2017考研数学一真题解析

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1
）若函数()0,0f x x b x =>⎪≤⎩
在0x =连续，则（ ）。

A. 12ab = B.
C. D. x 择（A. B. C. D. 【解析】令2
()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即2
2[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数2
2
(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r
的方向导数为（ ）。

A.12
B.6
C.4
D.2 【答案】D
【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}
gradf =，则有122
{4,1,0}{,,}2||333
f u grad u u ∂=⋅==∂。

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。

A. 010t =
B. 01520t <<
C. 025t =
D. 025t > 【答案】C
【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为0
10
()t v t dt ⎰
与0
20
()t v t dt ⎰，由定积分的几何意义
可知，
25
210
(()()201010v t v t dt -=-=⎰
，因此可知025t =。

（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。

A. T
E αα-不可逆
B. T
E αα+不可逆
C. 2T E αα+不可逆
D. 2T E αα-不可逆 【答案】A
【解析】因为T αα的特征值为0（n-1重）和1，所以T E αα-的特征值为1（n-1重）和0，故T E αα-不可逆。

（依（A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
由(|)(|)P A B P A B >得()()()()
()1()()
P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=
-，即()()()P A B P A P B >，因此选择A 。

（8）设12,,(2)n X X X n ≥L 来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下列
结论中不正确的是（ ）。

A.
21()n
i
i X
μ=-∑服从2χ分布
B. 21
2
()n
n
X
X -∑服从2χ分布
此
230
'''()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x ∞
-==---∑，代入可得(3)(0)0f =。

（10）微分方程''2'30y y y ++=的通解为y =_________。

【答案】12()x
e c c -+
【解析】由''2'30y y y ++=，所以2
230λλ++=，因此1λ=-，因此通解为：
12()x e c c -+。

（11）若曲线积分221
L xdy aydy x y -+-⎰在区域22
{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关，则a =_________。

【答案】－1 x ay
-
33
的秩2。

（14）设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5()2
x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =_________。

【答案】2 【解析】
2
2
2
2
4
()
2
22
(4)
222
1
()'()
2
x
x
x
x
f x F x
-
--
-
-
-
⋅
==+⋅
=+
因此可得2
EX=。

三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。

解答应写出文字说
1
20
1
lim ln(1)ln(1)
n
n
k
k k
x x dx
n n
→∞
=
+=+
∑⎰，然后计算定积分，
2
111
212
000
111 ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)
221
x
x x dx x d x x x dx
x
-
+=+-=+--⋅
+
⎰⎰⎰
1
11
(1)
24
x dx
=--=
⎰
（17）（本题满分10分）
已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值。

【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=。

【解析】对333320x y x y +-+-=关于x 求导得：2233'33'0x y y y +-+=， 令'0y =得233x =，因此1x =±，当1x =时，1y =，当1x =-时，0y =。

对2233'33'0x y y y +-+=关于x 再次求导得：2266(')3''3''0x y y y y y +++=，将'0y =
当
（，而， 10
f -，所以，因此根据零点定理可知存在1，
使得1'()0f ξ=，所以111()()'()0F f f ξξξ==，所以原方程至少有两个不同实根。

【解析】略
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S 时圆锥面z =
被柱面22z x =割下的有限部分，其上任一点的弧度
为(,,)u x y z =C ，
（Ⅰ）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； （Ⅱ）求S 的质量M 。

【答案】（Ⅰ）22(1)1
0x y z ⎧-+=⎨=⎩
；（Ⅱ）64。

（(r ，
12320ααα+-=，因此基础解系的一个解向量为(1,2,1)T -。

因为123βααα=++，故
Ax β=的特解为(1,1,1)T ，因此Ax β=的通解为(1,2,1)(1,1,1),T T k k R -+∈。

（21）（本题满分11分）
设222
123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为
22
1122
y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

【答案】2a =
，正交矩阵0Q ⎛ = ⎝
⎭
而
当为
1k 当2k 当为
()31,0,1T
k -；
从而正交矩阵326032
6Q ⎛⎫- ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭。

（22）（本题满分11分）
（则P 。

{}{}0|01|111
Y z 12211
()(1)22Y Y F P X P X Y z X P X P X Y z X P P Y z F z F z ==+≤=+=+≤==
≤+≤-=+-
（其中()Y F z 为Y 的分布函数：(){}Y F z P Y z =≤） （23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立，且均服从正态分布2(,)N μσ，该工程师记录的是n 次测量的绝对误差||,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计σ （Ⅰ）求1Z 的概率密度；
（Ⅱ）利用一阶矩求σ的矩估计量；
（为Y f 当当i
0,0z ≤⎩（Ⅱ）因为220z i EZ dz σ-+∞=
=⎰i σ=，从而σ的矩估计量为^1n i i Z σ===
；
（Ⅲ）由题可知对应的似然函数为(
)222121,,,i Z n n i L z z z σσ-==
……，
，取对数得：221ln ln 2n i i Z L σσ=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
∑，所以231ln ()1n i i Z d L d σσσσ=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑，令ln ()0d L d σσ=，
得σ=σ
的最大似然估计量为^σ=。