 85°0.9961 0.0871 11.4300 6°0.1045 0.9945 0.1051 84°0.9945 0.1045 9.5143 7°0.1218 0.9925 0.1227 83°0.9925 0.1218 8.1443 8°0.1391 0.9902 0.1405 82°0.9902 0.1391 7.1153 9°0.1564 0.9876 0.1583 81°0.9876 0.1564 6.3137 10°0.1736 0.9848 0.1763 80°0.9848 0.1736 5.6712 11°0.1908 0.9816 0.1943 79°0.9816 0.1908 5.1445 12°0.2079 0.9781 0.2125 78°0.9781 0.2079 4.7046 13°0.2249 0.9743 0.2308 77°0.9743 0.2249 4.3314 14°0.2419 0.9702 0.2493 76°0.9702 0.2419 4.0107 15°0.2588 0.9659 0.2679 75°0.9659 0.2588 3.7320二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=--sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan ba φ=确定六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教案2
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教案2一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.2《30度、45度、60度角的三角函数值》教案2，主要介绍了特殊角度的三角函数值。
通过本节课的学习，使学生掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值，并能运用这些特殊值解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念，对正弦、余弦、正切函数有一定的了解。
但是，对于特殊角度的三角函数值，学生可能还不太熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并掌握特殊角度的三角函数值。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值，能熟练运用这些特殊值解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：掌握30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切函数值。
2.难点：发现并证明30度、45度、60度角的三角函数值的特殊性。
五. 教学方法1.引导发现法：引导学生观察、思考、探究，发现特殊角度的三角函数值。
2.小组合作法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
3.讲解法：对学生的疑问进行讲解，帮助学生理解掌握知识。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、黑板。
2.学具：每人一份三角函数值表。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，复习上节课所学的三角函数基本概念，引导学生进入本节课的学习。
2.呈现（10分钟）教师展示30度、45度、60度角的三角函数值，让学生观察并思考这些特殊角度的三角函数值有什么特点。
3.操练（15分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过合作探究，发现并证明30度、45度、60度角的三角函数值的特殊性。
4.巩固（5分钟）教师通过提问方式，检查学生对特殊角度三角函数值的掌握情况。
2019春九年级下册北师大版数学课件：1.2.30°,45°,60°角的三角函数值(共15张PPT)
如右图，根据题意可知 ， 解： 1 AOD 60 30; OD 2.5m, 2 AC = 2.5 －2.165≈0.34(m).
所以,最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
0
1 2
B
C
3 1 2 3 1 ( 3 1 ) 3 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝2 3. 3 3 1 2 2 1 2 3
观察一副三角板： 它们其中有几个锐角？分别是多少度？ (1)sin30°,sin45°,sin60°等于多少？ (2)cos30°,cos45°,cos60°等于多少？ (3)tan30°,tan45°,tan60°等于多少？ 你能对一直伴随我们学 三角 1 余弦 习的这副三角尺所具有的功 函数 正弦 正切 2 cos 能来个重新认识和评价？ tan α 锐角 sin α 3 3 α 根据上面的计算,完成右表: α 2 3 〈特殊角的三角函数值表〉 2 2 30 1 2 2 ° 1 3 3 45 2 2
1 3 2 2 解： 原式＝ 3 ( ) 1 2 ( 1) 2 3 2 2 2 2 2 ＝ 1 1 2(1 ) ＝2
(1) tan 2 cos30 0 解： 3 tan 2 0 2 tan 3
1 3 (1 3)2 4 3 1 3 ( 3 1) (2)方程的根为： x 2 2 1. x 3或 1. tan A的值是 3或
阅读课本内容，了解本节主要内容.
1 2
60°
2 2
45°
3 2
30°
3 3
<45°3直角来自角形中边与角的关系：锐角三角函数.
在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边、 邻边和斜边之间的比值也随之确定.
北师大版九年级下册数学：1. 2 30°,45°,60°角的三角函数值(共17张PPT)
问题：
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少?
450
450 ┌
300
600 ┌
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
c
a
┌
b
C
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°45°60°角的三角函数值
学习目标：
1、知识与技能 能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应 的锐角的大小。
2、过程与方法 经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能 够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义。
北师大版数学九年级下
第一章 直角三角形的边角关系
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
回顾与思考
锐角三角函数定义
如图所示 在 Rt△ABC中，∠C=90°。
sinA=
sinB=
cosA=
cosB=
tanA=
tanB=
A
思考：sinA和cosB,有什么关系?
tanA和tanB，有什么关系？
B
1
2
3
3
2
3
450
2 2
2
2
1
600
3 2
1 2
3
例题解析：
例1 计算: (1)sin300+cos450;(2) sin2600+cos2600-tan450.
注意事项 Sin00表示 (cos600)2,
北师大版九年级数学课件-30°、45°、60°角的三角函数值
解: (1)sin30°+cos45°
1 2 1 2 . 22 2
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1 44
0.
如圖(1)所示,一個小孩蕩秋千,秋千鏈子的長度為2.5 m,當
秋千向兩邊擺動時,擺角恰好為60°,且兩邊的擺動角相同,
(2)45°角所在的直角三角形的兩直角邊相等.
能利用上面的性質得出sin 30°等於多少嗎?
我們不妨設30°角所對的邊為a(如圖所示),根據“直角三角 形中30°角所對的直角邊等於斜邊的一半”的性質,可得斜邊 等於2a,所以sin 30°= a 1 .
2a 2
根據畢氏定理得較長的直角邊長為 3a，所以cos
30°=
3a 2a
3 2
，tan 30°=
a 1 3.
3a 3 3
45°,60°角的三角函數值
【做一做】 (1)60°角的三角函數值分別是多少?你是怎樣得到的?
sin 60°= 3a 3 ，cos 60° a 1
2a 2
2a 2
，tan 60°
3a a
3.
(2)45°角的三角函數值分別是多少?你是怎樣得到的?
正切tanα
3 3 1
3
由於30°,45°,60°三個特殊角的三角函數值的分母都 可以變化成一樣的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角 的三角函數值可以利用口訣“一二三,三二一,三九二十七”
進行記憶.
計算:
(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
如圖所示,設其中一條直角邊為a,則另 一條直角邊也為a,根據畢氏定理可得斜 邊為 2 a.由此可求得:
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.2《30度,45度,60度角的三角函数值》教学设计一. 教材分析《30度，45度，60度角的三角函数值》是北师大版九年级数学下册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了特殊角的锐角三角函数定义的基础上进行的，通过本节的学习，使学生能够熟练掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值，并能够运用这些值解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于特殊角的锐角三角函数定义有一定的了解。
但是，对于三角函数值的运用和理解还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索并掌握30度，45度，60度角的三角函数值，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值，并能够运用这些值解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主探索、合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极向上的精神风貌。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握30度，45度，60度角的正弦、余弦、正切三角函数值。
2.难点：对于三角函数值的运用和理解。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考、交流，发现30度，45度，60度角的三角函数值。
2.合作交流法：学生在小组内进行合作交流，共同探讨问题，分享学习成果。
3.实践操作法：教师学生进行实践操作，使学生在实际操作中发现问题、解决问题。
六. 教学准备1.教具准备：三角板、直尺、量角器等。
2.学具准备：学生自带三角板、直尺、量角器等。
3.教学课件：制作相关的教学课件，以便于学生更好地理解和学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾特殊角的锐角三角函数定义，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师利用三角板、直尺、量角器等教具，引导学生观察并发现30度，45度，60度角的三角函数值。
三角函数30度60度45度90度
三角函数30度60度45度90度一、引言三角函数是数学中的重要概念之一，它与三角形的关系密切相关。
在三角函数中，有一组特殊的角度，即30度、60度、45度和90度。
这些角度在三角函数中具有特殊的性质和应用。
本文将深入探讨这些特殊角度在三角函数中的意义和应用。
二、30度角的三角函数1. 正弦函数30度角的正弦函数记作sin 30°，其值为1/2。
根据三角函数的定义，正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在30度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为1/2。
正弦函数在三角学中有着广泛的应用，例如在测量高度、距离等方面。
2. 余弦函数30度角的余弦函数记作cos 30°，其值为√3/2。
余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在30度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为√3/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数30度角的正切函数记作tan 30°，其值为1/√3。
正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在30度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为1/√3。
正切函数在三角学中常用于计算角度的倾斜程度、斜率等。
三、60度角的三角函数1. 正弦函数60度角的正弦函数记作sin 60°，其值为√3/2。
60度角的正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值。
在60度角的情况下，对边与斜边的比值恰好为√3/2。
正弦函数在三角学中常用于计算角度的高度、距离等。
2. 余弦函数60度角的余弦函数记作cos 60°，其值为1/2。
60度角的余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。
在60度角的情况下，邻边与斜边的比值恰好为1/2。
余弦函数在三角学中也有着重要的应用，例如在计算力的分解、角度的计算等方面。
3. 正切函数60度角的正切函数记作tan 60°，其值为√3。
60度角的正切函数表示一个角的对边与邻边的比值。
在60度角的情况下，对边与邻边的比值恰好为√3。
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角中角
一个大角内含一个其度数是大角度数一半的角，常用对称与旋转来解决问题。
如图，⊿ABC 是正三角形，⊿BDC 是以∠BDC=120°的等腰三角形,从点D 出发作一个60°的角,与边AB 、CA 分别交于点M 、N.试探究(1)线段MN 、BM 、CN 之间的数量关系,并说明理由;(2)若点M 、N 分别在线段AB 、CA 的延长线上,其他条件不变,再探线段MN 、MB 、CN 、之间的数量关系,请画出符合题意的图形并说明理由.
已知：△ABC 的高AD 所在直线与高BE 所在直线相交于点F ．
（1）如图l ，若△ABC 为锐角三角形，且∠ABC ＝45°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，
求证：FG ＋DC ＝AD ；
（2）如图 2，若∠ABC ＝135°，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ，则FG 、DC 、AD 之间满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG ＝25，DC ＝3，将一个45°角的顶点与点B 重合并绕点B 旋转，这个角的两边分别交线段FG 于M 、N 两点（如图3），连接CF ，线段CF 分别与线段BM 、线段BN 相交于P 、Q 两点，若NG ＝
2
3
，求线段PQ 的长．
C
A
B
E
F
M N 图①
C
A
B
E F M
N 图②
如图，⊿ABC 是等腰三角形，∠C=90°，
（1）操作并观察图形，图中将三角板45°顶点与点C 重合，使这个角落在∠ACB 内部且两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点，然后将这个角绕点C 在∠ACB 的内部旋转，观察点E 、F 位置变化时，AE 、EF 、FB 中最长线段是否始终是EF ？写出观察结果。
（2）探索：AE 、EF 、FB 这三条线段是否满足EF 2
=EA 2
+FB 2
，如果能，试加以证明；如果不能，请说明理由。
25．（本小题10分）
已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线
AB
交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时，如图①，求证：MN 2=AM 2+BN 2；
思路点拨：考虑MN 2=AM 2+BN 2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证DN=BM ，∠MDN=90°就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式MN 2=AM 2+BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
B
C
A。