2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(带答案解析)
2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试(三)数学(理)试题(解析版)
2020届天一大联考海南省高中毕业生班阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则A B =I （ ） A ．()1,3- B ．[)1,+∞C ．[)1,3D ．(]1,1-【答案】C【解析】求解一元二次不等式得到集合A ，由交集的定义即得解. 【详解】由题意可得：{}2230{|(3)(1)0}{|13}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< 由交集的定义，有A B =I [)1,3. 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2．复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的除法可求122t t =-，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项. 【详解】由题意：()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ， 该复数对应的点()1,1- 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化． 3．函数2sin(2)2y x π=+是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 【答案】B【解析】试题分析：根据周期公式可得22T ππ==,又2sin(2)2cos 22y x x π=+=，所以该函数是偶函数．故选B ． 【考点】三角函数的周期性和奇偶性．4．函数()()2ln f x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求解f (x )的定义域排除B ,D ，再求导通过导函数研究f (x )的单调性，即得解. 【详解】由于()()2ln f x x x =-的定义域为：(,0)(1,)-∞⋃+∞，故排除B ，D ；()221'x f x x x-=-，与()21g x x =-同正负， 令1()0,()2g x x f x >>∴在(1,)+∞单调递增； 令1()0,()2g x x f x <<∴在(,0)-∞单调递减； 故选：A 【点睛】本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x =±【答案】C【解析】由12121212:||:||A PF F PA S S F F A A ∆∆=得到2c a =，利用a,b,c 的关系即得解. 【详解】由于12121212:||:||2:22:1A PF F PA S S F F A A c a ∆∆=== 故：2c a =由题意双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程为：b y x a=±b a a a===故渐近线方程为：y = 故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6．对任意()2k k Z παπ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ） A ．2 B ．0C ．1-D ．2-【答案】D【解析】利用同角三角函数关系转化2222sin tan sin tan λαμααα+=为2(1)cos 1λαμ+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立，即得解.【详解】 由于()2k k Z παπ≠+∈，故22sin 1,cos 0αα≠≠，2222sin tan sin tan λαμααα+=Q222sin cos cos μαλαα∴+= 222cos sin 1cos λαμαα∴+==- 2(1)cos 1λαμ∴+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立1,1λμ∴=-= 2λμ∴-=-故选：D 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．20172018B ．20182019C ．12018D ．12019【答案】D【解析】根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解. 【详解】初始值：1,2S i ==满足：1112019,1,1,1322i t S i i i ≤=-==⨯=+= 满足：12122019,1,1,14323i t S i i i≤=-==⨯⨯=+= 满足：131232019,1,1,154234i t S i i i≤=-==⨯⨯⨯=+= ……满足：1201812320182019,1,1...,1202020192342019i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯⨯=+= 输出：123201811 (234)20192019S =⨯⨯⨯⨯=故选：D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8．()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于（ ）A ．65B ．45C ．20D ．25-【答案】A【解析】分别将()31x -，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可. 【详解】由于()30011223333331()()()()x C x C x C x C x -=-+-+-+-6061524233342451566066666661111111()()()()()()x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭故()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：0033322424363611()()()()2031565C x C x C x C x x x-⋅+-⋅=+⋅=故选：A 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．12C D ．6【答案】C【解析】建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(,1,)22A B D P111(0,1,1),(,1,)22AB DP =-=u u u r u u u r设异面直线1A B 与DP 所成角为θ111132cos |cos ,|||6||||322A B DPA B DP A B DP θ⋅∴=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u uu r u u u r 故选：C 【点睛】本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。
2020届海南省全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
10．在 中， ，点 为 的中点，过点 作 交 所在的直线于点 ，则向量 在向量 方向上的投影为（）
（1）令 ，求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： .
①求数列 的通项公式；
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】化简得， ，由已知函数 的图象与直线 相交，得 ，解得 ，…，由此即可得到本题答案.
【详解】
，
因为函数 图象与直线 相交，所以 ，解得 ，…，
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
二、填空题
13．不等式 的解集为________.
【点睛】
本题主要考查利用不等式的基本性质及特殊值判断大小关系，考查推理能力，属于基础题.
6．已知数列 为等比数列， ，数列 的前 项和为 ，则 等于（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得等比数列 的首项 和公比 ，进而可求得数列 的首项和公比，然后套用等比数列的求和公式，即可得到本题答案.
天一大联考2020年海南省高三年级第三次模拟考试数学试题(含解析)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60A x x x =--<，{}2|4B x x =…，则A B =I （ ） A ．()2,3B ．(2,3]C ． [2,3)D ．[2,3]2.已知复数z 满足()121 i z i -=+，则z =（ ）ABCD3.函数3sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．2x π=C ．23x π=D ．56x π=4.已知函数，(2),0,()2,0x k x x f x k x +⎧=⎨+>⎩„，则“1k <”是“()f x 单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺。
问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺。
问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（ ） A ．2031B ．1031C ．516D ．156.函数2()1sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．7.2020年初，新型冠状病毒（19COVID -）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得y 关于x 的二次回归方程为$26y x a =+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（ ） A ．5B ．4C ．1D ．08.已知双曲线22221(0,0)x y a b ba -=>>的左、右焦点分别为1(-, 0)F c ，2(, 0)(0)F c c >，点P 在双曲线上，且2PF 垂直于x 轴。
天一大联考2020年高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题
高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x x =+->，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ） A ．24i +B ．22i -C ．25D ．223．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ）A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．43x π=是()f x 的一条对称轴B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴的距离为3，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的3（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨 对于集合A ：配方得()()22120x y -++=，1x ∴=，2y =-，从而{}1A =.对于集合B ：)120>，0x ≥，20>，10>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B =+∞.奇思妙解 对于集合B ；取特殊值2x =，成立，从而AB 中一定有2，故选B.2．C 考查目标 本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨 由题意可知3223iz i i+==-，从而23z i =+，∴24z i i +=+，∴z i +== C.命题陷阱 z i +易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标 本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨 由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A.4．C 考查目标 本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力. 思路点拨 ∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==， ∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =，故选C.命题陷阱 考虑不周全，未在原数列中研究4a ，6a ，8a 之间的关系，易选错. 5．D 考查目标 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨 ∵函数()1f x +是偶函数，∴函数()1f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称.由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=，可计算AD '，∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420+++⨯=+ D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A.9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想.思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°.思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+，由抛物线定义可得2A p x AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C.规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2， 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力.思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力.思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD A θ=，即3sin 2θ=，得sin 14θ=.（Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos 14θ==，而()1sin sin 30cos 2214E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想. 思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即2d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,4,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=，∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ；②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112x f x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202x af x e -++≥恒成立，即()()222202x a x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222x a h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-.规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为.规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >，∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >，∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
1. C 【详解】{}|23A x x =-<<，{|2B x x =-或}2x ，[)2,3A B =.2. B 【详解】由()121i z i -=+，得()()()()121121311122i i i z i i i i ---===--++-，所以z ==. 3. D 【详解】令()262x k k Z πππ-=+∈，得23k x ππ=+，取1k =，得56x π=. 4. D 【详解】若()f x 单调递增，则0k >且()0022k k ++，解得01k <因为“1k <”与“01k <”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立. 5. A 【详解】设第n 天织布的尺数为n a ，则{}n a 是公比为2的等比数列，所以()5112512512a a a a -++⋯+==-，解得1531a =，所以23120231a a =⨯=. 6. A 【详解】()211sin sin 11x xxe f x x x ee ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 7. A 【详解】设2t x =，则()11491625115t =++++=，()12173693142585y =++++= 586118a =-⨯=-，所以2ˆ68yx =-.令4x =，得2444936485ˆe y y =-=-⨯+=.故选：A 8. B 【详解】根据题意知122F F c =，直线1PF 的斜率为34，则212123tan 4PF PF F F F ∠== 则有232PF c =，则152PF c ，则122a PF PF c =-=，又因为12PF F ∆的面积为132622S c c =⨯⨯=，解得2c =，即1a =.故选：B二、多选题9. BD 【详解】对于A ，若0a b >>，则11a b<，所以A 错误；对于B ，因为0a b ->，所以20201a b ->，故B 正确；对于C ，函数ln y x =的定义域为()0,+∞，而a ，b 不一定是正数，所以C 错误；对于D ，因为210c +>，所以()()2211a c b c +>+，所以D 正确.故选：BD10. AC 【详解】对于A ，2cos 1b α==，A 正确；对于B ，若//a b cos 0αα-=，tan α∴=，B 错误； 对于C ，3cos sin 2sin 3a b πααα⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭，最大值为2，C 正确；对于D ，||(3a b -=-因为0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以5,336πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin ,132πα⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即max ||5a b -=-，D 错误.故选：AC 11. ABD 【详解】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确. 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB 为直角三角形设4AD =，则OP OB ==，PB ∴=，12MN PB ==在MAN △中，AM AN ==MN =cos AMN ∠=,故异面直线PB 与AM ,在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确故选：ABD12. BD 【详解】由题知2()3f x x a '=+.对于A ，由()f x 是奇函数，知0b =，因为0a <，所以()f x 存在两个极值点，由(0)0f =知，()f x 有三个零点，A 错误；对于B ，因为211b +，所以0a ，()0f x '，所以()f x 单调递增，则()f x 仅有一个零点，B 正确；对于C ，若取2b =，2()33f x x '=-，则()f x 的极大值为()14f -=，极小值为(1)0f =，此时()f x 有两个零点，C 错误；对于D ，3()1f x x x =-+，2()31x f x '=-易得()f x 的极大值为10f ⎛= ⎭>⎝，极小值为10f =⎝>⎭.可知()f x 仅有一个零点，D 正确.故选：BD 三、填空题13. 16 【详解】设从学校A 和C 分别抽取的教师人数为x 和y ，由题意可知872144216x y ==，所以4x =，12y =，16x y +=.故答案为：16 14. 240【详解】636621661(2)()(1)2rrrr r r rr T C x C x x---+=-=-，令，得常数项为240，故答案为240. 15.323【详解】圆22280x x y -+-=即()2219x y -+=，圆心坐标为()1,0，则12p =抛物线方程为24y x =，所以2DF =.如图，3FA FB =-，所以:3:1AF FB = 又::DF BC AF AB =，所以2:3:4BC =，得83BC BF ==所以3243AB BF ==.故答案为：323四、双空题如图，设M 为AC 的中点，因为PA PC =，所以PM AC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面ABC ，所以由面面垂直的性质定理得PM ⊥平面ABC ，所以PM MB ⊥=PM MB =从而可得PMAC =设1O ，2O 分别为对应面的内心，分别过1O ，2O 作MP ，MB 的平行线，交于点O 即O 为所求的球心，易知12OO MO 是正方形设Rt PAC △内切圆的半径为r ，球O 的半径为R，由图可知OM R ==，而22r -=，所以1R =.1五、解答题17.（1）给出的通项公式为24n a n =+.因为对任意*n N ∈()1214242n n a a n n +-=++--=， 所以{}n a 是公差为2的等差数列.对任意*,m n ∈N ，且m n ≠，()22424224m n m n a a m n m n a +++=+++=+++=，所以{}n a 是“Q 数列”.（2）因为{}n a 是等差数列，所以()()2*62452n n n S n n n N ++==+∈.因为n S 单调递增，且2775784100S =+⨯=<，28858104100S =+⨯=>，所以n 的最小值为8. 注：以下答案也正确，解答步骤参考上面内容：①33n a n =+，23922n S n n =+，n 的最小值为7；②6n a n =，233n S n n =+，n 的最小值为6.18. （1）43（2）(【详解】（1）因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=. 所以2sin 4sin2sin cos 222B B B B ==，因为0B π<<，所以022B π<<，所以sin 02B≠， 所以1tan 22B =.于是2212tan2422tan 311tan122B B B ⨯===⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知4tan 3B =，又()0,B π∈，根据同角三角函数关系可得4sin 5B =，3cos 5B =.根据余弦定理得()222261655b ac ac a c ac =+-=+-又()()()()22221641555a c ac a c a c a c +-+-+=+所以()2255a c b +=，即5a c+，当且仅当a c ==时取等号.又因为1a c b +>=，所以a c +的取值范围是(. 19. （1）1.2（2）9.3（3）0.1808【详解】（1）由题意得2100.4 2.2 2.2 5.2a b c ++=---=， 又2b a c =+，2c a =，解得0.8a =， 1.2b =， 1.6c =. 因为前四组的频率之和为()0.40.8 1.6 2.20.10.5+++⨯=， 所以估计样本中闪存芯片的数据传输速度的中位数为1.2 （2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数为 7.50.18.50.39.50.3510.50.211.50.059.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）样本中数据传输速度为优的产品有0.510050⨯=件 使用寿命为优的产品有()0.20.0510025+⨯=件至少有一项为优的产品有1004555-=件，所以S 级产品有50255520+-=件. 故任意一件产品为S 级产品的概率为15.则从这一批产品中任意抽取4件，其中S 级产品的数量服从二项分布14,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故所求的概率为43014441411310.1808555625P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20. 【答案】（1）见解析（2）【详解】（1）连接1AC 1AA AC =，∴平行四边形11AA C C 为菱形，11AC AC ∴⊥. 平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，BC AC ⊥BC ∴⊥平面11AA C C .11//BC B C ，11B C ∴⊥平面11AA C C ，111B C AC ∴⊥.又1111AC B C C =，111,AC B C ⊂平面11AB C 1AC ∴⊥平面11AB C . 1AB ⊂平面11AB C ，11AC AB ∴⊥.（2）取11A C 的中点为M ，连接CM .由160A AC ︒∠=，可知11CM AC ⊥，CM AC ⊥.又BC ⊥平面11AA C C ，故可知C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图.则()0,0,0C，(1A ，()2,0,0A ，()0,1,0B，(1B -. 由（1）知，平面11AB C的一个法向量为(1CA =. 设平面1ABB 的法向量为(),,n x y z =，则10n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩. ()2,1,0AB =-，(13,1AB =-，2030x y x y -+=⎧⎪∴⎨-++=⎪⎩.令1x =，得2y =，z =，即31,2,n ⎛= ⎝⎭.111cos ,162CA n CA n CA n ⋅∴===⋅⨯结合图可知，二面角11C AB B --为钝角，则二面角11C AB B --的余弦值为21. 【答案】（1）22143x y +=（2）存在，31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【详解】（1）设椭圆E 的半焦距为c 因为离心率12e =，所以2a c =，222243b c c c =-= 由222214320x y c c x y ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得x =.不妨设,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎭，则AB =所以1c =，从而2a =，23b =.所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点(),P x y ，设()11,A x y ，()22,B x y . 由2214320x y x y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-=.因为44m -<<，所以()22416120m m ∆=-->，且122m x x +=-，212124m x x -=.由APB ∠的平分线平行于y 轴，得0AP BP k k +=所以12120y y y y x x x x --+=--，即1212220x m x my y x x x x ++--+=--， 可得()()()()12121222220x x x x x m y x m y x x +-+---+=， 所以()()2212220222m m y mx m m y x ---+-+-=，整理得()321280x y m xy -+-=. 当m 变化时，上式恒成立，所以3201280x y xy -=⎧⎨-=⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩.故满足条件的P 点的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.22. 【答案】（1）见解析（2）13a =-.【详解】 （1）当0a =时，()()21ln 12f x x x x =+-+，定义域为()1,-+∞.()21111x f x x x x =-+=++'.当1x >-时，()0f x '>，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增.又因为()00f =，所以当10x -<<时()0f x <，当0x >时，()0f x >. （2）若0a ，由（1）知，当0x >时，()()()21ln 1002f x x x x f +-+>=.这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.若0a <，()()32223311331131113ax a x ax a f x x ax x x x x a +++⎛⎫=-++==+ ⎪+++⎝⎭'，1x >-. 令()0f x '=，可得0x =或313a x a+=-. ①若13a <-，则3103a a+-<. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '>，当313a x a+>-时，()0f x '. 所以()f x 在31,3a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ②若103a -<<，则3103a a+->. 当3113a x a +-<<-时，()0f x '，当313a x a+>-时，()0f x '<. 所以()f x 在311,3a a +⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，与0x =是()f x 的极大值点矛盾. ③若13a =-，则3103a a+-=. 当10x -<<时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<. 所以()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,+∞上单调递减. 此时0x =是()f x 的极大值点.综上所述，若0x =是()f x 的极大值点，则13a =-.。
2020届天一大联考海南省高三第三次模拟考试数学试题(解析版)
【解析】设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．函数 的图象的大致形状是（）
A． B．
C． D．
【解析】连接 ，利用线面平行的判定定理判断A；设 的中点为 ，连接 ， ，利用线面垂直的判定定理以及性质判断B；根据面面垂直的性质得出 为直角三角形，求出 的长度，利用余弦定理得出 与 所成角的余弦值，证明 不是直角，从而得出 不是等腰三角形，从而判断CD.
【详解】
如图，连接 ，易知 ，由线面平行的判定定理得 面 ， 正确.
【点睛】
本题考查回归分析的应用，属于中档题.
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
【答案】B
【解析】根据直线 的斜率以及勾股定理得出 ， ，由双曲线的定义得出 ，再由三角形面积公式得出 ，即可得出 的值.
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可得出答案.
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
【解析】由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题(2020年整理).pdf
为
.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
3
（一）必考题：共 60 分.
17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为 3, D 为边 AC 上一点且 AD = 2DC ，过 C 作 CE ⊥ BC 交 BD 的 延长线于点 E .
4
5
C
D
14
乙、丁
6
7
8
B
D
A
15
y2 = 2x 或 y2 = 6x
9 10 11 DC A
16
−1, +)
1．B 考查目标 本题考查集合的并集运算，考查运算能力.
思路点拨 对于集合 A ：配方得 ( x −1)2 + ( y + 2)2 = 0 ， x = 1， y = −2 ，从而 A = 1 .对于集合 B ：
f
( x1 ) − f ( x2 )
x2 − x1
0 ，a
=
f
1 4
，b
=
f
3 2
，c
=
f
t
+
1 t
，t
0 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D．b a c
6．已知 m ，n ，l 是不同的直线， ， 是不同的平面，直线 m ，直线 n ， = l ，m ⊥ l ，
( )( ) x −1 x + 2 0 ， x 0 ， x + 2 0 ， x −1 0 ，解得 x 1，B = (1, +) ，从而
天一大联考2019-2020学年海南高三第三次模拟考试(含答案)
天一大联考2019-2020学年海南省高三年级第三次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．本题考查不等式的解法和集合的运算．A= j 川－2<x<3f,B ＝问Ix 运－2或x�2f ,AnB= [2,3).1.【答案］【命题意图］【解析】2.【答案】【命题意图】cB本题考查复数的概念和基本运算．由l -2i=z (l ＋明z ＝�＝＼＼=m口）＝－÷去i ，所以l z l 计才f ＋（去f ＝于【解析】3.【答案］【命题意图］D 本题考查三角函数的图象与性质．令2x －旦＝何＋主（kEZ），得x＝缸＋旦，取k=l，得x＝�.2 3D本题考查函数的单调性和充分必要条件的判断若f(x ）单调递增，则k>O且k (O +2）运20刊，解得O<k�l，因为“k<l ”与“O<h三1”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立．5.【答案】【命题意图】【解析］4.【答案］【命题意图】【解析】 A本题考查等比数列的概念和性质．α( 1 -25)设第n天织布的尺数为吼，则j a n f 是公比为2的等比数列．所以α1＋向＋…＋α＝ 1 1 L. 5 1 -2 【解析】? 20 得α＝一，所以向＝α1×2:l ＝一．1 31’� 1 316.【答案】【命题意图】c本题考查函数的图象．数函故数函奇为z g 数函2一山e 一＋q h －ea 2一山z g mm川2一山M g 令【解析］J(x ）是偶函数，排除A,B；当0<x ＜τ时，s i n x >0,e x > 1，所以g(x)>OJ(x) >0，故选c .7.【答案】【命题意图】A本题考查回归分析的应用．设t =x 2，则t ＝上（1 + 4 + 9 + 16 + 25) = 11，户上（2+ 17 +36 +93 + 142) =58，α＝58 -6×11=-8,5【解析］所以y =6x 2 -8.x =4，得e 4=y 4 -y 4 =93 -6×42+8=5. 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系．一1一8.【答案】【命题意图】B3 IPF2I 3［解析］根据题意知IF1F2I＝纭，直线PF，的斜率为4，则tanLPF1F2＝面孟1=4，则有IPF2I =2c，则｜I 2 5PF, I= ,j I P F2 I 2 + I F J2 I二c则2a= I PF, I一IPF2I二c，则双曲线的离心率e二二2.又因为L.PF1F2的·y 2’。
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（2）估计样本中闪存芯片的使用寿命的平均数.（每组数据以中间值为代表）
（3）规定数据传输速度不低于 为优，使用寿命不低于10万次为优，且两项指标均为优的闪存芯片为 级产品，仅有一项为优的为 级产品，没有优的为 级产品.现已知样本中有45件 级产品，用样本中不同级别产品的频率代替每件产品为相应级别的概率，从这一批产品中任意抽取4件，求其中至少有2件 级产品的概率.
（1）请给出一个 的通项公式，使得 既是等差数列也是“ 数列”，并说明理由；
（2）根据你给出的通项公式，设 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的最小值.
18． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
19．手机等数码产品中的存储器核心部件是闪存芯片，闪存芯片有两个独立的性能指标：数据传输速度和使用寿命，数据传输速度的单位是 ，使用寿命指的是完全擦写的次数（单位：万次）.某闪存芯片制造厂为了解产品情况，从一批闪存芯片中随机抽取了100件作为样本进行性能测试，测试数据经过整理得到如下的频率分布直方图（每个分组区间均为左闭右开），其中 ， ， 成等差数列且 .
22．已知函数 ， .
（1）若 ，证明：当 时 ，当 时 ；
（2）若 是 的极大值点，求 的值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
化简集合，再求交集即可.
【详解】
， 或 ， .
故选：C
【点睛】
本题考查不等式的解法和集合的运算，属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
由复数的运算化简 ，再由模长公式即可得出答案.
2020届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试
数学试题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 ，则 （）
A． B． C． D．
3．函数 的图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
4．已知函数， ，则“ ”是“ 单调递增”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
15．已知圆 的圆心是抛物线 的焦点 ，过点 的直线交该抛物线的准线于点 ，与该抛物线的一个交点为 ，且 ，则 __________.
16．三棱锥 中， ，且平面 平面 ，则 __________；若球 与该三棱锥除 以外的5条棱均相切，则球 的半径为__________.
17．对于由正整数构成的数列 ，若对任意 ， “且 ， 也是 中的项，则称 为 数列”.设数列 |满足 ， ..
【详解】
由 ，得 ，所以 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查复数的模以及基本运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】
令 ，得 ，取 ，得 .
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
由分段函数的单调性结合充分条件，必要条件的定义，即可ห้องสมุดไป่ตู้出答案.
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：“有一女子很会织布，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织布5尺.问：每天分别织多少布？”则上述问题中，该女子第3天织布的尺数为（）
A． B． C． D．
6．函数 的图象的大致形状是（）
A． B．
C． D．
7．2020年初，新型冠状病毒（ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
周数（x）
1
2
3
4
5
治愈人数（y）
2
17
36
93
142
由表格可得 关于 的二次回归方程为 ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）
A．5B．4C．1D．0
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为6，则 （）
A． B．1C． D．
9．设 ， ， 为实数且 ，则下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
10．已知向量 ， ， ，则下列结论正确的有（）
A． B．若 ∥ ，则
【详解】
若 单调递增，则 且 ，解得
因为“ ”与“ ”没有包含的关系，所以充分性和必要性都不成立.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了判断既不充分也不必要条件，属于中档题.
5．A
【解析】
【分析】
设第 天织布的尺数为 ，根据等比数列的定义判断 为等比数列，再由求和公式求解即可.
【详解】
设第 天织布的尺数为 ，则 是公比为2的等比数列，所以 ，解得 ，所以 .
7．A
【解析】
【分析】
设 ，求出 ， 的值，由最小二乘法得出回归方程，代入 ，即可得出答案.
故选：A
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念以及性质，属于中档题.
6．A
【解析】
【分析】
根据已知中函数的解析式，可得函数f（x）为偶函数，可排除C,D，由 得到答案．
【详解】
故 则 是偶函数，排除C、D，又当
故选：A.
【点睛】
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题．
A． 为奇函数B．
C． ， D． ，
13．某地 ， ， 三所学校分别有教师72，144，216人.当地教育部门组织教研活动，计划用分层抽样的方法从这三所学校的教师中抽取若干人组成领导小组，若从学校 抽取8名教师，则学校 和 共抽取的教师人数为__________.
14． 的展开式中常数项的系数为_____________．
20．如图，已知三棱柱 中，平面 平面 ， ， .
（1）证明： ；
（2）设 ， ，求二面角 的余弦值.
21．已知椭圆 的离心率 ，直线 与 相交于 ， 两点，当 时，
（1）求椭圆 的标准方程.
（2）在椭圆 上是否存在点 ，使得当 时， 的平分线总是平行于 轴？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
C． 的最大值为2D． 的最大值为3
11．如图，四棱锥 中，平面 底面 ， 是等边三角形，底面 是菱形，且 ， 为棱 的中点， 为菱形 的中心，下列结论正确的有（）
A．直线 与平面 平行B．直线 与直线 垂直
C．线段 与线段 长度相等D． 与 所成角的余弦值为
12．已知函数 ，其中 ， ，则下列选项中的条件使得 仅有一个零点的有（）