人教版八下数学课件平行四边形的复习
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(1)平行四边形的性质(边角的特征)课件人教版数学八年级下册
的面积为 . 10
E
D
第3题图
C
A
B
第4题图
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
DF
C
∴AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, AECF ∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA, ∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
课堂小结 平行四边形的边、角特征 知识梳理
定 义 两组对边分别平行的四边形
平行 四边形
性质
两组对边分别平行，相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的距离相等, 两条平行线间的平行线段也相等
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
1.在□ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135º,则∠MCD的度数是( A )
A.45° B.55° C.65° D.75°
A
D
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. (2)平行四边形的四个内角都相等.
( √ )B
( ×)
CM
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180º ( √ )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2和3,那么周长是10.( √ )
∴∠BAD=∠BCD.
同理可得∠A=∠C.
知识点二 平行四边形的边、角的特征
平行四边形的性质除了对边互相平行以外,还有：
平行四边形的对边相等．
E
D
第3题图
C
A
B
第4题图
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
5.已知在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
DF
C
∴AB∥CD，AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC, AECF ∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA, ∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴△ABD中AB边上的高为6cm．
课堂小结 平行四边形的边、角特征 知识梳理
定 义 两组对边分别平行的四边形
平行 四边形
性质
两组对边分别平行，相等 两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的距离相等, 两条平行线间的平行线段也相等
当堂训练 平行四边形的边、角特征 查漏补缺
1.在□ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135º,则∠MCD的度数是( A )
A.45° B.55° C.65° D.75°
A
D
2.判断题(对的在括号内填“√”，错的填“×”)：
(1)平行四边形两组对边分别平行且相等. (2)平行四边形的四个内角都相等.
( √ )B
( ×)
CM
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180º ( √ )
(4)如果平行四边形相邻两边长分别是2和3,那么周长是10.( √ )
∴∠BAD=∠BCD.
同理可得∠A=∠C.
知识点二 平行四边形的边、角的特征
平行四边形的性质除了对边互相平行以外,还有：
平行四边形的对边相等．
新人教版八年级初二数学下册陈祉轩初二第十八章_平行四边形的复习(一)-个课件
种特殊四边形的性质：
四边形
平行四边 形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行 对边相等 对边平行 对边相等 对边平行 四边相等 角 对角线 对称性
对角相等 四个角 都是直角 对角相等
对角线互相平分 对角线互相平分 且相等 互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
中心对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称
第十八章 平行四边形的复习 （一）
1. 整体认识《平行四边形》一章，建立知识结 构图，将知识条理化、系统化． 2．复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方 形的概念，通过分析四边形与平行四边形，以 及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间 的联系与区别，深化对特殊与一般的关系的认 识． 3．复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方 形的性质定理和判定定理，熟练运用它们进行 证明和计算，进一步发展逻辑思维能力和推理 论证能力．
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边 形 四条边都相等的四边形 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 既是矩形又是菱形的四边形
问题6 你能总结一下研究平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质和判定的方法吗？
在学习平行四边形、矩形、菱形、正方形这 些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊 的研究方法； 利用图形的性质定理与判定定理之间的关系， 通过证明性质定理的逆命题，得到图形的判 定定理．
例1 选择题： （3）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻 角的度数比为（ C ） A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:1 （4）如图，在正方形 A B ABCD的外侧，作等边 三角形ADE，则∠AEB E 为（ B ） A．10° B．15° C．20° D．125°C D
四边形
平行四边 形 矩形 菱形 正方形 边 对边平行 对边相等 对边平行 对边相等 对边平行 四边相等 角 对角线 对称性
对角相等 四个角 都是直角 对角相等
对角线互相平分 对角线互相平分 且相等 互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
中心对称 中心对称 轴对称 中心对称 轴对称
第十八章 平行四边形的复习 （一）
1. 整体认识《平行四边形》一章，建立知识结 构图，将知识条理化、系统化． 2．复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方 形的概念，通过分析四边形与平行四边形，以 及平行四边形与各种特殊平行四边形概念之间 的联系与区别，深化对特殊与一般的关系的认 识． 3．复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方 形的性质定理和判定定理，熟练运用它们进行 证明和计算，进一步发展逻辑思维能力和推理 论证能力．
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边 形 四条边都相等的四边形 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 既是矩形又是菱形的四边形
问题6 你能总结一下研究平行四边形、矩形、 菱形、正方形的性质和判定的方法吗？
在学习平行四边形、矩形、菱形、正方形这 些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊 的研究方法； 利用图形的性质定理与判定定理之间的关系， 通过证明性质定理的逆命题，得到图形的判 定定理．
例1 选择题： （3）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻 角的度数比为（ C ） A．3:1 B．4:1 C．5:1 D．6:1 （4）如图，在正方形 A B ABCD的外侧，作等边 三角形ADE，则∠AEB E 为（ B ） A．10° B．15° C．20° D．125°C D
人教版八年级数学下册《平行四边形的性质》平行四边形PPT优质教学课件
10 ●O
∴AC= AB2−BC2= 102−82=6
∵OA=OC，∴OA=12AC=3
B
C
∴S ABCD= BC×AC=8×6=48．
随堂检测
1．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若 AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为 21 ．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5cm，AB⊥BD， 点O是两条对角线的交点，OD＝2cm，则AB＝ 3 cm．
叫做这两条平行线之间的距离．
如图，直线a∥b，A是直线a上的任意
A
a
一点，AB ⊥b ，B是垂足，线段AB的
b
长就是a、b之间的距离．
B
随堂检测
1．如图，在 ABCD中，
A
D
A：基础知识：
B
C
若∠A=130°，则∠B=_5_0_°___ 、∠C=_1_3_0_°__ 、∠D=__5_0_°__．
B：变式训练： （1）若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=__1_0_0_°_ 、∠B=__8_0_°__； （2）若∠A：∠B= 5：4，则∠C=__1_0_0_°_ 、∠D=___8_0_°_．
随堂检测
C:拓展延伸：
A
D
如图，在 ABCD中，
B
C
（1）∠A：∠B ： ∠C ： ∠D的度数可能是( B )
A． 1 ： 2 ： 3 ： 4
B．3 ： 2 ： 3 ： 2
C．2 ： 3 ： 3 ： 2
D．2 ： 2 ： 3 ： 3
（2）连接AC， 若∠D=60°， ∠DAC=40°，则 ∠B=_6_0_°_，
一条直线的距离相等．
已知：如图，EF∥MN，A，D是直线
人教版初中八年级下册数学课件 《平行四边形的性质》四边形课件
学习目标
1.理解平行四边形的概念。 2.掌握平行四边形的性质。 3.能够运用平行四边形的性质进行有关的
证明和计算。 4.理解并掌握平行线间的距离及性质，并
能利用它来解决有关面积的问题。
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
1
2
3
4
5
两组对边分别平行，是平行四边形的一个 主要特征。
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
例 题
教 在 ABCD中,已知∠A=52 ° ，求其余三 学 个角的度数。
解: ∵四边形ABCD是平行四边形
A
D
52°
且∠A=52°（已知)
B
C
∴ ∠A=∠C=52°（平行四边形的对角相等）
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B=∠D= 180 °－∠A= － 180º 52°=128 °
A1
A
A2
B
C
A3
在ABCD中，已知一个内角的度数 是60°，则其余三个内角的度数 分别为： 120°、60°、120°
如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边 AB长为8m，其他三条边各长多少？
解：
四边形ABCD是平行四边形
AB CD;AD BC
AB 8, CD 8(m) 又 AB BC CD AD 36
AD BC 10(m)
可要细心哟
在ABCD中，∠A与∠B的度数之比为
4：5，∠A=，∠B=，80°∠C=∠D=。
100°
80°
100°
D
C
A
B
D
C
已知： ABCD的周长等于20 cm，
人教版八年级数学下册期末复习课件：平行四边形 (共47张PPT)
论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过 点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相 关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.
人教初中数学八下 18 平行四边形总复习课件 【经典初中数学课件汇编】
b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
形 如 a ( a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方, a ≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
思考：若m(m m 24)82 m 416m4, 则m的取值范围是 _________
1.若 (1x)2 1x ,则x的取值范围为 A
((A) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2
7 _____;
1 22_____.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
2
2
1
32______,2
2 7
______,3
213
________,
4
52________,5
232________.
? 一般地,二次根式有下面的性质:
性质1: a 2a (a0) 1149a765
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
例2 当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1
(2) 3x
(3)4x2 1
(4)x1
(5) x3
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
人教版数学八年级下册 第十八章《平行四边形》专题课件 课件
(2) 证明：由 (1) 知，四边 DFGE 是平行四边形，
∵ D、G 分别是 AB、OB 的中点，
∴ DG∥OA，
∵ OA⊥DE，∴ DG⊥DE.
∴∠GDE = 90°.
∴ 平行四边形 DFGE 是矩形，
所以当 OA⊥DE 时，四边形 DFGE 是矩形.
(3) 解：若四边形 DFGE 是正方形，OA 与 BC 之间
的四边形是平行四边形. 顺次连接矩形各边中点能得到
菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特
殊平行四边形？
A
A HD
H
A
HD
E平行四边形 D G
E
B
F
C
B
任意四边形
菱形 G
FC 矩形
E 正方形 G
BFC 正方形
【应对策略】各边中点顺次连接形成的四边形： 四边形(对角线无特点) →→→→ 平行四边形 矩形(对角线相等) →→→→ 菱形 菱形(对角线垂直) →→→→ 矩形 正方形(对角线相等且垂直)→→→→正方形
A
M
D
∴ MN 垂直平分 BE，∴ BM＝EM，
∵ 点 E 是 CD 的中点，DE＝1，
E
∴ 在 Rt△ABM 和在 Rt△DEM 中， B
N
C
AM 2 + AB2＝BM 2，DM 2 + DE2＝EM 2，
∴ AM 2 + AB2＝DM 2 + DE2．
设 AM＝x，则 DM＝4﹣x，
A
∴ x2 + 22＝(4﹣x)2 + 12．
GF = EH，则四边形EHFG 是平行四边形， G H
利用平行四边形的性质即可证得； B
E
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当四边形ABCD的对角线满足（ AC⊥BD）时，四边形EFGH为矩形。
当四边形ABCD的对角线满足（ AC⊥BD且AC=BD）时，四边形EFGH为正方形。 （2）探索三角形AEH，三角CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你 发现的结论并加以证明。
（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？
∴∠1= ∠2= ∠A=90 °
∴∠5= ∠6=90 °
∴四边形PFAG为矩形
BP为公共边
∴ AG=PF PG∥AC
∴Rt△BPG≌Rt △PBE
∴ ∠3= ∠C
∴PE=BG
∵BD=CD ∴∠4= ∠C
∴AB=PE+PF
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9
A D
G
E
F
A D
E
G F
B
P
C
B
P
C
A D
E
F
A D
E
F
B
P
C
平行四边形的复习
史云军
灿若寒星制作
2
几种平行四边形及相互关系
两组对边 四边形 分别平行
平行四 边形
有一个角 是直角
矩形
邻边相等
有一个角是直角,且邻边相等
正方形
邻边相等
菱形
有一个角是 直角
灿若寒星制作
3
A
D
O
A O
B
C
图形中共有8 对全等三角形 A
D
D O
B
C
图形中共有4 对全等三角形
B
A
B
C
图形中共有12 对全等三角形
O
D
C
图形中共有8 对全等三角形
灿若寒星制作
4
名称
平行 四边形 矩形 菱形
正方形
几种特殊四边形的性质
边
角
对边平 行且相 等
对角 相等
对边平 行且相 等
四个角 都是直 角
对边平行 且相等, 四条边都 相等
对角 相等
对边平 行,四 条边都 相等
四个角 都是直 角
对角线
轴对称
轴对 对 称图 称 形轴
两条对角 线互相平 分
（A)1 个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个
2.在四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件 是（ C ）
(A)AC=BD AB = CD
(B)AD∥ BC ∠A=∠C
(C)AO=BO=CO=DO AC⊥BD (D) AO=CO BO=DO AB=BC
3.矩形ABCD中，对角线交于O，若AC=BD=8，AB=4， A
C
D S=1/2 mn
AC=m BD=n =ah
A
D
S=a2
B
a
C
5
几种平行四边形的判定(对角线)
对角线相等
矩形
对角线互相垂直
（或每条对角线平分 一组对角）
四边形
对角线 互相平分
平行四 边形
正方形
对角线互相垂直
菱形
（或每条对角线平分 一组对角）
对角线相等
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6
基础练习
一、选择题
1.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形， 又是中心对称图形的是（ B ）
3
3
5
4
灿若寒星制作
13
练习2.如图： 菱形ABCD的边长为a，∠A=60°，E、F分别是
AD、DC上两动点，且AE+CF=a，则∠EBF=（ 60 ）度，
S△EBF的最小值是（ 3 3α2 ）
16
灿若寒星制作
14
中考热点：
1.如图：O为平行四边形ABCD对角线AＣ、BD的交点，EF经过点O，且
=45 ° +90 °=135 °
即∠APB= ∠BQC= 135 °
灿若寒星制作
12
练习1.如图： 正方形ABCD的对角线相交于O,以O点为一个顶点作正方
形A’B’C’O,且2OA’>AC,若设正方形ABCD的边长为a,则两个正方形重叠
部分的面积为( D )
(A) 1 a2 (B) 2 a2 (C) 2 a2 (D) 1 a2
考）
(A)AE=BF
(B)∠DAE=∠ BFC A
D
(C)∠AEB+∠ BFC=90° (D)AG⊥BF
F G
灿若寒星制作
B
E
C
15
3.已知正方形ABCD，请设计一种方案把正方形分成四个面积相等
的部分。有（ D ）种方案。
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数
4.已知矩形ABCD，R，P分别是BC，CD A
B
G
灿若寒星制作
P
C
10
例1：求如证图：，等已腰知三△A角B形C底中边，上∠任A=意90一°点，到D两是腰AC的上距的离一之点和，等于一
B腰D上=D的C高，。P是BC上的任意一点，PE⊥BD于点E，PF ⊥AC于点F。
求证：AB=PE+PF
A
D
E
F
B
4.练习
A
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是 BC上的一动点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，则PE+PF的值为（ A ） （A）12/5 （B）2 （C）5/2 （D） 13/5
上的点，E，F分别是AP，RP的中点，P点
在BC边上移动，R点不动，对于EF的长，
下列表述正确的是（ C ）
E
（A）随着P点的运动而加长
D R F
（B）随着P点的运动而缩短 （C）EF的长不变 （D）不能确定
B
P
C
D
5.点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上
一中个点动，点则M，P点+MNP，的N最分小别值是为AB（，BC1边上）的A
的值为（ B ）
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7
(A) 2
(B)2
(C)2 2
(D)4
二.填空题
A
D
1.如图：◇ABCD中，对角线AC、BD交于 O，AE⊥BD于点E，∠EAD=60°， AE=2cm，AC+BD=14cm，那△BOC的周 长为（ 11cm ）
E B
A
O
C D
2.如图：矩形ABCD，M为BC边上一点，将 △ABM沿AM翻折后，B点落在矩形的对称 中心B’，则AB：BC=（ 1: 3 ）
及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意 它
们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分 析问题，注重归纳解题思维方向。
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19
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20
A
H
E
D
G B
F
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17
C
7. 在正方形ABCD所在平面内有一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、 △PDA都是等腰三角形，具有这种性质的点共有多少个？试画图说明。
答、共有九个点，如下图
A
D
P
P
B
C
有1个点
有四个点
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P 有四个点 18
本节主要复习各种四边形，重点是平行四边 形 （包括各种特殊的平行四边形）的有关知识
B’
B
M
C
D
C
3.如图：在菱形ABCD中，E是AB的中点，
且DE ⊥AB于点E，AB=a，则菱形的面积
为（
3 2
a2
）
A
E
B
A
ED
4.如图：在正方形ABCD中，点E在边AD上，
F为AB的延长线上一点，DE=BF，则
△EFC的形状是（
等腰直角三角形 ） 灿若寒星制作
B
F
C
8
能力提高
例1：如图，已知△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，
解：将△APB绕B点顺时针旋转90°，得
△CQB，有BQ=BP，CQ=AP，BP⊥BQ，连 结PQ
B
设AP=a，BP=2a，CP=3a，在等腰直角三角 形BPQ中，
C Q
PQ= 2 BP=2 2a
在△PQO中，由PQ2+CQ2=PC2=（3a)2
得∠PQC= 90°，则∠BQC= ∠BOP+ ∠PQC
D
则∠AOB的度数是（ D ）
O
(A)15 ° (B)30 ° (C)45 ° (D)60°
B
C
4.已知菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，那么菱形的周长为（B ）
(A)14cm (B)20cm (C)28cm (D)36cm
5.若正方形ABCD的边长等于正方形EFGH的对角线的长，则SABCD：SEFGH
否无
两条对角 线互相平 分且相等
是两 条
两条对角线互
相垂直平分, 是 两
每条对角线平
条
分一组对角
两条对角线
互相垂直平 分且相等,每
是
四 条
条对角线平
分一组对角灿若寒星制作
中心对称
面积
中心 对 对称
称图 中 形心
图形
公式
A
D
h1
b h2
S=ah1
B
a
C
=bh2
对A
D
角
b S=ab
线
B
是的
a
C
A
交 h
点B a
与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中全等的三角形最多有
（ D ）(2003年天津中考试题)
A
E
D
(A)2对 (B)4对 (C)5对 (D)6对
O
B
当四边形ABCD的对角线满足（ AC⊥BD且AC=BD）时，四边形EFGH为正方形。 （2）探索三角形AEH，三角CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你 发现的结论并加以证明。
（3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？
∴∠1= ∠2= ∠A=90 °
∴∠5= ∠6=90 °
∴四边形PFAG为矩形
BP为公共边
∴ AG=PF PG∥AC
∴Rt△BPG≌Rt △PBE
∴ ∠3= ∠C
∴PE=BG
∵BD=CD ∴∠4= ∠C
∴AB=PE+PF
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9
A D
G
E
F
A D
E
G F
B
P
C
B
P
C
A D
E
F
A D
E
F
B
P
C
平行四边形的复习
史云军
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2
几种平行四边形及相互关系
两组对边 四边形 分别平行
平行四 边形
有一个角 是直角
矩形
邻边相等
有一个角是直角,且邻边相等
正方形
邻边相等
菱形
有一个角是 直角
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3
A
D
O
A O
B
C
图形中共有8 对全等三角形 A
D
D O
B
C
图形中共有4 对全等三角形
B
A
B
C
图形中共有12 对全等三角形
O
D
C
图形中共有8 对全等三角形
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4
名称
平行 四边形 矩形 菱形
正方形
几种特殊四边形的性质
边
角
对边平 行且相 等
对角 相等
对边平 行且相 等
四个角 都是直 角
对边平行 且相等, 四条边都 相等
对角 相等
对边平 行,四 条边都 相等
四个角 都是直 角
对角线
轴对称
轴对 对 称图 称 形轴
两条对角 线互相平 分
（A)1 个 (B) 2个 (C)3个 (D)4个
2.在四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件 是（ C ）
(A)AC=BD AB = CD
(B)AD∥ BC ∠A=∠C
(C)AO=BO=CO=DO AC⊥BD (D) AO=CO BO=DO AB=BC
3.矩形ABCD中，对角线交于O，若AC=BD=8，AB=4， A
C
D S=1/2 mn
AC=m BD=n =ah
A
D
S=a2
B
a
C
5
几种平行四边形的判定(对角线)
对角线相等
矩形
对角线互相垂直
（或每条对角线平分 一组对角）
四边形
对角线 互相平分
平行四 边形
正方形
对角线互相垂直
菱形
（或每条对角线平分 一组对角）
对角线相等
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6
基础练习
一、选择题
1.在等边三角形、平行四边形、矩形和圆这四个图形中，即是轴对称图形， 又是中心对称图形的是（ B ）
3
3
5
4
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13
练习2.如图： 菱形ABCD的边长为a，∠A=60°，E、F分别是
AD、DC上两动点，且AE+CF=a，则∠EBF=（ 60 ）度，
S△EBF的最小值是（ 3 3α2 ）
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中考热点：
1.如图：O为平行四边形ABCD对角线AＣ、BD的交点，EF经过点O，且
=45 ° +90 °=135 °
即∠APB= ∠BQC= 135 °
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12
练习1.如图： 正方形ABCD的对角线相交于O,以O点为一个顶点作正方
形A’B’C’O,且2OA’>AC,若设正方形ABCD的边长为a,则两个正方形重叠
部分的面积为( D )
(A) 1 a2 (B) 2 a2 (C) 2 a2 (D) 1 a2
考）
(A)AE=BF
(B)∠DAE=∠ BFC A
D
(C)∠AEB+∠ BFC=90° (D)AG⊥BF
F G
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B
E
C
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3.已知正方形ABCD，请设计一种方案把正方形分成四个面积相等
的部分。有（ D ）种方案。
(A)0 (B)1 (C)2 (D)无数
4.已知矩形ABCD，R，P分别是BC，CD A
B
G
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P
C
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例1：求如证图：，等已腰知三△A角B形C底中边，上∠任A=意90一°点，到D两是腰AC的上距的离一之点和，等于一
B腰D上=D的C高，。P是BC上的任意一点，PE⊥BD于点E，PF ⊥AC于点F。
求证：AB=PE+PF
A
D
E
F
B
4.练习
A
在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是 BC上的一动点，PE⊥BD于E，PF ⊥AC于F，则PE+PF的值为（ A ） （A）12/5 （B）2 （C）5/2 （D） 13/5
上的点，E，F分别是AP，RP的中点，P点
在BC边上移动，R点不动，对于EF的长，
下列表述正确的是（ C ）
E
（A）随着P点的运动而加长
D R F
（B）随着P点的运动而缩短 （C）EF的长不变 （D）不能确定
B
P
C
D
5.点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上
一中个点动，点则M，P点+MNP，的N最分小别值是为AB（，BC1边上）的A
的值为（ B ）
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(A) 2
(B)2
(C)2 2
(D)4
二.填空题
A
D
1.如图：◇ABCD中，对角线AC、BD交于 O，AE⊥BD于点E，∠EAD=60°， AE=2cm，AC+BD=14cm，那△BOC的周 长为（ 11cm ）
E B
A
O
C D
2.如图：矩形ABCD，M为BC边上一点，将 △ABM沿AM翻折后，B点落在矩形的对称 中心B’，则AB：BC=（ 1: 3 ）
及其应用。要求同学们在应用有关知识时要注意 它
们之间的联系与区别。另外还要特别注意学会分 析问题，注重归纳解题思维方向。
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A
H
E
D
G B
F
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C
7. 在正方形ABCD所在平面内有一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、 △PDA都是等腰三角形，具有这种性质的点共有多少个？试画图说明。
答、共有九个点，如下图
A
D
P
P
B
C
有1个点
有四个点
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P 有四个点 18
本节主要复习各种四边形，重点是平行四边 形 （包括各种特殊的平行四边形）的有关知识
B’
B
M
C
D
C
3.如图：在菱形ABCD中，E是AB的中点，
且DE ⊥AB于点E，AB=a，则菱形的面积
为（
3 2
a2
）
A
E
B
A
ED
4.如图：在正方形ABCD中，点E在边AD上，
F为AB的延长线上一点，DE=BF，则
△EFC的形状是（
等腰直角三角形 ） 灿若寒星制作
B
F
C
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能力提高
例1：如图，已知△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，
解：将△APB绕B点顺时针旋转90°，得
△CQB，有BQ=BP，CQ=AP，BP⊥BQ，连 结PQ
B
设AP=a，BP=2a，CP=3a，在等腰直角三角 形BPQ中，
C Q
PQ= 2 BP=2 2a
在△PQO中，由PQ2+CQ2=PC2=（3a)2
得∠PQC= 90°，则∠BQC= ∠BOP+ ∠PQC
D
则∠AOB的度数是（ D ）
O
(A)15 ° (B)30 ° (C)45 ° (D)60°
B
C
4.已知菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，那么菱形的周长为（B ）
(A)14cm (B)20cm (C)28cm (D)36cm
5.若正方形ABCD的边长等于正方形EFGH的对角线的长，则SABCD：SEFGH
否无
两条对角 线互相平 分且相等
是两 条
两条对角线互
相垂直平分, 是 两
每条对角线平
条
分一组对角
两条对角线
互相垂直平 分且相等,每
是
四 条
条对角线平
分一组对角灿若寒星制作
中心对称
面积
中心 对 对称
称图 中 形心
图形
公式
A
D
h1
b h2
S=ah1
B
a
C
=bh2
对A
D
角
b S=ab
线
B
是的
a
C
A
交 h
点B a
与边AD、BC分别交于点E、F，若BF=DE，则图中全等的三角形最多有
（ D ）(2003年天津中考试题)
A
E
D
(A)2对 (B)4对 (C)5对 (D)6对
O
B