(完整版)平面向量综合练习题(可编辑修改word版)

AB BA AB 一、选择题1. 下列命题中正确的是()→ → → A.OA －OB ＝AB→ →B.AB ＋BA ＝0→ C ．0·AB ＝0→ → → → D.AB ＋BC ＋CD ＝AD考点 向量的概念题点 向量的性质答 案 D→ → → → →解析 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA －OB ＝BA ；AB ，BA 是一对相 反向量，它们的和应该为零向量， →＋→＝0；0· →＝0.2. 已知 A ，B ，C 三点在一条直线上，且 A (3，－6)，B (－5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13 考点 向量共线的坐标表示的应用题点 已知三点共线求点的坐标 答案 C→ →解析 设 C 点坐标(6，y )，则AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)．3 y ＋6∵A ，B ，C 三点共线，∴ ＝ ，∴y ＝－9.－8 8→ →3. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB ＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，→ → 则AD ·AC 等于()A ．5B ．4C ．3D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 A→ → → → → 解析 ∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AC ＝AB ＋AD ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴AD ·AC ＝2×3＋(－1)×1＝5.4．(2017·辽宁大连庄河高中高一期中)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb 与a 垂直，则λ等于( )A．－2 B．1C．－1 D．0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案 C解析a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，因为a＋λb 与a 垂直，所以(a＋λb)·a＝0，即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.5．若向量a 与b 的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a 的模为( ) A．2 B．4C．6 D．12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析因为a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，所以(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.所以|a|＝6.6.定义运算|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ是向量a，b的夹角．若|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，则|x×y| 等于( )A．8 B．－8C．8 或－8 D．6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案A解析∵|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，x·y －6 3∴cos θ＝＝＝－.|x|·|y| 2 × 5 5( ) AF AB BF AB BE CF CD AF AC CF AC CDAB AC 又 θ∈[0，π]，∴sin θ 4＝ ， 5 4∴|x ×y |＝|x |·|y |·sin θ＝2×5× ＝8.5→ → → 7.如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与 BE 交于点 F .设AB ＝a ，AC ＝b ，AF ＝x a ＋y b ，则(x ，y )为()1 12 2 A.(2，2)B.(3 3)，1 12 1 C. 3，3考点 平面向量基本定理的应用题点 利用平面向量基本定理求参数答案 CD.(3，2)→ →解析 令BF ＝λBE .由题可知， →＝→＋→＝→＋λ →→ 1 → → → 1 → ＝AB ＋λ(2AC －AB )＝(1－λ)AB ＋2λA C .令→＝μ →，则→＝ → ＋ → ＝ → ＋μ →→1 → → 1 → → ＝AC ＋μ(2AB －AC )＝2μA B ＋(1－μ)AC .因为→与→不共线，所以Error!解得Error! → 1 → 1 →所以AF ＝ AB ＋ AC ，故选 C.3 3 二、填空题8．若|a |＝1，|b |＝2，a 与 b 的夹角为 60°，若(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则 m 的值为 ．考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数2π23 答案8解析 由题意知(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，即 3m ＋(5m －3)×2×cos 23 60°－5×4＝0，解得 m ＝ 8.→ → → 9．若菱形 ABCD 的边长为 2，则|AB －CB ＋CD |＝ .考点 向量加、减法的综合运算及应用题点 利用向量的加、减法化简向量 答案 2→ → →→ → →→ →→解析 |AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AC ＋CD |＝|AD |＝2. 10．已知向量 a ，b 夹角为 45°，且|a |＝1，|2a －b |＝ 考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的模答 案 3 解析 因为向量 a ，b 夹角为 45°，10，则|b |＝.且|a |＝1，|2a －b |＝ 10.所 以 4a 2＋b 2－4a ·b ＝ 10，化为 4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，化为|b |2－2 2|b |－6＝0，因为|b |≥0，解得|b |＝3 2.11．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是 ．考点 平面向量数量积的应用题点 利用数量积求向量的模答 案 [0,1]解 析 b·(a －b )＝a·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ 为 a 与 b 的夹角，θ∈[0，2])，∴0≤|b |≤1.三、解答题→ →12．(2017·四川宜宾三中高一月考)如图，在△OAB 中，P 为线段 AB 上一点，且OP ＝xOA ＋y→＝ → OB .→ →(1) 若AP ＝PB ，求 x ，y 的值；→ → → → → → → → (2) 若AP ＝3PB ，|OA |＝4，|OB |＝2，且OA 与OB 的夹角为 60°，求OP ·AB 的值．考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义→ → → 1 → 1 →解 (1)若AP ＝PB ，则OP ＝ OA ＋ OB ，2 2 故 x ＝y 1.2 → → (2)若AP ＝3PB ，则→ ＝1 → ＋3 → ，OP OA OB 4 4→ → 1 → 3 → → → OP ·AB ＝(4OA ＋4OB )·(OB －OA)1 → 1 → →3 → ＝－ OA 2－ OA ·OB ＋ OB 24 2 4 1 1 3 ＝－ ×42－ ×4×2×cos 60°＋ ×224 2 4＝－3.→→π→13. 若OA ＝(sin θ，－1)，OB ＝(2sin θ，2cos θ)，其中 θ∈[0，2]，求|AB |的最大值．考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 利用坐标求向量的模→ → →解 ∵AB ＝OB －OA ＝(sin θ，2cos θ＋1)，∴|AB |＝＝2 2＝ 3(cos θ＋3)2＋3，→∴当 cos θ＝1，即 θ＝0 时，|AB |取得最大值 3.sin 2θ＋4cos 2θ＋4cos θ＋1 3cos 2θ＋4cos θ＋2( )＝－ ， ＝ ， 所 以 ＝－ － ＝－ AM OM OA 四、探究与拓展→ → → → →14. 在△ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且|BO |＝3|CO |，当AO ＝xAB ＋y AC 时，x －y ＝.考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数答案 －2→ → → →解析 由|BO |＝3|CO |，得BO ＝3CO ， 则→ ＝3 → ，BO BC 2 → → →→ 3 →→ 3 → → 所 以 AO ＝AB ＋BO ＝AB ＋ BC ＝AB ＋ (AC －AB )2 21 → 3 → ＝－ AB ＋ AC .2 2所以 x 1 y 3 x －y 1 32.2 2 2 2 → → →15．已知OA ＝(1,0)，OB ＝(0,1)，OM ＝(t ，t )(t ∈R )，O 是坐标原点．(1) 若 A ，B ，M 三点共线，求 t 的值；→ →(2) 当 t 取何值时，MA ·MB 取到最小值？并求出最小值．考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 利用三点共线求参数→ → →解 (1)AB ＝OB －OA ＝(－1,1)， → ＝ → － → ＝(t －1，t )．→ →∵A ，B ，M 三点共线，∴AB 与AM 共线，1∴－t －(t －1)＝0，∴t ＝ .2→ → → → 1 1 1 →(2)∵MA ＝(1－t ，－t )，MB ＝(－t,1－t )，∴MA ·MB ＝2t 2－2t ＝2 t －2 2－2，故当 t ＝2时，MA ·→1 MB 取得最小值－ .2。