一元二次不等式及其解法高考数学复习高品质版
【解】 (1)∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0， ∴(2x－1)(x＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜12}． (2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组 x2＋2x－1≥－1， x2＋2x－1≤2，
即xx22＋ ＋22xx≥ －03， ≤0.
2．不等式2xx－＋11≤0的解集为(
)
A．(－12，1]
B．{x|x≥1或x＜－12}
C．[－12，1]
D．{x|x≥1或x≤－12}
【解析】 原不等式等价于 (x－1)(2x＋1)＜0或x－1＝0. ∴原不等式的解集为(－12，1]．
【答案】 A
3 ． (2012·福 建 高 考 )已 知 关 于 x的 不 等 式 x2 － ax ＋ 2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
3．简单的分式不等式 (1)gf（（xx））＞0⇔__f(_x_)_·g_(_x_)＞ ___0____； (2)gf（（xx））≤0⇔___f_(_x_)·_g_(x_)_≤__0_且__g_(_x_)≠__0____．
ax2 ＋ bx ＋ c>0(a≠0) 对 一 切 x∈R 恒 成 立 的 条 件 是 什 么？
第一节 一元二次不等式及其解法
1．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方 程的关系如下表
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx ＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
有两相同实根 x1＝x2＝－2ba 没有实根
解得ba＝＝－－21，2，
【答案】 －14
解下列不等式 (1)3＋2x－x2≥0； (2)x2＋3＞2x； (3)x2－x1≤1.
【思路点拨】 (1)先把二次项系数化为正数，再用 因 式 分 解 法 ； (2) 用 配 方 法 或 用 判 别 式 法 求 解 ； (3) 移 项 通 分，转化为一元二次不等式求解．
【解析】 ∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8. 【答案】 (0，8)
4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－
1 2
，
1 3
)，
Hale Waihona Puke 则a＋b的值是________．
【解析】 由已知得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12，
13.
则2a－＝ba（＝－－1212＋ ）13×13 ∴a＋b＝－14.
1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次 不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函 数的图象来记忆求解．
2．解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为 正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或 判别式法；(3)写出不等式的解集．
解下列不等式：
(1)－2x2－5x＋3＞0；
一元二次不等
式
{x| x＜x1
ax2＋bx＋c＞0 __或___x＞___x_2 _}__
_{_x_|x_≠ ___x_1}___
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x_|_x_1＜___x＜__x_2_}_
∅
__∅____
2.用程序框图表示一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞ 0)的求解过程
【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的 根． 【尝试解答】 由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)， 所以41＋－2a＋ a＋b＝ b＝00，，解得ab＝ ＝－ －12，.
① ②
由①得x≥0或x≤－2；
由②得－3≤x≤1.
故得所求不等式的解集为{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}.
求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【思路点拨】 先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根 的大小，确定不等式的解集．
【尝试解答】 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0， 即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， 得：x1＝－a4，x2＝a3. ①a＞0时，－a4＜a3，解集为{x|x＜－a4或x＞a3}；
【尝试解答】 (1)原不等式化为x2－2x－3≤0， 即(x－3)(x＋1)≤0， 故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式化为x2－2x＋3＞0，
∵Δ＝4－12＝－8＜0，又因二次项系数为正数，
∴不等式x2＋3＞2x的解集为R. (3)∵x2－x1≤1⇔x2－x1－1≤0⇔xx＋ －11≤0 ⇔(x－1)(x＋1)≤0且x≠1. ∴原不等式的解集为[－1，1)．
【提示】 a>0且b2－4ac<0.
1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集
是( )
A．(－12，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，
∴x＞1或x＜－12.
故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)． 【答案】 D
解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0. 【解】 原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0. 当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为空集； 当a＜1时，原不等式的解集为(a，1)．
已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集(－ 1，2)，试求关于x的不等式ax2＋x＋b＜0的解集．
②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，－a4＞a3，解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．
综上所述：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－
a 4
或x＞
a3}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜a3或x＞－a4}．
解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0， 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． (2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有 两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集 形式．
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
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对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
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解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
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解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
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第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
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复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
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当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
2023年数学高考复习真题演练(全国卷)05 一元二次不等式与其他常见不等式解法(含详解)
专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3B ．()3,1--C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()3,1-例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x ⎫<⎬D ．1|x x ⎧⎫<⎨⎬ 8002222A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<例9．（2022·全国·高三专题练习）在关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是 A ．(3,5)-B ．(2,4)-C ．[3,5]-D ．[2,4]-例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围【方法技巧与总结】 1．数形结合处理． 2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2-B ．1C ．2D ．8例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． （多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >0|6 0201132例16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，则不等式303x ax -<-的解集为___________.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【方法技巧与总结】1．一定要牢记二次函数的基本性质．2．含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换． 题型四：其他不等式解法例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________.例21．（2022·上海·高三专题练习）关于x 230≥的解集为_________.例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围24321131上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ）A ．196B ．3C ．103 D ．92例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤D ．{}34x x -<≤2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3234|0{}2| 1114．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1-B ．(-C ．()0,1D ．(5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[1,3]-B ．75,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[1,-D ．[1,7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞8．（2022·全国·高三专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为()A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）若不等式2sin sin 20x a x -+≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 可能是A ．1B ．2C ．3D ．410．（2022·江苏·高三专题练习）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有（ ） A ．0a <B ．0c >2011201111222A ．当0m ≠时，()0f x <的解集为2mx x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．当1m =时，[)12,1,x x ∀∈+∞时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．121,,4x x m ⎛⎤∀∈-∞ ⎥⎝⎦且12x x ≠时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．当0m <时，若120x x <<，则()()2112>x f x x f x12．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知两个变量x ，y 的关系式(,)(1)f x y x y =-，则以下说法正确的是（ ）A ．(1,3)(3,1)0f f ==B ．对任意实数a ，都有1(,)4f a a ≤成立 C ．若对任意实数x ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数a 的取值范围是[5,3]- D ．若对任意正实数a ，不等式(,)4f x a x a -≤-+恒成立，则实数x 的取值范围是(,0)-∞ 三、填空题13．（2022·全国·高三专题练习）不等式210ax x c a++>的解集为{|21}x x -<<，则函数y =递增区间是_______14．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(3)16x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则实数b 的取值范围是___________.15．（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2220x a x a -++->恰有1个正整数解，则a 的取值范围是___________.16．（2022·全国·高三专题练习）设a ，b ，c R ∈，对任意满足1x 的实数x ，都有21ax bx c ++，则a b c++的最大可能值为__. 四、解答题17．（2022·北京·高三学业考试）已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集．18．（2022·江西·高三期末（文））已知()|2||1|f x x x =++-. (1)解不等式()8f x x ≤+；(2)若关于x 的不等式2()2f x m m ≥-在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.192320010 0 21(3)设1x ，2x 是方程()0f x =123||2x x -<．20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2(1)460a x x 的解集是{31}x x -<<． (1)解不等式22(2)0x a x a ；(2)b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ．21．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式：()()21100ax a x a +--<<. 22．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数； （2）是否存在,,a b c ∈R ，使()f x 同时满足以下条件： ①对任意,(4)(2)x R f x f x ∈-=-，且()0f x ≥； ②对任意x ∈R ，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-.若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由.专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法【考点预测】 1、一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x <（1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{}21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭且. ③若0∆<，解集为R .(2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1）()0()()0()f x f xg x g x >⇔> （2）()0()()0()f x f xg x g x <⇔< （3）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （4）()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨≠⎩ 3、绝对值不等式（1）22()()[()][()]f x g x f x g x >⇔>（2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或；()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ），解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)11(mn ，．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等式02≤++a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-∞，，mn ．2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)11(n m --，即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为)11(nm --，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1[]1(∞+---∞，，n m 即关于x 的不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+---∞，，nm ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00a ；5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00a ；6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00a ；7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆>00a ．【题型归纳目录】题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法例1．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））不等式(2)(1)0x x +->的解集为（ ） A ．{2}xx <-∣ B ．{1}x x >∣ C ．{21}x x -<<∣ D ．{2∣<-xx 或1}x > 【答案】D 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解法求得正确答案即可. 【详解】由(2)(1)0x x +->解得2x <-，或1x >，所以不等式(2)(1)0x x +->的解集为{2∣<-x x 或1}x >， 故选：D.例2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()25x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象过定点(),m n ，则不等式210x mx n +++<的解集为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1-- C ．()(),31,-∞-⋃+∞ D ．()3,1-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数的定点求解,m n ，代入后再求解一元二次不等式. 【详解】当2x =时，()220255154f aa -=-=-=-=-，故2,4m n ==-，所以不等式为2230x x +-<，解得31x -<<，所以不等式的解集为()3,1-. 故选：D例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()21,02,0ln x x x x ⎧+≥⎨-<⎩，则不等式()2f x +<()22f x x +的解集是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C 【解析】 【分析】根据()f x 解析式，可得()f x 的单调性，根据条件，可得x +2＜x 2+2x ，根据一元二次不等式的解法，即可得21020 0所以()f x 在R 上递增，不等式()2f x +<()22f x x +，可化为x +2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2， 则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）. 故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）关于x 的不等式()2210m m x m x -+++>的解集为R ，则实数m 的范围是（ ）A ．m <B ．m >C ．0m >D ．m >m <【答案】B 【解析】 【分析】根据该不等式是否为二次不等式，分情况讨论. 【详解】当0m =时，该不等式为210x -+>，解集为12x <，不成立； 当0m ≠时，由不等式的解集为R ，得()()2Δ2410m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩，解得m >故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）若函数()23x f x x =+，则不等式()()124f x f x +≥-的解集为（ ）A ．[)3,+∞B ．(],2-∞C ．[]2,3D ．[]1,5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性定义可知()f x 为偶函数，并根据指数函数和二次函数单调性确定()f x 的单调性，从而将所求不等式转化为124x x +≥-，解不等式可求得结果.【详解】223302332()f x ∴在[)0,∞+上为增函数，则()f x 在(],0-∞上为减函数；由()()124f x f x +≥-可得：124x x +≥-，即()()22124x x +≥-，解得：15x ≤≤，即不等式()()124f x f x +≥-的解集为[]1,5. 故选：D.【方法技巧与总结】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x 轴上，结合图象，写出其解集 题型二：含参数一元二次不等式的解法例6．（2022·浙江·高三专题练习）不等式()()22200ax a x a -++≥<的解集为（ ）A ．2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,[1,)a ⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．2(,1],a ⎫⎡-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】解：原不等式可以转化为：()()120x ax --≥，当0a <时，可知2()(1)0x x a --≤，对应的方程的两根为1，2a，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：2[,1]a. 故选：A.例7．（2022·全国·高三专题练习）设1a <-，则关于x 的不等式1()0a x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭B ．{x |x >a }C ．{x x a 或1x a ⎫<⎬⎭D ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】111010又因为当1a <-时，1a a >，所以不等式1()0x a x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集为：{|x x a <或1x a ⎫>⎬⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.例8．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y -=-，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()()2222f mx f m f m x f x +>+（其中0m < ）A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{|x x m <或2}x m >C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．{|x x m >或2}x m<【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数()f x 单调递减，再利用已知条件和函数的单调性得()()20mx x m --<，解不等式即得解. 【详解】任取12x x <，由已知得()120f x x ->，即()()120f x f x ->，所以函数()f x 单调递减．由()()()()2222f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m ->-，即()22f mx x f ->()22m x m -，所以2222mx x m x m -<-，即()22220mx m x m -++<，即()()20mx x m --<，又因为0m << 所以2m m >，此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．故选：A 【点睛】方法点睛：解抽象函数不等式一般先要判断函数的单调性，再利用单调性化抽象函数不等式为具体的函数不等式解答.9202【解析】 【详解】因为关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<可化为(1)()0x x a --<， 当1a >时，不等式的解集为1x a <<， 当1a <时，不等式的解集为1<<a x ，要使得解集中至多包含2个整数，则4a ≤且2a ≥-，所以实数a 的取值范围是[2,4]a ∈-，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.例10．（2022·浙江·高三专题练习）设R a ∈，关于x 的二次不等式2220ax x a -->的解集为A ，集合{}12B x x =<<，满足A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围. 【答案】()(),22,∞∞--⋃+ 【解析】 【分析】由题意0a ≠，求出方程2220ax x a --=的两根，讨论a 的正负，确定二次不等式的解集A 的形式，然后结合数轴列出不等式求解即可得答案. 【详解】解：由题意0a ≠，令2220ax x a --=，解得两根为1211x x aa ==由此可知120,0x x <>， 当0a >时，解集{}{}12||A x x x x x x =<>，因为120,1x x <>，所以A B ⋂≠∅的充要条件是22x<，即12a ，解得2a >；当0a <时，解集{}12|A x x x x =<<，因为120,2x x <<，所以A B ⋂≠∅的充要条件是21>x ，即11a>，解得2a <-；综上，实数a 的取值范围为()(),22,∞∞--⋃+.例11．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R. (1)当k 变化时，试求不等式的解集A ；(2)对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得2321012（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A . （2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案. (1)当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k>+}； 当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}． (2)由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集． 因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号， 所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．例12．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >，若该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，求实数m 的取值范围 【答案】12ln2(,]43-【解析】 【分析】将不等式转化为22ln 2(1)x x m x ->+，构造函数22ln ()=2(1)x xf x x -+，利用导数判断单调性，结合题意即可求解.【详解】关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<化为：22ln 2(1)x x m x ->+，令22ln ()=2(1)x xf x x -+，0x >，则3222222ln ()2(1)x x x x xf x x x +--+'=+．令32()2222ln u x x x x x x =+--+，2()342ln u x x x x '=++在(0,)+∞上单调递增，因此存在0(0,1)x ∈，使得20000()342ln 0u x x x x '=++=，20002ln 34x x x =--， 3232232200000000000000000()2222ln 222(34)22222(1)(1)0u x x x x x x x x x x x x x x x x x =+--+=+--+--=----=-++<，110210011011f （1）14=，f （2）2ln23-=．关于x 的不等式21ln 02x mx x m ---<的解集为(,)a b ，其中0a >， 该不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，∴实数m 的取值范围是12ln2(,]43-．【方法技巧与总结】 1．数形结合处理．2．含参时注意分类讨论．题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式例13．（2022·湖南岳阳·二模）已知关于x 的不等式2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫⎪⎝⎭，其中0m <，则44b a b +的最小值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．8【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数1a =，确定2b ≥，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】2240ax bx ++<的解集为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2240ax bx ++=的两根为m ，4m ，∴44m m a ⋅=，∴1a =，42m b m +=-，则424b m m=-+≥-，即2b ≥，44244b b a b b +=+≥，当且仅当4b =时取“=”， 故选：C.例14．（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212ax x x x ++的最大值是（ ） AB．CD． 【答案】D 【解析】124212322430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则12x x ，是方程22430-+=x ax a 的两个根，故124x x a +=，2123x x a =，故1212143a x x a x x a++=+ 因为0a <，所以有基本不等式得：114433a a a a ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当143a a -=-即a =1212a x x x x ++的最大值为 故选：D（多选题）例15．（2022·全国·高三专题练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ ） A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集判断出0a >，结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断BCD 选项的正确性.【详解】关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,0,A a ∞∞--⋃+∴>选项正确； 且－2和3是关于x 的方程20ax bx c ++=的两根，由韦达定理得2323b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则,6b a c a =-=-，则60a b c a ++=-<，C 选项错误； 不等式0bx c +>即为60ax a -->，解得6,B x <-选项正确；不等式20cx bx a -+<即为260ax ax a -++<，即2610x x -->，解得13x <-或1,D 2x >选项正确. 故选：ABD .1625101123⎧⎫303 23【分析】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭可得参数a 的值，则不等式303x ax -<-也具体化了，按分式不等式解之即可. 【详解】由不等式2510ax x ++≤的解集为1123x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭，可知方程251=0ax x ++有两根121123x x =-=-，，故6a =，则不等式303x ax -<-即3603x x -<-等价于3(2)(3)0x x --<， 不等式3(2)(3)0x x --<的解集为{}23x x <<， 则不等式303x ax -<-的解集为{}23x x <<， 故答案为：{}23x x <<.例17．（2022·全国·高三专题练习）已知不等式210ax bx --≥的解集是11|23⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x ，则不等式20x bx a --< 的解集是________.【答案】{|23}x x << 【解析】【分析】根据给定的解集求出a ，b 的值，再代入解不等式即可作答. 【详解】依题意，12-，13-是方程210ax bx --=的两个根，且0a <，于是得11()()23111()()23b aa ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得：6,5ab =-=，因此，不等式20x bx a --<为：2560x x -+<，解得23x <<， 所以不等式20x bx a --< 的解集是{|23}x x <<. 故答案为：{|23}x x <<12例18．（2022·上海市青浦高级中学高三阶段练习）不等式是12x>的解集为______． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 由12x>可得120x ->，结合分式不等式的解法即可求解.【详解】 由12x >可得120x ->，整理可得：120xx ->，则()210x x -<，解可得：102x <<. 所以不等式是12x >的解集为: 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫⎪⎝⎭.例19．（2022·全国·高三专题练习）不等式111x >+的解集为___________. 【答案】()1,0- 【解析】【分析】根据分式不等式的解法进行求解. 【详解】1111000101111x x x x x x x ->⇒->⇒>⇒<⇒-<<++++, 故答案为：()1,0-.例20．（2022·全国·高三专题练习）写出一个解集为()0,2的分式不等式___________. 【答案】02xx <- 【解析】 【分析】由题意根据分式不等式的解法，得出结论. 【详解】一个解集为()0,2的分式不等式可以是02xx <-， 022123【答案】[4,5) 【解析】 【分析】通过2330x x -+>0≥恒成立，将不等式最终转化为405010x x x -≥⎧⎪->⎨⎪+≠⎩，解出即可.【详解】解：对于233x x -+，有23340∆=-⨯<，则2330x x -+>恒成立，0≥恒成立，2323(34)00150x x x x ⎧--≥⎪≥⇔+⎨⎪->⎩又2333(34)(4)(1)11x x x x x x ---+=++， 23(34)0150x x x x ⎧--≥⎪∴+⎨⎪->⎩， 2333(34)(4)(1)x x x x --=-+405010x x x -≥⎧⎪∴->⎨⎪+≠⎩解得不等式的解集为[4,5).故答案为：[4,5). 【点睛】本题考查分式不等式的求解，发现部分因式恒大于零，以及分母不为零是解题的关键，是中档题. 例22．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2-,解关于x 的不等式20ax bx c -+>”,给出如下一种解法: 解析:由20ax bx c ++>的解集()1,2-,得()()20a x b x c -+-+>的解集为()2,1-,即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()2,1-. 参考上述解法,若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为____. 【答案】()()3,11,2--.101111011【详解】 若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为111,,1,32⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++可看成前者不等式中的x 用1x 代入可得，则1111,,132x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()3,11,2x ∈--⋃. 故解集为：()()3,11,2--.【点睛】本题考查不等式的解法，考查方法的类比，正确理解题意是关键．【方法技巧与总结】1．分式不等式化为二次或高次不等式处理． 2．根式不等式绝对值不等式平方处理． 题型五：二次函数根的分布问题例23．（2022·浙江·高三专题练习）若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】 【分析】由0a ≠，判别式0∆>及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ） 55345135534求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解. 【详解】已知函数321()13f x x ax x =+++，则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.例25．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】化简函数f （x ），根据f （x ）在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，f ′（x ）≤0恒成立，由此解不等式求出a 的取值范围．【详解】1232122∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,f ′(x )=−sin 2x +3a (cosx −sinx )+2a −1≤0恒成立，∵设4t cosx sinx x π=⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，∴当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,444x πππ-⎥∈-⎡⎤⎢⎣⎦，,t ∈[−1,1]，即−1≤cosx −sinx ≤1，令t ∈[−1,1],sin 2x =1−t 2∈[0,1]，原式等价于t 2+3at +2a −2≤0，当t ∈[−1,1]时恒成立，令g (t )=t 2+3at +2a −2，只需满足312(1)510a g a ⎧-≤-⎪⎨⎪=-≤⎩或312(1)10ag a ⎧-≥⎪⎨⎪-=--≤⎩或3112(1)510(1)10a g a g a ⎧-<-<⎪⎪=-≤⎨⎪-=--≤⎪⎩，解得∅或213a -≤≤-或2135a -<≤，综上，可得实数a 的取值范围是11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线322()13f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ） A ．196B ．3C ．103 D ．92【答案】AC 【解析】 【分析】本题先求导函数并根据题意建立关于m 的方程，再根据根的分布求a 的取值范围，最后判断得到答案即可. 【详解】 解：∵ 322()13f x x x ax =-+-， 22222232223022230且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨⋅>⎩，即2242(3)0302a a ⎧-⨯⨯->⎪⎨->⎪⎩， 解得：732a <<，所以a 的取值可能为196，103. 故选：AC. 【点睛】本题考查求导函数，导数的几何意义，根的分布，是中档题.例27．（2022·全国·高三专题练习）若一元二次方程2(1)30mx m x -++=的两个实根都大于1-，则m 的取值范围____【答案】2m <-或5m ≥+ 【解析】根据一元二次方程根的分布建立不等式组，解之可得答案. 【详解】由题意得应满足0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩解得：2m <-或5m ≥+.故答案为：2m <-或5m ≥+.例28．（2022·全国·高三专题练习）设2()32f x ax bx c =++，若0,(0)0,(1)0a b c f f ++=>>，求证： (Ⅰ) 0a >且21ba-<<-； (Ⅰ)方程()0f x =在(0,1)内有两个实根. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先由条件求得,a c 的符号，结合条件可得； （Ⅰ）根据(0),(1)()3bf f f a-的符号可得. 【详解】020 000020故21ba-<<-. （Ⅰ）函数2()32f x ax bx c =++的顶点坐标为23(,)33b ac b a a--，在21b a -<<-的两边乘以13-，得12333b a <-<.又因为(0)0,(1)0,f f >>而22()0,33b a c acf a a+--=-<又因为2()32f x ax bx c =++在(0,)3ba -上单调递减，在(,1)3b a-上单调递增， 所以方程()0f x =在区间(0,)3ba -与(,1)3b a-内分别各有一实根. 【方法技巧与总结】解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合{}2280A x x x =--≤，203x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．{}22x x -≤≤ B ．{}42,3x x x -≤≤≠- C ．{}34x x ≤≤ D ．{}34x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和简单分式不等式的解法求出集合,A B ，然后根据并集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，()(){}2302032330x x x B x x x x x x ⎧⎫⎧-+≤⎧⎫-⎪⎪=≤==-<≤⎨⎬⎨⎨⎬++≠⎩⎭⎩⎪⎪⎩⎭，所以{}34A B x x ⋃=-<≤， 故选：D.2．（2022·河北·模拟预测）“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件22012,20x x x a ∃∈-+<R ，则要满足440a ∆=->，解得：1a <，因为11a <⇒1a <，但111a a <⇒<故“11a <”是“2,20x x x a ∃∈-+<R ”的必要不充分条件. 故选：B3．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞ C ．()(),12,4-∞-⋃ D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D4．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数()()ln ln 2cos 2f x x x x π=---，则关于t 的不等式()()20f t f t +<的解集为（ ）A ．()2,1- B．(-C ．()0,1D．(【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数关于点(1,0)成中心对称，再由基本初等函数判断函数单调性，转化原不等式后求 22022又()()ln ln 2cos2f x x x x π=---的定义域为(0,2)，由πln ,ln(2),cos 2y x y x y x ==--=-在(0,2)上单调递增知， ()()ln ln 2cos2f x x x x π=---在(0,2)上递增，()()20f t f t +<，()20(2)f f t t ∴+-<-，即()2(2)f t f t <-，22t t ∴<-，解得21t -<<，又20202t t <<⎧⎨<<⎩，解得0t << 所以01t <<. 故选：C5．（2022·山西·二模（理））已知集合{}23A x x =∈<Z ，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()3,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,0,1A =-，进而根据题意求解即可. 【详解】解：因为{}{}231,0,1A x Z x =∈<=-，32B x a x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭，若A B 有2个元素，则13012a a <-⎧⎪⎨<+≤⎪⎩或10312a a -≤<⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得312a -<<-或102a -<<， 所以，实数a 的取值范围是31,1,022⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D ．6．（2022·重庆·高三阶段练习）若关于x 的不等式sin |sin |2x x k -≤对任意5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数k 的7522。
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法(十大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
【解析】（1）() ≥ −2对一切实数x恒成立，等价于∀ ∈ R, 2 + (1 − ) + ≥ 0
恒成立．当 = 0时，不等式可化为 ≥ 0，不满足题意．
1
>0
>0
当 ≠ 0，有
，即
，解得 ≥ 3
Δ≤0
32 + 2 − 1 ≥ 0
【典例2-2】已知关于的一元二次不等式 2 + + > 0的解集为
−∞, −2 ⋃ 1, +∞ ．
（1）求和的值；
（2）求不等式 2 − 2 + + 2 + 1 − 2 < 0的解集．
【解析】（1）由题意知−2和1是方程 2 + + = 0的两个根且 > 0，
∴ < 0，且1，2是方程 2 + + = 0的两个实数根，
∴
1+2=−
1×2=
，解得 = −3， = 2，其中 < 0；
∴不等式 2 + + > 0化为2 2 − 3 + > 0，
1
1
2
即2 − 3 + 1 < 0，解得 ∈ 2 , 1 ，因此所求不等式的解集为 | 2 < < 1 ．
>
；
<
6、已知关于的一元二次不等式 + + > 的解集为，则一定满足
<
；
≤
7、已知关于的一元二次不等式 + + < 的解集为，则一定满足
高考数学《一元二次不等式及解法》专项复习
一元二次不等式及其解法【课标要求】熟练运用转化与化归的思想，反复思考一元二次不等式与二次函数的关系.【学习目标】（1）．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．（2）．掌握图象法解一元二次不等式的方法．（3）．培养数形结合、分类讨论思想方法．【重难点】一元二次不等式的解法.【知识回顾】1、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在Δ＝b2－4ac>0时，有两不等实根，此时对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个公共点，Δ＝0时，有两相等实根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有一个公共点；当Δ<0时，没有实数根，此时，对应二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.2、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．“元”是未知数，“一元”就是含有一个未知数注意：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论.3、利用二次函数图像解一元二次不等式设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两个不等实根分别为x1，x2(x1<x2)，则不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x<x1或x>x2}，不等式ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}．当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ<0时，此方程无实数根，y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方，所以ax2＋bx＋c>0的解集是R，而ax2＋bx＋c<0的解集是∅.注意：(1)上述给出的解集形式是在a>0的情况下的解集形式．若a<0，应将不等式两边同时乘－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式再解．(2)若ax2＋bx＋c＝0(a>0)的判别式Δ＝0，则方程有两个相等的实根，此时不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为{x|x≠－b2a}，ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为∅.一元二次不等式的解集、二次方程的根与二次函数的图象之间的关系见下表：x1,2＝－b±Δ2ax1＝x2＝－b2a没有实数根|x<x或x>x{x|x≠－b2a}R4、解一元二次不等式的一般步骤：[方法规律总结]第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．5、含参一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况：(1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．6、穿根法解高阶不等式解法：穿根法解高次不等式的步骤①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．7、分式不等式等）（或00<>++dcx bax 的解法 [方法规律总结]1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 8、一元二次不等式恒成立问题 [方法规律总结](1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ≤0.2．不等式有解问题(1)若ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)有解，则a >0或⎩⎨⎧a <0，Δ>0.(2)若ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)有解，则a >0，或⎩⎨⎧a <0，Δ≥0.【随堂练习一】1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13} 2．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( )A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16} 3．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3}D ．{x |－4≤x ≤3}4．(2015·东北三校二模)设集合M＝{x|x2－2x－3<0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为()A．8 B．7 C．4 D．3 5．不等式x2－4x－5>0的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5}6．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则下图阴影部分表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)7．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是() A．2,12 B．2，－2 C．2，－12 D．－2，－128．函数y＝log 12(x2－1)的定义域是()A．[－2，－1)∪(1，2]B．[－2，－1)∪(1，2)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)9．已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且B A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．1＜a≤2 C．a＞2 D．a≤2 10．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|log2(x＋1)<1}，则A∩B等于() A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0)11、不等式x2＋x－2<0的解集为________．12、不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．13、不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________【随堂练习二】1、若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋1t)x＋1＜0的解集是()A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t } 2．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1} D ．{0,1,2} 3．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解是( )A ．x ＞5a 或x ＜－aB ．x ＞－a 或x ＜5aC ．5a ＜x ＜－aD ．－a ＜x ＜5a4．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3}5．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12} D ．{x |x <13或x >12}6．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞47．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2 D ．1＜m ＜38．已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则有( ) A ．m ≤－3 B ．m ≥－3 C ．－3≤m <0 D ．m ≥－4 9．函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为( )A ．[－4,1]B ．[－4,0)C ．(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1]10．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，3)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)11、解不等式：(1)2x－13x＋1>0；(2)axx＋1<0.12．当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?13、解关于x的不等式：x2＋2x－3－x2＋x＋6<0。
高考数学复习知识点讲解教案第5讲 一元二次方程、不等式
[解析] 由 + 1 2 − ≥ 0,得 + 1)( − 2 ≤ 0,
故原不等式的解集为{| − 1 ≤ ≤ 2}.
2
若关于的不等式
6.
−∞, 1
+ 2 + 1 < 0有实数解，则的取值范围是___________.
[解析] 当 = 0时，不等式为2 + 1 < 0，有实数解，满足题意；
≤ 0,即 3 − 2 − 3 ≤ 0,且 − 3 ≠ 0,
2
3
≤<3 .
（2）
不等式组0 <
2
[−2, −1) ∪ (2,3]
− − 2 ≤ 4的解集为___________________.
［思路点拨］（2）解两个一元二次不等式0 <
2
−−
2
2和
− − 2 ≤ 4,
然后求交集.
例4
是(
对任意的 ∈ 1,4
D
A.[1, +∞)
2
，不等式
− 2 + 2 > 0恒成立，则实数的取值范围
)
B.
1
,1
2
［思路点拨］ 分离参数得 >
1,4 上的最大值即可.
1
C.[ , +∞)
2
2−2
对任意的
2
∈ 1,4
D.
1
, +∞
2
2−2
恒成立，则求出 2 在区间
[解析] ∵ 对任意的 ∈ 1,4
数进行分类讨论，若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论.
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次
高考数学复习第一章集合与常用逻辑用语不等式 5二次函数与一元二次方程不等式第2课时一元二次不等式课件
【教材梳理】
1.一元二次不等式
名称
定义
一般形式
一元二次不等式
2
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是___的不
等式，称为一元二次不等式
2.二次函数的零点
一般地，对于二次函数 = 2 + + ，我们把使 2 + + = 0的实数叫
做二次函数 = 2 + + 的零点.
对一切 ∈ [2,3]恒成立.令 = − +
1
，可知
5
2
max 成立.当 ∈ [2,3]时，函数 单调递减，所以 ≤ 2 = − .所以
5
2
≥ − .故填[− ,+∞).
（2）已知函数 =
1 3
3
2
+
2
− 6 + 1在[−1,1]上单调递减，则实数的取值范围
1.5 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时 一元二次不等式
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意
义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
3.三个“二次”的对应关系
没有实数
根
续表
{| < 1 ,或 > 2 }
___________________
{|1 < < 2 }
_______________
{| ≠ − }
一元二次不等式及其解法(精)全
一元二次不等式5x2 10x 4.8 0的解集就是 二次函数y 5x2 10x 4.8的图象(抛物线） 位于x轴下方的点所对应的x的集合.
因此， 求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程， 确定抛物线与x轴交点的横坐标， 再根据图象写出不等式的解集． 第一步：解方程5x2 10x 4.8 0，得：x1 0.8, x2 1.2；
问题: 怎样解不等式5x2 10x 4.8 0？
思考（：1）当x是什么实数时，函数y 5x2 10x 4.8的值是：
(1)0 (2)正数 (3)负数
(2)能否画出二次函数 y 5x2 10x 4.8 的图象。 y
(3)能否找出抛物线上纵坐标 y 0 的点？其横坐标应取哪些值？
0 0.8
y 5x2 10x 4.8
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 x1=x2= b 2a
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1,或 x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1< x <x2 }
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
例1：解下列不等式：
（1）x2 7x 12 0； （2） x2 2x 3 0； （3）x2 2x 1 0； （4）x2 2x 2 0.
从这题可得出求一元二次不等式的解集的 基本步骤是怎样的？
解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式:ax2 bx c 0(a 0) 或ax2 bx c （0 a 0)
(2)确定方程ax2 bx c 0 a 0 的根;
高考数学复习考点题型归类解析04一元二次不等式(解析版)
高考数学复习考点题型归类解析专题04一元二次不等式一、关键能力利用二次函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，通过对二次函数图象的描述分析，经历观察、思考、探究建立二次函数图象与一元二次方程与一元二次不等式解集之间的联系. 构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路培养学生的直观想象. 从特殊一元二次不等式的解集的探究过程到探究利用图像归纳到利用图象求一般不等式的解集的方法，培养学生的逻辑推理能力．二、教学建议一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，往往对函数求导后得到的导函数，对导函数式经过通分、提取公因式等变形后，把导函数正负的判定转化为解一元二次不等式的求解；教学时建议合理选题体现知识间的联系．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．三、自主先学“三个二次”的关系0)四、真题感悟1．（2019•新课标Ⅰ，理1）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则(MN =)A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x << 【答案】C【解析】{|42}M x x =-<<，{|23}N x x =-<<，{|22}MN x x ∴=-<<，故选C ．2．（2013陕西）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x (单位m )的取值范围是A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 【答案】C【解析】如图△ADE ∽△ABC ，设矩形的另一边长为y ，则240()40ADE ABC S y S ∆∆-=，所以40y x =-，又300xy ≥，所以(40)300x x -≥，即，解得1030x ≤≤． 3．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，2403000x x -+≤x 22280x ax a --<0a >12(,)x x且，则A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵由 ()，得(4)(2)0x a x a -+<，即24a x a -<<，∴122,4x a x a =-=，∵214(2)615x x a a a -=--==，∴15562a ==．故选A ． 4．（2017江苏）记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是．【答案】59【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--5．（2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范围为．【答案】．【解析】不等式对恒成立， 则有22(8sin )48cos 264sin 32cos 20αααα∆=-⨯=-≤ 即2222sin cos 22sin (12sin )αααα-=--24sin 10α=-≤．∴21sin 4α≤．∴11sin 22α-≤≤．又，结合下图可知，α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 2115x x -=a =527215415222280x ax a --<0a >x R ∈a 5[0,][,]66πππ28(8sin )cos 20x x αα-+≥x R ∈0απ≤≤6．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4)；(1,3](4,)+∞【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>．7.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________． 【答案】 (1,4) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),8.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.五、高频考点+重点题型考点一、不等式化为一元二次不等式求解例1、（1）解不等式2311x x -<- （2）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，解不等式()3f x >．【答案】（1）{}12x x <<（2）{}1x x > 【解析】：（1）不等式化为2311x x -<-，化为201x x -<-， ∴12x <<，解集为{}12x x <<． （2）由题意知22002323x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨+>-+>⎩⎩或解得：x ＞1．故原不等式的解集为{}1x x >对点训练1（高三二模）不等式231122x x -+<的解集是___________. 【答案】(1,2)【解析】23111222xx -+-<=，2311x x ∴-+<-，即2320x x -+<，解得12x <<，故不等式的解集为(1,2).对点训练2x <的解集是（ ） A ．(]0,2B ．(2,)+∞C ．(]2,4D ．(,0)(2,)-∞+∞【解析】由题意得2220404x x x x x x >⎧⎪-≥⎨⎪-<⎩，解得24x <≤，故选：C.对点训练3．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2﹣36[x ]+45＜0成立的x 的范围是（ ）A ．（32，152）B ．[2，8]C ．[2，8）D ．[2，7]【解析】解：由4[x ]2﹣36[x ]+45＜0，得32＜[x]＜152， 又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8． 故选：C ．总结：一元二次不等式是基础，分式不等式、根式不等式、高次不等式等常常要转化为一元二次不等式来解决考点二、三个“二次”之间的关系运用例2、若关于x 的不等式ax b >的解集为1(,)5-∞，则关于x 的不等式2405ax bx a +->的解集为________． 【答案】4(1,)5-【解析】：由已知ax b >的解集为1(,)5-∞，可知0a <，且＝，将不等式2405ax bx a +->两边同除以a ，得2405bx x a +-<，即214055x x +-<，解得415x -<<，故不等式2405ax bx a +->的解集为4(1,)5-．对点训练1、已知2()(1)1(R)f x ax a x a =+--∈.若()0f x ≥的解集为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求关于x的不等式301ax x +≤-的解集； 【解析】（Ⅰ）由题意得11(1)211(1)2a a a ⎧-⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a =-.故原不等式等价于2301x x -+≤-.即(23)(1)010x x x --≥⎧⎨-≠⎩解得：1x <或32x ≥所以不等式的解集为3(,1),2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.对点训练2．已知关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-．（1）当[2,)x ∈+∞时，求2x bx cx++的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为关于x 的不等式230x bx c ++-<的解集为(1,2)-，解得11b c =-⎧⎨=⎩，所以22111x bx c x x x x x x++-+==+-，令1()1g x x x =+-，2x ≥，则21()10g x x '=->， 所以函数()g x 在[2,)+∞上单调递增，所以min 13()(2)2122g x g ==+-=，所以2x bx cx++的最小值为32．（2）由（1）可知1b =-，1c =，因为当[1,1]x ∈-时，函数2y x bx c =++的图象恒在直线2y x m =+的上方，所以当[1,1]x ∈-时，212x x x m -+>+恒成立，即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立． 令22()3135()24x h x x x +=--=-，易知函数()h x 在[1,1]-上的最小值为(1)1h =-， 所以1m <-，故实数m 的取值范围为(,1)-∞-．总结：三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：考点三、含参的一元二次不等式例3、(1)解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．(2)解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．【解析】（1）由2(1)0x a x a -++=得()(1)0x a x --=，∴12,1x a x ==， ① 当1a >时，2(1)0x a x a -++<的解集为{}1x x a <<， ② 当1a =时，2(1)0x a x a -++<的解集为∅， ③当1a <时，2(1)0x a x a -++<的解集为{}1x a x <<． （2）对方程210x ax -+= ，当240a ∆=-≤即22a -≤≤时 不等式的解集为∅当240a ∆=->即2a >或2a <-时210x ax -+=的根为12x x ==不等式的解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭对点训练1、求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集【解析】原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞.对点训练2、解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )。
【2022高考数学一轮复习(步步高)】第一章 §1.5 一元二次不等式及其解法
§1.5一元二次不等式及其解法考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax 2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅3.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (3)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )(4)x －a x －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4<0}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－2,3) B ．(1,3) C ．(3,4) D ．(－2,4)答案 B解析 由题意知A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |－2<x <3}， 所以A ∩B ＝(1,3)．3．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.4．函数y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是____________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 由题意得Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4,1,3,5}，则A ∩B 等于( ) A ．{－4,1} B ．{1,5} C ．{3,5} D ．{1,3} 答案 D解析 ∵A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |(x ＋1)(x －4)<0}＝{x |－1<x <4}，B ＝{－4,1,3,5}， ∴A ∩B ＝{1,3}．(2)不等式1－x2＋x ≥0的解集为( )A ．[－2,1]B ．(－2,1]C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)答案 B解析 原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝ba，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(－2,2) D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立； 当a －2≠0，即a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[－2(a －2)]2－4×(a －2)×(－4)<0，解得－2<a <2.综上，实数a 的取值范围是(－2,2]．命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，则实数x 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32解析 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．跟踪训练2 (1)若不等式ax 2－x ＋a >0对一切实数x 都成立， 则实数a 的取值范围为( ) A ．a <－12或a >12B ．a >12或a <0C ．a >12D ．－12<a <12答案 C解析 当a ＝0时，－x >0不恒成立，故a ＝0不合题意；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0. 解得a >12.(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，f (0)>0f (0)<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <0，f (0)<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >0，f (0)<0f (0)>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <0，a ·f (0)>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >0，a ·f (0)>0a ·f (0)<0表二：(两根与k 的大小比较)分布情况两根都小于k 即x 1<k ，x 2<k两根都大于k 即x 1>k ，x 2>k一个根小于k ，一个根大于k 即x 1<k <x 2大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，f (k )>0f (k )<0大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a <k ，f (k )<0⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－b2a >k ，f (k )<0f (k )>0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a <k ，a ·f (k )>0⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－b2a >k ，a ·f (k )>0a ·f (k )<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m ，n )内两根有且仅有一根在(m ，n )内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m ，n )内，另一根在(p ，q )内，m <n < p <q大致图象(a >0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )>0，f (n )>0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )>0，f (n )<0，f (p )<0，f (q )>0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0 大致图象(a <0)得出的结论⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )<0，f (n )<0，m <－b2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (n )>0，f (p )>0，f (q )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0综合结论 (不讨论a ) ⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，f (m )·f (n )>0，m <－b 2a <nf (m )·f (n ) <0⎩⎪⎨⎪⎧f (m )f (n )<0，f (p )f (q )<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (n )<0；(2)a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧f (m )>0，f (n )>0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值范围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m ＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1.例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围． 解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)， 由(2m ＋1)·f (0)<0 ，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，1.例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0 ⇒0<m <3－22或m >3＋22， 即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．解 由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12， 即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 课时精练1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．若0<t <1，则关于x 的不等式(t －x )⎝⎛⎭⎫x －1t >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1t <x <t B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1t或x >t D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ t <x <1t 答案 D解析 原不等式可化为(x －t )⎝⎛⎭⎫x －1t <0， ∵0<t <1，∴t <1t， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪t <x <1t . 3．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，32 答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3， 即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32， 故不等式f (－2x )<0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 4．已知某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 由题设，产量为x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，则( )A ．a 2－b 2≤4B ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 因为f (x )＝x 2＋ax ＋b (a >0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a 2－4b ＝0，即a 2＝4b >0. 对于A ，a 2－b 2≤4等价于b 2－4b ＋4≥0，显然(b －2)2≥0，故A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝4b ＋1b ≥24b ×1b ＝4，当且仅当4b ＝1b >0，即b ＝12时，等号成立，故B 正确； 对于C ，因为不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，故x 1x 2＝－b <0，故C 错误；对于D ，因为不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则方程x 2＋ax ＋b －c ＝0的两根为x 1，x 2，故可得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2－4(b －c )＝4c ＝2c ＝4，故可得c ＝4.7．不等式x ＋2x －1>2的解集为________． 答案 {x |1<x <4}解析 原不等式可化为x ＋2x －1－2>0， 即(x ＋2)－2(x －1)x －1>0，即4－x x －1>0， 即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，∴原不等式的解集为{x |1<x <4}．8．一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(k －2)2－4(k ＋1)>0，k ＋1<0， 解得k <－1.9．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)∪(3，＋∞)解析 f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)×1＋x 2－4x ＋4>0 ⇒x <1或x >3.10．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，－1)∪(3,4]解析 不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，可化为(x －1)(x －a )<0，当a ＝1时，不等式为(x －1)2<0，解集为∅，舍去，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，则3<a ≤4，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，则－2≤a <－1，综上有－2≤a <－1或3<a ≤4.11．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时， 不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y 元，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．解 (1)由题意得，y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x 10－80≥0， 解得0≤x ≤2.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}．(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.13．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2 021－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2 021，又f (a )＝f (b )＝2 021，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D.14．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235.15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．答案 －5解析 不等式f (x )≥m 可化为x 2－2x －3＋m ≤0，令x 2－2x －3＋m ≤0的解集为{x |x 1≤x ≤x 2}，则x 2－x 1＝6，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝m －3， 又∵(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝36，∴4－4(m －3)＝36，即m ＝－5.16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6， 可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16，所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14，即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第34讲 一元二次不等式及其解法(50张PPT)
②若 a＝12，则不等式为(x－2)2<0，不等式的解集为∅；
③若 a>12，则1a<2，此时不等式的解集为1a，2.
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第34讲 一元二次不等式及其解法
(2)当 a＝0 时，不等式为－x＋2<0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．
点
(3)当 a<0 时，不等式可化为x－1a(x－2)>0.
面
（x－a）（x－b）≥0，
xx－ －ab≥0 等价于_x_－___b_≠__0_____________；
xx－ －ab≤0 等价于（x－x－b≠a）0. （x－b）≤0，
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第34讲 一元二次不等式及其解法
双
向
—— 链接教材 ——
固
基 础
1 ． [ 教 材 改 编 ] 不 等 式 － x2 － x ＋ 2≥0 的 解 集 是
础 间的函数关系式为 y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，
若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本(销售收入不
小于总成本)时的最低产量是________台．
[答案] 150
[解析] 根据题意，得 3000＋20x－0.1x2≤25x，移项 整理，得 x2＋50x－30 000≥0，解得 x≤－200(舍去)或 x ≥150.因为 x∈N，则生产者不亏本时的最低产量是 150 台．
即 0<|x|<2，解得－2<x<0 或 0<x<2，故所求的不等式的解
点 集是(－2，0)∪(0，2)．
面 讲 考
(2)x－1x<0⇒x2－x 1<0⇒x<－1 或 0<x<1；x2－1x>0⇒x<0