冀教版八年级上册数学《二次根式的混合运算》课件
的目标是什么？（2）呢？
（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘 单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则 ； 第第三一步步的的依依据据是是：：二多次项根式式除化以简单．项式 法则； 第二步的依据是：二次根式除法法则 ．
练一 练
1.计算下列各题：
2.由
能求出 ？
，你 的值吗
2、在二次根式的运算中， 多项式的乘法法则和乘法公式仍 然适用。
试一 试
已知 的值.
，求下面式子
随堂练 习
课堂小 结
通过这节课的学习，你有 哪些收获？你还有哪些疑惑？
谈谈你的看法，并与同伴 交流。
课后作 业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的
习题.
习题15.4
例2 计 算：
思考1：（2）中，每一步的依据是什 么？
每一步的依据是：平方差公式． 思考2：为什么二次根式运算中可以 用运算律？ 乘法公式使计算准确、简便，因此能 用运算公式 的，尽可能用运算公式．因为二次根式表 示数，1.练计算
结论总 结
1、二次根式的混合运算与 整式的运算方法完全相同，即先 算乘方，再算乘除，最后算加减 ，有括号先算括号。
冀教版八年级上册数学 《二次根式的混合运算
》课件
2020/8/19
复习导 计算入下列各题，并注明每个步
骤的依据：
（1）
（2）
．
这题又怎么计算 呢？
化成最简 二次根式
合并被 开方
数相同 的二
次根式
二次根式的混合运算与 整式的运算方法是一样的吗 ？
典例剖 例析1（1）
（2）
思考：（1）中，先计算什么？后计算 什么，最后
（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘 单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则 ； 第第三一步步的的依依据据是是：：二多次项根式式除化以简单．项式 法则； 第二步的依据是：二次根式除法法则 ．
练一 练
1.计算下列各题：
2.由
能求出 ？
，你 的值吗
2、在二次根式的运算中， 多项式的乘法法则和乘法公式仍 然适用。
试一 试
已知 的值.
，求下面式子
随堂练 习
课堂小 结
通过这节课的学习，你有 哪些收获？你还有哪些疑惑？
谈谈你的看法，并与同伴 交流。
课后作 业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的
习题.
习题15.4
例2 计 算：
思考1：（2）中，每一步的依据是什 么？
每一步的依据是：平方差公式． 思考2：为什么二次根式运算中可以 用运算律？ 乘法公式使计算准确、简便，因此能 用运算公式 的，尽可能用运算公式．因为二次根式表 示数，1.练计算
结论总 结
1、二次根式的混合运算与 整式的运算方法完全相同，即先 算乘方，再算乘除，最后算加减 ，有括号先算括号。
冀教版八年级上册数学 《二次根式的混合运算
》课件
2020/8/19
复习导 计算入下列各题，并注明每个步
骤的依据：
（1）
（2）
．
这题又怎么计算 呢？
化成最简 二次根式
合并被 开方
数相同 的二
次根式
二次根式的混合运算与 整式的运算方法是一样的吗 ？
典例剖 例析1（1）
（2）
思考：（1）中，先计算什么？后计算 什么，最后
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【冀教版】八级数学上册：.《二次根式的混合运算》ppt
解：(1)原式 （ 5）2 ( 2)2 5 2 3. (2)原式=（ 3）2 +2 3 1+12 =3+2 3+1=4+2 3.
注意:在计算过程中,有同类项或被开方数
相同的最简二次根式要进行合并.乘法公 式在实数范围内也是成立的.
计算下列各式.
(1) 1 ；（2）（5+ 3）( 3 3). 2 1
二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.
在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使
用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.
1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式 仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.
2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用
乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根
(2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相 差: ( 3 2)( 3 2) ( 3)2.
怎样计算上面的两个算式呢?
学习新知
计算下列各式.
(1) 3 ( 6 10)； (2)(6 2 3 18) 2；
(3)( 3 2)( 3 2)； (4)( 6 3)( 6 3).
观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运 算律和乘法公式. 解析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括 号内的每一项分别除以 2 ;(3)和(4)利用平方差公式直接
9.已知a是4 3 的小数部分,求代数式
1 2a a2
a 1
a2 2a 1 的值.
a2 a
解:∵ 4 3 48，6 4 3 7，
a 4 3 6，a 1 0，
1 2a a2 a 1
a2 2a 1 a2 a
(a 1)2 a 1
注意:在计算过程中,有同类项或被开方数
相同的最简二次根式要进行合并.乘法公 式在实数范围内也是成立的.
计算下列各式.
(1) 1 ；（2）（5+ 3）( 3 3). 2 1
二次根式的乘除法和加减法的运算法则的综合应用.
在进行二次根式的运算时,能用乘法公式的要尽量使
用乘法公式,这样可以使计算过程大大简化.
1.在实数范围内,乘法分配律、乘法法则及乘法公式 仍然成立,在二次根式的混合运算中均可运用.
2.在进行二次根式的加减乘除混合运算时,先运用
乘法法则进行二次根式的乘法运算,再进行二次根
(2)变化之后图形的面积和原来正方形的面积相 差: ( 3 2)( 3 2) ( 3)2.
怎样计算上面的两个算式呢?
学习新知
计算下列各式.
(1) 3 ( 6 10)； (2)(6 2 3 18) 2；
(3)( 3 2)( 3 2)； (4)( 6 3)( 6 3).
观察各算式的特点,说一说你在运算过程中,用到了哪些运 算律和乘法公式. 解析:第(1)题可直接运用乘法分配律进行计算;第(2)题用括 号内的每一项分别除以 2 ;(3)和(4)利用平方差公式直接
9.已知a是4 3 的小数部分,求代数式
1 2a a2
a 1
a2 2a 1 的值.
a2 a
解:∵ 4 3 48，6 4 3 7，
a 4 3 6，a 1 0，
1 2a a2 a 1
a2 2a 1 a2 a
(a 1)2 a 1
秋冀教版八年级数学上册课件15.4 二次根式的混合运算 (共23张PPT)
• You have to believes the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 3:38:41 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月15日星期三2021/9/152021/9/152021/9/15 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/152021/9/15September 15, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/152021/9/152021/9/152021/9/15
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/152021/9/152021/9/159/15/2021 3:38:41 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/152021/9/152021/9/15Sep-2115-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/152021/9/152021/9/15Wednesday, September 15, 2021
2022秋八年级数学上册 第十五章 二次根式15.4 二次根式的混合运算授课课件冀教版
(2) a a a a
知2－练
a 1 a a 1 a a 1 a a 1 a
2 a 2 a
4.
例 3 计算下列各式: (1) 1 ; 2 1
知2－讲
(2)5 3 33.
解： (1) 1
21 2121.
21 21 21 21
3 【中考·钦州】对于任意的正数m，n，定义运算※为：
m※n＝
m m
n (m≥n)， n (m＜n计)，算(3※2)×(8※12)的结果
为( B)
A． 2 4 6 C． 2 5
B．2 D．20
知2－讲
题型 2 乘法公式在二次根式中的应
用
例 2 计算下列各式：
2
(1) 52 52; (2) 3 1 .
( 3 ) 3 2 1 2 8 3 2 2 3 2 2
2 32 32
2
2
3
2
2 2Leabharlann 22.知2－练2 计算:
2
(1) 2 3 2 ;
2
解：(1) 2 3 2
1 2
1 2
(2)
a
a
a
a .
2
2
23 2 2322
124 62 144 6.
2
2
1 1
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
在进行二次根式的混合运算中，整式运算法则、运算律 及乘法公式在二次根式中也同样适用。 注意： (1)原来学习的运算律仍然适用； (2)原来学习的乘法公式仍然适用； (3)运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
冀教版数学八上课件15.4 二次根式的混合运算
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15.4二次根式的混合运算
灿若寒星
自主探究：
1.计算：
(1)2x y z
(2)(2x2 y 3xy2 ) xy
(3)(2x 3y)(2x 3y) (4)(2x 1)2 (2x 1)2
灿若寒星
自主评价：
整式运算主要有： （1） 单项式×单项式（2）单项式 ×多项式 （3）多项式÷单项式 （4）完全平 方公式 （5）平方差公式的运用． 如果把上面改写成二次根式呢？以 上的运算规律是否仍成立呢？
整式中的运算规律也适用于二次根式．
灿若寒星
请自同主合学作们：完 成下列各题:
看看谁最快；最准！
(1)(3 10)( 2 5) (2)( 6 8) 3 (3)(4 6 3 2) 2 2 (4)( 5 2 3) 15
12
(5)( 10 7)( 10 7) (6)(3 2 5)2
灿若寒星
灿若寒星
谢谢 再见
灿若寒星
自主拓展：
1 例3.先化简再求值：
a2 b2 a2b ab2
(1
a2 b2 2ab
)
其中 a 5 11,b 3a b11.
1 2
灿若寒星
自主拓展：
1已知x 3，求代数式 x 22 x 2 x 2 2 3的值.
82 3
2已知a 1 2,b 2 1,求a2 ab b2的值
__________.
3 2
10
灿若寒星
例(1)22．3 计8算 1 12 1 50
2
5
6 18 2 3 3 (2)(1 27 24 3 2 ) 12
3
3
2
(3)(7-4 3)2010 (7+4 3)2010 1
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15.4二次根式的混合运算
灿若寒星
自主探究：
1.计算：
(1)2x y z
(2)(2x2 y 3xy2 ) xy
(3)(2x 3y)(2x 3y) (4)(2x 1)2 (2x 1)2
灿若寒星
自主评价：
整式运算主要有： （1） 单项式×单项式（2）单项式 ×多项式 （3）多项式÷单项式 （4）完全平 方公式 （5）平方差公式的运用． 如果把上面改写成二次根式呢？以 上的运算规律是否仍成立呢？
整式中的运算规律也适用于二次根式．
灿若寒星
请自同主合学作们：完 成下列各题:
看看谁最快；最准！
(1)(3 10)( 2 5) (2)( 6 8) 3 (3)(4 6 3 2) 2 2 (4)( 5 2 3) 15
12
(5)( 10 7)( 10 7) (6)(3 2 5)2
灿若寒星
灿若寒星
谢谢 再见
灿若寒星
自主拓展：
1 例3.先化简再求值：
a2 b2 a2b ab2
(1
a2 b2 2ab
)
其中 a 5 11,b 3a b11.
1 2
灿若寒星
自主拓展：
1已知x 3，求代数式 x 22 x 2 x 2 2 3的值.
82 3
2已知a 1 2,b 2 1,求a2 ab b2的值
__________.
3 2
10
灿若寒星
例(1)22．3 计8算 1 12 1 50
2
5
6 18 2 3 3 (2)(1 27 24 3 2 ) 12
3
3
2
(3)(7-4 3)2010 (7+4 3)2010 1
冀教版八年级数学上册 (二次根式的混合运算)课件教学
二次根式的加减实质是合并 同类二次根式（被开方数相
同）．
当堂检测
4. 计算： （1） 2( 3 5)
2
2
32
解：（1） 2( 3 5) 2 3 2 5 6 10
（2）原式 ( 3)2 2 3 2 22
34 34
74 3
5.已知 x
5 1 , y 2
5 1 2
，求
x2 xy y2 的值.
解： ∵ xy 5 1 5 1 1, x2 xy y2 x y 2 xy
★ 练一练
选择合适的算法计算下列各式.
(1) 1 3 (2 3 1 10 )
5
2
(2)(3 48 2 27 ) 3
（1）用乘法分配律 可使计算方便
（2）先计算括号里 面的可使计算方便
(1)原式 13 2 3 13 1 10
5
52
(2)原式 （12 3 6 3） 3 6 3 3
4 30 2
知识回顾
1.选择合适的方法进行化简.
(1)4 3 8
(2)3 2 3
(3)3 3 8
43 8
42 3 8
6
32 3
32 2 3
6
33 8
3 6 4
3 6 4
化简结果有什 么共同特征？
归纳：几个二次根 式化成最简二次根 式以后，如果被开 方数相同，这几个 二次根式就叫做同 类二次根式.
知识回顾
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结 合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
★ 练一练
1.下列二次根式中，哪些是同类二次根 (4) 72 5
(5) 125
2
5
5
62
同）．
当堂检测
4. 计算： （1） 2( 3 5)
2
2
32
解：（1） 2( 3 5) 2 3 2 5 6 10
（2）原式 ( 3)2 2 3 2 22
34 34
74 3
5.已知 x
5 1 , y 2
5 1 2
，求
x2 xy y2 的值.
解： ∵ xy 5 1 5 1 1, x2 xy y2 x y 2 xy
★ 练一练
选择合适的算法计算下列各式.
(1) 1 3 (2 3 1 10 )
5
2
(2)(3 48 2 27 ) 3
（1）用乘法分配律 可使计算方便
（2）先计算括号里 面的可使计算方便
(1)原式 13 2 3 13 1 10
5
52
(2)原式 （12 3 6 3） 3 6 3 3
4 30 2
知识回顾
1.选择合适的方法进行化简.
(1)4 3 8
(2)3 2 3
(3)3 3 8
43 8
42 3 8
6
32 3
32 2 3
6
33 8
3 6 4
3 6 4
化简结果有什 么共同特征？
归纳：几个二次根 式化成最简二次根 式以后，如果被开 方数相同，这几个 二次根式就叫做同 类二次根式.
知识回顾
(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结 合律将被开方数相同的最简二次根式进行合并．
★ 练一练
1.下列二次根式中，哪些是同类二次根 (4) 72 5
(5) 125
2
5
5
62
冀教版八年级上册数学《二次根式的混合运算》说课教学课件
化为最简
除法没有分配律
分母有理化
例题讲解
(2) 5 3 3 3 .
解：(1)(5 3)( 3 3) 5 3 15 3 3 3 2 3 12
解：原式 2 5 3 3 2 5 3 3
2
2
2 5 3 3 20 27 7.
例4. 计算:
(1)(2 5 2)2;
(2)(2 3 6)(2 3 6) ( 2 1)2。
解解：原式 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 解解 ：原式 (2 3)2 ( 6)2 (2 2 2 1)
(2)( 6 2 3)2 6(3 3).
解：(1)( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 3 1 2.
(2)( 6 2 3)2 6(3 3)
( 6)2 2 6 2 3 (2 3)2 6 3 6 3
6 12 2 12 18 6 3
6 3 12 2.
2
3 2 3 1 12
4 2 3.
平方差公式 完全平方公式
归纳
二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方、开方，再乘除，最 后加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项 式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项 式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适 用．
(4)( 3 2)2 (4)原式 ( 3)2 2 3 2 ( 2)2 32 6 252 6
完全平方公式
知识讲解
二次根式的混合运算
1.运算顺序：
2.运算律、乘法公式仍然适用
平方差公式：(a b)(a b) a2 b2 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
例题讲解
变式练习3 计算下列各式：
1
2
除法没有分配律
分母有理化
例题讲解
(2) 5 3 3 3 .
解：(1)(5 3)( 3 3) 5 3 15 3 3 3 2 3 12
解：原式 2 5 3 3 2 5 3 3
2
2
2 5 3 3 20 27 7.
例4. 计算:
(1)(2 5 2)2;
(2)(2 3 6)(2 3 6) ( 2 1)2。
解解：原式 (2 5)2 2 2 5 2 ( 2)2 解解 ：原式 (2 3)2 ( 6)2 (2 2 2 1)
(2)( 6 2 3)2 6(3 3).
解：(1)( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 3 1 2.
(2)( 6 2 3)2 6(3 3)
( 6)2 2 6 2 3 (2 3)2 6 3 6 3
6 12 2 12 18 6 3
6 3 12 2.
2
3 2 3 1 12
4 2 3.
平方差公式 完全平方公式
归纳
二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方、开方，再乘除，最 后加减．在二次根式混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项 式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项 式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适 用．
(4)( 3 2)2 (4)原式 ( 3)2 2 3 2 ( 2)2 32 6 252 6
完全平方公式
知识讲解
二次根式的混合运算
1.运算顺序：
2.运算律、乘法公式仍然适用
平方差公式：(a b)(a b) a2 b2 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
例题讲解
变式练习3 计算下列各式：
1
2