测度论第一章
测度论与概率论第一章第二节测度论中的常用集族(版本14.5.23)
{
}
（2）对任意可列个 An ∈ F， n = 1， 2， ⋯， An ∈ F ，即 F 可列并运算封闭；
∞
∪
n =1
注 1.2.3 设 F 为 σ 代数，任取 A，B ∈ F ，作可列个集合的序列 A, B, B, B ⋯ ,于是由 σ 代 数的定义知， A ∪ B = A ∪ B ∪ B ∪ B ⋯ ∈ F ，所以 F 对并运算封闭， F 也是一个代数。 但代未必是 σ 代数。 注 1.2.4 σ 代数对有限并，可列并，有限交，可列交，差运算，对称差运算和取补运算封 闭。事实上，由注 1.3.1 知，σ 代数是代数，因而只要证明 σ 代数对可列交封闭即可。设 F 为
[ a, b ) \ [ c, d ) 由 8 块半开半闭区间组成，即 [ a, b ) \ [c, d ) = [ a1 , c1 ) × [ a2 , c2 ) ∪ [ c1 , d1 ) × [ a2 , c2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ a2 , c2 )
∪ [ a1 , c1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ c1 , d1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ d 2 , b2 ) ∪ [ a1 , c1 ) × [ c2 , d 2 ) ∪ [ d1 , b1 ) × [ c2 , d 2 )
1.2 测度论中常用集族
以集合为元素的集合称为集族，如果这些集族是一个基本集 X 的子集，就称为 X 上 的集族。测度论中所考虑的集合都是一个固定的基本集 X 上的子集。在基本集已经明确的 前提下, X 上的集族 A 就简称为集族 A 。 因为集族中的元素是集合，所以可以在集族上进行集合的运算。设 F 为 X 上的一个 集族， ⊗ 表示一种集合的运算，如并、交、差、对称差和取补集。如果对任意的两个 F 中 的集合 A ∈ F , B ∈ F ，有 A ⊗ B ∈ F ，就称 F 对运算 ⊗ 封闭。测度论中考察的集族都要 求对某个或某几个集合的运算是封闭的。以下介绍几个常用的集族。 定义 1.2.1（半环）设 F 为一个集族，并满足以下三个条件 （1） F 包含空集，即 φ ∈ F ； （2） F 对交运算封闭，即对任意 A ∈ F , B ∈ F ，有 A ∩ B ∈ F ； （3）对 F 中的任意两个集合 A 和 B ，若 A 包含 B ，即 A ⊃ B ，则 A 减 B ，即 A \ B 可以 表示为 F 中有限个两两不相交的集合的并，即有 C1 , C2 ,⋯ Cn ∈ F , Ci ∩ C j = φ (i ≠ j ) ，使
测度论与概率论第0章概率论与测度论的关系(版本14.5.27)
概率空间与测度空间
为了说明概率论与测度论的关系，我们首先复习一下随机事件，概率和概率空间的概念。
“正面” ， ω2 = “反面” ，则 Ω = {ω1 , ω2 } 。 若记， ω1 =
再考察复杂一些的随机试验。假设连续丢三次硬币，观察每次出现正面还是反面，这显 然是个随机试验，因为试验结果在试验前是未知的，试验进行之后，结果是确定的。这个试 验共有 8 个结果，即 8 个样本点： “正正正” ， “正反正” ， “正正反” ， “正反反” ， “反正正” ， “反反正” ， “反正反” ， “反反反”
f A∪ B =
n A + nB n A nB = + = f A + fB n n n
由此我们也要求概率具有相同的性质，即对于任意不相容的事件 A , B 有 性质 0.1.3
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )
即 Ai ∩ A j = Φ, i ≠ j , 由性质 0.1.3 一般地， 设 A1 , A2 , ⋯ , An 为两两不相容的随机事件， 和数学归纳法可知
ω ∈ A ，则 ω ∉ B ；若 ω ∈ B ，则 ω ∉ A ，故 A ∩ B = φ 表示事件 A 与 B 不会同时发生。
显然有 A ∩ A = φ , A ∪ A = Ω ，这是因为事件 A 和 A 不会同时发生，所以 A ∩ A 为不 可能事件。而无论试验的结果是什么，都有 ω ∈ A 或 ω ∈ A 成立，即 A ∪ A 为必然事件。 从集合论的角度看，这两的等式是自明的。 上述的两个随机事件的并和交可以推广到 n 个事件的情形。设有 n 个事件
0.1.4 概率的基本性质 概率的基本性质
首先由频率的定义知
实分析答案
∈X (x)|
: |f (x)| > m})
> =
αµ}()∪=∞ n=01. {又x
α ∈
<m X:
+ ϵ, 故 |f (x)|
µ({x ∈ X : |f (x)| >
>
m+
1 n
})
=
0.
m + ϵ}) = 0, 于是我们取
E = µ({x ∈ X : |f (x)| > m}), 则 sup{|f (x)| : x ∈ X\E} ≤ m, 进而 M ≤ m.
任意给定的 ϵ > 0, 对 (1) 和 (2) 中的 Aϵ 和 δϵ, 由Egoroff 定理, ∃ B ⊂ Aϵ 使得 µ(Aϵ\B) < ϵ 且
{fn} 在 B 上一致连续. 即存在 N ∈ N, 当 n > N 时，可以使得 µ({x : |fn − f | >}) < δϵ 且 {fn}
3. 若 f ∈ Lp(X, A , µ) 对一切的 p ∈ [1, ∞) 成立, 则
∥f
∥∞
=
lim ∥f
p→∞
∥p.
证明. 设 f 是任意的可测函数, 则对任意 M < ∥f ∥∞, 有 E = {x ∈ X : |f (x)| ≥ M } 是正测度
集. 这样
(∫
)1
∥f ∥p =
|f |pdµ
2.设 µ 是定义在 σ 代数 A 上的非负的有限可加集函数(即 A, B ∈ A , A ∩ B ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)). 证明, 若 {An}∞ n=1 是 A 的一个两两不相交的集列, 则
∑ ∞ µ({An}∞ n=1) ≥ µ(An).
测度论
第一章 测度论在本章中，我们将回忆从测度论得出的一些定义和结论。
我们这里的目的是为那些之前还未了解这些概念的读者进行介绍，并对已了解的读者进行复习。
更难的证明，特别是那些对直接证明没太大帮助的，都隐藏在附录中。
在测量论有较强基础的读者可以跳过1.4、1.5和1.7节，这些在先前部分的附录已有。
1.1 概率空间在本书中，术语的定义被设置为粗体。
我们从最基本的数量开始。
概率空间是一个三维空间(,,)F P Ω，这里Ω是指“结果”的集合，F 是指“事件”集合，P 是指[0,1]F →一个指定事件概率的函数。
我们假设F 是一个-σσ-空间（或代数），即Ω的一个非空子集，满足以下性质：（ⅰ)如果A F ∈，则cA F ∈（ⅱ)如果i A F ∈是一个可数集序列，则i iA F ∈在这里，可数意味着有限或可数无限。
由于()c ci i iiA A = ，这表明σ-空间在可数交叉部分是封闭的。
我们忽略了过去定义的属性以使他更容易检查。
除去P ，(,)F Ω可被称为可测空间，即我们可以进行测量的空间。
测度是一个非负可数附加集合函数，那就是一个函数:F R μ→ 满足以下条件：（ⅰ）,()()A F A μμφ∀∈≥（ⅱ）如果i A F ∈是一个可数序列互不相交的集合，则()()iiiiA A μμ=∑如果()1μΩ=，我们称μ是一个概率测度。
在这本书中，概率测度通常用P 表示。
接下来的结论给出一些测度的定义的结果，这些我们以后要用。
在所有的情况下，我们假设我们提的所有集合都在F 内。
定理1.1.1 设μ是一个定义在(,)F Ω上的测度，则 （ⅰ）单调性：若A B ⊂，则()()A B μμ≤（ⅱ）次可加性：若1mm A A∞=⊂，则1()()mm A A μμ∞=≤（ⅲ）左连续性：若12()i iiA A A A A A ↑⊂⊂= 即且,则()()iA A μμ↑(ⅳ)右连续性：若12()i iiA A A A A A ↓⊃⊃= 即且，且1()A μ<∞,则()()iA A μμ↓证明：（ⅰ）设cB A B A-=⋂是两个不同的集合，用+表示不相交的集合的和，()B A B A =+-，所以()()()()B A B A A μμμμ=+-≥（ⅱ）设''11,nn A A A B A=⋂=，且对1''11,()n cn nm m n B A A -=∀>=-因为n B 是互不相交的，是与A 互补的，我们已经使用了测度定义的条件（ⅰ）且m m B A ⊂，且由（ⅰ）知，11()()()m m m m A B A μμμ∞∞===≤∑∑（ⅲ）设1n n n B A A -=-，则n B 两两不相交，且1mm BA ∞== ，1nm n m B A == 所以11()()lim ()lim ()nm m n n n m m A B B A μμμμ∞→∞→∞=====∑∑（ⅳ）11n A A A A -↑-，所以由（ⅲ）知11()()n A A A A μμ-↑- 因为1A B ⊃，我们已知11()()()A B A B μμμ-=-，且得出()()n A A μμ↓最简单的情况，它应该和本科中所学的概率相似。
测度论基础
高等概率论（讲义）一般人们对概率论这门学科的理解可以划分为三个层次：一、古典型--未受过任何相关训练的人都属于此类，他们只能够理解一些离散的（古典的）概率模型；二、近代型，通常指学过概率论基础的非数学专业理科生，他们从微积分的角度理解各种连续分布，概率模型的数字特征；三、现代型，这类人能够抽象地从测度论和实分析高度理解这门学科。
建立在测度基础上的概率论通常所谓的高等概率论。
参考书[1] 严士健，王隽骧，刘秀芳；概率论基础，科学出版社，1982[2] 霍尔姆斯，测度论，世界图书出版公司，2007[3] 朱成熹，测度论基础，科学出版社，1991[4] SerflingRJ，Approximation Theorems of Mathematical Statistics，John Wiley & Sons, 1980基本内容[1] 测度与概率[2] 随机变量的刻画：分布函数[3] 随机变量的刻画：特征函数[4] 随机变量的收敛性[5] 渐近分布理论第1章 Lebesgue 测度与概率1.1 集和类 ● 基本概念所谓“集合”就是指具有某种性质，并可以相互区分的元素所汇集成的总体。
不含任何元素的集合称为空集，常用“φ”表示。
[1] 我们所讨论的集合是指某一给定的集合Ω的子集，Ω本身和空集φ也看作Ω的子集。
[2] Ω称为空间，它的子集合称为集，常用大写字母A ，B ，C 等表示；Ω的元素称为点，用ω表示；[3] 由集所构成的集合称为集类，以F C B A ,,,等草写字母表示；如果点ω在集A 中，称ω属于A ，以A ∈ω表示；反之，以A ∉ω表示点ω不在集A 中。
如果对于任意点A ∈ω，均有B ∈ω，则称集A 包含在集B 中，记为B A ⊂；如果B A ⊂，同时A B ⊂，则称A 与B 相等，记为B A =。
[4] 集的基本运算（1）交。
集合A 与B 的交集：A B A ∈=ωω:{ ，同时}B ∈ω （1.1.1）简记为AB 。
31 实变函数与泛函分析第三章 测度论
E [0,1] Q {r1, r2 , r3, }
Ii
(ri
, r
2i1 i
2i 1
),i
1,2,3,
i 1
|
Ii
|
i 1
2i
r (
i 2i1
ri
r )
i 2i1
由无理数集在[0,1]上稠密可知
x [0,1] Q, 0, ri [0,1] Q,使得 | x ri |
从而取
2i1
，则有x
I
i
(ri
2i1
, ri
)
2i1
上面叙述的错误出在取
2i1
，因为i的取定依赖于δ
IV. Lebesgue外测度的性质
（，则m A mB
m E
inf{
i 1
|
Ii
|:
E
i 1
I
i且I
i为开区间}
(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而 能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少， 相应的下确界反而大。
II..引言
1.(1) Riemann积分回顾（分割定义域）
积分与分割、介点集的取法无关
几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。
xi-1 xi
其中 xi xi xi1
b
n
(R)
a
f (x)dx lim ||T ||0 i1
f (i )xi
xi1 i xi
(2.)新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
思考： １. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0
Ii (ri1
,r
2i2 i1
2i2
)
第1章测度论基础与随机过程优秀课件
课程的主要内容 1. 测度论基础与随机过程的基本概念 2. 泊松过程与更新过程 3. 马尔科夫链 4. 鞅与Brown 运动 5. 随机微分方程
参考书
[1] 陈萍等编， 随机数学，国防工业出版社，2008
[2] Bernt ksendal, Stochastic Deferential Equations, Springer-Verlag, 1998 [3] 冯予等编， 概率论与数理统计，国防工业出版 社，2005 [4] 工程数学--积分变换
➢ 随机变量
定义 1.1.5 设 (,F) 与（E，E）为可测空间 , 函数 X: →E称为F-可测的（F-measurable）, 如果对任意
UE， X 1 (U ) ( ,X () U ) F
注: (p7 th1.1.5-1.1.7) (1)可测函数的"函数"仍可测; (2)可测函数的单调极限仍可测
1.1 测度与可测函数
Ø概率与测度中的基本术语及符号: E--随机试验; --样本空间; ω--样本点; A--集类;
? 如何定义事件
定义 1.1.1 设F是空间上的集类，称 F 为 -代数（域） （ -algebra ）, 若满足:
① ∈ F ; ② F ∈ F FC∈ F ； ③ A1,A2,… ∈ F Ai∈ F 注: 如果F 是 -代数 ,则 F 对F上的所有集合运算封闭；且对极限运算封闭.
定义 1.1.3 设F为空间 的子集组成的 σ代数，称二 元组 (,F) 为可测空间 （measurable space）;
的任一子集 F 称为F- 可测（F-measurable） 的 , 如果 F∈ F .
定义 1.1.4 设(,F)为可测空间，μ: F R+ ，若
教学大纲_测度论
《测度论》教学大纲课程编号：120502B课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课□专业必修课□√专业选修课□学科基础课总学时：32 讲课学时：32 实验（上机）学时：0 学分：2适用对象：经济统计学、统计学先修课程：数学分析、概率论毕业要求：1.应用专业知识，解决数据分析问题；2.可以建立统计模型，获得有效结论；3.掌握统计软件及常用数据库工具的使用；4.关注国际统计应用的新进展；5.基于数据结论，提出决策咨询建议；6.具有不断学习的意识；7.扎实的数学基础和完整的统计知识体系；8.计算机编程技能与经济学基本常识。
一、教学目标测度论是现代数学的一个重要分支，同时也是现代概率理论的数学基础。
其在抽象空间上建立的包括积分和微分的一整套分析系统，已成为数学各分支的有力工具，在遍历论、随机过程、微分方程、微分几何、统计与金融数学等领域有着广泛而深刻的应用。
本课程旨在介绍测度论的基本概念和基本理论。
通过本课程的学习，使学生能初步掌握抽象空间上的测度与积分理论以及概率论的公理化体系，同时领会抽象概念和定理的直观涵义，为进一步的学习和研究提供必要的数学基础。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容可测空间与单调类定理，测度空间与扩张定理，可测函数的积分与积分收敛定理，符号测度、不定积分、Radon-Nikodym导数与Lebesgue分解定理，乘积空间与Fubini定理。
（二）教学方法和手段教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。
（三）考核方式开卷，平时成绩占30%，期末成绩占70%。
（四）学习要求课上听讲，并独立完成课后作业。
三、各教学环节学时分配教学课时分配四、教学内容第一节集类1.集合代数2.集合代数的结构第二节可测空间1.西格玛代数2.可测空间的结构第三节单调类定理1.单调类2.单调类定理教学重点、难点：集类、可测空间的结构、单调类定理。
课程的考核要求：了解集类的概念，理解可测空间的结构、掌握单调类定理的证明与应用。
朱成熹 测度论 部分习题答案
《测度论》部分习题题解注：由于打印版本的限制，在题解中花写的A 、B 、F 被S 、Z \、F 所代替习题一1.解⑴若A 、B 均势可数，则A B 势可数。
若A 、B 至多有一个势可数。
则由()CC C A B A B = ，以及CA 、CB 中至少有一个势可数，可知此时()CA B 势可数；若A 势可数，则A B -也是，若CA 势可数，B 势可数，则CA B A B -= 也势可数，又Ω∈Z ，因此Z 是域。
显然 对余运算封闭，若n A 均势可数，则n nA 也势可数，若n A 中至少有一个Cn A 势可数，则CC n n n n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 也势可数，故Z 是σ-域。
由书中定理可知，这时Z 也是π-类，λ类和单调类。
解⑵若A 势可数，则C A 势不可数，故对余运算不封闭，故不是域，从而也不是σ-域，显然是π类和单调类，但不能是λ类，否则，由于既是π类又是λ类，可推出是σ域，矛盾。
解⑸由A A -=∅∉Z ，可知不是域，故也不是σ-域，由CA A =∅ 可知不是π类。
设n A ∈Z ，n A ↑，若1A A =，则可知n nA A = 或Ω；若1CA A =，则C n nA A = 或Ω；若1A =Ω，则nnA=Ω ，同样对n A ↓也有类似结论，故可知Z 是单调类，由Ω-Ω=∅∉Z ，故Z 不是λ类。
7.证：任意A ∈Z ，已知Ω∈Z ， 故C A A =Ω-∈Z ，故对余运算封闭。
若,A B ∈Z ，A B =∅ ，则()CC C C A B A B A B +==- 。
由于CB A ⊂，故由已证结果和已知条件可知对真差封闭。
#9.证：用λπ-类方法证明，令F ={B ；满足题中条件}，则对任意B ∈Z ，显然B ∈F ，故⊃Z F ;再者()1λΩ∈F ，()2λ对任意A,B ∈F , 且A B ⊂,故存在集列()}{i n B ，i=1,2,使()}{()1,1nA Bn σ∈≥和()}{()2,1n B B n σ∈≥，故可见()}{(),1,1,2i n B A B n i σ-∈≥=，()3λ对n A ∈F ，1n ≥，且n A A ↑，则存在()}{,1,1n m B m n ≥≥，使()}{(),1,1n n mA Bm n σ∈≥≥，从而可知()}{(),1,1n mA Bm n σ∈≥≥。
测度论与概率论第一章第一节基本概念(版本14.5.28)
∞
∞
∞
ω ∈ ∩∪ Ak
n =1 k = n ∞
， 对 ∀n 都 有 ω ∈
∞
∪A
k =n
k
， 所 以 ∃n k (ω ) ≥ n ， 使 ω ∈ Ank ω ， 从 而 知
( )
ω ∈ lim An , ∩∪ Ak ⊂ lim An ，故 lim An = ∩∪ Ak 。
n →∞ n =1 k = n n →∞ n →∞ n =1 k = n
∞
∞
（2）任取 ω ∈ lim An ，由注 1.1.2 知，对 ∀n ， ∃n k (ω ) ≥ n ，使 ω ∈ Ak , k ≥ n k (ω ) ≥ n ，
n →∞
故
ω∈
∞
∩
k = nk (ω )
Ak ⊂ (∩ Ak )∪ (∩ Ak )∪ ....∪ (
(E \ F ) ∪ (F \ E)
为 E 和 F 的对称差，记为 E ∆F 。 注 1.1.3 显然 E ∆F 是只属于 E 和只属于 F 的元素的集合。 注 1.1.4 对称差有如下常用的恒等式 （1） A ∩ B = (A ∪ B ) \(A∆B ) ； （2） A ∪ B = (A ∩ B ) ∆(A∆B ) ； （3） A ∩ B = ( A ∪ B ) ∆(A∆B ) ； （4）当 A ⊃ B 时， A \ B = A∆B . 练习 1.1.2 试证注 1.1.4 中的各等式。 注1.1.5（集合组的非相交化）设有一组集合 A1 , A2 , ⋯ , An 或 A1 , A2 , ⋯ , An , ⋯ , 它们是基本 集 X 的子集。所谓集合组的非相交化，就是指将 A1 , A2 , ⋯ , An 或 A1 , A2 , ⋯ , An , ⋯ , 变换成