新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习
（ 3） 有特定结构的数，如 0.1010010001 …等； （ 4） 某些三角函数，如 sin60 o 等（这类在初三会出现）
4、开方规律小结
（ 1）若 a≥ 0，则 a 的平方根是
a ，a 的算术平方根 a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其
中正的那个叫它的算术平方根； 0 的平方根和算术平方根都是 0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根 是正数，负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0。
（ 2） a(a ≥0) 的平方根的符号表达为
。
（ 3） 一个数 a 的立方根，用 4、运算公式
表示，其中 a 是被开方数， 3 是根指数。
，那么
2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（ 1） 开方开不尽的数，如 7 ,3 2 等；
（ 2） 有特定意义的数，如圆周率
π，或化简后含有 π的数，如 π +8 等；
，那么 x 叫做
2、绝对值
（ 1） 要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，
那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。
|a| ≥0。
（ 2） 若 |a|=a ，则 a≥0；若 |a|=-a ，则 a≤0，零的绝对值是它本身。
1
。 欢迎下载
相反数是零）
（ 2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果
a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，
a=-b ，反之亦成立。
（ 1） 如果一个正数 x 的平方等于 a，即
，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方跟） 。如果
（ 2） 若 a<0，则 a 没有平方根和算术平方根；若 a 为任意实数，则 a 的立方根是 。
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如
0 , 16 是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（ 1） 有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（ 2） 所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为
|a| ≥ 0；
（ 2） 任何一个实数 a 的平方是非负数，即
≥ 0；
（ 3） 任何非负数的算术平方根是非负数，即
(
)。
3、非负数具有以下性质 （ 1） 非负数有最小值零； （ 2） 非负数之和仍是非负数； （ 3） 几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.
考点五、实数大小的比较 实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同： （ 1） 正数大于 0， 0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； （ 2） 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （ 3） 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。 （ 4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理 数的大致范围，要想正确估算需记熟 0～ 20 之间整数的平方和 0～ 10 之间整数的立方．
知识点 2：平方根
1. 49 的平方根是
，算术平方根是
，并求出下列各式的平方根
9
⑴1
16
⑵ | －5|
⑶ 0.81
⑷（－ 9） 2
平方根的定义： 平方根的表示方法 平方根的性质：
知识网络：
第六章 实数
考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类
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a 的平方根。
（ 3） 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或 a 的三次方根） 。如果
x 叫做 a 的立方根。 2、运算名称 （ 1） 求一个正数 a 的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （ 2） 求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （ 1） 正数 a 的算术平方根，记作“ a ”。
考点六、实数的运算 （ 1） 在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算 （ 2） 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 （ 3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同 级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。 （ 4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应 的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
1 的分数），而无理数则不能写成分数
形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
（ 3） 正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。
1、相反数
（ 1） 实数 a 的相反数是 -a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的
二、典例剖析，综合拓展 知识点 1：算术平方根
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1
1.
的算术平方根为（
169
算术平方根的定义：
1
1
1
） （A）
（ B）－
（ C）±
13
13
13
（D）（ 1 ） 2 169
1
2.
的算术平方根可表示为
169
算术平方根的表示方法：
，即 = （用含 a 的式子表示）
3. － 1 有算术平方根吗？ 8 的算术平方根是－ 2 吗？ 169
（ 3）
a(a 0) a(a 0)
3、倒数 （ 1） 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。实数 （ 2） 倒数等于本身的数是 1 和 -1 。零没有倒数。
a 的倒数是 1/a （ a≠0）
考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （ 1） 任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即
算术平方根具有
性，即⑴被开方数 a 0 ，⑵ a 本身 0 ，必须同时成立
4、已知 5
跟踪练习：
11 的小数部分为 m ， 5
11的小数部分为 n ，则 m n
① 式子 x 3 有意义， x 的取值范围
② 已知： y= x 5 + 5 x +3, 求 xy 的值
③ 3 a b 4 0 ，求 a+b 的值
初一数学下册(人教版)第六章6.3 知识点总结含同步练习及答案
第六章 实数 6.3 实数
一、学习任务 1. 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点是一一对应的关系． 2. 了解实数范围内相反数和绝对值的意义，能求实数的相反数和绝对值． 3. 能够灵活运用实数的运算律和运算性质． 描述： 无限不循环小数统称为无理数（irrational number）．
例题： 把下列各数分别填在相应的集合内．
11 3 − ， π ，0.2 ˙˙ ，√2 ，−√4 ，0 ，−√−− 0.4 3 ，3.14 ． 12 4 有理数集合：{ ，⋯} ；无理数集合：{ 11 解：有理数集合：{− ， − √4 ，0，0.˙ 2˙ 3 ，3.14 ， ⋯}； 12 π − ， ， ⋯}． 3 无理数集合：{√ 2 ， − √−− 0.4 4 11 是分数，所以是有理数． − 12 −
A．5
答案： D
)
D．8
B．6
C．7
4. 关于“ 0 ”的说法正确的是 ( ①是整数，也是有理数； ②不是正数，也不是负数； ③不是整数，是有理数； ④是整数，不是自然数． A．①④
答案： C
)
B．②③
C．①②
D．①③
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)
A．5 和 √(−5)2
答案： B
− − − − −
− − − − 3 − C．−5 和 √ −125
B．− |−5| 和 − (−5) D．−5 和
1 5
2. −1 的绝对值是 ( A．1
答案： A
)
B．0 C．−1 D．±1
− 3. 设 n 为正整数，且 n < √− 65 < n + 1，则 n 的值为 (
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数． 0 的相反数是 0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 .(3) 互为相反数的两个数之和等于0.a、 b 互为相反数a+b=0.2.绝对值|a| ≥0．3.倒数（ 1） 0 没有倒数 (2) 乘积是 1 的两个数互为倒数． a、 b 互为倒数 .▲▲ 平方根【知识要点】1.算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“a”。
2.如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“± a”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。
4.平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（ 1）被开方数必须都为非负数；（ 2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（ 3）0 的算术平方根与平方根同为 0。
5.如果 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作“3 a”（ a 称为被开方数）。
6.正数有一个正的立方根； 0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。
7.求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8.立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为0.9.一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小） n 倍，例如25 5, 2500 50.10.平方表：（自行完成）222221 = 6 =11 =16 =21 =22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0 和 1；立方根是其本身的数是0 和±1。
七年级下册数学第六章 实数知识点
第六章实数一、知识定义：1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2. 如果ax=2，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数（即和为0）；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（3）0的算术平方根与平方根同为0。
3，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。
5. 如果ax=6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如5025==.,5250010.平方表与立方根：（自行完成）1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
20a≥0。
3、公式：⑴（a≥0a取任何数）。
4、区分（a≥0），与2a=a5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
6、判断无理数的三种形式：（1）开方开不尽的数（2）无限不循环小数，（3）含有 的数如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！31949 7CCD 糍40432 9DF0 鷰38731 974B 靋r25420 634C 捌30332 767C 發38284 958C 閌36052 8CD4 賔36860 8FFC 迼21933 55AD 喭2221848 5558 啘39986 9C32 鰲。
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
实数知识要点：
1. 整数与有理数的关系：整数包含了有理数的全部内容，即整数是有理数的一种特殊形式。
2. 无理数：不能表示为两个整数的比的数，无理数是一类不是有理数的实数。
3. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两种。
4. 实数的四则运算法则：实数的加减、乘除运算满足相应的运算法则。
5. 整式的运算：根据四则运算法则，对整式进行加减乘除运算。
6. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，有以下三种情况：
a>b，a=b，a<b。
7. 绝对值的定义：实数a的绝对值表示为|a|，定义为a的值和
0的距离，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a<0）。
经典题型：
例1：计算下列各式的值：a) -3+5; b) 4-(-7); c) -2×3.
解答：
a) -3+5 = 5-3 = 2
b) 4-(-7) = 4+7 = 11
c) -2×3 = -6
例2：比较大小：a) -5和-3；b) -3和4-7.
解答：
a) -5<-3
b) -3<4-7，即-3<-3，两个数比较大小结果相同。
例3：计算下列各式的绝对值：a) |5|; b) |-7|; c) |-3+4|.
解答：
a) |5| = 5
b) |-7| = 7
c) |-3+4| = |1| = 1。
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总【知识点一】实数的分类 1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.▲▲平方根【知识要点】1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8.立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如502500,525==.10.平方表：（自行完成）____________________________________________________________________________________________________题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
人教版七年级数学下册 第六章 实数知识点汇总和相关练习(无答案)
七年级数学实数知识点汇总必背知识： 12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=361；202=40013=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000；414.12≈；732.13≈；236.25≈；646.27≈知识点一：算术平方根1.填空：(1)因为 2=64，所以64的算术平方根是 ，即64＝ ；(2)因为 2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即0.25＝ ；2、填空并记住下列各式：121＝ ，144＝ ，169＝ ，196＝ ，225＝ ，256＝ ，289＝ ，324＝ ，361＝ .316 ） A 、16的平方根B 、4的平方根C 、16的算术平方根 D 、 4的算术平方根 4. 16的算术平方根是 ；16的算术平方根是 ； 5. 算术平方根等于自身的是6、一个数的算术平方根为a ，比这个数大2的数是（ ）A.a +2 B.a －2 C.a +2 D.a 2+27、若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤8、2x =3, 则x= 。
9、若,a b 为实数，且221147a ab a --=++，则a b +的值为_____________ . 10、设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 11、若52-a 与2-b 互为相反数，求ab 的值. 12、已知：822+-+-=x x y ，求xy 的平方根.13、已知51｜3a-b-7|+32-+b a =0求(b+a)a的平方根。
人教版七年级数学下册实数
15．若 、 都是无理数，且 ，则 、 的值可以是（填上一组满足条件的值）．
16．若实数 、 满足方程 ，则 与 的关系是．
17． 64的立方根与 的平方根之和是．
18．若 与 互为相反数，则 ．
19．一长方体的体积为162 ，它的长、宽、高的比为3：1：2，则它的表面积为 ．
（1）过点P画PC∥OB交OA于点C，画PD∥OA交OB于点D；
（2）写出两个图中与∠O互补的角；
（3）写出两个图中与∠O相等的角．
4、完成下面推理过程：
如图，已知∠1 ＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下：
∵∠1 ＝∠2（已知），
且∠1 ＝∠CGD（），
∴∠2 ＝∠CGD（等量代换）．
∴CE∥BF（）．
七年级下册第六章实数单元知识总结
【知识要点】
平方表：
12=1
22=4
32=9
42=16
52=25
62=36
72=49
82=64
92=81
102=100
112=121
122=144
132=169
142=196
152=225
162=256
172=289
182=324
192=361
202=400
立方表：
13=1
4、求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。（注：开平方时右边必须带上“ “号）
5.平方根、算术平方根和立方根的区别与联系：
区别：只有正数和0才有有平方根和算术平方根：正数的平方根有两个它们互为相反数，而它的算术平方根只有一个。一个数只有唯一一个立方根，并且符号与这个数一致；，
人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a a a 0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a3a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ；【解析】A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B ．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C ．负数有立方根，故错误；D ．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1-+---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三： 【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④ 【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小． 【答案与解析】解：作商，得5250.5=51>，即5210.5>50.5>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ， ∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－ 【答案与解析】 解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3； 【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总
人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版七年级数学下册第六章实数知识点汇总【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数. 【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .▲▲平方根【知识要点】1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“a”（a称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
27. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如502500,525==.10.平方表：（自行完成）题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
人教版七年级数学下册第6章 实数 知识点归纳及强化练习
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数实数知识点归纳及强化练习一,知识点归纳1.实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类： ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．实数的运算（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，其中常用的运算定律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律。
（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。
运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。
3、实数的大小比较常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。
（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。
（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。
（3）设a ，b 是任意两实数，若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b 。
二、数轴（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数。
三、相反数、倒数、绝对值1、只有符号不同的两个实数，其中一个叫做另一个的相反数。
零的相反数是零。
若实数a 、b 互为相反数，则a+b=0。
2、1除以一个非零实数的商叫这个实数的倒数。