高中数学《3.3幂函数》公开课优秀课件(经典、完美、值得收藏)
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高中数学人教A版必修第一册3.3幂函数课件-
4
时，
y
4
x3
是偶函数.综上，实数
m
的值是
4，
故选 A.
C 7.在同一坐标系内，函数 y xa (a 0) 和 y ax 1 的图象可能为( ) a
A.
B.
C.
D.
解析：若 a 0 ，则 y xa 在 (0, ) 上是增函数， y ax 1 在 R 上是增函数且其图象 a
与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上，选项 C 可能，选项 B 不可能；若 a 0 ，则 y xa 在
所以 m 5 ，则 f (x) x5 .
（2）
f
(x)
x5
1 x5
， 要使函数有意义，则 x 0 ，
即定义域为 (,0) (0, ) ，其关于原点对称.
f
(x)
1 (x)5
1 x5
f
(x) ，
该幂函数为奇函数.
当 x 0 时，根据幂函数的性质可知 f (x) x5 在 (0, ) 上为减函数，
1 3
D.2
解析：因为函数 f (x) (m2 5m 7)xm1(m R) 是幂函数，所以 m2 5m 7 1 ，
解得 m 2 或 m 3 .当 m 2 时， f (x) x3 是奇函数，不符合题意，舍去；当 m 3 时，
f (x) x4 是偶函数，符合题意.故由 f (2a 1) f (a) 得， f ( 2a 1) f ( a ) ，又因为
A 5.如图，下列 3 个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是( )
A.①
y
x1
，②
y
1
x2
，③
y
1
x3
C.①
y
1
x3
高中数学《3.3幂函数》课件
的图像都
过点（1,1）
❖ 函数
是奇函数，函数
是偶函数
❖ 在区间
上，函数
是增函数，函数
是减函数
❖ 在第一向限内，函数
的图像向上与y轴无限的
接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
则m的值为
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
yx
1
y x2 y x3 y x2
y x1
(1,1)
幂函数的性质
❖ 函数
-1或4
规律 ❖
的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
高一数学：3《幂函数》课件 公开课一等奖课件
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)
坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
思考3：如果立方体的边长为a，体积为 V，试将V表示成a的函数.
思考4：如果一个正方形场地的面积为S， 正方形的边长为a，试将a表示成S的函 数. 思考5：如果某人t秒内骑车行进了1km， 他骑车的平均速度为V，试将V表示成t的 函数.
思考6：以上是我们生活中遇到的几个 函数问题，这些函数是指数函数吗？你 能发现这几个函数的解析式有什么共同 特点吗？
y
a>1 a=1
0<a<1 a<0
o x
理论迁移
例1、判断下列函数哪些是幂函数: （1 （2）
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
人教新课标高中数学B版必修1《3.3 幂函数》 课件(共35张PPT)
函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数
为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
(3)幂函数的定义域由指数 α 确定.①当 α 是正整数时,x∈R.②当
α 是正分数时,设 α=
(p,q
是互质的正整数),若 q 是奇数,则 y=xα 的
定义域是 R;若 q 是偶数,则 y=xα 的定义域是[0,+∞).③当指数 α 是负
2.由于幂函数的解析式中只含有一个参数 α,因此只需一个条件
就可确定幂函数的解析式.若已知待求函数是幂函数,则可根据待定
系数法,设函数为 f(x)=xα,根据条件求出 α.
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
幂函数的图象
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图
所示,则a,b,c,d的大小关系是(
3.3
幂函数
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2
3
2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y=
1
,y=
1
2 的图象,了解它们的简单
性质.
3.能运用幂函数的图象和性质解决相关问题.
1
2
1.幂函数的定义
一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自
变量,α为常数.
关于定义的理解:
)
A.b<c<d<a
B.b<c<a<d
C.a<b<c<d
D.a<d<c<b
题型一
题型二
题型三
题型四
3.3幂函数(共43张PPT)
解决幂函数图象问题应把握的原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大， 幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂 函数图象越远离 x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数 α 与 0，1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 的图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断.
()
解析：选 D.由题意设 f(x)＝xn， 因为函数 f(x)的图象经过点(3， 3)， 所以 3＝3n，解得 n＝12， 即 f(x)＝ x， 所以 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数， 且在(0，＋∞)上是增函数，故选 D.
4.函数 y＝x－3 在区间[－4，－2]上的最小值是_____________. 解析：因为函数 y＝x－3＝x13在(－∞，0)上单调递减， 所以当 x＝－2 时，ymin＝(－2)－3＝(－12)3＝－18. 答案：－18
B.－3 D.3
()
【解析】 (1)②⑦中自变量 x 在指数的位置，③中系数不是 1，④中解析式 为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数.
(2)因为函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以 m2＋2m－2＝1， m>0， 所以 m＝1.
【答案】 (1)B (2)A
所以( 2)－32＞( 3)－32.
6
6
6
6
(3)因为 y＝x5为 R 上的偶函数，所以(－0.31)5＝0.315.又函数 y＝x5为[0，
＋∞)上的增函数，且 0.31＜0.35，
6
6
6
6
所以 0.315＜0.355，即(－0.31)5＜0.355.
高中数学新教材《3.3幂函数》说课稿课件(经典、完美)
1 1
高中数学人教A版（2019） 第三章
目录页
教材分析
1
幂函数 评价分析 5
2 目标分析
目录页
教学过程 4
分析
3 教法学法
分析
2 2
3 3
1 教材分析
（一）地位与作用 幂函数是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的 实际应用，而且起着承前启后的作用。在初中曾 经研究过y＝x，y＝x2，y＝x-1三种幂函数。对于 这节内容，是对初中的进一步的概括、归纳与发 展，是幂有关知识的升华。
必做题 选做题
巩固训练
课堂小结
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？ （3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？
板书设计
幂函数 1、幂函数的概念
2、几个常见幂函数的图象和 性质
4、例1
5、巩固训练 6、课堂小结 7、课后作业
3、幂函数的性质
作业布置
学法分析
本节课主要是通过对幂函数模型的特征进行归纳， 动手探索幂函数的图像，观察发现其有关性质。重 在动手操作、观察发现和归纳的过程。
12 12
4
教学过程分析
一、引入
这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
二、学习目标
①理解幂函数的概念 ②会画几个常见幂函数的图象，并掌握其性质 ③掌握幂函数的性质，并能简单运用
目标1----理解幂函数的概念
幂函数的定义： 一般地，形如y=xa 的函数叫做幂函数，其中x 是自变 量，a是常数。
例1：判断下列函数有哪些是幂函数：
（1）y 2x （2） y 3x2 1
（3）y
2
x3
（4） y x 22
高中数学人教A版（2019） 第三章
目录页
教材分析
1
幂函数 评价分析 5
2 目标分析
目录页
教学过程 4
分析
3 教法学法
分析
2 2
3 3
1 教材分析
（一）地位与作用 幂函数是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的 实际应用，而且起着承前启后的作用。在初中曾 经研究过y＝x，y＝x2，y＝x-1三种幂函数。对于 这节内容，是对初中的进一步的概括、归纳与发 展，是幂有关知识的升华。
必做题 选做题
巩固训练
课堂小结
（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？ （3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？
板书设计
幂函数 1、幂函数的概念
2、几个常见幂函数的图象和 性质
4、例1
5、巩固训练 6、课堂小结 7、课后作业
3、幂函数的性质
作业布置
学法分析
本节课主要是通过对幂函数模型的特征进行归纳， 动手探索幂函数的图像，观察发现其有关性质。重 在动手操作、观察发现和归纳的过程。
12 12
4
教学过程分析
一、引入
这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？
二、学习目标
①理解幂函数的概念 ②会画几个常见幂函数的图象，并掌握其性质 ③掌握幂函数的性质，并能简单运用
目标1----理解幂函数的概念
幂函数的定义： 一般地，形如y=xa 的函数叫做幂函数，其中x 是自变 量，a是常数。
例1：判断下列函数有哪些是幂函数：
（1）y 2x （2） y 3x2 1
（3）y
2
x3
（4） y x 22
高中数学必修一 《3 3 幂函数》精品说课课件
定义域 _R__ 值域 _R__ 奇偶性 _奇__
y＝x2 _R__ _[_0_，__＋__∞__) _偶__
y＝x3
1
y x2
_R__ [_0_，__＋__∞__)
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
_奇__ __非__奇__非__偶__
y＝x－1 {_x_|_x_≠__0_} {_y_|_y_≠__0_}
2
解 y x3 3 x2 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，
故其图象如下：
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想. 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它 形式都不是幂函数.
1.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
√D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12345
2.下列不等式成立的是
√
1
1 2
A. 3
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
y＝x2 _R__ _[_0_，__＋__∞__) _偶__
y＝x3
1
y x2
_R__ [_0_，__＋__∞__)
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
_奇__ __非__奇__非__偶__
y＝x－1 {_x_|_x_≠__0_} {_y_|_y_≠__0_}
2
解 y x3 3 x2 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，
故其图象如下：
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想. 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它 形式都不是幂函数.
1.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
√D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12345
2.下列不等式成立的是
√
1
1 2
A. 3
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
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1
y x2
y x 1
O
x
y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y O
y x2
函数 y x2
定义域 R
x
值 域 （0，+∞）
奇偶性 偶
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
（0， ）增
,增（0，
）增
(,0)减 （0， )减
公共点
(1,1)
幂函数的性质
1
❖ 函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1 的图像都
过点（1,1）
❖ 函数 y x, y x 3 , y x 1 是奇函数，函数 y x2
是偶函数
1
❖ 在区间 (0, )上，函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2
2019人教版必修1第一册第三章
3.3幂函数
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式： ❖ (1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y； ❖ (2)正方形的边长为x，正方形的面积y； ❖ (3)正方体的边长为x，正方体的体积y； ❖ (4)正方形的面积为x，正方形的边长y； ❖ (5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
解（1）函 数y x 0.5在 0，
上是增函数，1.1< 1.4
∴ 1.10.5 比1.较40.幂5 值大小关键是看指数是否相同 （2）函，数y若指x数3在相(同,则 可) 以利用幂函数的单
上是增函调数，性13来判1 断,且的1<大1.5小<1。.7
∴ 1.73 1.53 1
课堂练习
1、下列函数不是幂函数的是（c ）
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
幂函数性质的应用 例1 比较下列各组中值的大小，并说明理由
（1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
4、比较下列各组数的大小：
1
1
(1) 0.752 0.762
(2) (3.14)2 2
5、幂函数y (m2 m 1)xm 在区间(0,+∞)上是减函数，
则m的值为 1
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
3 1.732
O
4
2
5 2.236
1
y x2
x
幂函数的图象
画出函数 y x 3 的图像
x
y
1.5 3.375
1
1
0.5 0.125
0
0
y
y x3
O
x
幂函数的性质
幂函数的图 像都经过哪 一点？
哪些函数是 奇函数？哪 些函数是偶 函数？
每个函数的 单调性如何 ？
y
y x3 y x2 y x
A y x B y x 3C y 2x D y x1
y C1 C2
C3
பைடு நூலகம்
2、如图所示，曲线是幂函数 y x 在
第一象限内的图像，已知α分别取
1 1, 1, , 2
2
C4
四个值，则相应图像以此为 C1 , C 3 , C4 , C 2
O
x
3、若幂函数y=f(x)的图像经过点（9,3），则f(25)= 5
⑤y x0 是
③y x2 x 否 ⑥y 1 否
2、若函数 f (x) (a2 3a 3)x2是幂函数，求a的值。
-1或4
规律 ❖ x 的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
1
函 数 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R
R
奇偶性 奇 偶
R
0,
(,0) （0， ）
R
0,
(,0) （0， ）
奇 非奇非偶 奇
单 调 性
,
增 (,0)减
yx y x2
y x3 1
y x2
y x1
共 同 ❖ 幂的形式
❖ 幂的底是自变量
特 ❖ 幂的指数是常数
征
y x
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数,其中x是自变量，α是常 数。
小试牛刀
1、判断下列函数是否是幂函数?
①y
1 x3
是
②y 2x2 否
④y
(
1)x 2
否
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
幂函数的图象
画出函数 y x, y x2 , y x1 的图像
y y x1 y x2
yx
O
x
幂函数的图象
1
y
画出函数 y x 2 的图像
x
y
0
0
0.5 0.707
1
1
1.5 1.225
2 1.414
是增函数，函数 y x 1 是减函数
❖ 在第一向限内，函数 y x1的图像向上与y轴无限的 接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1
y x2
y x 1
O
x
y
yx
函数 y x
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y O
y x2
函数 y x2
定义域 R
x
值 域 （0，+∞）
奇偶性 偶
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
（0， ）增
,增（0，
）增
(,0)减 （0， )减
公共点
(1,1)
幂函数的性质
1
❖ 函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2 , y x 1 的图像都
过点（1,1）
❖ 函数 y x, y x 3 , y x 1 是奇函数，函数 y x2
是偶函数
1
❖ 在区间 (0, )上，函数 y x, y x 2 , y x 3 , y x 2
2019人教版必修1第一册第三章
3.3幂函数
情景导入
写出下列y关于x的函数关系式： ❖ (1)购买每千克1元的蔬菜x千克，需要支付的钱数y； ❖ (2)正方形的边长为x，正方形的面积y； ❖ (3)正方体的边长为x，正方体的体积y； ❖ (4)正方形的面积为x，正方形的边长y； ❖ (5)某人x s内骑车进行了1 km，她骑车的平均速度y；
解（1）函 数y x 0.5在 0，
上是增函数，1.1< 1.4
∴ 1.10.5 比1.较40.幂5 值大小关键是看指数是否相同 （2）函，数y若指x数3在相(同,则 可) 以利用幂函数的单
上是增函调数，性13来判1 断,且的1<大1.5小<1。.7
∴ 1.73 1.53 1
课堂练习
1、下列函数不是幂函数的是（c ）
x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 x2
因为x1 x2 0, x1 x2 0,
所以f (x1) f (x2 ),即幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数 .
幂函数性质的应用 例1 比较下列各组中值的大小，并说明理由
（1）1.10.5 , 1.40.5;(2) 1.53 , 1.73 , 1 ;
4、比较下列各组数的大小：
1
1
(1) 0.752 0.762
(2) (3.14)2 2
5、幂函数y (m2 m 1)xm 在区间(0,+∞)上是减函数，
则m的值为 1
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
3 1.732
O
4
2
5 2.236
1
y x2
x
幂函数的图象
画出函数 y x 3 的图像
x
y
1.5 3.375
1
1
0.5 0.125
0
0
y
y x3
O
x
幂函数的性质
幂函数的图 像都经过哪 一点？
哪些函数是 奇函数？哪 些函数是偶 函数？
每个函数的 单调性如何 ？
y
y x3 y x2 y x
A y x B y x 3C y 2x D y x1
y C1 C2
C3
பைடு நூலகம்
2、如图所示，曲线是幂函数 y x 在
第一象限内的图像，已知α分别取
1 1, 1, , 2
2
C4
四个值，则相应图像以此为 C1 , C 3 , C4 , C 2
O
x
3、若幂函数y=f(x)的图像经过点（9,3），则f(25)= 5
⑤y x0 是
③y x2 x 否 ⑥y 1 否
2、若函数 f (x) (a2 3a 3)x2是幂函数，求a的值。
-1或4
规律 ❖ x 的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
1
函 数 y x y x2 y x3 y x 2 y x1
定义域 R
R
值域 R
R
奇偶性 奇 偶
R
0,
(,0) （0， ）
R
0,
(,0) （0， ）
奇 非奇非偶 奇
单 调 性
,
增 (,0)减
yx y x2
y x3 1
y x2
y x1
共 同 ❖ 幂的形式
❖ 幂的底是自变量
特 ❖ 幂的指数是常数
征
y x
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数,其中x是自变量，α是常 数。
小试牛刀
1、判断下列函数是否是幂函数?
①y
1 x3
是
②y 2x2 否
④y
(
1)x 2
否
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
幂函数的图象
画出函数 y x, y x2 , y x1 的图像
y y x1 y x2
yx
O
x
幂函数的图象
1
y
画出函数 y x 2 的图像
x
y
0
0
0.5 0.707
1
1
1.5 1.225
2 1.414
是增函数，函数 y x 1 是减函数
❖ 在第一向限内，函数 y x1的图像向上与y轴无限的 接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
(
x1
x2 )( x1