高三数学考前适应性练习七
浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题含答案
浙江省L16联盟2024年7月新高三适应性测试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则B A 的子集个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解.【详解】集合{}1,1,2,3A =-，集合{}0,2,3,4B =，则{}2,3B A ⋂=，则B A 的子集个数是224=.故选：D.2.公比为q 的等比数列{}n a 满足0n a >，43223a a a =+，则q =（）A.1-B.1C.3D.9【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的通项公式：11n n a a q -=⋅，代入43223a a a =+解关于q 的方程，即可得q 的值.【详解】由0n a >，知10,0a q >>，又43223a a a =+，则3211123a q a q a q ⋅=⋅+⋅，223q q ∴=+，解得1q =-（舍），或3q =.故选：C.3.已知na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭存在常数项，且常数项是320a ，则n =（）A.4B.6C.8D.10【答案】B 【解析】【分析】求得二项式展开式的通项公式，化简整理，由常数项是320a ，得r ，n ．【详解】n a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为21C C rr n r r n rr r n n a T x xa x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,2,,r n = ，令20n r -=，得2n r =，*N n ∈，所以它的常数项为2C rrr a ⋅，又已知常数项是320a ，所以3r =，6n =，故选：B ．4.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的左右焦点到直线l ：40x y --=的距离之差为2，则E 的焦距是（）A.B.2C. D.4【答案】C 【解析】【分析】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，分04c <<和4c ≥两种情况，分析求解即可.【详解】设椭圆E 的左右焦点分别为()(),0,,0,0c c c ->，2=，则()44c c +--=若04c <<，则()()()44442c c c c c +--=++-==，即c =若4c ≥，则()()()44448c c c c +--=+--=≠，不合题意；综上所述：c =E 的焦距是2c =.故选：C.5.在ABC V 中，tan A 和tan B 是方程()20,1x mx n n -+=≠的两个根，则tan C =（）A.1m n - B.1m n- C.1n m- D.1n m-【答案】A 【解析】【分析】由韦达定理，tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，结合诱导公式、两角和的正切即可求解.【详解】因为tan A 和tan B 是方程20x mx n -+=的两个根，所以由韦达定理有tan tan ,tan tan A B m A B n +=⋅=，所以()()tan tan tan tan πtan 1tan tan 11A B m mC A B A B A B n n +=--=-+=-=-=---.故选：A.6.边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AA ，11A D 中点，M 是DB 靠近B 的四等分点，P 在正方体内部或表面，()0DP EF MF ⋅+= ，则DP的最大值是（）A.1B.52C.D.【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，从而求得3330442x y z --+=，再根据向量模长公式结合01,01x y ≤≤≤≤即可求解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设(),,P x y z ，则()11330,0,0,1,0,,,0,1,,,02244D E F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1113,0,,,,12244EF MF ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则333,,442EF MF ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，因为()0DP EF MF ⋅+= ，又(),,DP x y z =，所以3330442x y z --+=，即2x y z +=，所以22222222x y DP x y z x y +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，又01,01x y ≤≤≤≤，所以22221111322x y x y ++⎛⎫⎛⎫++≤++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==，此时1z =时，等号成立，所以DP故选：D.7.已知函数()323f x x x =-，则()20252023k f k =-=∑（）A.8098- B.8096- C.0D.8100【答案】A 【解析】【分析】首先得出()f x 关于()1,2-中心对称，然后即可利用这一性质求解.【详解】()()()()333231311312f x x x x x x x =-=--+=----，所以()()331132324f x f x x x x x ++-=---+-=-，即()f x 关于()1,2-中心对称，所以()()()()()()()()202520232023202520222024021k f k f f f f f f f =-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑()()2024418098f =⨯+=-.故选：A.8.若正实数a ，b ，c 满足b a bc =，ln b a a c =，则（）A.a b ≥B.a c ≥C.b c≥ D.c b≥【答案】B 【解析】【分析】借助导数研究函数单调性，进而得到函数值大小即可.【详解】ba bc =，lnb a ac =，则ln bc a c =，则ln 1b a =，则1e b a =.则1(e )e bb b a ==，则1(e )e=bbb a bc ==，则ec b=先比较a ，b ：作差1e b a b b -=-，设1()e (0)xf x x x =->，求导121()e 10,(0)x f x x x'=--<>，则1()e (0)x f x x x =->在(0,)+∞单调递减.(1)e 10f =->，(2)20f =-=<，故1()e (0)xf x x x =->有正负还有零.即a b -值有正负还有零，故不能比较,a b 大小.故A 错误.再比较a ，c ：作差1e e ba cb -=-，设1e ()e (0)x f x x x =->，求导112221e 1()e (e e )0x x f x x x x'=-+=-=，则1x =由于11011e e 0()0x x f x x '<<⇒>⇒-<⇒<，则()f x 在(0,1)单调递减.1111e e 0()0x x f x x'>⇒<⇒->⇒>，则()f x 在(1,)+∞单调递增.且(1)0f =，则()0f x ≥，即1ee 0ba c b-=-≥，即a c ≥.故B 正确．最后比较b，c ，由于ec b=，假设b c ==满足题意，假设b c >，即eb b >，即2e b >，即b >假设b c <，即eb b<，即2e b <，即0b <<也满足题意．则,b c 无法比较大小，故CD 错误.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知均值为()2,5的多组样本点数据()11,x y ，()22,x y …()()1,,2,i i x y i n =⋅⋅⋅经最小二乘法得到的回归直线21y x =+.现删去样本点数据()2,7，并利用最小二乘法得到新回归直线，则新回归直线（）参考数据：回归直线 y abx =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()(()nni ii ii i nn iii i x y nx yx x yy bxn x x x ====---==--∑∑∑∑ ， ay bx =- .A.斜率改变 B.截距不变 C.斜率不变 D.截距改变【答案】CD 【解析】【分析】依据题意得211(2)(5)2(2)n niiii i x y x ==--=-∑∑，接着先求出新数据的,x y ，再代入最小二乘法公式求得111212(2)(5)1(2)n iii n ii x y n bx -=-=--+-=-∑∑ 和，进而得解.【详解】由题意可得121(2)(5)2(2)n iii nii x y x ==--=-∑∑，且1n >，所以211(2)(5)2(2)nn iiii i x y x ==--=-∑∑，不妨将样本点数据()2,7作为第n 组数据，即2,7n n x y ==，则前1n -组数据满足()111111222111n n i i n i i x x x x n n n n -==⎛⎫==-=-= ⎪---⎝⎭∑∑，()11111125751111n n i i n i i y y y y n n n n n -==⎛⎫==-=-=- ⎪----⎝⎭∑∑，所以11111111221122(2)(5)(2)(5)(2)11(2)(2)n n n i i i i i i i i n n iii i x y x y x n n bx x ---===--==--+--+---==--∑∑∑∑∑ ()111112122(2)(5)2111(2)n n i i ii i n ii x y x n n n x --==-=--+-⨯---=-∑∑∑()()1112122(2)(5)212111(2)n i i i n ii x y n n n n x -=-=--+⨯--⨯---=-∑∑11121(2)(5)(2)n iii n ii x y x -=-=--=-∑∑27711112211(2)(5)(2)(5)2(2)(2)(2)nnii i i i n n iii i x y xy x x x ==--==------==--∑∑∑∑112227111122112(2)(2)2(2)2(2)(2)n n i i i i n n iii i x x x x x --==--==----===--∑∑∑∑，所以 225221111ay bx n n =-=--⨯=-<-- .综上，新回归直线斜率不变，截距会发生变化，故选项AB 错误，选项CD 正确.故选：CD.10.如图，在三棱锥P EDF -的平面展开图中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，正方形ABCD 的边长为2，则在三棱锥P EDF -中（）A.PEF !的面积为12B.PD EF⊥C.平面PEF ⊥平面DEF D.三棱锥P EDF -的体积为13【答案】ABD 【解析】【分析】直接求BEF △的面积可判定A ，连接BD 交EF 于G ，根据条件证⊥EF 平面GPD 即可判定B ，判定PG DG 、的夹角是否为直角可判定C ，利用棱锥的体积公式可判定D.【详解】对于A ，易知1122BEF PEF S S BE BF ==⨯⨯= ，故A 正确；对于B ，连接BD 交EF 于G ，根据正方形的性质易知EF BD ⊥，所以有,EF GD EF GP ⊥⊥，又,PG GD ⊂平面PGD ，所以⊥EF 平面GPD ，PD ⊂平面GPD ，所以EF PD ⊥，故B 正确；对于C ，由上可知PGD ∠为平面PEF 与平面DEF 的夹角，易知232,222PG DG PD ===≠，则,PG DG 不垂直，故C 错误；对于D ，由题意可知,,PD PE PF 两两垂直，则111323P EDF V PD PE PF -=⨯⨯⨯⨯=，故D 正确.故选：ABD11.已知曲线C 上的点满足：到定点1,0与定直线y 轴的距离的差为定值m ，其中，点A ，B 分别为曲线C 上的两点，且点B 恒在点A 的右侧，则（）A.若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线B.若1m =，则曲线C 的方程为24y x=C.当1m >时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >D.当1m <-时，对于任意的()10,A x y ，()20,B x y ，都有12x x >【答案】AC 【解析】【分析】设曲线C 上的点s ，由题意求出,x y 的方程，分0x ≥、0x <化简后逐项判断可得答案.【详解】对于A ，若12m =，设曲线C 上的点s ，由题意可得12x -=，化简得2324y x x =+-，当0x ≥时，2334=-y x 为抛物线，当0x <时，234=-y x ，因为0x <，所以304-<x ，而20y ≥，显然不成立，综上，若12m =，则曲线C 的图象为一条抛物线，故A 错误；对于B ，若1m =，设曲线C 上的点s ，1x -=，化简得222y x x =+，当0x ≥时，24y x =为抛物线，当0x <时，0y =为一条射线，故B 错误；对于C ，若1m >，设曲线C 上的点s ，x m =，化简得22221y x m x m =++-，因为1m >，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+-⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x >，故C 正确；对于D ，若1m <-，设曲线C 上的点s ，()221x y x m -+=，化简得22221y x m x m =++-，因为1m <-，当0x ≥时，()21212m y m x -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，为开口向左，顶点为1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，当0x <时，()21212m y m x +⎛⎫=--⎪⎝⎭，为开口向右，顶点为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线的一部分，且1,02m -⎛⎫⎪⎝⎭与1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭关于12x =对称,其图象大致如下，因为()10,A x y ，()20,B x y 两点的纵坐标相同，根据对称性可得12x x <，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是设曲线C 上的点s ，求出P 点的轨迹方程，数形结合求出答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.计算：234562024i i i i i i i -+-+-+⋅⋅⋅-=______（i 为虚数单位）.【答案】0【解析】【分析】利用i 的指数幂的周期可计算得出所求代数式的值.【详解】因为234i i i i i i 101-+---+==，所以()()()23456782021202220232024i i i ii i i i i i i i -+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-()()()23442342020234i i i i i i i i i i i i i i 50600=-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=⨯=.故答案为：0.13.三棱锥P ABC -的底面ABC 是边长为2的正三角形，4PA PB +=，则三棱锥体积的最大值是______.【答案】1【解析】【分析】点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），可得侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，求出最大值即可.【详解】由题意可得，点P 在以,A B 为焦点长轴长为4的椭球上（去掉长轴端点），设PA x =，4PB x =-，椭球的焦距为22c =，可得椭球的短轴长b ==，所以当侧面PAB ⊥平面ABC 时三棱锥的体积最大，此时，最大值为11132213322==⨯⨯⨯⨯ ABC V S b .故答案为：1.14.已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______.【答案】①.0.24##625②.0.36##925【解析】【分析】设相应事件，由题意可得()()(),|,|P A P B A P B A ，根据对立事件结合条件概率公式分析求解.【详解】设“第一问做出”为事件A ，“第二问做出”为事件B ，由题意可得：()()()60.6,|0.1,|0.610P A P B A P B A ====，则()()()0.4,|0.9,|0.4P A P B A P B A ===，所以()()()|0.24P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.24；所以()()()|0.36P AB P A P B A ==，即此题得满分的概率是0.36.故答案为：0.24；0.36.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15..如图，底面1111D C B A 固定在底面α上的盛水容器口为正方形ABCD ，侧棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 相互平行.（1）证明：底面四边形1111D C B A 是平行四边形；（2）若已知四条侧棱垂直于面ABCD ，且114AA DD ==，112BB CC AB ===.现往该容器中注水，求该容器最大盛水体积V 及此时侧面11BB C C 与底面α所成角θ的余弦值（水面平行于底面α）.【答案】（1）证明见解析（2）8V =，cos 2θ=【解析】【分析】（1）只需证明平面11//ABB A 平面11CDD C ，再结合面面平行的性质即可得证；（2）取11,AA DD 的中点,E F ，说明该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，此时可以说明AEB θ∠=，结合解三角形知识以及平行六面体的体积公式即可求解.【小问1详解】因为11//AA DD ，1AA ⊄平面11CDD C ，1DD ⊂平面11CDD C ，所以1//AA 平面11CDD C ，同理//AB CD ，AB ⊄平面11CDD C ，CD ⊂平面11CDD C ，所以//AB 平面11CDD C ，而1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11//ABB A 平面11CDD C ，又平面11ABB A 平面11A B α=，平面11CDD C 平面11C D α=，所以1111//A B C D ，同理1111//A D B C ，所以底面四边形1111D C B A 是平行四边形；【小问2详解】取11,AA DD 的中点,E F ，因为1111//,A E BB A E BB =，所以四边形11A EBB 是平行四边形，所以11//EB A B ，而EB ⊄平面1111D C B A ，11A B ⊂平面1111D C B A ，所以//EB 平面1111D C B A ，同理1111//,A E D F A E D F =，所以四边形11A EFD 是平行四边形，所以11//EF A D ，而EF ⊄平面1111D C B A ，11A D ⊂平面1111D C B A ，所以//EF 平面1111D C B A ，又EB EF E = ，,EB EF ⊂平面EBCF ，所以平面//EBCF 平面α，所以该容器最大盛水体积V 就是平行六面体1111EBCF A B C D -的体积，由题意2,AE AB AE AB ==⊥，所以BE =，因为1111//,AA DD AA DD =，所以四边形11ADD A 是平行四边形，而,E F 分别是11,AA DD 的中点，所以2EF AD ==，当1111A B B C ⊥时，1111EBCF A B C D V -最大，而1BB BC ⊥，11//BC B C ，所以111BB B C ⊥，所以11A B B ∠的补角就是侧面11BB C C 与底面α所成角θ，因为1111//,//BB AA A B EB ，所以AEB θ∠=，cos2AE EB θ===，注意到()0,πθ∈，所以π4θ=，此时11112A B EB B C BC ====，平行六面体的高为1sin 22BB θ=⨯=平行六面体的底面积为1111A B B C ⋅=，所以平行六面体的体积为8V ==.16.现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为12，若抛中的是正面，则收益80%的手中金额；否则亏损50%的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币100次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为100元，记x 为抛硬币次数，y 为经历x 次抛硬币后手中的金额.（1）若2x =，求y 的分布列；（2）如图，横坐标表示x ，纵坐标表示y ，在图中描出所有可能取值对应的(),x y ，并求出当0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）.【答案】（1）分布列见解析（2）图象见解析，()00P x ==，()112P x ==，()124P x ==，()132P x ==（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据条件知y 的可能取值为25,90,324，再求出相应的概率，即可求出结果；（2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出0x =、1、2、3时盈利的概率；（3）根据题设条件，即可写出结果.【小问1详解】易知y 的可能取值为25,90,324，111(25)224P y ==⨯=，12111(90)C 222P y ==⨯⨯=，111(324)224P y ==⨯=，所以y 的分布列为y2590324P141214【小问2详解】当0x =时，100y =，当1x =时，50y =或180y =，当2x =时，y 的可能取值为25,90,324，L ，所以图象如下图易知()00P x ==，()112P x ==，()1112224P x ==⨯=，()1311111113C 2222222P x ==⨯⨯+⨯⨯⨯=.【小问3详解】x 越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一）.17.已知a 为实数，*n ∈N ，设函数()ln nf x x a x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()e,n ∞+【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论函数的单调性；（2）根据（1）的结果，转化为函数的最小值小于0，并且结合函数零点存在性定理说明存在2个零点.【小问1详解】()1n n a nx af x nxx x--'=-=，0x >，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得1na x n ⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()0f x '<，得10na x n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以函数的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可知，0a ≤时，()f x 的增区间是()0,∞+；0a >时，()f x 的单调递减区间是10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间是1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由（1）可知，若()f x 有两个零点，则0a >，且当1na x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值，111ln 0nn n n a a a f a n n n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得e a n >，且0x →时，()f x →+∞，·当x →+∞，()f x →+∞，所以10,n a n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有1个零点，1,n a n ⎛⎫⎛⎫⎪+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭也有1个零点，所以若()f x 有两个零点，则e a n >.18.已知点()4,4A ，B ，C ，D 均在抛物线W ：()220x py p =>上，A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，点D 在直线AC 的上方，直线AD 交y 轴于点E ，直线AB 斜率小于2.（1）求ABE 面积的最大值；（2）记四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，若122S S =，求sin BAD ∠.【答案】（1）16（2）1213【解析】【分析】（1）设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，令0x =可得,E F 的坐标，由韦达定理可表示出12x x -，从而可求得ABE 面积2S 的表达式，结合基本不等式即可求解；（2）设ABCD 的面积为S ，由题意23S S =，由韦达定理以及同理思想可得()()222341,41y k y k =-=+，由公式3212S AC y y =-可知S 也可以用k 表示，进而可以得出关于k 的方程，解出k ，结合二倍角公式、平方关系即可求解.【小问1详解】由题意2424p =⨯，解得2p =，所以抛物线W ：24x y =，因为A ，C 关于y 轴对称，直线AB ，AD 关于直线AC 对称，所以,AD AB 斜率互为相反数，不妨设()():44,0AB y k x k =-+>，则():44AD y k x =--+，设AB 与y 轴交于点F ，而直线AD 交y 轴于点E ，所以()()0,44,0,44E k F k +-，联立():44AB y k x =-+与抛物线W ：24x y =，化简并整理得2416160x kx k -+-=，()22Δ166********k k k k =-+=->⇒≠，设1,1,2,2，则12124,1616x x k x x k +==-，设ABE 面积为2S ，则21211822S EF x x k =⋅⋅-=⋅()22416216216162k k k k k k +-⎛⎫==-=-≤= ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当1k =，所以ABE 面积的最大值为16；【小问2详解】由（1）可知12241616x x x k ==-，解得244x k =-，设点D 的坐标为()33,x y ，同理可得()34444x k k =--=--，所以()()222341,41y k y k =-=+，设ABCD 的面积为S ，而四边形BCDE 的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，由题意12222S S S S S -==，所以23S S =，而()()()2232118414164,0222S AC y y k k k k ⎡⎤=-=⨯⨯+--=<<⎣⎦，而()2162S k k =-，所以()643162k k k =⨯-，即232k k =，解得23k =，由题意//AC x 轴，且BAC DAC ∠=∠，设π,0,2BAC DAC θθ⎛⎫∠=∠=∈ ⎪⎝⎭，所以2tan 3k θ==，所以22222422sin cos 2tan 1233sin sin 213sin cos tan 1132193BAD θθθθθθθ⨯∠======++⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.已知正整数m ，设1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 是4m 个非负实数，22110m miii i S a b====>∑∑.若对于任意1,2,,2i m =⋅⋅⋅，取211m a a +=，222m a a +=，211m b b +=，都有21i i i i a a b b ++≥+，则称这4m 个数构成(),S m —孪生数组.（1）写出8个不全相等的数，使得这8个数构成()8,2—孪生数组；（2）求最小的S ，使得1a ，2a ，…，6a ，1b ，2b ，…，6b 构成(),3S —孪生数组；（3）若4≥m ，且1a ，2a ，…，2m a ，1b ，2b ，…，2m b 构成()16,m —孪生数组，求()1,2,,2i a i m =⋅⋅⋅的最大值.参考公式：（i ）()()21231223313x x x x x x x x x ++≥++，当且仅当123x x x ==时取等；（ii ）当正偶数4n ≥时，设()*2n k k =∈N，有()()122311321242n k k x xx x x x x x x x x x -++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+；当正奇数4n >时，设()*21n k k =+∈N ，有()122311321n k x x x x x x x x x +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+()242k x x x ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）2，2，2，2，0，4，0，4（答案不唯一）（2）12（3）4【解析】【分析】（1）根据(),S m —孪生数组的含义写出即可；（2）由题知3m =，进而可以求出S ，再结合参考公式（i ）即可证明；（3）由题知3S =，结合（2）可得21222111()mmi i i i i i S bb a a -+===+≤∑∑.再利用参考公式（ii ）放缩，进而求解最大值.【小问1详解】根据(),S m —孪生数组的含义可知:2,2,2,2,0,4,0,4构成()8,2—孪生数组，当然其答案不唯一;【小问2详解】若3m =，由题知:131224233534;;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+464551566261;;a a b b a a b b a a b b ≥+≥+≥+所以()()()()12345613163515ii S b b bb b b a a a a a b a ===+++++≤++∑.由参考公式（i ），有()()2135********a a a a a a a a a S ++≥++≥，记T 是数列{}n a 中奇数项的和，即135T a a a =++，不妨设2S T ≤，则有2234S T S ≥≥，因为0S >，解得12S ≥，当且仅当()21,2,,6i a i == 时取等.故最小的S 为12.【小问3详解】类比前问，得:212212111()mmi i i i i i S bb a a --+===+≤∑∑.由参考公式（ii ），有若m 为正偶数，21211mi i i aa-+=∑()()15233721m m a a a a a a --≤++++++ .由基本不等式，得()()2152337214m m T a a a a a a --++++++≤ .当且仅当15233721m m a a a a a a --+++=+++ 时等号成立.所以2212121416mi i i T S S a a -+=≤≤≤∑，因为0S >，解得16S ≥;同理，当m 为正奇数，解得16S ≥，由122122,,,,,,,m m a a a b b b 构成()16,m -孪生数组，所以等号需要全部成立.对于参考公式（ii ），左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0.若4n =，则等号直接成立.不妨设120x x ≠，则451,,0n x x x -= ，当n 为正奇数时，0n x =；当n 为正偶数时，若6n ≥，则30n x x =，不妨使0n x =，则此时仅123,,0x x x ≠，其余项均为0.故()()1532644,4,7,8,20,5,6,20j i a a a a a a a j m b i m +==+====== .所以()341,2,,24i a i m a a =≤== ()1,2,,2i a i m = 的最大值为4【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是将2211m mi i i i S a b ====∑∑表示出来，再利用参考答公式（i ）进行放缩；第三问需要用到第（2）问结论，要注意对m 时是正奇数和正偶数讨论.。
浙江省L16联盟2023-2024学年高三下学期开学适应性测试数学试题含答案
浙江省L16联盟2024年高三返校适应性测试数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合扇形的弧长公式，即可求解.【详解】设圆弧所对的圆心角为α，因为半径为2的圆上圆弧长度为4，可得24α⨯=，所以2α=.故选：B.2.直线l 过抛物线2:4C x y =-的焦点，且在x 轴与y 轴上的截距相同，则l 的方程是（）A.1y x --=B.=1y x -+C.1y =x -D.1y x =+【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得抛物线C 的焦点为(0,1)F -，设直线方程为0x y m ++=，代入直线方程求得m 的值，即可求解.【详解】由抛物线2:4C x y =-的焦点为(0,1)F -，又由直线l 在x 轴与y 轴的截距相同，可得直线方程为0x y m ++=，将点(0,1)F -代入0x y m ++=，可得1m =，所以直线l 的长为=1y x --.故选：A.3.如图，某种车桩可在左右两侧各停靠一辆单车，每辆单车只能停靠于一个车桩.某站点设有4个均停满共享单车的这样的车桩.若有两人在该站点各自挑选一辆共享单车骑行，且所挑单车不停靠于同一车桩，则不同的选法种数是（）A.24B.36C.48D.96【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用分步计数原理和组合知识即可求出结果.【详解】由题有21124222C C C A 622248=⨯⨯⨯=，故选：C.4.随机变量X 服从正态分布()21,X N σ .若(13)0.2P X ≤<=，则(1|1)P X X<>=（）A.14B.38C.58D.34【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用对称性得到(1)0.3P X <-=，(1)0.8P X >=，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】因为(13)0.2P X ≤<=，所以(1)(3)10.20.3P X P X <-=>=-=，又(1)0.50.30.8P X >=+=，所以(1)0.33(1|1)(1)0.88P X P X X P X <-<>===>，故选：B.5.已知1,1a b >>.设甲：e e b a a b =，乙：b a a b =，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】依题意，1,1a b >>，对于甲：e e baa b =，即e e a ba b=，设()()()()2e 1e 1,0x xx f x x f x x x -'=>=>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，故e e a ba b a b=⇔=.对于乙：b a a b =，两边取以e 为底的对数得ln ln ,ln ln b a a b b a a b ==，由于1,1a b >>，所以ln 0,ln 0a b >>，则ln ln a ba b=，设()()()2ln 1ln 1,x xg x x g x x x-'=>=，所以()g x 在区间()1,e 上()()0,g x g x '>单调递增，在区间()e,+∞上()()0,g x g x '<单调递减，所以由ln ln a ba b=，即()()g a g b =，若(],1,e a b ∈或[),e,a b ∈+∞，则a b =，若,a b 不在()g x 的同一单调区间，则a b ¹，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A6.已知复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，则1i z ++的最小值是（）A.B.2C.2 D.2【答案】D 【解析】【分析】由复数模的几何意义，问题转化为点到直线的距离.【详解】复数i z a b =+，其中,a b ∈R 且1a b +=，复数z 在复平面内对应的点(),Z a b ，在直线1x y +=上，1i z ++的几何意义是点(),Z a b 到点()1,1C --的距离，其最小值为点()1,1C --到直线1x y +=的距离，最小值为2d ==.故选：D7.高为3，长宽为的长方体1111ABCD A B C D -中，以11,,A C C 为球心的球123,,O O O 两两相切，过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点,P P 在长方体外部，则点P 的轨迹长度是（） A.45π5B. C.32π2D.3π【答案】C 【解析】【分析】设出球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，得到方程，求出32R =，从而得到点P 的轨迹为以M 为的圆，位于长方体外部的圆弧部分，求出答案.【详解】设球123,,O O O 的半径分别为123,,R R R ，则124R R +==，135R R +==，233R R +=，解得32R =，过B 点作球3O 的切线PB 交球3O 于点P ，则点P 的轨迹为球3O 的小圆，其中圆心为M ，则M 在线段BC 上，如图所示，BP ⊥CP，2,CP BC ==2BP==，BCP 为等腰直角三角形，故12PM BC ==由于P 在长方体外部，故点P 的轨迹为以M 的圆，位于长方体外部的圆弧部分，其中位于长方体外部的部分占到整个圆的34，故轨迹长度为332π42⨯=.故选：C8.已知数列{}n a 满足11a =，且对任意*,()m n m n ∈>N 均有22m n m n m n a a a a +-+=+.记{}n a 的前n 项和为n S ，则7S =（）A.28B.140C.256D.784【答案】B 【解析】【分析】令1n =，得到11(())2m m m m a a a a +---=-，令1m m m b a a +=-，求得12m m b b --=，得出{}m b 为等差数列，求得1223m m a a m a +=--+，利用累加法求得22(2)(1)m a m m a -+-=，再令3,2m n ==，得到513222a a a a +=+，求得24a =，得出2m a m =，即可求解.【详解】由数列{}n a 满足11a =，且22m n m n m n a a a a +-+=+，令1n =，可得1112222m m m m a a a a a +-+=++=，即11(())2m m m m a a a a +---=-，再令1m m m b a a +=-，可得12m m b b --=，即数列{}m b 是公差为2的等差数列，又由12121b a a a =--=，可得223m b m a =-+，即1223m m a a m a +=--+，又由22211321()()((2)()1)m m m a a a a a a a a m m a -=+-+-++--=+- 即22(2)(1)m a m m a -+-=，所以3212a a =+及5294a a =+，令3,2m n ==，可得513222a a a a +=+，代入可得222942121(2)a a a ++=++，解得24a =，所以22(2)(1)4m m a m m -⨯-=+=，即数列{}n a 的通项公式为2n a n =，所以222222271234567140S =++++++=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是证明数列{}m b 是公差为2的等差数列，再结合累加法并求出24a =，从而得到2n a n =，最后计算7S 即可.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合{}{}210,A x x B =∈+==∅R∣，则（）A.A =∅ B.A B= C.A B∈ D.A B⊆【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件得到A =∅，从而得到选项A 正确，再由元素与集合，集合与集合间的关系，对B ，C 和D 逐一分析判断，即可得出结果.【详解】易知方程210x +=无解，所以A =∅，所以选项A 正确，因为{}B =∅，所以选项B 错误，因为集合B 是以∅为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C 正确，又空集是任何集合的子集，所以选项D 正确，故选：ACD.10.设()0,πθ∈，向量()sin ,cos a θθ=，向量()sin2,cos2b θθ= ，则（）A.,a b必不互为平行向量B.,a b必不互为垂直向量C.存在θ，使a b=D.对任意()(),a b a bθ+⊥-【答案】AD 【解析】【分析】根据平行向量、垂直向量、相等向量的坐标表示以及向量的数量积运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若,a b互相平行，则sin cos 2cos sin 2θθθθ=，即()22sin 2cos 12sin cos θθθθ-=，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，则222cos 12cos θθ-=，即10-=，显然不成立，故,a b必不互为平行向量，A 正确；对B ：若π2θ=，则()1,0a = ，()0,1b =- ，此时0a b ⋅= ，a 与b 垂直，故B 错误；对C ：若a b =，则sin sin 2θθ=，且cos cos 2θθ=，即sin 2sin cos θθθ=，且2cos 2cos 1θθ=-，又()0,πθ∈，sin 0θ≠，则1cos 2θ=，且2cos 2cos 1θθ=-，显然无法同时成立，即,a b不可能相等，故C 错误；对D：1,1a b ==== ，则()()a b a b +⋅- 220a b =-= ，故对任意()(),a b a b θ+⊥- ，D 正确.故选：AD.11.已知函数()2ln f x x =，曲线():C y f x =.过不在C 上的点(),(0)P a b a >恰能作两条C 的切线，切点分别为()()()()()112212,,,x f x x f x xx <，则（）A.e a >B.()2e 1a b =+C.1x a <D.()2f x b>【答案】BCD 【解析】【分析】求导函数，结合题意利用导数的几何意义转化为()22ln ln 2ln a xg x x x b x=+--有两点问题，求导，分类讨论研究函数单调性，根据函数性质求出()2e 1a b =+，从而判断AB ，分类作出函数图象，结合函数图象分析数形结合判断CD.【详解】因为()2ln f x x =，所以()2ln xf x x='，所以经过()()(),1,2i i x f x i =的切线方程为()22ln ln ii i ix y x x x x =-+，由切线过点(),P a b 知()22ln ln ii i ix b a x x x =-+()1,2i =，令()22ln ln 2ln a xg x x x b x =+--，则()g x 恰有两个零点12,x x ，且()()()22ln 1x x a g x x'--=，当e a =时，()0g x '≥，则()g x 在()0,∞+单调递增，不可能有两个零点；当e a ≠时，则若e a >，当0e x <<或x a >时()0g x '>，当e x a <<时()0g x '<，则()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a 上单调递减，若0e a <<，当0x a <<或e x >时()0g x '>，当e a x <<时()0g x '<，则()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，故()e 0g =或()0g a =时，函数()g x 才可能有两个零点，又()2ln 0g a a b =-≠，故()e 0g =，此时显然有两条切线，所以()2e 10e a g b =--=，即()2e 1a b =+，当12b =时，3e e 4a =<，故选项A 错误，B 正确；由上述分析，{}12e ,x x ∈，当e a >时，1e x a =<，()g x 在()0,e 和(),a ∞+上单调递增，在()e,a上单调递减，示意图如图：显然1x a <，且()222222222ln ln 2ln 2ln 10a x a f x b x b x x x x ⎛⎫-=-=-=-> ⎪⎝⎭，所以()2f x b >，当0e a <<时，2e x a =>，()g x 在()0,a 和()e,∞+上单调递增，在(),e a 上单调递减，示意图如图：显然1x a <，()()22e ln e=1f x f ==，由()2e 1a b =+得21eab =-，所以22e111e ea b =-<-=，即()2f x b >，综上，1x a <，()2f x b >，故选项C 和D 正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查了导数的几何意义与数形结合研究函数的零点问题，解题关键是采用数形结合的思想分析研究零点的范围.本题中根据曲线有两个切线结合拐点性质得到()2e 1a b =+，然后数形结合分析即可求解，若利用单纯的代数运算求解判断比较困难．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()2ln e 1xf x x ax =+-是奇函数，则=a __________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，变形后得到21a =，求出答案.【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()2ln e 1xf x x ax =+-为奇函数，故()()f x f x -=-，即()()()22ln e 1ln e 1x x x a x x ax --+--=-++对x ∀∈R 恒成立，化简得e 1e 1ln 2,ln 2,lne 2,21e 11e x x x x xax ax ax x ax -++=∴==∴=++，故21a =，解得12a =.故答案为：1213.已知数列{}n a 满足14a =，且其前n 项和为公比为2的等比数列.则{}n a 的前n 项积是__________.（用含n 的式子表示）.【答案】2222n n ++【解析】【分析】根据条件得到数列{}n a 的前n 项和为12n n S +=，进而得出n a ，即可求出结果.【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，又114S a ==，由题知1111422n n n n S S q --+==⨯=①，当2n ≥时，12nn S -=②，由①-②得到11222(2)n n nn n n a S S n +-=-=-=≥，所以4,12,2,N n n n a n n *=⎧=⎨≥∈⎩，设数列{}n a 的前n 项积为n T ，当1n =时，14n T a ==，当2n ≥时，2223223212422222n n n n n n T a a a ++++++==⨯⨯⨯⨯== ，显然1n =时适合上式，所以2222n n n T ++=，故答案为：2222n n ++.14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与平行于x 轴的动直线交于,A B 两点，点A 在点B 左侧，双曲线C的左焦点为F ，且当AF AB ⊥时，AF AB =.则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，延长BF 至点P 使AF FP =，连接AP 交x 轴于点Q ，则FQ FP的值是__________.【答案】①.1+##1②.1-##1-【解析】【分析】根据条件，设0(,)A c y -，代入双曲线方程得4202b y a =，再根据条件即可得22b c a=，从而求出结果；利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则有2AB x =，AF =，BF =.【详解】当AF AB ⊥时，设0(,)A c y -，则有220221y c a b -=，解得4202b y a =，又AF AB =，所以22b c a=，又222b c a =-，所以222c a ac -=，两边同除2a ，得到2210e e --=，解得1e =+1e =-，因为PQF PAB ，有FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，则(,)B x y -，2AB x =，AF =，BF =所以22FQ a aFPc c==，又1ca=+，所以1a c ==，21+；21-.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用PQF PAB ，得到FQ AB AB FPBPAF BF==+，设(,)A x y ，(,)B x y -，求出,,AB AF BF ，化简并结合双曲线定义，即可求解.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.设函数()()e 1ln 0x f x x a ax x=--≠.（1）e a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 至多只有一个零点.【答案】（1）0y =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，得到()122(1)e 11x x f x x x x--'=-+，进而可求出()01f '=，(1)0f =，再根据导数的几何意义，即可求出结果；（2）将()f x 的零点个数转化成ln 1()e xx x h x +=与1y a =交点个数，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，得到ln 1()exx x h x +=在区间(0,)+∞上单调递减，即可证明结果.【小问1详解】当e a =时，()1e 1ln x f x x x x -=--，则()122(1)e 11x x f x x x x--'=-+，所以()01f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为00(1)y x -=⨯-，即0y =.【小问2详解】由()0f x =，得到e 1ln 0xx ax x--=，整理得到n 1l 1e xx x a +=，令ln 1()e x x x h x +=，则2(ln 1)e e ln ln (1)ln ()(e e (ln 1e))x x x x xx x x x x x x h x x +--'==+=-，当(0,1)x ∈时，(1)ln 0x x -<，当(1,)x ∈+∞时，(1)ln 0x x -<，所以()0h x '≤在区间(0,)+∞上恒成立，当且仅当1x =时取等号，故ln 1()e x x x h x +=在区间(0,)+∞上单调递减，则1y a =与ln 1()exx x h x +=最多有一个交点，即()f x 至多只有一个零点16.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形.已知点,,,B C E F 四点共面，且,AD AB AD AC ⊥⊥.（1）证明：（i ）平面//ABC 平面DEF ；（ii ）多面体ABCDEF 是三棱台；（2）若1,2,AB AC AD DE DF BC ======，求平面BCEF 与平面DEF 所成角的余弦值.【答案】16.（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析17.33【解析】【分析】（1）（i ）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行；（ii ）由面面平行得到线线平行，即//BC EF ，作出辅助线，证明出直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；（2）由勾股定理逆定理得到线线垂直，从而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，求出两平面的夹角余弦值.【小问1详解】（i ）四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，,AD AB AD AC ⊥⊥，故//AB DE ，//AC DF ，因为AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//AB 平面DEF ，同理可得//AC 平面DEF ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，AB AC A ⋂=，所以平面//ABC 平面DEF ；（ii ）由（i ）知，平面//ABC 平面DEF ，又,,,B C E F 四点共面，平面ABC ⋂平面BCEF BC =，平面DEF ⋂平面BCEF EF =，故//BC EF ，由于四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，且,AD AB AD AC ⊥⊥，故BE 与DE 不垂直且夹角为锐角，CF 与DF 不垂直且夹角为锐角，所以,BE CF 为相交直线，延长两直线相交于点H ，所以H ∈直线BE ，H ∈直线CF ，又BE ⊂平面ABED ，CF ⊂平面ACFD ，故H ∈平面ABED ，H ∈平面ACFD ，又平面ABED ⋂平面ACFD AD =，故H AD ∈，故直线,,EB FC DA 相交于点H ，故多面体ABCDEF 是三棱台；【小问2详解】因为1,AB AC BC ===，故222AB AC BC +=，则AB ⊥AC ，故DE ⊥DF ，又,AD AB AD AC ⊥⊥，故,AD DE AD DF ⊥⊥，以D 为坐标原点，,,DE DF DA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1,2AD DE DF ===，故()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,0,1D E F B ，设平面BCEF 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()(),,1,0,10,,1,2,120m BE x y z x z m BF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅--=-+-=⎪⎩ ，令1x =，则1z =，1y =，故()1,1,1m = ，平面DEF 的法向量为()0,0,1n =，设平面BCEF 与平面DEF 所成角大小为θ，则3cos cos ,3m n m n m n θ⋅===⋅.17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2sin sin sin A B C =.（1）当角C 最大时，求其最大值并判断ABC 的形状；（2）若ABC 的中线3CD =ABC 面积的最大值.【答案】（1）π3，等边三角形（23【解析】【分析】（1）根据条件，由正弦定理得到2ab c =，再利用余弦定理及重要不等式可得1cos 2C ≥，即可求出结果；（2）根据条件，利用向量的中线公式得到22122cos b a ab C =++，再结合余弦定理得到22212c b a +=+，进而可得到4ab ≤，π3C =，即可求出结果.【小问1详解】由2sin sin sin A B C =得到2ab c =，又由余弦定理得222221211cos 222222a b c a b ab C bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当a b =取等号，又(0,π)C ∈，且cos y x =在区间(0,π)上单调递减，所以π3C ≤，即角C 最大值为π3，又a b =，所以ABC 为等边三角形.【小问2详解】因为1()2CD CA CB =+ ，得到22222422cos CD CA CA CB CB b a ab C =+⋅+=++ ，又3CD =，所以22122cos b a ab C =++①，又由余弦定理得2222cos c b a ab C =+-②，由①+②得到222122()c b a +=+，又2ab c =，所以22122()4ab b a ab +=+≥，得到4ab ≤，当且仅当2a b ==时取等号，此时，π2,3c C ==，由（1）知π3C ≤，所以11πsin 4sin 223ABC S ab C =４�ABC 面积的最大值为18.已知曲线C 由()2240x x y +=≤和221(0)84x y x +=>组成，点()2,0A -，点()2,0B ，点,P Q 在C上.（1）求PA PB +的取值范围（当P 与A 重合时，0PA =）；（2）若OP OQ ⊥，求OPQ △面积的取值范围.【答案】（1）4,⎡⎣（2）2,⎡⎣【解析】【分析】（1）注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，分点P 是否在y 轴的右侧两种情况讨论即可得解；（2）当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，求出OP ，同理求出OQ ，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含y 轴）和一点在y 轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.【小问1详解】注意到,A B 是椭圆的左右焦点，且是圆与x 轴的交点，当点P 在y 轴的右侧时，由椭圆的定义可得PA PB +=；当点P 不在y 轴的右侧时，设π,0,4PBA αα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则π4sin 4cos 4PA PB ααα⎛⎫+=+=+⎪⎝⎭，因为π0,4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ,442α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π4,4PA PB α⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，综上所述，4,PA PB ⎡+∈⎣；【小问2详解】记OPQ △的面积为S ，当两点在半椭圆上时（不含y 轴），设()1:,:0OP y kx OQ y x k k==-≠，联立22184x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，则有22821P x k =+，故()()222222281121P P Pk OP x y k x k +=+=+=+，同理可得()2222218181221k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，故()()()22222221614212k OP OQS kk +==++，令21,1t k t =+>，则21k t =-，则()()222216161611211119224t S t t t t t ===-+⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，由1t >，得101t<<，所以221664,8911924S t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以8,3S ⎡∈⎢⎣；当两点都在半圆上时，2OP OQ ==，则22OP OQ S ==；当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含y 轴），由对称性，可设点P 在半椭圆上，则2OQ =，故()222222814442121k OP OQS k k +===+++，由0k ≠，可得2211k +>，所以()22444,821S k =+∈+，所以(2,S ∈；当一点在y 轴上一点在半椭圆上时，由对称性，可设点Q 是曲线与y 轴的交点，则点P 为椭圆的右顶点，则2,OQ OP ==2OP OQ S ==，综上所述，OPQ △面积的取值范围为2,⎡⎣.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19.一般地，n 元有序实数对()12,,,n a a a 称为n 维向量.对于两个n 维向量()()1212,,,,,,,n n a a a a b b b b ==，定义：两点间距离d =利用n 维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离n d ，与哪个标准点的距离n d 最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值()1a ､管理能力分值()2a ､计算机能力分值()3a ､沟通能力分值()4a （分值{}*,1,2,3,4i a i ∈∈N 代表要求度，1分最低，5分最高）并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：岗位业务能力分值()1a 管理能力分值()2a 计算机能力分值()3a 沟通能力分值()4a 合计分值会计（1）215412业务员（2）523515后勤（3）235313管理员（4）454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量()1234,,,a a a a β=的四个坐标.（1）将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；（2）小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方2n d 均小于20的应聘者才能被招录.（i ）小刚测试报告上的四种能力分值为()04,3,2,5β=，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业1234､､､的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；（ii ）小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234､､､的推荐率()p 分别为222221234141397,,,43434343n n d p d d d d ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭，试求小明的各项能力分值.【答案】（1）16（2）（i ）小刚最适合业务员岗位；（ii ）小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5【解析】【分析】（1）将合计分值从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求出结果；（2）（i ）根据条件，先求出各个岗位的样本点，再根据题设定义即可求出结果；（ii ）先根据条件得到2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈的相关方程组，利用2222123480d d d d ++<+，2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈，得到2123222414,13,9,7d d d d ====，再根据题设列出方程，利用22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)5a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-=⎣⎦，得出2,13,34,5b d b d b d ==⎧⎪==⎨⎪==⎩，再对三种情况分析讨论，即可求出结果.【小问1详解】将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12131517，，，，又40.753i np ==⨯=，所以这组数据的第三四分位数为1517162+=.【小问2详解】（i ）由图表知，会计岗位的样本点为()12,1,5,4β=，则222221(24)(13)(52)(45)18d =-+-+-+-=，业务员岗位的样本点为()25,2,3,5β=，则222222(54)(23)(32)(55)3d =-+-+-+-=，后勤岗位的样本点为()32,3,5,3β=，则222223(24)(33)(52)(35)17d =-+-+-+-=，管理员岗位的样本点为()44,5,4,4β=，则222224(44)(53)(42)(45)9d =-+-+-+-=，所以2431d d d d <<<，故小刚最适合业务员岗位.（ii ）四种职业1234､､､的推荐率()p 分别为141397,,,43434343，且222221234n n d p d d d d =+++，所以212222123422222212342322221234242222123414431343943743d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=⎪+++⎪⎪=⎪+++⎪⎨⎪=⎪+++⎪⎪=⎪+++⎩，得到222221123422222212342222231234222224123414()4313()439()437()43d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪⎪=+++⎩，又2({1,2,3,4})n d n ∈均小于20，所以2222123480d d d d ++<+，且2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈，故可得到2123222414,13,9,7d d d d ====，设小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为a b c d ,,,，且,,,N a b c d *∈，1,,,5a b c d ≤≤，依题有222221(2)(1)(5)(4)14a b c d d -+-+-+-==①，222222(5)(2)(3)(5)13a b c d d -+-+-+-==②，222223(2)(3)(5)(3)9a b c d d -+-+-+-==③，222224(4)(5)(4)(4)7a b c d d -+-+-+-==④，由①-③得，22222222(2)(1)(5)(4)(2)(3)(5)(3)a b c d a b c d ⎡⎤-+-+-+---+-+-+-⎣⎦1495=-=，整理得：23b d -=，故有2,13,34,5b d b d b d ==⎧⎪==⎨⎪==⎩三组正整数解，对于第一组解，代入④式有22(4)9(4)97a c -++-+=，不成立；对于第二组解，代入①式有22(2)(5)4a c -+-=，解得45a c =⎧⎨=⎩或23a c =⎧⎨=⎩，代入②④式均不成立；对于第三组解，代入②式有22(5)(3)9a c -+-=，解得23a c =⎧⎨=⎩，代入①②③④均成立，故2435a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩；故小明业务能力分值、管理能力分值、计算机能力分值、沟通能力分值分别为2,4,3,5.【点睛】关键点点晴：本题第（2）问的（ii ）问的解决关键在于，根据题设定义列出2N ({1,2,3,4})n d n *∈∈的相关方程组，分析得2123222414,13,9,7d d d d ====，进而选择合适的式子得到23b d -=，从而分析得解.。
山东省高三数学考前适应性模拟训练(7) 文 新人教A版
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a 、b 为实数，则“a b ＜1”是“0＜a ＜b1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 是虚数单位，则ii+-221等于 A.i -B.i -54C.i 5354-D.i3.过点A （2，3）且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为 A.042=+-y x B.072=-+y x ] C.032=+-y xD.052=+-y x4.设{}{}R x y y Q R x x y y P x∈==∈+-==,2,,12，则 A.Q P ⊆B.P Q ⊆C.Q P C R ⊆D.P C Q R ⊆5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆 6. 右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 A.12 B.23 C.34 D.457. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为A.12B.1C.2D.4 8. 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因之一，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过（ ）小时后才可以驾驶机动车.A.1B.2C.3D.49. 已知定义在R 上函数()f x 是奇函数，对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--，则(2012)f = A.2 B.-2 C.4 D.010. 已知命题:p 若1a >，则log x a a x >恒成立；命题:q 等差数列{}n a 中，m n p q +=+是n m p q a a a a +=+的充分不必要条件（其中,,,*m n p q ∈N ）.则下面选项中真命题是A.（p ⌝）∧（q ⌝）B.（p ⌝）∨（q ⌝）C.p ∨（q ⌝）D.p q ∧11. 已知,x y 满足不等式组242y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22222z x y x y =++-+的最小值为A.9512. 在实数的原有运算法则（“·”和“-”仍为通常的乘法和减法）中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=.则当[2,2]x ∈-时，函数()(1)(2)f x x x x =⊕⋅-⊕的最大值等于A.-1B.1C.6D.12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
高三数学适应性训练七
高三数学适应性训练七一、选择题：1、设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2}.“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2、设f(x)=g(x)=log12(2+x-6x2)的定义域依次为M和N，则M (C R N)等于（）A.[-12,32] B.(-1,1) C.(-12,23) D.(-1,-12] [23,1)3、已知a>1，集合A={x| |x-a|<1},B={x|log a x<1}，则A B等于( )A.(a-1,a+1)B.(a,a+1)C.(0,a)D.(a-1,a)4、如果函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数，那么A是( )A.(-∞,0)B.[0,12] C.[0,+∞) D.[12,+∞)5、设p:x2-x-20>0,q:21||2xx--<0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6、设有两个命题P：关于x的不等式(x+2)≥0的解集为{x|x ≥-2}；命题q:若函数y=kx2-kx-1的值恒小于0，则-4<k<0，则有（）A.“p且q”为真命题 B.“p或q”为真命题C.“⌝p”为真命题D.“⌝p”为假命题7、已知函数y=f(x)的定义域为R，值域为[-2,2]，则函数y=f(x+1)的最大值和最小值分别为（）A.1, -1B.2, -2C.3, -1D.1, -38、设f(x)为偶函数，当x>0时，都有f(x+2)= -2f(2-x)，又f(-1)=4，则f(-3)等于（）A.2B.-2C.8D.-89、已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y=x 对称，则g(x)+g(-x)的值为（ ） A.2 B.0 C.1 D.-210、若关于x 的不等式|x-1|+|x-2| ≤a 2+a+1的解集是空集，则a 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.(-1,0)C.(1,2)D.(- ∞,-1)11、若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）A.4B.2C.14D.1212、已知实数a 满足1<a<2,命题P:函数y=log a (2-ax)在区间[0,1]上是减函数，命题q:|x|<1是x<1的必要不充分条件，则( )A.“p 或q ”是真命题B.“p 且q ”为真命题 C ．“⌝p 且q ”为真命题 D ．“⌝p 或q ”是真命题 二、填空题： 13、函数y=2x -x(12≤x ≤1)的值域为________________.14、{x|y=lg(4x 2-4)} {y|y=2x 2-3}=_______________.15、设命题P ：|4x-3|≤1；命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1) ≤0，若⌝P 是⌝q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________.16、设函数f(x)在R 内有定义，下列函数(1)g(x)= -|f(x)|;(2)g(x)=xf(x 2);(3)g(x)= -f(-x);(4)g(x)=f(x)-f(-x)中必是奇函数的有____________. 三、解答题17、已知函数f(x)对一切x,y ∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y), (1)、求证：f(x)是奇函数； (2)、若f(-3)=a,用a 表示f(12).18、|a|>x 2+ax+1=0(a ∈R)两实根的平方和大于3的充要条件？若是，请证明；若不是，请说明理由，并指出是什么条件.19、已知c>0,设p:函数y=c x 在R 上单调递减，q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R,如果p 和q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.20、已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},b={x|22(1)x a x a --+<0}(1)、当a=2时，求A B ； (2)、求使B ⊆A 的实数的取值范围.21、西部某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产只能在本地销售，该地区政府每投资x万元，所得利润为p= -1160(x- 40)2+10万元，为了顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制定经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目的投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x万元，可获得利润q=-159 160(60-x)2+1192(60-x)万元，问从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？22、设函数f(x)= ax2+bx+1(a,b为实数)，F(x)=()(0)()(0) f x xf x x>⎧⎨-<⎩(1)、若f(-1)=0且对任意实数x均有f(x) ≥0成立，求F(x)的表达式；(2)、在（1）的条件下。
2024届高三新高考改革数学适应性练习(九省联考题型)(解析版)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好! 经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）数学试题卷注意事项：1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2.答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某校高三年级一名学生一学年以来七次月考物理成绩（满分100分）依次为84，78，82，84，86，89，96，则这名学生七次月考物理成绩的第70百分位数为（ ） A ．86 B ．84 C ．96 D ．895．在数列{}n a 中，已知132n n n a a ++=⋅，则{}n a 的前10项的和为（ ） A ．1023 B ．1024 C ．2046 D ．20476．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这7．已知函数()e ln x f x x x x a =−−−，若()f x 在(0,e)存在零点，则实数a 值可以是（ ）腰三角形．将长方体1111ABCD A B C D −的上底面1111D C B A 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD EFGH −．已二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =−，给出下列四个选项，正确的有（ ）.10．已知圆22:16O x y +=，点(,)P a b 在圆O 外，以线段OP 为直径作圆M ，与圆O 相交于,A B 两点，则 （ ） A ．直线,PA PB 均与圆O 相切B ．若5,4a b ==−，则直线AB 的方程为54160x y −−=C ．当4PA PB ==时，点M 在圆228x y +=上运动D ．当3PA PB ==时，点P 在圆225x y +=上运动11．e 是自然对数的底数，m ∈R ，0n >，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（ ） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，1n >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +> 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2A B =−=，则A B ∪= ．13．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠C 为直角，BC =2，EF ∥BC ，沿EF 把面AEF 折起，使面AEF ⊥面EFBC ，当四棱锥A -CBFE 的体积最大时，EF 的长为 ．四、解答题（本题共小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）周一周二周三周四周五周六周日序号x 1 2 3 4 5 6 7甲的阅读时间y/min 15 20 20 25 30 36 m乙的阅读时间z/min 16 22 25 26 32 35 35参考答案：。
高三数学下学期适应性考试七试题 文扫描 试题
师大附中2021届高考适应性月考卷〔七〕文科数学师大附中2021届高考适应性月考卷〔七〕 文科数学参考答案第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BCBDCDABDAA【解析】1．(2)(12)A B =+∞=，，，，所以A B =∅，应选D ．2．“⇒〞0a =不成立，所以“a b >〞是“320a a b ->〞的必要不充分条件，应选B ． 3．(i 1)i z -=，i 11i i 122z ∴==--，22z ∴=，应选C ． 4．{}n a 是等差数列，955395S a S a ∴==，，带入条件可得532a a +=，53412a a a +∴==，应选B ．5．由[14]x y ∈，，，作出不等式组141452x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+⎩≤≤，≤≤，≥所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率1119712223372P -⨯⨯==⨯，应选D ． 6．画出图形如图1阴影局部所示，可知其可行域为等腰直角 三角形，可知其面积为1，应选C ．7．该几何体是由一个倒立三棱锥和半个圆锥组合而成且三棱锥的底面是边长为4的等边三角形，111123434π3432π3223V =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+，应选D ．8．12F PF ∠最大时，P 为该椭圆上、下顶点，12sin 2F PF ce a ∠==，21212cos 12sin 2F PF F PF ∠∠=- 14=，126sin 24F PF ∠=，64e ∴=，应选A ．图19．2222212342015S =-+-++2(12)(12)(34)(34)(20132014)(20132014)2015=-++-+++-++2(12014)201420152+⋅=-20151008=⋅，10082015S∴=，应选B ． 10．||||1a b ==，2222()1()1x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相加得2223x y +=，sin cos x y ααα- )ϕ+，sin cos x y αα∴-，应选D ． 11．设()P x y ，1|12MP MP MN +⋅=，代入整理得22 1 (3y x y -=，以(30)，为圆心，r 为半径作圆，与该曲线相切时的r 即为P 到(30)，的最小间隔 ，2222213(3)y x x y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，，联立得2246120 x x r -+-=，2=3644(12)0r r ∆-⋅⋅-=⇒=P 到(30)，的最小间隔，应选A ． 12．22ln (0)ax x ax x x +>≤，即2ln a x a x +≤，令()2ln g x a x a x =+-，2()1ag x x'=-则，当0a < 时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上单调递减，0lim ()x g x →=+∞，不满足；当0a =时，0x -<，满足；当0a >时，()g x 在2x a =处获得最大值，(2)0g a ≤，解得a ，综上：0a ≤，应选A ． 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕【解析】13．1()2f x x x'=-，(1)1k f '==． 14．2|2|(2)5a b a b +=+=． 15．111(1)()()(1)1f x f x f x x x x x +=+=+-++，1(2)(1)12f f -=-，11(3)(2)23f f -=-， 11(2015)(2014)20142015f f -=-，，相加得14029(2015)(1)120152015f f =+-=． 16．655922230x x a a ⎧>⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩，，，解得925x <<．三、解答题〔一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕sin cos sin B A C =⋅，由正弦定理和余弦定理可得2222b c a b c bc+-=⋅，整理得222b a c +=，90C ∴∠=︒，………………………………………………………〔3分〕a b c 、、成等差数列，2b a c ∴=+，534cos 354b c a B b c a ⎧=⎪⎪∴==⎨⎪=⎪⎩，，．………………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕以C 为坐标原点，CA 为y 轴正方向，CB 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系， 设4b m =，那么(00)C ，，(04)A m ，，(30)B m ，，43G m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，AG=， 53m CG =，2222373cos 2GC GA AC AGC GC GA +-∴∠==⋅⋅．…………………………………………〔12分〕18．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕8061776769=70.85x ++++=甲，8461787064=71.45x ++++=乙，x x <甲乙，所以推荐乙参加．…………………………………………………………〔6分〕〔Ⅱ〕甲的五次成绩中高于75分的有两次，分别记为12A A 、， 不高于75分的有三次，分别记为123B B B 、、，抽取三次成绩中至少有一次高于75分，对立事件为抽取的三次成绩均不高于75分， 即没被抽到的两次均高于75分，设事件A 表示“抽到的成绩中至少有一次高于75分〞， 事件B 表示“没被抽到的成绩均高于75分〞，没被抽到成绩的根本领件为：12()A A ，，11()A B ，，12()A B ，，13()A B ，，21()A B ，，22()A B ，，23()A B ，，12()B B ，，13()B B ，，23()B B ，，一共10个，事件B 包含的根本领件有12()A A ，，一共1个，1()10P B ∴=， 9()1()10P A P B ∴=-=．…………………………………………………………………〔12分〕19．〔本小题满分是12分〕〔Ⅰ〕证明：如图2，DC CB DC CA CA CB C ⊥⊥=，，，DC ABC ∴⊥平面，DC CBED ⊂平面，ABC CBED ∴⊥平面平面．………………………〔6分〕 〔Ⅱ〕解：设D 到平面FCM 的间隔 为h ，22232CB AC AB CB AC AB ===∴=+，，，90BAC BA AC ∴∠=︒⊥，即，由〔Ⅰ〕知BA CD ⊥，AC CD C =，∴BA ACDF ⊥平面，12M AB MA AB ==是的中点，所以，CM FM ==，CF =CFM S ∴=△，2CFD S =△， D CFM M CFD V V --=，11233h ∴=，h ∴=12分〕20．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕2F 为线段1AF 的中点，1(0)F c -，，2(0)(30)F c A ，，，，23c c ∴=-，1c ∴=，122c e a b a ==∴==，，， ∴椭圆Γ的方程为22143x y +=．………………………………………………………〔4分〕 〔Ⅱ〕设11()P x y ，，直线l y kx m =+：， 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+-=，2243m k =+，12434km x k -=+，122433434km my k m k k -=+=++， 11111x k y +=，12111x k y -=， 图21121211118833x k kk kk k y k -+=⋅=⋅=-．……………………………………………………〔12分〕21．〔本小题满分是12分〕解：〔Ⅰ〕1()2(0)g x x x x '=-+>，()g x x 在处获得极大值，极大值为12g =-+⎝⎭． ………………………………………………………〔4分〕〔Ⅱ〕1[01]x ∀∈，，2(01]x ∀∈，，都有12()()f x g x ≥成立，即1min 2max ()()f x g x ≥，1[01]x ∈，，2111sin 0220x x x -+≥，≥，1()0f x ∴≥，且当10x =时，1()0f x =，1min ()0f x ∴=， 2max ()0g x ∴≤对2(01]x ∀∈，成立即可，当21x =时，该不等式成立，解得0a ≤，又2()2a g x ax x '=+，当0a =时，上式恒成立，当20a -<<时，()01g x ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦在上单调递增，在上单调递减，222max ()=02a g x g a ∴=-+， 解得2e 20a a -⇒-<<≥，当2a -≤时，()(01]g x 在，上单调递增，2max ()(1)02g x g a a ==⇒-≤≤， 综上，解得0a ≤．………………………………………………………………………〔12分〕22．〔本小题满分是10分〕【选修4−1：几何证明选讲】〔Ⅰ〕证明：如图3，AP 为⊙O 1的直径，90ABP ∴∠=︒，90CBP ∴∠=︒，同理90PCD ∠=︒，AC 为⊙O 2的切线，BCP CDP ∴∠=∠，BPC CPD ∴△∽△．………………………………………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕解：如图3，取AB 中点为E ，连接1O E ，O 2C ， 那么1O E AB ⊥，2O C AC ⊥， 21AO C AO E ∴△∽△，1122AO O E AO O C ∴=，145O E ∴=，86AE ∴， 166AB ∴．…………………………………………………………………………〔10分〕23．〔本小题满分是10分〕【选修4−4：坐标系与参数方程】解：〔Ⅰ〕由正弦定理2sin ar A=，可知该三角形的外接圆半径3r =，等边三角形重心与外心重合，∴该三角形外接圆C 2的极坐标方程为3ρ=5分〕〔Ⅱ〕曲线1C 的普通方程为22(2)(2)4x y -+-=，曲线2C 的普通方程为223x y +=， 上述两个方程作差，可得AB 所在的直线方程为4470x y +-=，(00)，到直线AB 的间隔 227244d ==+C 23 所以94||AB =．………………………………………………………………………〔10图3分〕24．〔本小题满分是10分〕【选修4−5：不等式选讲】解：〔Ⅰ〕可知当0x ≤时无解，当0x >时，()2f x x ≤可转化为不等式2312x x x --≤≤，解得115x ≤≤，满足0x >，所以解集为115⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………………………………〔5分〕〔Ⅱ〕x ∀∈R ，()|2|f x x -≤恒成立，即x ∀∈R ，|1||2|ax x --≤恒成立， 将|1||2|ax x --≤两边同时平方得2222144a x ax x x -+-+≤， 整理得22(1)(42)30a x a x -+--≤， 当1a =±时均不成立，假设x ∀∈R ，22(1)(42)30a x a x -+--≤恒成立，即22210(42)12(1)0a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-⎪⎩，≤，解得1.2a =………………………………………〔10分〕。
高三数学第七次适应性考试试题 理(扫描版)(2021年整理)
河南省息县2017届高三数学第七次适应性考试试题理（扫描版）
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河南省息县2017届高三数学第七次适应性考试试题理（扫描版)。
2024届高三新高考改革适应性练习(九省联考题型)数学卷及答案
2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学试题卷（名师教研团队命制2024.2.3）考试须知：1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 共同富裕是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是A．平均数小、方差大B．平均数小、方差小C．平均数大、方差大D．平均数大、方差小2. 已知复数zz满足|zz|=1 且zz̅=i·zz，则zz可被表示为A．cosππ4+i sin34ππB．cos34ππ+i sinππ4C．cos34ππ+i sin34ππD．cosππ4+i sinππ43. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为A．240 B．480 C．384 D．14404. 抛物线yy2=4xx的焦点为FF，已知抛物线上的三个点AA，BB，CC满足FFAA�����⃗+ FFBB�����⃗+ FFCC�����⃗=0 ，则�FFAA�����⃗�+�FFBB�����⃗�+�FFCC�����⃗�=A．4 B．5 C．6 D．75. 遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率yy与初次记忆经过的时间xx（小时）的大致关系：yy=1−0.6xx0.06若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在A．14：30B．14：00 C．13：30 D．13：006. 已知数列{aa nn}满足aa nn+1=aa nn+aa nn+2(nn∈NN∗)，aa1aa2=4 且aa1,aa2>0 ，则aa1+aa2+⋯+aa2024的最小值是A．4 B．3 C．2 D．17. 已知函数ff(xx)=xx4+4xx3+2(mm+2)xx2+mmxx图像上的一极大值点为(−2,0)，则实数mm的取值范围为A．(−2,+∞)B．(−4,−2]C．(−∞,−2]D．(−∞,−2)8. 在正三棱锥PP−AABBCC中，侧棱PPAA与底面AABBCC所成的角为 60° ，且AABB=3 ，则三棱锥PP−AABBCC外接球的表面积为A．8ππB．12ππC．16ππD．18ππ二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9. 已知aa=sin(sin2024°)，bb=sin(cos2024°) ，cc=cos(sin2024°)，dd=cos(cos2024°)，则A．aa<cc B．bb<dd C．bb<aa D．dd<cc10. 已知长轴长、短轴长和焦距分别为 2aa、2bb和 2cc的椭圆ΩΩ，点AA是椭圆ΩΩ与其长轴的一个交点，点BB是椭圆ΩΩ与其短轴的一个交点，点FF1和FF2为其焦点，AABB⊥BBFF1．点PP在椭圆ΩΩ上，若PPFF1⊥PPFF2，则A．aa，bb，cc成等差数列B．aa，bb，cc成等比数列C．椭圆ΩΩ的离心率ee=√5+1D．△AABBFF1的面积不小于△PPFF1FF2的面积11. 积性函数ff(xx)指对于所有互质的整数aa和bb有ff(aabb)=ff(aa)ff(bb)的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有A．高斯函数[nn]表示不大于实数nn的最大整数B．最大公约数函数 gcd(nn,kk)表示正整数nn与kk的最大公约数（kk是常数）C．幂次函数VV mm(nn)表示正整数nn质因数分解后含mm的幂次数（mm是常数）D．欧拉函数φφ(nn)表示小于正整数nn的正整数中满足与nn互质的数的数目三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知函数ff(xx)=(xx2−aaxx+aa)ln(xx+1) ,aa∈RR的图像经过四个象限，则实数aa的取值范围是______________．13. 已知等差数列{aa nn}和等比数列{bb nn}满足aa1+aa2=bb1+bb2=30 ，aa3+aa4=bb3+bb4=10 ，则数列{aa nn bb nn}在nn=______________时取到最小值．14. 抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线CC:xx2=4yy上的点PP（不为原点）作CC的切线ll，过坐标原点OO作OOOO⊥ll，垂足为OO，直线PPFF（FF为抛物线的焦点）与直线OOOO交于点TT，点AA(2,0)，则|TTAA|的取值范围是______________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）第一象限的点AA在抛物线ΓΓ1:yy2=2xx上，过点AA作AABB⊥yy轴于点BB，点PP为AABB中点．（1）求PP的运动轨迹为曲线2的方程；（2）记ΓΓ1,ΓΓ2的焦点分别为FF1,FF2，则四边形AAPPFF1FF2的面积是否有最值？16.（15分）如图，已知四棱锥PP−AABBCCAA的底面AABBCCAA是矩形且棱PPAA垂直于其底面．OO为棱PPAA上一点，PPAA= AABB．（1）若OO为PPAA中点，证明：PPBB⊥平面AACCOO；（2）若AAOO为△AAAAPP的高，AAAA=√2AAPP，求二面角PP−AACC−OO的正弦值．17.（15分）从集合{xx∈NN∗|1≤xx≤9}中随机抽取若干个数（大于等于一个）．（1）求这些数排序后能成等比数列的概率；（2）求这些数排序后能成等差数列的概率．18.（17分）已知函数ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)．（1）若ff(xx)的零点也是其的极值点，求aa；（2）若ff(xx)的图像经过四个象限，求aa的取值范围．19.（17分）对于非空集合GG，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”(GG,×)，简记为GG×．而判断GG×是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb∈GG，都须满足aa×bb∈GG；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意aa,bb,cc∈GG，都须满足aa×(bb×cc)=(aa×bb)×cc；3.（恒等元）存在ee∈GG，使得对任意aa∈GG，ee×aa=aa；4.（逆的存在性）对任意aa∈GG，都存在bb∈GG，使得aa×bb=bb×aa=ee．记群GG×所含的元素个数为nn，则群GG×也称作“nn阶群”．若群GG×的“×”运算满足交换律，即对任意aa,bb∈GG，aa×bb=bb×aa，我们称GG×为一个阿贝尔群（或交换群）．（1）证明：所有实数在普通加法运算下构成群RR+；（2）记CC为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得CC在该运算下构成一个群CC×，并说明理由；（3）所有阶数小于等于四的群GG×是否都是阿贝尔群？请说明理由．2024年新高考改革适应性练习（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C A A D C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）题号91011答案ABD BD ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案�−12,0�5或6�√5−1,√5+1�四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）设AA(xx0,yy0)，则有yy02=2xx0，则BB(0,yy0)，因为PP是AABB的中点，所以PP�xx02,yy0�，则yy02=2xx0=4�xx02�，即yy PP2=4xx PP，故点PP在抛物线ΓΓ1:yy2=4xx(yy>0)的上运动．（4分）（2）因为AAPP与FF1FF2平行，所以四边形AAPPFF1FF2是梯形，其上底为AAPP=12xx AA=12xx0，下底为FF1FF2=pp12−pp22=2−1=1 ，高为yy AA=yy0，所以其面积SS=yy02�12xx0+1�，又yy02=2xx0，所以SS=yy02�yy024+1�=18yy03+yy02(yy0>0)（8分）令ff(yy0)=18yy03+yy02(yy0>0)，则ff′(yy0)=38yy02+12>0 ，所以ff(yy0)即SS关于yy0单调递增，（10分）又当yy0→0 时，SS→0 ；yy0→+∞时，SS→+∞，所以SS在yy0∈(0,+∞)上没有最值．（13分）16.（15分）（1）如答图，取PPAA中点FF，连接EEFF，BBFF，因为FF，EE分别为PPAA，PPPP的中点，所以EEFF//AAPP，EEFF=12AAPP．因为AAPP//BBBB，AAPP=2BBBB，所以FFEE//BBBB，EEFF=BBBB，所以四边形EEFFBBBB为平行四边形，BBFF//BBEE，因为BBFF⊂平面PPAABB，BBEE⊄平面PPAABB，所以BBEE//平面PPAABB．（6分）（2）过点BB作BBBB⊥AABB于点BB，连接FFBB．因为BBFF//BBEE，所以直线BBEE与平面PPAABB所成角和直线BBFF与平面PPAABB所成角相等，因为PPAA⊥平面AABBBBPP，BBBB⊂平面AABBBBPP，所以BBBB⊥PPAA，因为PPAA∩AABB=AA，PPAA ,AABB⊂平面PPAABB，所以BBBB⊥平面PPAABB，所以∠BBFFBB为直线BBFF与平面PPAABB所成角，（11分）BBFF=√22+12=√5 ，AABB=√22+12=√5 ，BBBB=1×2√5=2√55，所以sin∠BBFFBB=BBBB BBFF=2√55√5=25故直线BBEE与平面PPAABB所成角的正弦值为25．（15分）17.（15分）（1）若5、7在所抽取的数里，由于其是质数，且无法找到其他被其整除的数，故5、7不能被抽取到．①若抽取的数有1，（I）若抽取三个数，设其他两个数为aa,bb(aa<bb)，则aa2=bb，符合条件的(aa,bb)只能为(2,4)和(3,9)两组，此时所抽取的数为(1,2,4)和(1,3,9)，共两组；（II）若所抽取的数的个数大于3，记此等比数列的公比为qq，则qq≥2 ．若qq=2 ，则所抽取的数为(1,2,4,8)；若qq≥3 ，则该等比数列的最大一项大于等于 33=27 ，明显不符合题意，故该情况仅有(1,2,4,8)1组符合条件．②若抽取的数无1，则抽取的数应在{2,3,4,6,8,9}中．该等比数列公比qq≥2 ，因此若最小的一项为3，则最大一项≥3×22=12 ，矛盾，所以最小的一项应为2．易知符合条件的仅有(2,4,8)1组．综合上述情况，仅有(1,2,4)，(1,3,9)，(1,2,4,8)，(2,4,8)共4组符合条件．（4分）而抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP=4511．（6分）（2）①当抽取的数有3项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3)，(2,3,4)，…，(7,8,9)共7组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5)，(2,4,6)，…，(5,7,9)共5组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd=3 ，则有(1,4,7)，(2,5,8)，(3,6,9)共3组符合条件．（IV）若该等差数列的公差dd=4 ，则仅有(1,5,9)1组符合条件．（V）若该等差数列的公差dd≥5 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 7+5+3+1=16 组符合条件．（8分）②当抽取的数有4项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4)，(2,3,4,5)，…，(6,7,8,9)共6组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则有(1,3,5,7)，(2,4,6,8)，(3,5,7,9)共3组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 6+3=9 组符合条件．（10分）③当抽取的数有5项时，（I）若该等差数列的公差dd=1 ，则有(1,2,3,4,5)，(2,3,4,5,6)，…，(5,6,7,8,9)共5组符合条件．（II）若该等差数列的公差dd=2 ，则仅有(1,3,5,7,9)1组符合条件．（III）若该等差数列的公差dd≥3 ，则没有满足条件的选取组合．故此情况共有 5+1=6 组符合条件．（12分）以此类推，当抽取6、7、8、9项时，都当且仅当公差为1时有符合条件的选取组合，分别有4、3、2、1组，综上所述，满足条件的选取组合共有 16+9+6+4+3+2+1=41 组，（14分）由（1），抽取的所有结果共有 29−1=511 种，故概率PP2=41511．（15分）18.（17分）（1）ff(xx)=aaxx−(xx+2)ln(xx+1)，xx∈(−1,+∞)，（2分）观察得ff(0)=0 ，即xx=0 为其零点，（4分）ff′(xx)=aa−1−1xx+1−ln(xx+1)所以ff′(0)=aa−2=0 ，即aa=2 ．故aa的值为2．（6分）（2）由（1）得yy=ff(xx)必经过原点，若需使yy=ff(xx)经过四个象限，则ff(xx)需在区间(−1,0)和(0,+∞)上均至少存在一个零点，令 ff (xx )=aaxx −(xx +2)ln (xx +1)=0 ⟹aa =(xx+2)ln (xx+1)xx (xx ≠0) 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根． 设函数 gg (xx )=(xx +2)ln (xx +1)xx，gg ′(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1)(xx +1)xx 2 ， 令 ℎ(xx )=xx 2+2xx −2(xx +1)ln (xx +1) ，ℎ′(xx )=2[xx −ln (xx +1)] ， 令 φφ(xx )=xx −ln (xx +1) ，φφ′(xx )=xx xx+1 ，当 xx ∈(−1,0) 时，φφ′(xx )<0 ，φφ(xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞) 时，φφ′(xx )>0 ，φφ(xx ) 单调递增．所以 xx =0 是 φφ(xx ) 的极小值点，φφ(xx )min =φφ(0)=0 ． 所以 φφ(xx )≥0 恒成立，即 ℎ′(xx )≥0 ，故 ℎ(xx ) 单调递增．又 ℎ(0)=0 ，所以当 xx ∈(−1,0)时，ℎ(xx )<ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )<0 ，所以 gg (xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞)时，ℎ(xx )>ℎ′(0)=0 ，即 gg ′(xx )>0 ，所以 gg (xx ) 单调递增．又当 xx →0 时，gg (xx )→2 ，所以要使得 gg (xx )=aa 在 (−1,0) 和 (0,+∞) 上均有根，aa 需满足 aa ∈(2,+∞) ． 综上所述，若 ff (xx ) 的图像经过四个象限，则 aa ∈(2,+∞) ． （17分） （方法不唯一，若考生从极值点等其他角度入手，依据实际情况酌情赋分）19.（17分）（1）我们需证 RR 在普通加法下可构成一个群，由题意，需从以下四个方面进行验证：①封闭性：对 aa ,bb ∈RR ，则 aa +bb ∈RR ，封闭性成立．（1分） ②结合律：对 aa ,bb ,cc ∈RR ，aa +(bb +cc )=(aa +bb )+cc ，结合律成立． （2分）③恒等元：取 ee =0∈RR ，则对任意 aa ∈RR ，0+aa =aa ．符合恒等元要求．（3分） ④逆：对任意 aa ∈RR ，bb =−aa ∈RR ，且 aa +bb =aa +(−aa )=0=ee ，满足逆的存在性．（4分）综上所述，所有实数在普通加法运算下可构成群 RR + ． （2）首先提出，BB 的“×”运算可以是复数的乘法：zz 1zz 2 (∀zz 1,zz 2∈BB ) ，理由如下．（6分）即证明 SS 在普通乘法下可构成一个群，同（1），需从四方面进行验证：①封闭性：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，其中 zz 1,zz 2∈BB ，即 aa 2+bb 2=cc 2+dd 2=1 ．则 zz 1zz 2=(aa +bb i )(cc +dd i )=(aacc −bbdd )+(aadd +bbcc )i ， 所以 |zz 1zz 2|=�(aacc −bbdd )2+(aadd +bbcc )2=√aa 2cc 2+bb 2dd 2+aa 2dd 2+bb 2cc 2 =�cc 2(aa 2+bb 2)+dd 2(aa 2+bb 2)=√cc 2+dd 2=1 ，即 zz 1zz 2∈BB ，封闭性成立． （7分） ②结合律：设 zz 1=aa +bb i ，zz 2=cc +dd i ，zz 3=ee +ff i ，其中 zz 1,zz 2,zz 3∈BB ，zz1(zz2zz3)=(aa+bb i)[(ccee−ddff)+(ccff+ddee)i]=[aa(ccee−ddff)−bb(ccff+ddee)]+[aa(ccff+ddee)+bb(ccee−ddff)]i(zz1zz2)zz3=[(aacc−bbdd)+(aadd+bbcc)i](ee+ff i)=[ee(aacc−bbdd)−ff(aadd+bbcc)]+[ff(aacc−bbdd)+ee(aadd+bbcc)]对比后容易发现，zz1(zz2zz3)和(zz1zz2)zz3实部和虚部分别对应相等，即zz1(zz2zz3)=(zz1zz2)zz3，结合律成立．（8分）③恒等元：取ee=1∈BB，则对任意zz∈BB，1·zz=zz，符合恒等元要求．（9分）④逆的存在性：对任意zz=aa+bb i∈BB，取其共轭zz̅=aa−bb i ，则zz·zz̅=aa2+bb2=1=ee，满足逆的存在性．（10分）综上所述，BB在复数的乘法运算下构成一个群BB×．（构造不唯一，证明方法也不唯一，本题较为开放，不同的方法应据实际情况酌情赋分）（3）所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群，理由如下．（11分）若群GG×的阶数为0，则GG为空集，与定义矛盾．所以GG×的阶数为1,2,3,4．下逐一证明．①若群GG×的阶数为1，则其唯一的元素为其恒等元，明显符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（12分）②若群GG×的阶数为2，设其元素为ee,aa，其中ee是恒等元，则ee×aa=aa×ee=aa，符合交换律，故此时GG×是阿贝尔群．（13分）③若群GG×的阶数为3，设其元素为ee,aa,bb，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．若aa×bb=aa，又aa×ee=aa，推出bb=ee，则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．所以aa×bb=ee．现要验证交换律，即aa×bb=bb×aa=ee．事实上，若bb×aa≠ee，有前知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以bb×aa∉GG×，与群的封闭性矛盾．所以aa×bb=bb×aa，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（15分）④若群GG×的阶数为4，设其元素为ee,aa,bb,cc，其中ee是恒等元，由群的封闭性，aa×bb∈GG×．由③的分析可知，bb×aa≠aa且bb×aa≠bb，所以aa×bb=ee或aa×bb=cc．若aa×bb=ee．由群中逆的存在性，群GG×中存在一个元素rr使得rrcc=ee，很明显rr≠ee，所以rr=aa或rr=bb．假设rr=aa，即aa×cc=ee，又aa×bb=ee，推出bb=cc则集合GG有两个相同的元素，不满足集合的唯一性，矛盾．故只能aa×bb=cc．先证交换律对aa,bb成立，即aa×bb=bb×aa．事实上，若bb×aa≠aa×bb=cc，则由aa×bb∈GG×，aa×bb只能等于ee．又cc×ee=cc≠ee，cc×bb≠aa×bb=ee（cc和aa同理），不满足群中逆的存在性，矛盾．所以aa×bb=bb×aa=cc．交换律对aa,bb成立．接下来只需证交换律对aa,cc和bb,cc也成立．事实上，由aa和bb的对称性，只需证aa,cc即可．由群中逆的存在性，存在qq∈{aa,bb}使得qq×cc=ee．（I）若qq=aa，则只需证cc×aa=aa×cc=ee．事实上，若cc×aa≠aa×cc=ee，由群的封闭性，cc×aa∈GG×，所以cc×aa只能等于bb，又由前有aa×bb=cc，得cc×aa=aa×bb×aa=bb，即aa×aa=1 ，但aa是任取的，该结论具有局限性，不对一般的aa成立，故矛盾．即cc×aa=aa×cc，此时交换律对aa,cc成立．（II）若qq=bb．群中逆的存在性，存在pp∈{bb,cc}使得pp×aa=ee，又aa×bb=cc≠ee，所以pp只能等于cc，即aa×cc=ee，即证cc×aa=aa×cc=ee，接下来的证法同（I），反证法推出矛盾即可．即此时交换律对aa,cc成立．故群GG×的阶数为4时，交换律成立，故此时GG×是阿贝尔群．（17分）综上所述，所有阶数小于等于四的群GG×都是阿贝尔群．。
贵州省贵阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性月考(七)(二模)数学试卷
贵州省贵阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性月考（七）（二模）数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（）A．7.5 B．8 C．7 D．42．抛物线4y2+x=0的焦点坐标为（）A．(0,−1)B．(−1,0)C．0,−116D． −116,03．等比数列a n的前n项和为S n,a3=1,S3=3，则a4的值为（）A．1或-1 B．12或−12C．1或−12D．-1或124．设l为直线，α为平面，则l//α的一个充要条件是（）A．α内存在一条直线与l平行B．l平行α内无数条直线C．垂直于α的直线都垂直于l D．存在一个与α平行的平面经过l5．已知x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5，则a2=（）A．15 B．10 C．-10 D．-156．已知过点P(2,2)的直线l与圆C:(x−1)2+y2=5相切，且与直线l1:ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．12C．−12D．-27．已知cosα−cosβ=53,sinα−sinβ=−23，则tan(α+β)的值为（）A．−45B．45C．−25D．258．已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，O为坐标原点，左顶点为A,M是E上一点，△AOM为等腰三角形，且外接圆的周长为3aπ，则双曲线E的离心率为（）A．2267B．314C．1057D．304二、多选题9．已知复数z=1+2i,z1=a+b i(a,b∈R)(i为虚数单位)，z为z的共轭复数.则下列结论正确的是（）A．z的虚部为−2i B．|z||z|=1C．z2=|z|2D．若z−z1≤1，则在复平面内z1对应的点形成的图形的面积为π10．函数f(x)=A tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则（）A．ω⋅φ=2π3B．f(x)在0,π3上的值域为(−∞,−3]∪[3,+∞)C．函数y=|f(x)|的图象关于直线x=5π3对称D．若函数y=|f(x)|+λf(x)在区间 −5π6,π6上不单调，则实数λ的取值范围是[−1,1]11．定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=g(x)−g(−x)+3=f(3−x)，对∀x1,x2∈(1,2]，x1≠x2，恒有f x1−f x2x2−x1<0，则下列命题是真命题的有（）A．(2025,3)是f(x)图象的一个对称中心B．f(x)在区间(2024,2026)上单调递减C．对∀x∈40512,40532，恒有f(x)>f(x+1) D．2026n=1f(n)>6078三、填空题12．已知集合A=x|x2−2x−3≤0,x∈R，集合B=x|log a x>1,a>0,且a≠1，若A∩B=∅，则a的取值范围是.13．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2a cos B=c−a.当c+4ab取最小值时，A=. 14．已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为πab(a>b>0)，现要切割加工一个底面半径为23、高为3的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为30∘，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为.四、解答题15．已知函数f(x)=ax ln x+12x,a∈R.(1)当a=1时.求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若方程f(x)=x3+12x存两个不等的实数根，求a的取值范围.16．一个袋子中放有10个大小相同的小球，其中有5个红球，5个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球.若第一次抽出后不放回.(1)求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率;(2)若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数X的概率分布和数学期望.17．如图.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面为菱形，且∠DAB=60°,E,O分別是上，下底面的中心，F是AB的中点，AB=kAA1.(1)当k=2时，求直线A1F与直线EC所成角的余弦值；(2)是否存在实数k，使得O在平面EBC内的射影O1恰好为△EBC的重心.若存在，求出点O1的坐标;若不存在，请说明理由.18．一动圆圆C与圆O1:(x+1)2+y2=14外切，同时与圆O2:(x−1)2+y2=494内切.设动圆圆心C的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若曲线E与x轴的左、右交点分别为A、B，过点T(1,0)的直线l与曲线E交于P、Q两点，直线AP、BQ相交于点D，当点D的纵坐标为33时，若QM=λMP，求|DM|的最小值.19．给定数列a n，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n,m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列a n为“指数型数列".+1是不是“指数(1)已知数列a n满足a1=1,a n=2a n a n+1+3a n+1n∈N∗，判断数列1a n型数列"？若是，请给出证明，若不是，请说明理由;a∈N∗，证明:数列a n中任意三项都不能构成(2)若数列a n是“指数型数列”，且a1=a+2a+3等差数列.。
(九省联考题型)2024届高三新高考改革数学适应性练习(7)(含答案)
2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.14）1.2. 3.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40考生须知本卷共四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知 x 与 y 之间的一组数据：则 y 与 x 的线性回归方程 y ̂=b ̂x +a ̂ 必过定点 A ．(0.5，3)B ．(1.5，0)C ．(1，2)D ．(2，4)2. 已知复数 z =i 4−i ，则 z 对应的点 Z 在复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 已知在空间直角坐标系中，直线 l 经过 A (3,3,3) ，B (0,6,0) 两点，则点 P (0,0,6) 到直线 l 的距离是 A ．6√2B ．2√3C ．2√6D ．3√24. 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy ）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有(a 12+a 22+a 32)(b 12+b 22+b 32)≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是 A ．14B ．12C ．10D ．85. 在圆 x 2+y 2=5x 内，过点 (52,32) 有 n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项 a 1 ，最大弦长为 a n ，若公差 d ∈[16,13] ，那么 n 的取值集合为 A ．{4,5,6,7}B ．{3,4,5,6}C ．{4,5,6}D ．{3,4,5}6. 已知在 △ABC 中，BC =3 ，角 A 的平分线交 BC 于点 D ，若 CD =2BD ，则 △ABC面积的最大值是 A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知直线 l 与抛物线 C:y 2=4x 交于 A ，B 两点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4 ，则 |AB | 的最小值是 A ．4B ．4√2C ．8D ．168. 若函数 f (x )=a x +b x 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a 和 b 的可能取值是A ．a =ln 1.1,b =10B ．a =ln 11,b =0.1C ．a =e 0.2,b =0.8D ．a =e −0.2,b =1.8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 若 △ABC 的三个内角为 A,B,C ，则下列说法正确的有A ．sin A ,sinB ,sinC 一定能构成三角形的三条边 B ．sin 2A ,sin 2B ,sin 2C 一定能构成三角形的三条边 C ．sin 2A ,sin 2B ,sin 2C 一定能构成三角形的三条边D ．√sin A ,√sin B ,√sin C 一定能构成三角形的三条边10. 已知离散型随机变量 X 服从二项分布 B (n,p ) ，其中 n ∈N ∗ ，p ∈(0,1) ，记 X 为奇数的概率为 a ，X 为偶数的概率为 b ，则下列说法正确的有 A ．a +b =1B ．p =12 时，a =bC ．p ∈(0,12) 时，a 与 n 正相关D ．p ∈(12,1) 时，a 与 n 负相关11. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，函数 f (x 2+x ) 是定义在 R 上的奇函数，函数 g (x )=f(x2−1) ，则下列式子正确的有4A．g(1)=0B．f(2)=02C．f(4)=0 D．g(x+1)=−g(x)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知 α 为第四象限角，sinα+cosα=1，则 tanα=_________．513.设 a,b 为实数，且 ab≠0 ，虚数 z 为方程 ax2+bx+a=0 的一个根，则|z|的值为_________．14.已知首项为2、公差为 d 的等差数列{a n}满足：对任意的不相等的两个正整数 i ，j ，都存在正整数 k ，使得 a i+a j=a k成立，则 d 的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知数列{a n}的前 n 项和 S n满足 S n=2a n−n ．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设 b n=(2n+1)(a n+1)，求数列{b n}的前 n 项和 T n．16.（15分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 X ，求当 P(X=k)最大时 k 的值（k∈N∗）．17.（15分）已知函数 f (x )=e x −a ln (x +1) ． （1）当 a =1 时，求 f (x ) 的最小值； （2）若 a ≥4 ，判断 f (x ) 的零点个数． 参考数据：ln 2≈0.693 ，e ≈2.718 ．18.（17分）如右图，已知 Rt △ABC 的直角边 AB =6 ，BC =4 ，点 F 1,F 2 是 BC 从左到右的四等分点（非中点）．已知椭圆 Γ 所在的平面⊥平面 ABC ，且其左右顶点为 B,C ，左右焦点为 F 1,F 2 ，点 P 在 Γ 上．（1）求三棱锥 A −F 1F 2P 体积的最大值； （2）证明：二面角 F 1−AP −F 2 不小于60°． 19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 △ABC 的三个内角均小于 120° 时，使得 ∠AOB =∠BOC =∠COA =120° 的点 O 即为费马点；当 △ABC 有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点．已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且cos 2B +cos 2C −cos 2A =1（1）求 A ；（2）若 bc =2 ，设点 P 为 △ABC 的费马点，求 PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； （3）设点 P 为 △ABC 的费马点，|PB |+|PC |=t |PA | ，求实数 t 的最小值．2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.14）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知xx与yy之间的一组数据：xx0 1 2 3yy 1 3 5 7则yy与xx的线性回归方程yy�=bb�xx+aa�必过定点A．(0.5，3) B．(1.5，0) C．(1，2) D．(2，4)2. 已知复数zz=i4−i ，则zz ZZ在复平面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3. 已知在空间直角坐标系中，直线ll经过AA(3,3,3)，BB(0,6,0)两点，则点PP(0,0,6)到直线ll的距离是A．6√2B．2√3C．2√6D．3√24. 柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步．该不等式的三元形式如下：对实数aa1,aa2,aa3和bb1,bb2,bb3，有(aa12+aa22+aa32)(bb12+bb22+bb32)≥(aa1bb1+aa2bb2+aa3bb3)2等号成立当且仅当aa1bb 1=aa2bb 2= aa3bb3已知xx2+yy2+zz2=14 ，请你用柯西不等式，求出xx+2yy+3zz的最大值是A．14 B．12 C．10 D．85. 在圆xx2+yy2=5xx内，过点�52,32�有nn条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项aa1，最大弦长为aa nn，若公差dd∈�16,13�，那么nn的取值集合为A．{4,5,6,7}B．{3,4,5,6}C．{4,5,6}D．{3,4,5}6. 已知在△AABBAA中，BBAA=3 ，角AA的平分线交BBAA于点DD，若AADD=2BBDD，则△AABBAA面积的最大值是A．1 B．2 C．3 D．47. 已知直线ll与抛物线AA:yy2=4xx交于AA，BB两点，若OOAA�����⃗·OOAA�����⃗=−4 ，则|AABB|的最小值是A．4 B．4√2C．8 D．168. 若函数ff(xx)=aa xx+bb xx在(0,+∞)上单调递增，则aa和bb的可能取值是A．aa=ln1.1,bb=10B．aa=ln11,bb=0.1C．aa=ee0.2,bb=0.8D．aa=ee−0.2,bb=1.8二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 若△AABBAA的三个内角为AA,BB,AA，则下列说法正确的有A．sin AA,sin BB,sin AA一定能构成三角形的三条边B．sin2AA,sin2BB,sin2AA一定能构成三角形的三条边C．sin2AA,sin2BB,sin2AA一定能构成三角形的三条边D．√sin AA,√sin BB,√sin AA一定能构成三角形的三条边10. 已知离散型随机变量XX服从二项分布BB(nn,pp)，其中nn∈NN∗，pp∈(0,1)，记XX为奇数的概率为aa，XX为偶数的概率为bb，则下列说法正确的有A．aa+bb=1B．pp=12时，aa=bbC．pp∈�0,12�时，aa与nn正相关D．pp∈�12,1�时，aa与nn负相关11. 已知函数ff(xx)的定义域为RR，函数ff(xx2+xx)是定义在 R 上的奇函数，函数gg(xx)=ff�xx2−14�，则下列式子正确的有A．gg�12�=0B．ff(2)=0C．ff(4)=0 D．gg(xx+1)=−gg(xx)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 已知αα为第四象限角，sinαα+cosαα=15，则 tanαα=_________．13. 设aa,bb为实数，且aabb≠0 ，虚数zz为方程aaxx2+bbxx+aa=0 的一个根，则|zz|的值为_________．14. 已知首项为2、公差为dd的等差数列{aa nn}满足：对任意的不相等的两个正整数ii，jj，都存在正整数kk，使得aa ii+aa jj=aa kk成立，则dd的取值范围是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知数列{aa nn}的前nn项和SS nn满足SS nn=2aa nn−nn．（1）求数列{aa nn}的通项公式；（2）设bb nn=(2nn+1)(aa nn+1)，求数列{bb nn}的前nn项和TT nn．16.（15分）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%．（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为XX，求当PP(XX=kk)最大时kk的值（kk∈NN∗）．17.（15分）已知函数ff(xx)=ee xx−aa ln(xx+1)．（1）当aa=1 时，求ff(xx)的最小值；（2）若aa≥4 ，判断ff(xx)的零点个数．参考数据：ln2≈0.693 ，ee≈2.718 ．18.（17分）如右图，已知RRRR△AABBAA的直角边AABB=6 ，BBAA=4 ，点FF1,FF2是BBAA从左到右的四等分点（非中点）．已知椭圆ΓΓ所在的平面⊥平面AABBAA，且其左右顶点为BB,AA，左右焦点为FF1,FF2，点PP在ΓΓ上．（1）求三棱锥AA−FF1FF2PP体积的最大值；（2）证明：二面角FF1−AAPP−FF2不小于60°．19.（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△AABBAA 的三个内角均小于 120° 时，使得∠AAOOBB=∠BBOOAA=∠AAOOAA=120° 的点OO即为费马点；当△AABBAA有一个内角大于或等于 120° 时，最大内角的顶点为费马点．已知△AABBAA的内角AA,BB,AA所对的边分别为aa,bb,cc，且cos2BB+cos2AA−cos2AA=1（1）求AA；�����⃗·PPBB�����⃗+PPBB�����⃗·PPAA�����⃗+PPAA�����⃗·PPAA�����⃗；（2）若bbcc=2 ，设点PP为△AABBAA的费马点，求PPAA（3）设点PP为△AABBAA的费马点，|PPBB|+|PPAA|=RR|PPAA|，求实数RR的最小值．2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C A A C B D二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案AD ABC ABD【附】评分表9-11题（每题满分6分）得分情况正确选项个数2个（如AD）选对1个（选A或D）3分选对2个（选AD）6分3个（如ABC）选对1个（选A或B或C）2分选对2个（选AB或BC或AC）4分选对3个（选ABC）6分（注：有选错的得0分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号12 13 14答案−34 1 dd∈�2mm�mm∈NN∗�∪{−2}四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意SS nn=2aa nn−nn，当nn=1 时，aa1=SS1=2aa1−1 ，解得aa1=1 ，当nn≥2 时，SS nn=2aa nn−nn，①SS nn−1=2aa nn−1−nn+1 ，②①-②得aa nn=2aa nn−1+1 即aa nn+1=2(aa nn−1+1)，∵aa1+1=2≠0 ，∴aa nn−1+1≠0 ，∴aa nn+1aa nn−1+1=2 ，∴{aa nn +1} 是以首项为2，公比为2的等比数列，则 aa nn +1=2⋅2nn−1=2nn ，∴aa nn =2nn −1 ． （2）由上可知：bb nn =(2nn +1)⋅2nn ，所以 TT nn =3⋅2+5⋅22+7⋅23+⋯+(2nn −1)⋅2nn−1+(2nn +1)⋅2nn ， 2TT nn =3⋅22+5⋅23+7⋅24+⋯+(2nn −1)⋅2nn +(2nn +1)⋅2nn+1 ，∴−TT nn =6+2(22+23+24+⋯+2nn )−(2nn +1)⋅2nn+1 ， ∴TT nn =2+(2nn −1)⋅2nn+1 ．16.（15分）（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件 AA ， “一次应答被采纳”为事件 BB ， 由题意 PP�AA�=0.1 ，PP (BB |AA )=0.8 ，PP (BB |AA ̄)=0.3 ，则 PP (AA )=1−PP�AA�=0.9 ， PP (BB )=PP (AABB )+PP (AĀBB )=PP (AA )PP (BB |AA )+PP (AA ̄)PP (BB |AA ̄)=0.9×0.8+0.1×0.3=0.75 （2）依题意，XX ∼BB �8,34� ，PP (XX =kk )=AA 8kk�34�kk �14�8−kk 当 PP (XX =kk ) 最大时，有 �PP (XX =kk )≥PP (XX =kk +1)PP (XX =kk )≥PP (XX =kk −1)，即⎩⎪⎨AA kk �34�kk�14�8−kk ≥AA 8kk+1�34�kk+1�14�7−kk AA 8kk �34�kk �14�8−kk ≥AA 8kk−1�34�kk−1�14�9−kk解得234≤kk ≤274，kk ∈NN ，故当 PP (XX =kk ) 最大时，kk =6 ． 17.（15分）（1）当 aa =1 时，ff (xx )=ee xx −aa ln (xx +1) (xx >−1) ，则 ff ′(xx )=ee xx −1xx+1 ， ff ′′(xx )=ee xx +1(xx +1)2>0所以 ff ′(xx ) 单调递增，注意到 ff ′(0)=0 ，所以当 xx ∈(−1,0) 时，ff ′(xx )<ff (0)=0 ，ff (xx ) 单调递减；当 xx ∈(0,+∞) 时，ff ′(xx )>ff (0)=0 ，ff (xx ) 单调递增．所以 xx =0 是 ff (xx ) 的极小值点，ff (0)min =ff (0)=1 ．（2）由题意，ff(xx)=ee xx−aa ln(xx+1)(xx>−1)，ff′(xx)=ee xx−aa xx+1，ff′′(xx)=ee xx+aa(xx+1)2，又aa≥4 ，所以ff′′(xx)>0 ，ff′(xx)单调递增，因为ff′(0)=1−aa<0 ，ff′(ln aa)=aa ln aa ln aa+1>0 ，由零点存在性定理，存在唯一的xx0∈(0,ln aa)，使ff′(xx0)=0 ，所以当xx∈(−1,xx0)时，ff′(xx)<0 ，ff(xx)单调递减；当xx∈(xx0,+∞)时，ff′(xx)>0 ，ff(xx)单调递增．又ff(0)=1 ，ff(1)=ee−aa ln2≤ee−4ln2≈2.718−4×0.693=−0.054<0，所以ff(xx)在(0,1)上有1个零点．令ℎ(aa)=ff(aa−1)=ee aa−1−aa ln aa(aa≥4)，则ℎ′(aa)=ee aa−1−ln aa−1 ，令pp(aa)=ee aa−1−ln aa−1(aa≥4)，则pp′(aa)=ee aa−1−1aa≥ee3−14>0 ．所以pp(aa)单调递增，pp(aa)≥pp(4)=ee3−ln4−1>0 ，所以ℎ(aa)单调递增，ℎ(aa)≥ℎ(4)=ee3−4ln4>23−4×2=0 ，即ff(aa−1)>0 ，故ff(xx)在(1,aa−1)内有1个零点．综上，当aa≥4 时，ff(xx)的零点个数为2．18.（17分）取BBAA中点OO，在AAAA上取一点QQ使得OOQQ⊥BBAA，�����⃗为xx正方向，BBAA的中垂线ll的方向向量uu为yy轴正方向，OOQQ������⃗为zz轴正方向，以OO为坐标原点，OOAA建立空间直角坐标系OOxxyyzz．（1）设点PP(xx0,yy0)．椭圆ΓΓ的方程为xx2aa2+yy2bb2=1 (aa>bb>0)．由题意，易知OOBB=OOAA=12BBAA=2 ，OOFF1=OOFF2=14BBAA=1 ，则aa=OOAA=2 ，cc=OOFF1=√aa2−bb2=1 ，解得bb=√3 ，所以ΓΓ:xx24+yy23=1 ．VV AA−FF1FF2PP=13·ℎ·SS△FF1FF2PP=SS△FF1FF2PP=12·|FF1FF2|·|yy0|=|yy0|≤bb=√3故三棱锥AA−FF1FF2PP体积的最大值是√3 ．（2）易知AA(−2,0,3)，FF1(0,−1,0)，FF2(0,1,0)，设PP�√3cosθθ,2sinθθ,0�(cosθθ≠0)，则AAFF1�������⃗=(0,1,−3)，FF1PP�������⃗=�√3cosθθ,2sinθθ+1,0�，设平面AAPPFF1的一个法向量nn1=(xx,yy,zz)，则�nn1·AAFF1�������⃗=yy−3zz=0nn1·FF1PP�������⃗=√3xx cosθθ+(2sinθθ+1)yy=0令yy=3cosθθ，则xx=−√3(2sinθθ+1)，zz=cosθθ，所以平面AAPPFF1的一个法向量nn1=�−√3(2sinθθ+1),3cosθθ,cosθθ�，同理可求得平面AAPPFF2的一个法向量nn2=�−(2sinθθ−1),√3cosθθ,cosθθ�，令RR=sinθθ+1 ，则（化简后得）cos<nn1,nn2>=nn1·nn2|nn1|·|nn2|=3√3√−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27（I）当RR∈�0,54�时，则83−32tt23>0 ，所以−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27<−4RR4−803RR3+12RR2+72RR+1643，令ff(RR)=−4RR4−803RR3+12RR2+72RR+1643，ff′(RR)=−8(RR−1)(2RR2+6RR+9)，因为RR∈�0,54�，所以 2RR2+6RR+9>0 ，令ff′(RR)=0 得RR=1 ，当RR∈(0,1)时，ff′(RR)>0 ，ff(RR)单调递增；当RR∈�1,54�时，ff′(RR)<0 ，ff(RR)单调递减．（II）当RR∈�54,2�时，令gg(RR)=−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27 ，gg′(RR)=−16RR3−48RR2+24RR+72 ，gg′′(RR)=24(−2RR2−4RR+1)<0 ，所以gg′(RR)单调递减，所以gg′(RR)< gg′�54�<0 ，即gg(RR)单调递减，gg()<gg�54�=606364<108 ，综上，−4RR4−16RR3+12RR2+73RR+27<108 对RR∈(0,2)成立，即 cos<nn1,nn2>>3√3√108=12，即 <nn1,nn2>>ππ3，故二面角FF1−AAPP−FF2不小于60°得证．19.（17分）（1）由已知在△AABBAA中cos2BB+cos2AA−cos2AA=1即1−2sin2BB+1−2sin2AA−1+2sin2AA=1故 sin2AA=sin2BB+sin2AA，由正弦定理角化边得aa2=bb2+cc2，故△AABBAA直角三角形，即AA=ππ2．（2）作答图如右图所示，由（1）得 AA =ππ2 ，所以 SS △AAAAAA =12·|AABB |·|AAAA |=12bbcc =1 由点 PP 为 △AABBAA 的费马点得 ∠AAPPBB =∠BBPPAA =∠AAPPAA =2ππ3 ， 由正弦定理，SS △AAPPAA =12·|PPAA |·|PPBB |·sin ∠AAPPBB =√34|PPAA ||PPBB | 同理 SS △AAPPAA =√34|PPBB ||PPAA | SS △AAPPAA =√34|PPAA ||PPAA | 而 SS △AAAAAA =SS △AAPPAA +SS △AAPPAA +SS △AAPPAA ，即√34(|PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |)=1 得 |PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |=4√3， 所以 PPAA �����⃗·PPBB �����⃗+PPBB �����⃗·PPAA �����⃗+PPAA �����⃗·PPAA�����⃗ =|PPAA ||PPBB |cos ∠AAPPBB +|PPBB ||PPAA |cos ∠BBPPAA +|PPAA ||PPAA |cos ∠AAPPAA =−12(|PPAA ||PPBB |+|PPBB ||PPAA |+|PPAA ||PPAA |) =−12×4√3=−2√33 故 PPAA �����⃗·PPBB �����⃗+PPBB �����⃗·PPAA �����⃗+PPAA �����⃗·PPAA �����⃗ 的值是 −2√33 ． （3）由（1）知 AA =ππ2 ，由点 PP 为 △AABBAA 的费马点得 ∠AAPPBB =∠BBPPAA =∠AAPPAA =2ππ3， 设 |PPBB |=mm |PPAA | ，|PPAA |=nn |PPAA | ，|PPAA |=xx ，（mm ,nn ,xx >0） 则由 |PPBB |+|PPAA |=RR |PPAA | 得 mm +nn =RR ；由余弦定理得 ⎩⎪⎨⎪⎧|AABB |2=xx 2+mm 2xx 2−2mmxx 2cos2ππ3=(mm 2+mm +1)xx 2|AAAA |2=xx 2+nn 2xx 2−2nnxx 2cos 2ππ3=(nn 2+nn +1)xx 2|BBAA |2=mm 2xx 2+nn 2xx 2−2mmnnxx 2cos 2ππ3=(mm 2+nn 2+mmnn )xx 2故由 |AAAA|2+|AABB|2=|BBAA|2得(nn2+nn+1)xx2+(mm2+mm+1)xx2=(mm2+nn2+mmnn)xx2，即mm+nn+2=mmnn，而mm>0,nn>0 ，故mm+nn+2=mmnn≤�mm+nn2�2，又mm+nn=RR，即有RR2−4RR−8≥0 ，解得RR≥2+2√3 或RR≤2−2√3（舍去），当且仅当mm=nn，结合mm+nn+2=mmnn，解得mm=nn=1+√3 时，等号成立，故实数RR的最小值为 2+2√3 ．。
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1
第10题
高三数学考前适应性练习七
1．若全集U ={1,2,3,4}，集合A ={1,2},B ={1,4}，则)(B C A U ＝
． 2．若双曲线2
2
1y x m
-=的一条渐近线方程是y =，则m 等于 ．
3．函数2
1ln 2
y x x =
-的单调递减区间为 ． 4．运行下面的一个流程图，则输出的S 值是 ． 5. 若从集合{}1,1,2,3-中随机取出一个数m ，放回后再随
机取出一个数n ，则使方程22
221x y m n
+=表示焦点在x 轴上
的椭圆的概率为 ．
6. 函数()lg 2f x x x =+-的零点个数是 .
7．若直径为2的半圆上有一点P ，则点P 到直径两端点,A B
距离之和的最大值为 ．
8．样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率 如条形图所示，则这组数据的方差等于 ．
9．已知n s 是等差数列{n a }的前n 项和，若2s ≥4，4s ≤16， 则5a 的最大值是 .
10. 如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足 函数sin()y A x B ωϕ=++，(02)ϕπ≤<，则温度变化曲线的函数解 析式为 .
第8题
2
A
B
C D
E F
图a
图b
E
D
C B
第11题
11．如图a ，在直角梯形ABCD 中，,AB AD AD BC ⊥，F 为AD 的中点，E 在BC 上，且EF AB 。
已知2AB AD CE ===，沿线段EF 把四边形 CDFE 折起如图b ，使平面CDFE ⊥平面ABEF 。
（1）求证：AB ⊥平面BCE ； （2）求三棱锥C ADE -体积．
12．已知点()1,0C ，点,A B 是⊙O ：229x y +=上任意两个不同的点，且满足0AC BC ⋅=，设
P 为弦AB 的中点．
（1）求点P 的轨迹T 的方程；
（2）试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：
它到直线1x =-的距离恰好等于到点C 的距离？ 若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
x。