高中数学同步导学---(206)圆与方程
高中数学圆与方程的教案
高中数学圆与方程的教案
教学内容：圆的方程
教学目标：
1. 理解圆的标准方程和一般方程的含义；
2. 掌握如何通过圆的特征点和半径来确定圆的方程；
3. 能够解决与圆的方程相关的实际问题。
教学重点：
1. 圆的标准方程和一般方程的区别；
2. 利用圆的特征点和半径确定圆的方程；
3. 圆的方程在平面几何中的应用。
教学难点：
1. 基于圆的特征点和半径确定圆的一般方程；
2. 能够运用圆的方程解决现实问题。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 圆的示意图和例题；
3. 教学习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过观察圆的定义和特征，引出圆的标准方程和一般方程的概念。
二、讲解圆的标准方程和一般方程（15分钟）
1. 讲解圆的标准方程和一般方程的定义和区别。
2. 通过示意图和例题介绍如何确定圆的方程。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生通过练习题加深对圆的方程的理解和掌握。
2. 分组讨论并解答学生提出的问题。
四、实际问题解决（10分钟）
讲解如何运用圆的方程解决实际问题，并进行相关例题的讲解。
五、课堂小结（5分钟）
回顾本节课的重点内容，并强调学生今后应该注意的问题。
教学反思：
本节课主要围绕圆的方程展开教学，通过讲解、练习和实际问题解决等环节，深化学生对
圆的方程的理解和应用能力。
在教学过程中要注意引导学生掌握基本思路，提高解题效率。
同时，要注意激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极思考并提出问题。
高中数学必修2--圆与方程知识点归纳总结
圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔（3）涉及最值：1圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值min PB BN BC r ==-max PB BM BC r==+2圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值min PA AN r AC==-max PA AM r AC==+思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(1)当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D .(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形.注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.4.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++=1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ；2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-=1条公切线外离421⇔⇔+>r r d ；2条公切线外切321⇔⇔+=r r d ；3条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ；4条公切线内切121⇔⇔-=r r d ；5无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：1若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；2若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）补充：1上述圆系不包括2C ；22）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）3过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个几何法：设圆心到直线的距离为d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <rd ＝rd >r判定方法代数法：由Error!消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．解 圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋y 2＝4，故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝，圆的半径为r ＝2.6m 2＋1①若相交，则d ＜r ，即＜2，所以m ＜－2或m ＞2；6m 2＋122②若相切，则d ＝r ，即＝2，所以m ＝±2；6m 2＋12③若相离，则d ＞r ，即＞2，所以－2＜m ＜2.6m 2＋122反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x 2＋y 2＝2内，则直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2一定相交．又直线y ＝kx ＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.类型二 切线问题命题角度1 求切线方程例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)，即kx －y －4k －3＝0.设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，即|k ＋4|＝，|3k －1－3－4k |k 2＋1k 2＋1所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－.158所以切线方程为－x －y ＋－3＝0，158152即15x ＋8y －36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长．解 因为圆心C 的坐标为(3,1)，设切点为B ，则△ABC 为直角三角形，|AC |＝＝，(3－4)2＋(1＋3)217又|BC |＝r ＝1，则|AB |＝＝＝4，|AC |2－|BC |2(17)2－12所以切线长为4.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率1k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0.(2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．答案 x ＋2y －5＝0解析 点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x 2＋y 2＝5，所以该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5，即x ＋2y －5＝0.命题角度2 已知直线与圆相切，求圆的方程例3 过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为_______．答案 (x －3)2＋y 2＝2解析 由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得Error!所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝＝，(4－3)2＋(1－0)22所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.反思与感悟 此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程.跟踪训练3 已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 设圆心为C (a ，－a )，则＝，解得a ＝1，|a ＋a |2|a ＋a －4|2所以r ＝＝，|1＋1|22圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.类型三 弦长问题例4 (1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．(2)圆心为C (2，－1)，截直线y ＝x －1的弦长为2的圆的方程为_________________．2答案 (1) (2)(x －2)2＋(y ＋1)2＝430解析 (1)方法一 (交点法)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.由Error!解得A (，)，B (，)．1＋1521－1521－1521＋152∴|AB |＝＝.(1－152－1＋152)2＋(1＋152－1－152)230方法二 (弦长公式)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0.由Error!消去y ，得2x 2－2x －7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－.72∴|AB |＝·＝·＝.1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 21＋112＋4·7230方法三 (几何法)由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0，圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝＝，|－1|222则有|AB |＝2＝2＝.r 2－d 28－1230(2)设圆的半径为r ，由条件，得圆心到直线y ＝x －1的距离为d ＝＝.|2＋1－1|22又直线y ＝x －1被圆截得的弦长为2，2即半弦长为，∴r 2＝2＋2＝4，得r ＝2，2∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.(3)直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交于A 、B 两点，截得的弦长为4，求直5线l 的方程．解 方法一 若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意，∴直线l 的斜率存在，设其方程为y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝|AB |＝·4＝2.121255∴|OH |＝＝，|OA |2－|AH |25∴＝，|5(1－k )|k 2＋15解得k ＝或k ＝2.12∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.方法二 若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意，∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)，且与圆相交于A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)两点．由Error!消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0，∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0，解得k >0.又∵x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，10k (1－k )k 2＋125k (k －2)k 2＋1由斜率公式， 得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝＝＝4，(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)[100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1]5两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0，解得k ＝或k ＝2，均符合题意．12故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式 |AB |＝求解．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝＝|x 1－x 2|＝|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)21＋k 21＋1k 2(3)几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有()2＋d 2＝r 2，即|AB |＝2.|AB |2r 2－d 2通常采用几何法较为简便．跟踪训练4 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8.(1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长．(1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0，直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)，∴直线l 经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C 内，∴直线l 与圆相交．(2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)，又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ，则与OP 垂直的直线截得的弦长最短．∵k OP ＝－2，∴k l ＝，12∴直线l ：y －2＝(x ＋1)，12即x －2y ＋5＝0.设直线l 与圆交于A 、B 两点，|AB |＝2＝2＝2.r 2－|OP |28－53∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2.31．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离答案 B解析 圆心到直线的距离为d ＝＝<1，11＋122又直线y ＝x ＋1不过圆心(0,0)，故选B.2．直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12 B ．2或－12C ．－2或－12 D ．2或12答案 D解析 圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为＝1，|7－b |5得b ＝2或12，故选D.3．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为( )A. B ．4－322322C.＋4 D ．0322答案 C解析 圆心(0,0)到直线x －y ＝3的距离为＝，则该圆到直线x －y ＝3的距离|－3|12＋(－1)2322的最大值为＋4.3224．圆x 2＋y 2＝4截直线x ＋y －2＝0所得的弦长为( )33A ．2 B ．1 C. D ．233答案 A解析 圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离为＝，则弦长为33|－23|(3)2＋1232＝2.22－(3)25．直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，且|MN |≥2，则k 的取值范3围是________．答案 (－∞，0]解析 因为|MN |≥2，所以圆心(1,2)到直线y ＝kx ＋3的距离不大于＝1，即322－(3)2≤1，解得k ≤0.|k ＋1|k 2＋11．直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单．2．过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在．3．与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法．课时作业一、选择题1．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，则直线x 0x ＋y 0y ＝R 2与圆的位置关系是( )A ．相切 B ．相交C ．相离 D ．不确定答案 B解析 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝R 2外，所以x ＋y ＞R 2，圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝R 2的2020距离为＜＝R ，所以直线与圆相交，故选B.|R 2|x 20＋y 20R 2R 2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ，则d ≤r ＝⇔≤⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1.2|a ＋1|223．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9答案 C解析 由圆心为(2，－1)可排除B ，D.由(2，－1)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为d ＝3知，r ＝3.∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0 B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0 D ．x ＋y －3＝0答案 A解析 由圆的一般方程，可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知，M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1.故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 B ．1022C ．15 D ．2022答案 B解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC |＝2，10最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF |＝，∴|BD |＝2＝2，510－(5)25∴S 四边形ABCD ＝|AC |·|BD |＝10.1226．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－或－B ．－或－53353223C ．－或－D ．－或－54454334答案 D 解析 由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝＝1，|－3k －2－2k －3|k 2＋1解得k ＝－或k ＝－，故选D.43347．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为的点有( )2A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C解析 圆的一般方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l 的距离为＝＝.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与2|－1－2＋1|12＋12222l 同侧且与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为.2二、填空题8．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案 4±15解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为.因为△ABC 为等边三角形，所以|a ＋a －2|a 2＋1|AB |＝|BC |＝2，所以()2＋12＝22，解得a ＝4±.|a ＋a －2|a 2＋1159．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为2，则圆C 的标准方程为____________．2答案 (x －3)2＋y 2＝4解析 设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)．由于圆过点(1,0)，则半径为r ＝|x 0－1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝.|x 0－1|2由弦长为2可知，2＝(x 0－1)2－2，2(|x 0－1|2)解得(x 0－1)2＝4，∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．故圆心坐标为(3,0)，半径为2，∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.10．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．答案 7解析 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.|3－0＋1|22d 2－r 28－17三、解答题11．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为2，7求圆C 的方程．解 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |.∵圆心到直线y ＝x 的距离为＝|m |，|2m |22由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.12．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点O .解 假设存在且设l 为y ＝x ＋m ，圆C 化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)．解方程组Error!得AB 的中点N 的坐标为N (－，)．m ＋12m －12由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |.又|AN |＝＝，|CA |2－|CN |29－(m ＋3)22|ON |＝.(－m ＋12)2＋(m －12)2所以9－＝2＋2，(3＋m )22(－m ＋12)(m －12)解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆C 是相交于两点的．13．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)设l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝，求直线l 的倾斜角．17(1)证明 由已知得直线l ：y －1＝m (x －1)，所以直线l 恒过定点P (1,1)，因为12＝1<5，所以点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组Error!消去y 得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则x 1，x 2是一元二次方程的两个实根，x 1＋x 2＝，2m 2m 2＋1x 1x 2＝.m 2－5m 2＋1因为|AB |＝|x 1－x 2|＝·，1＋m 21＋m 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2即＝·，171＋m 216m 2＋201＋m 2所以m 2＝3，m ＝±，3所以直线l 的倾斜角为60°或120°.四、探究与拓展14．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．答案 32解析 由题意可知过点A (11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．15．已知圆C 过点M (0，－2)，N (3,1)，且圆心C 在直线x ＋2y ＋1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)问是否存在满足以下两个条件的直线l ：①直线l 的斜率为1；②直线l 被圆C 所截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆C 1过原点．若存在这样的直线l ，请求出其方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则Error!解得D ＝－6，E ＝4，F ＝4，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0.(2)假设存在这样的直线l ，其方程为y ＝x ＋b .设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则联立Error!消去y得2x2＋2(b－1)x＋b2＋4b＋4＝0，(*)∴Error!∴y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.∵AB为直径，圆C1过原点，∴∠AOB＝90°，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，212122∴x＋y＋x＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，即b2＋4b＋4＋b(1－b)＋b2＝0，解得b＝－1或b＝－4.容易验证b＝－1或b＝－4时方程(*)有实根．故存在这样的直线l，其方程是x－y－1＝0或x－y－4＝0.。
圆与方程课件
从而 1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk
或 1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3 或(a－b＋8)k＝a＋b－5.
因为 k 的取值范围有无穷多个， 所以a＋b－2＝0或a－b＋8＝0，
b－a＋3＝0 a＋b－5＝0，
解得ab＝ ＝52－21或ab＝ ＝－ 1232.3，
圆的切线方程问题
求圆的切线的问题经常出现，主要有以下三类． 1．求过圆上一点的圆的切线方程 已知圆x2＋y2＝r2，M(x0，y0)是圆上一点，则过点M的圆的 切线方程为xx0＋yy0＝r2. 一 般 地 ， 若 圆 的 方 程 为 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2, 则 过 切 点 M(x0,y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
所以 A′－1333，143.
(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)， 则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上． 设 M′(a，b)，则
2×a＋2 2－3×b＋2 0＋1＝0， ba－－02×23＝－1.
解得 M′163，1330.
设直线 m 与直线 l 的交点为 N，
●
过点P(－2，0)向圆x2＋y2＝1引切线,求切线的方程．
[解] 设所求切线的斜率为 k，则切线方程为
y＝k(x＋2)．
由题意联立方程组得yx＝2＋ky（2＝x＋1，2），即(k2＋1)x2＋4k2x＋4k2
－1＝0.
由题意知上述一元二次方程有两相等实根，
所以 Δ＝16k4－4(k2＋1)(4k2－1)＝－12k2＋4＝0，即 k＝± 33，
所以 d＝ 22－（ 3）2＝1. 由点到直线的距离公式得 d＝|1－k′（1＋－k3′－2 4）|，
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22. 3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程1 、以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x(D)9)1()2(22=-++y x解：已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).2、方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是（ ）A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1D .1<t <2 ：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C3、已知两点P 1（4，9）、P 2（6，3），求以P 1P 2为直径的圆的方程.【思考与分析】 根据已知条件，我们需要求出圆的圆心位置，又由点P 1P 2的坐标已知，且P 1P 2为所求圆的直径，所以圆的半径很容易求出，这是常规的解法，如下面解法1所示，另外还有一些其它的解法，我们大家一起来欣赏：解法1：设圆心为C （a ，b ）、半径为r. 由中点坐标公式，得 a ＝＝5，b ＝＝6.∴ C （5，6），再由两点间距离公式，得∴ 所求的圆的方程为（x －5）2＋（y －6）2＝10.解法2：设P （x ，y ）是圆上任意一点，且圆的直径的两端点为P 1（4，9）、P 2（6，3）， ∴ 圆的方程为（x －4）（x －6）＋（y －9）（y －3）＝0， 化简得 （x －5）2＋（y －6）2＝10，即为所求.4、求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程，并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.A 、B 两点，所以圆心在线段ABk AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －yy =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.5、已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．的解，即圆心坐标为（－1，0）.设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．二、位置关系问题（点、直线、圆与圆的位置关系）1、点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是（ D ）A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 2、直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A )(A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解 化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.3、 直线2x －y ＋1＝0与圆O ∶x 2+y 2+2x-6y-26=0的位置关系是（ ）.A ． 相切B ． 相交且过圆心C ． 相离D ． 相交不过圆心 【解析】 要想确定一条直线与圆的位置关系，我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为：圆O ∶（x+1）2+（y-3）2=36.圆心为（－1，3），半径为r ＝6，圆心到直线的距离为d ＝从而知0＜d ＜r ，所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D4、已知圆C 与圆0222=-+x y x 相外切，并且与直线03=+y x 相切于点)3,3(-Q ，求圆C 的方程设圆C 的圆心为),(b a ，则6234004231)1(33322==⇒⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=-+r r b a b a b a b a a b 或或 所以圆C 的方程为36)34(4)4(2222=++=+-y x y x 或三、切线问题1、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31= (B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-=(D)x y 3=或x y 31=解 化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A). 点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.2、求由下列条件所决定圆422=+y x 的圆的切线方程：(1)经过点)1,3(P ，(2)经过点)0,3(Q ，(3)斜率为1-解：(1) 41)3(22=+ ∴点)1,3(P 在圆上，故所求切线方程为43=+y x 。
高中数学-圆与方程
高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。
高三数学复习课件：圆与方程(共12张PPT)
作业：
学业水平考试试题选编（8）
一个交点 无交点
相切 相离
直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
通法
小结：
本节课你学到了什么？
圆心坐标（- , - ）, 半径 r=
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r
代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
圆与方程
复习课
默写：
1、圆的标准方程，并写出圆心坐标和半径 2、圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径 3、点与圆的位置关系性质 4、直线与圆 的位置关系及性质
学习目标：
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特征和应用 2、掌握直线与圆的位置关系和性质，并能应用性质解决 相关问题 3、掌握空间坐标和空间中两点间距离公式
2.直线与圆的位置关系
1、直线和圆相离
•C2
2、直线和圆相切
•C2
3、直线和圆相交
•C2
判定方法
d r 0
d r 0
d r
几何法
0
代数法
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.1.2
4.1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般方程.知识点一 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，22.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.思考 若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？ 答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：题型一 圆的一般方程的定义例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， 故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆.此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|.反思与感悟 对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.题型二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 已知一个圆过P (4,2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根， ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.①将P ，Q 两点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10.③解①②③联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10625，E ＝－565，F ＝48425.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10625x －565y ＋48425＝0.题型三 求动点的轨迹方程例3 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法二 同方法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法三 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1,0). 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1). 反思与感悟 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 求到点O (0,0)的距离是到点A (3,0)的距离的12的点的轨迹方程.解 设M (x ，y )到O (0,0)的距离是到A (3,0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0.即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.代入法求圆的方程例4 已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程.分析 由于点M 依赖于动点C ，且动点C 在圆上，故只要找到点M 与点C 的坐标关系，再利用点C 的坐标满足圆的方程，即可求得点M 的轨迹方程. 解 设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .① 因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， 所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)， 即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1).解后反思 对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5 已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，点P (x ，y )在圆上运动，求2x 2＋y 2的最值.分析 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0，求得x 的范围.而点P (x ，y )在圆上，则可将2x 2＋y 2转化为关于x 的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0. 所以0≤x ≤2.又因为2x 2＋y 2＝2x 2－x 2＋2x ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以0≤2x 2＋y 2≤8.所以当x ＝0，y ＝0时，2x 2＋y 2有最小值0， 当x ＝2，y ＝0时，2x 2＋y 2有最大值8. 故2x 2＋y 2有最小值0，最大值8.1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12 B.k ＝12 C.k ≥12 D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －y －3＝0 C.2x －y －6＝0 D.2x ＋y －6＝0答案 B解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D.2 答案 D解析 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|12＋12＝ 2.5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.一、选择题1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4 C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16答案 C解析 由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4. 2.圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 B.(x ＋4)2＋(y －1)2＝5 C.(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 C解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)，设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2. 5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.6.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B.x 2＋y 2＝4 C.x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D.x 2＋y 2＝2 答案 A解析 设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2).当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形， 因此不成立.同理当x ＝－2时也不成立. 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 二、填空题8.已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________.答案 m ＜－13解析 因为A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13. 又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134. 综上，m ＜－13.9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9解析 设圆心为M (x ，y ).由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________. 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.11.光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于______. 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 三、解答题12.已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上， 故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方， 得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
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4.1 圆的方程【基础知识填空】：1.圆的标准方程：圆心为C （a,b ）,半径为r 的圆的标准方程是__________________________.2.圆的一般方程：__________________________,其圆心坐标为_________,半径为_____________. 【基础训练】： 1. 点A （2，3）与圆x 2+(y-1)2=7的位置关系是（ ）A.在圆内B.在圆上C. 在圆外D.不确定2. 若方程x 2+y 2+2a x+2a 2-2a -3=0表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.a <-1或a >3B.-3<a <1C.-1<a <3D. a <-3或a >13. 圆x 2+y 2-6x+8y+24=0关于直线y=0对称的圆的方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=1B.(x+3)2+(y+4)2=1 C.(x+4)2+(y-3)2=1 D.(x-3)2+(y-4)2=14、（2015北京文）圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ）A ．()()22111x y -+-=B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-=5.(2014福建文)已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( ).20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=6.(2013重庆文) 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的 最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．27.(2012辽宁文) 将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是（ ）（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=08．(2009重庆文)圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A.22(2)1x y +-= B.22(2)1x y ++= C.22(1)(3)1x y -+-= D.22(3)1x y +-=9．(2009上海春招)过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )（A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .10．（2005重庆文、理）圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）A.5)2(22=+-y x B.5)2(22=-+y x C.5)2()2(22=+++y x D.5)2(22=++y x11.(2004全国卷Ⅱ文、理)已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( )（A ）(x ＋1)2＋y 2＝1 （B ）x 2＋y 2＝1 （C ）x 2＋(y ＋1)2＝1 （D ）x 2＋(y －1)2＝112.(2004天津理)若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A.03=--y xB.032=-+y xC.01=-+y xD.052=--y x13．（2001江西、山西、天津、全国文、理）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0 上的圆的方程是（ ） （A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x14.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知三点(1,0),A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）5A.3 4D.315．(2015全国新课标Ⅱ卷理)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．1016.(2014陕西理)若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为___________________.17.(2011辽宁文)已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为_________．18．(2008重庆文)已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0的对称点都在圆C 上，则a = .19.(2008重庆理)直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1）， 则直线l 的方程为 .20．（2005湖南文）设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 .21.已知点A （-4，-5），点B （6，-1），则以线段AB 为直径的圆的方程是______________________.22. 经过三点(-1,5),(5,5)(6,-2)的圆的方程为__________________________.23. 经过点M(1,-1)且与圆C: x 2+y 2-4x+6y-3=0有相同圆心的圆的方程是____________________.24.经过直线x+3y+7=0与3x-2y-12=0的交点，且圆心为点（-1，1）的圆的标准方程为______________。
4.2 直线、圆的位置关系【基础知识填空】：1.利用心线距判定直线与圆的位置关系:设圆C:222r )b y ()a x (=-+-的圆心C （a,b ）到直线 ｌ:Ax+By+C=0的距离为d. 则当_________时，直线与圆相离；当________时，直线与圆相切； 当_______________时，直线与圆相交。
2．若圆C 的半径为R ，AB 是长度为L 的弦，弦心距为d ，则________________________.3.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。
推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。
4.圆与圆的位置关系：设圆C 1：212121r )y y ()x x (=-+-和圆C 2：222222r )y y ()x x (=-+-的 圆心距为d=|C 1C 2|.则当___________时，两圆相离；当___________时，两圆外切；当___________时， 两圆相交；当___________时，两圆内切；当___________时，两圆内含。
【基础训练】：1．（2015安徽文）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或122．（2015广东理）平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x3. (2014浙江文)已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）A.2-B.4-C.6-D.8-4. (2014全国新课标Ⅱ文)设点0(,1)M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45°，则0x 的取值范围是（ ）（理科为填空题）A ．[]1,1-B ．[]11,22-C ．[]2,2D ．[2222-5.(2014湖南文)若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）.21A .19B C. 9 .11D -6.(2013安徽文)直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）467.(2013广东文) 垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是( )A ．20x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．20x y ++=8.(2013山东理)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，则直线AB 的方程为( )（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=09.(2006湖南文)圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是( )A ．36 B.18 C.26 D.2510.(2013陕西文)已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( )(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定11．(2012山东文)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） (A) 内切 (B) 相交 (C) 外切 (D)相离12.(2012安徽文)若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） ()A [3,1]-- ()B [1,3]- （C ） [3,1]- ()D (,3][1,)-∞-+∞13 (2012重庆理)对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆422=+y x 的位置关系一定是（ ）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心14．(2011重庆理)在圆06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别 是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．25B ．210C ．．22015．（2004湖北文）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条16．(2015重庆理)已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ）A 、2B 、C 、6D 、17.(2015重庆文)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为_______.18.(2015湖南文) 若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y rr +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r=_________.19. (2014重庆文)已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.20.(2014山东文)圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ________________________ 。