函数图象的对称教案
人教B版高中数学必修四正弦函数的对称性教学设计
本校是北京市远郊的一所普通高中校，学生的基础较差。学生刚适应了高中的学习，没有形成良好的学习习惯，学习的主动性不强．由于高一上半学期的学习任务较重，课时较紧，留给学生消化和练习的时间较少，再加上学生缺乏自主学习的能力，很多知识一知半解．学生刚学完正弦函数与正弦型函数的图象与性质，对这部分知识的应用还不是很熟练，而且这节课的性质是由特殊到一般归纳出来，学生会比较困难．学生有基本的作图能力，但用时较长，为了突出这节课的重点，课前让学生完成两个函数图象的作图；学生有基本的识图能力，已经学会利用图象法和整体代换的方法求解正弦型函数的最值、单调性等性质；学生经历过小组讨论的学习形式，对问题有一定的思考和探究能力，能很快地进行小组讨论，并能清楚地表述和展示讨论成果．
学生观察、分析．
学生可能会得出：
是对称轴， 是对称中心．
学生继续分析图象后回答问题，小组讨论得出对称轴的一般形式．
学生讨论，展示小组讨论结果．
学生根据问题小组合作进行研究，展示研究成果．
学生思考、回答问题．
学生观察图象，思考交流，小组讨论，选代表回答问题．
学生类比求正弦型函数相关性质的方法——整体代换求对称轴和对称中心．
有严谨的科学态度，不怕困难的科学精神
积极尝试、体验数学研究的过程
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
本节课较好地体现了新课标理念，在教学设计上主要有以下几个方面的特点：
1、舍得花时间让学生自主探究，让学生充分参与到教学过程中
教师布置明确的讨论任务后，把一定的时间和空间留给学生小组合作探究的形式去分析问题和解决问题．学生讨论比较充分，且能主动地发表自己的意见和展示自己的成果，充分的体现了学生是课堂的主体。学生的参与和互动，不仅活跃了课堂气氛，更使学生的思维得到了发展．
函数图象的对称性教学设计
函数图象的对称性教学设计导语：在数学的学习中，函数图象的对称性是一个重要的概念。
通过对函数图象的对称性进行教学，不仅可以帮助学生更好地理解函数的性质，还可以培养学生的观察与分析能力。
本文将提供一种针对函数图象的对称性的教学设计，旨在帮助教师通过富有趣味和互动性的活动，引导学生深入理解函数图象的对称性。
一、教学目标1. 知识目标：了解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 能力目标：通过观察函数图象，能够判断函数关于不同轴的对称性。
3. 情感目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生观察和分析问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解函数图象的对称性的概念，掌握函数关于原点对称、关于y轴对称和关于x轴对称的判定方法。
2. 教学难点：通过观察函数图象判断函数关于不同轴的对称性。
三、教学准备1. 教师准备：课件、黑板、彩色粉笔、直尺、教学实例。
2. 学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程步骤一：导入新知（10分钟）教师通过提问和引入相关实例，引起学生对函数图象的对称性的兴趣。
例如，教师可以给学生展示一些有趣的图片，让学生观察并思考其中的对称性。
然后，教师引导学生定义函数图象的对称性。
步骤二：讲解理论知识（20分钟）1. 函数关于原点对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于原点对称的概念，引导学生发现函数图象中关于原点对称的规律，并总结出函数关于原点对称的判定方法。
2. 函数关于y轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于y轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于y轴对称的规律，并总结出函数关于y轴对称的判定方法。
3. 函数关于x轴对称的判定方法。
教师通过讲解函数关于x轴对称的概念，引导学生发现函数图象中关于x轴对称的规律，并总结出函数关于x轴对称的判定方法。
步骤三：教学实践（50分钟）1. 学生练习判断函数图象的对称性。
教师出示一些具体函数的图象，在黑板上标出函数图象的对称中心，并带领学生一起判断函数关于原点、y轴和x轴的对称性。
高一函数的对称性市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x
x
1 2345678
思索?若y=f(x)图像有关直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像有关直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
（1）、证明函数图象旳对称性：图象上任一点有关对称 轴（对称点）旳对称点仍在图象上
（2）、证明两个图象C1C2旳对称性：证C1上任意点有关 对称轴（对称点）旳对称点在C2图象上，反之也对
（代数证明） 求证
y=f(x)图像有关直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
() 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P有关直线x=a旳对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)旳图像上 则y=f(x)图像有关直线x=a对称
如：作出函数 y x 1 x
旳图象．
B.图象变换法：利用基本初等函数变换作图 (以熟悉基本 初等函数旳图象为前提).
1、平移变换：（左正右负，上正下负）即
y f (x) h0,右移;h0,左移 y f (x h)
y f (x) k0,下移;k0,上移 y f (x) k
2、对称变换：(口诀:对称谁，谁不变，对称原点都要变）
函数旳对称性
有些函数 其图像有着优美旳对称性，
同步又有着优美旳对称关系式
正弦函数图象的对称性教学设计
《正弦函数图象的对称性》教学设计【教学目标】1．使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式（R）与（R）的几何意义，体会正弦函数的对称性.2．在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学生观察、分析、抽象概括的能力.3．通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增强学生之间合作与交流的意识.【教学重点】正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.【教学难点】用等式表示正弦函数图象关于直线对称和关于点对称.【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】计算机、图形计算器（学生人手一台）.【教学过程】一、复习引入对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见下图）.2．复习对称概念初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念：轴对称图形——将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合；中心对称图形——将图形绕一个点旋转180°，所得图形与原图形重合.3．作图观察请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象（见图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对称图形还是中心对称图形？4．猜想图形性质经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对称图形也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和对称中心.（教师点评并板书）如何检验猜想是否正确？我们知道，诱导公式（R），刻画了正弦曲线关于原点对称，而（R），刻画了余弦曲线关于轴对称. 从这两个特殊的例子中我们得到一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）二、探究新知分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主探索正弦曲线的中心对称性质.（一）对于正弦曲线轴对称性的研究第一阶段，实例分析——对正弦曲线关于直线对称的研究.1．直观探索——利用图形计算器的绘图功能进行探索请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索研究（见图），在直线两侧正弦函数值有什么变化规律？给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出猜想：当自变量在左右对称取值时，正弦函数值相等.从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.2．数值检验——利用图形计算器的计算功能进行探索请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢?教师组织学生通过合作的方式，对称地在左右自主选取适当的自变量，并计算函数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下：…………给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表（表格中函数值精确到0.001）：……… 1 …上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式（R）表示.请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图（见下图），然后进行观察比较，思考点P和P′在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？根据画图结果，可以看出，点P和P′关于直线对称.这样，正弦曲线关于直线对称，可以用等式（R）表示.这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可能选用什么样的公式？预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值恒相等.这样我们就证明了等式对任意R恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线对称.事实上，诱导公式也可以由等式推出，即这两个等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线对称，是诱导公式（R）的几何意义.阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于直线对称可以用等式（R（R）的等价性，使我们对这一诱导公式有了新的理解.第二阶段，抽象概括——探索正弦曲线的其他对称轴.师生、生生交流，步步深入.问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特点？可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于轴的直线都是正弦曲线的对称轴（教师利用课件演示），则对称轴方程的一般形式为：（Z）.问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线（Z）对称”吗？根据前面的研究，上述对称可以用等式（Z，R）表示.请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.证明预案：.（二）对于正弦曲线中心对称性的研究我们已经知道正弦函数（R）是奇函数，即（R），反映在图象上，正弦曲线关于原点对称. 那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴对称的研究方法，小组合作进行研究.第一阶段，对正弦曲线关于点对称的研究.1．直观探索——从图象上探索在点两侧的函数值的变化规律.2．数值检验——在左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.3．严格证明——证明等式对任意R恒成立.预案一：根据诱导公式，有.预案二：根据诱导公式和，有.预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无论取任何实数，角和的终边总是关于轴对称（见图），他们的正弦值互为相反数.事实上，等式与诱导公式是等价的. 这样，正弦曲线关于点对称，是诱导公式（R）的几何意义.第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.请同学尝试解决下列三个问题：1．归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：（Z）（教师利用课件演示）.2．用等式表示“正弦曲线关于点（Z）对称”.上述对称可以用等式（Z，R）表示.3．证明归纳出的等式. （根据课堂情况可以由学生课后完成证明）三、课堂小结1．课堂小结（1）知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明. 在研究的过程中，对诱导公式与（R）有了新的理解，感受了正弦函数的对称性以及数和形的辨证统一.（2）方法上：直观→抽象，特殊→一般，体验了观察—归纳—猜想—严格证明的研究方法.2．作业（1）总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.（2）找一个一般函数，如，R，研究它的图象及对称性；并与正弦函数的图象及对称性进行比较.（3）思考：如何用等式表示函数关于直线对称，以及关于点对称？（4）尝试证明函数的图象分别关于直线和直线对称.【教学设计说明】1．关于教学内容正弦函数和余弦函数的大部分性质是借助函数图象进行研究的．但是，在本章第五节中，借助单位圆中的三角函数线已经研究了它们的四个重要性质，并归纳为四组诱导公式，其中公式三、四、五分别刻画了两个函数图象的一部分对称性，奇偶性只是特殊的对称性.因此，本课时以正弦函数为例补充研究图象的对称性，从函数图象的特征出发，引导学生利用计算器自主探索，并最终发现与诱导公式的联系. 通过本课时的教学，可以使学生在进一步掌握图象特征的同时，加深对正弦函数及其诱导公式的理解，既是对以前所学知识的梳理，也为后面进一步学习和理解“由已知三角函数值求角”奠定基础.2．关于教学设计本课时我采用启发引导与学生自主探索相结合的教学方法.在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过度到抽象思维，突破教学难点. 教学设计流程图如下：通过引导学生带着问题的主动思考、动手操作、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法.3．信息技术在教学中的作用图形计算器作为学具，通过学生亲自动手，人人参与探索过程，帮助学生从图象、数据、解析式等多层次、多角度地理解所研究的内容，提高他们对图形和数据信息的处理能力，培养信息素养．图形计算器和计算机相结合，力求使技术更有效地为教学服务．《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案）神木职教中心数学组刘伟教学目标：1、理解正弦函数的周期性；2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图；3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质；4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间；5、初步理解“数形结合”的思想；6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像；2、利用函数图像观察正弦函数的性质；3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想教学难点：正弦函数性质的理解和应用教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾终边相同角的诱导公式：)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2Ⅱ 新知识1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象x y sin =，[]π2,0∈x（1）、列表（2）、描点（3）、连线因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…，[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相同2、正弦函数的奇偶性由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1-Ⅲ 知识巩固例1 作下列函数的简图 （1）x y sin =，[]π2,0∈x （2）x y sin 1+=，[]π2,0∈x解：（1）①列表②描点 ③连线（2）①列表②描点 ③连线例2 求下列函数的单调区间（1）)sin(x y -= （2）)4sin(π-=x y解：（1）因x x y sin )sin(-=-=所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22是减函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数（2）由题知：πππππk x k 22422+≤-≤+-ππππk x k 24324+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤-≤+ππππk x k 247243+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 243,24是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数练习（师生互动，分层次提问）1． 课本第120页练习第1题 2． 求函数)4sin(π+=x y 的单调性解：由题知：πππππk x k 22422+≤+≤+-ππππk x k 24243+≤≤+-⇒ πππππk x k 223422+≤+≤+ππππk x k 24524+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数Ⅳ 小结本节课我们学习了用“五点法”作正弦函数的图像，利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质，如奇偶性、单调性、周期性等。
函数的对称性教案学案
五、特别注意我们在上面的研究中，蕴含了对定义域的一定要求。
但是有时这个定义域的要求却要特别提出来。
比如平移变换中，两个函数的定义域也是可以通过平移互相得到。
对称变换中，定义域必须也满足相应的对称关系。
如果定义域不满足对应关系，后面的关系式也就没有了意义。
六、函数性质判断技巧①2)()1(=++x f x f ②)()2(x f x f -=+③)2()2(x f x f -=+ ④)()4(x f x f --=+ ⑤)5()3(x f x f -=+ ⑥)5()3(x f x f --=+ ⑦2)()1(=-++x f x f①②括号里的x 前面的符号相同，都是正，由此可以退出函数的周期性。
③⑤括号里的x 前面的符号相反，但是等号两边的f 前面的符号相同，可以推出关于某条直线对称。
④⑥括号里的x 前面的符号相反，等号两边的f 前面的符号也不相同，可以推出关于某个点对称。
⑦先把两个f 分到等号的两边去，再去应用上面的规律。
七、定义域、值域与图象)(x f 与)1(+x f 的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4）那么)1(+x f 的定义域为（0,1），值域仍为（2,4）。
)(x f 与)1(+x f +2的定义域和值域是什么关系？若)(x f 的定义域是（1,2），值域为（2,4），那么2)1(++x f 的定义域为（0,1），值域为（4,6）。
八、习题1、若点）（b a ,在lg y x = 图象上，a ≠1,则下列点也在此图象上的是 （ ）（A ）（a 1，b ） (B ) )1,(10b a - (C) (a10,1+b ) (D))2,2b a （ 分析：2lg lg 22,lg a a b a b ===则.故选D.2、已知函数)(x f 的图象与函数21)(++=xx x h 的图象关于（0,1）对称，求)(x f 解析式。
解：由题意可知：2)()(=-+x h x f ，则x x x x x h x f 1212)(2)(+=⎪⎭⎫⎝⎛+---=--= 即解析式为xx x f 1)(+=.)6()(-=xfxf，4>x周期为６，所以1)1()5()2009(=-==fff.答案为C.24、已知定义在区间上的函数的图象如图所示,则的图象为（）分析：)(xf图象上任意取一个点),(yx，有)(xfy=，令)2()(xfxg--=，则)()2(yxfxg-=-=-，即),2(yx--在)2(xf--图象上，而),(yx和),2(yx--关于)0,1(这个点对称。
大学函数的对称性教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解函数对称性的概念，掌握函数奇偶性、周期性和轴对称性的判断方法。
2. 能够运用函数对称性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力及数学建模能力。
教学重点：1. 函数对称性的概念及判断方法。
2. 常见函数的对称性。
教学难点：1. 对称性的性质在解决实际问题中的应用。
2. 复杂函数对称性的判断。
教学准备：1. 教师准备：多媒体课件、教案、习题。
2. 学生准备：笔记本、笔。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中数学中函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 提出问题：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？二、讲授新课1. 函数对称性的概念- 轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称性，该直线称为对称轴。
- 中心对称：如果一个函数的图象沿一个点旋转180度，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称性，该点称为对称中心。
2. 常见函数的对称性- 常数函数：既是轴对称又是中心对称。
- 一次函数：既是轴对称又是中心对称。
- 二次函数：具有轴对称性，对称轴为x=-b/2a。
- 反比例函数：具有中心对称性，对称中心为原点。
- 指数函数：不具有对称性。
- 对数函数：不具有对称性。
3. 函数对称性的性质- 奇函数的性质：f(-x)=-f(x)，函数图象关于y轴对称。
- 偶函数的性质：f(-x)=f(x)，函数图象关于x轴对称。
- 周期函数的性质：f(x+T)=f(x)，函数图象具有周期性。
三、课堂练习1. 判断以下函数的对称性：（1）y=x^2-4x+3（2）y=|x|（3）y=x^32. 根据函数的对称性，求函数的解析式。
四、小结1. 总结本节课所学内容，强调函数对称性的概念、判断方法和性质。
2. 强调对称性在解决实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，提问学生：什么是函数的对称性？如何判断函数的对称性？2. 引导学生思考对称性在解决实际问题中的应用。
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
THANKS
感谢观看
详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
必修一抽象函数的奇偶性周期性对称性教案
抽象函数的周期性与对称性知识点梳理一、 抽象函数的对称性定理 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称。
推论 1. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+，则函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称。
推论2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)2()(x a f x f -=),则函数)(x f y =的图像关于直线ax =对称。
推论3. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。
定理2. 若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(cb a +对称。
推论1. 若函数)(x f y =定义域为R ,且满足条件：0)()(=-++x b f x a f 成立，则)(x f y = 的图象关于点)0,2(ba +对称。
推论2.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：0)()(=-++x a f x a f （a 为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称。
总结：x 的系数一个为1，一个为-1，f(x)整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存有对称中心。
定理3.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象关于直线2ab x -=对称（由x b x a -=+可得）。
推论1. 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
推论2. 函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
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函数图象的对称教案
【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法；
2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．
【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法 【教学难点】自对称和相互对称的区别
【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），
例4（函数的对称问题）
【教学过程】
一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法 〖例1〗 写出点),(y x M 关于下列直线或点对称的点的坐标
★ 点评：将点),(y x M 改为函数)(x f y =图象或曲线0),(=y x F 解法类似，其步骤大致如下：
将所求曲线上的任意一点(,)P x y ，求其关于点（或直线）的对称点(,)P x y '''，再将点P '的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．
因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法,
问题便迎刃而解.
〖例2〗 已知函数31y x =+，则其关于原点对称的函数解析式为 ；关于直线1y x =+对称的函数解析式为 ．
当对称轴斜率为±1时，点坐标符合口诀：
x 用y 代，
y 用x 代．
答案：31y x =-；113
y x =+
〖例3〗 已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于点(2,1)对称，且当34x ≤≤时，3()(4)2g x x =-+，求()f x 的解析式．
解：① 设(,)P x y （01x ≤≤）为()f x 的图象上的任意一点，则其关于点(2,1)的对称点(4,2)P x y '--（344x ≤-≤）必在()g x 的图象上，故32(44)2y x -=--+ ∴当01x ≤≤时，3()f x x =
② 当10x -≤<时，10x -≤<，且()f x 为奇函数 ∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， 3()f x x =．
〖例4〗 设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题中： ① 若()f x 为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称；
② 若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③ 若(2)(2)f x f x -=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ④ 若(2)(2)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ⑤ (2)y f x =+与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． ⑥ (2)y f x =-与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． 其中正确命题的序号为： ． 答案：④⑥
★点评：其中注意④⑤的区别，(2)(2)f x f x +=-指的是()y f x =的图象自身的一种对称关系；而(2)y f x =+与(2)y f x =-是函数()f x 通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．
二、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
命题1：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-，
则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
推 论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=-，
则函数()y f x =的图象关于直线()()22
a x
b x a b
x ++-+=
=
对称．
命题2：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=--，
思考：
情形一中
x 的范围
是如何给
出的，为何
要限定其范围？
则函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称．
推 论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=--，
则函数()y f x =的图象关于点(
,0)2
a b
+对称．
三、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
命题3：函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a
x -=
对称． 命题4：函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2
b a
-成中心对称．
下面只给出命题1的证明，其它命题及推论的证明类似．
证法一：由()()f a x f a x +=-知函数()f a x +为偶函数，其图象关于y 轴对称 另一方面，将()f a x +的图象向右（0a <）或向左（0a >）平移||a 个单位得到()f x 的图象，故函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
证法二：由()()f a x f a x +=-知点(,)P a x y +与点(,)Q a x y -都是函数()y f x =上的点，而P Q 、的中点为(,)M a y ，即点P Q 、关于直线x a =对称，由点P Q 、的任意性可知，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
证法三：设点00(,)P x y 为函数()y f x =的图象上的任意一点，其关于直线x a =对称的点为00(2,)P a x y '-．
∵对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-
∴0000(2)[()]()f a x f a a x f x y -=--==即点P '也在函数()y f x =的图象上 由点P 的任意性可知，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．
四、函数的周期性
命题5：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f x b +=+，
则函数()y f x =是以||T a b =-为周期的周期函数．
命题6：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f x b +=-+，
则函数()y f x =是以2||T a b =-为周期的周期函数．
【课堂小结】
1．所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题，要牢记例1的结论；
2．给出的如果是函数自身的一个关系，则：若x前系数互为相反数，则是有关对称性；
若x前系数相同，则有关周期性．
3．自对称和相互对称的区别：第一类，是反映函数自身内部的对称关系；第二类中，
f x复合变换后得两个新的函数图象间的关系．
是研究由函数()
【教后反思】。