2020秋高三期中考试数学(文)模拟试题+参考答案+评分标准
高三数学模拟试题(3)
高三数学模拟试题（3）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)； 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上． 1.已知集合3{2,0,}2A =-，集合{|,}B y y x x R ==∈，若A B C = ，则集合C 的子集个数为A . 1B .2C .3D .4 2.复数2＋i1－2i的共轭复数是A ．3i 5-B ．3i 5C ．－iD ．i 3.已知:||4p x a -<；:(2)(3)0q x x -->，若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 A ．1a <-或6a > B ．1a ≤-或6a ≥ C ．16a -≤≤ D ．16a -<<4.执行右图的程序框图，任意输入一次(01)x x ≤≤ 与(01)y y ≤≤，则能输出数对(,)x y 的概率为A ． 14B ． 13C ． 23D ． 345.下图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字， 从图中可以得到这10位同学身高的中位数是 A ．161 cm B ．162 cm C ．163 cm D ．164 cm6.如右上图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是 一个两底长分别为2和4 体的体积是A .283πB .73πC .28πD .7π7.已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，切当[0,2)x ∈时，2()log (1)f x x =+，则(2013)(2012)f f -+的值为 A ． 2- B ． 1- C ． 1 D ． 28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=正视图 侧视图俯视图第5题 第4题第6题9．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是A B C D10．定义方程'()()f x f x =的实数根0x 叫做函数的“新驻点”，若函数()g x x =， ()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为α，β，η，则α，β，η的大小关系为Ａ． α>β>η Ｂ． β> α>η Ｃ． η >α>β Ｄ．β>η>α二、填空题:本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11．设,x y 满足约束条件220840,0,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b+的最小值为12．已知二项式()2*nx n N ⎛∈ ⎝展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为13．给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和,点C 在以O 为圆心的圆弧B A上运动，若=OC x OA +y OB ，其中,x y R ∈，则22)1(y x +-的最大值为14．如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D - 的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为15．给出下列四个命题: ①已知函数0()sin af a xdx =⎰，则[()]1cos12f f π=-； ②设回归直线方程为2 2.5y x =-； 当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位；③已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>=④对于命题p ：x R ∃∈,使得210x x ++<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥.其中判断正确的序号是: OA BCDA 1B 1C 1D 1·三、解答题: 本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量(sin(2),sin )6x x π=+m ，(1,sin )x =n ，()f x =⋅m n ．（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值. 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 满足22112320,n n n n a a a a n +++⋅-=为正整数，且3241,32+a a a 是是等差中项． （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若1212log ,,nn n n na c T c c c a =-=+++ 求使12125n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值.18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ABC ⊥平面,//AE DB ,ABC ∆且是边长为2的等边三角形，1AE =，CD 与平面ABDE. （1）在线段DC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面DCB ， 若存在，求线段DF 的长度，若不存在，说明理由； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值.19．（本小题满分12分）2013年5月6日山东省下发通知要求落实职工带薪休年假制度．某单位实行休年假制度三年以来，50(1)从该单位任选两名职工，用h 表示这两人休年假次数之和，记“函数2()1f x x x =--h 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；(2)从该单位任选两名职工，用x 表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量x 的分布列及数学期望E x .20．（本小题满分13分）已知圆1C ：22(1)8x y ++=，点2(1C ，0)，点Q 在圆1C 上运动，2QC 的垂直平分线交1QC 于点P .(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)设、M N 分别是曲线W 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若1+22OM ON OC =uuu r uuu r uuu r，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；(3)过点(0S ，1)3-且斜率为k 的动直线l 交曲线W 于，A B 两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+= （1）求)(x f 的极值；（2）若函数)(x f 的图象与函数)(x g =1的图象在区间],0(2e 上有公共点，求实数a 的取值范围；（3）设各项为正的数列}{n a 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈，求证：21nn a ≤-．高三数学（理科）答题纸11、；12、13、；14、；15、.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16、17、19、高三数学模拟试题（3）参考答案及评分标准一、选择题B C C B B A C BD C 二、填空题 11．4 12．45256 13．2 14．6π15．①④ 三、解答题16．解：（1）x x x f 2sin )62sin()(++=π11cos 22cos 2222xx x -=++212sin 23+=x ………3分 所以T π=， ……………………4分递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； …………………………………6分（2）由212)2(+=Bf得sin B =，cos B = ………………８分当cos B 时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=--a a ，31±=a （负舍）31+=∴a ； ……………………………………1０分当cos B =时，B ac c a b cos 2222-+=，即0222=-+a a ，31±-=a （负舍）31+-=∴a ； …………………………………………1２分17.解：（1）由22112320n n n n a a a a +++⋅-=可得，11(2)(2)0n n n n a a a a ++-+=，因为数列的各项均为正数，所以120n n a a +-=， …………2分 即数列{}n a 是公比为12的等比数列. 又32412()32a a a +=+，可求得112a =，所以1()2n n a =； …………4分 （2）而12log 2nn n na c n a =-=-⋅， …………5分通过错位相减可得，1(1)22n n T n +=--， …………9分要使12125n n T n ++⋅>成立，只需122125n +->，即12127n +>，所以6n ≥， …………11分故使12125n n T n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为6． …………12分18．解：（1）取AB 的中点G ，连结CG ，则CG AB ⊥，又DB ABC ⊥平面，可得DB CG ⊥,所以ABDE CG 面⊥， 所以sin 4CG CDG CD ∠==，故CD=2DB ==…………2分 CD F BC H 11得//EF AH ，AH BC AH AH BD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面BCD ∴EF DBC ⊥面存在F 为CD 中点，DF时，使得EF DBC ⊥面 ……5分（2）如图建立空间直角坐标系，则0)C 、(0,0,0)B 、(2,0,1)E 、()0,0,2D ，从而 BE =(2,0,1)， EC =(1)--， (2,0,1)DE =-。
北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题 Word版含答案
2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n （C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B ∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136147154189203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a 在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(一)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试参考答案
南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x |1＜x ＜4} 2．2 3．60 4．10 5．236． 37．2n ＋1－2 8．62 9．8310．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞) 13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC 中点G ，连接DG 、FG ．在△PBC 中，因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，所以GF ∥BC ，GF ＝12BC ．因为底面ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································ 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ············································································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分 (2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． ··································································· 10分 因为P A ⊂平面P AD ，所以CD ⊥P A ． ·················································· 12分 又因为P A ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以P A ⊥平面PCD ． 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD ． ·································· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ··································· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ························································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······························· 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45． ········ 8分因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ······················· 10分所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22． ····· 12分又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，所以2α＋β的值为7π4． ····································································· 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，建立直角坐标系xOy ． 因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． ···························································· 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ，则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ．因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ，即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55． 化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ·············································· 4分 所以OC ＝405．因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)，所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ······················· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85， 所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ······················································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ············································· 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ······························································· 12分此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时． ···························································· 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ·························································· 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． ··········· 4分 设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ········································································ 6分 (3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ···················································· 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ·································································· 10分因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1．① ········································································ 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0． 因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m2－4 k 21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ················· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112．所以所求直线AB 的斜率为±112． ····················································· 16分 19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ··················································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ························································· 4分 方法1由f (x )＝e xx 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x (x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减，所以f (a )＞f (2)，不符题意． ··························································· 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ························································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa ．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e a a(4－a )．设函数g (x )＝e xx (4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ·················································· 6分因为g'(x )＝e x·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a 的取值范围为(2，4)． ··························································· 8分 (3)证明：设切点为(x 0，f (x 0))，则f'(x 0)＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2，所以切线方程为y －ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(x －x 0)．由0－ex 0x 02－ax 0＋a ＝e x 0(x 0－2)(x 0－a )(x 02－ax 0＋a )2×(0－x 0)，化简得x 03－(a ＋3)x 02＋3ax 0－a ＝0． ···················································· 10分 设h (x )＝x 3－(a ＋3)x 2＋3ax －a ，a ∈(2，4)， 则只要证明函数h (x )有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a ∈(2，4)时，函数h (x )的定义域为R ，h'(x )＝3x 2－2(a ＋3)x ＋3a ． 因为△＝4(a ＋3)2－36a ＝4(a －32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x )＝0有两不相等的实数根x 1和x 2，不妨x 1＜x 2． 因为所以函数h (x )最多有三个零点． ························································· 12分 因为a ∈(2，4)，所以h (0)＝－a ＜0，h (1)＝a －2＞0，h (2)＝a －4＜0，h (5)＝50－11a ＞0， 所以h (0)h (1)＜0，h (1)h (2)＜0，h (2)h (5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h (x )在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点． 综上所述，函数h (x )有且仅有三个零点． ············································· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n ＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2n (n －1)2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n (n －1)2，n ∈N *． ·················· 2分(2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立， 即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ············································ 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． ··········· 6分 当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0，综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分 方法2令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增．当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ···················· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ························································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ·············································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)． 又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1p n －1＋1p n )，即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p )n ]． ································································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以n p ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ······················································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．纸．指定区域内．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ．··································································· 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ········································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ·············· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ························································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t(t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． ············· 2分曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2 ······························ 4分＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ········································································ 6分当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ·················································· 8分曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ········································ 10分C ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为a ，b 为非负实数，所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ····························································· 10分 22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ·············································· 2分 因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ············································································· 4分 (2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)， 所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量． 又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ····································· 6分所以sin ＜n ，AB →＞＝317．设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )． 因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m 2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ·························· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，所以侧棱BB 1上不存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等 ． ········································································································ 10分 23．（本小题满分10分）解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为25，取出的球是黑球的概率为35．所以P 1＝25×25＋C 12×(25)2×35＝425＋24125＝44125． ········································ 2分(2)证明：累计取出白球次数是n ＋1的情况有：前n 次取出n 次白球，第n ＋1次取出的是白球，概率为C nn ×(25)n ＋1；前n ＋1次取出n 次白球，第n ＋2次取出的是白球，概率为C nn ＋1×(25)n ＋1×35；······································································································ 4分 ……前2n －1 次取出n 次白球，第2n 次取出的是白球，概率为C n2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1；前2n 次取出n 次白球，第2n ＋1次取出的是白球，概率为C n2n ×(25)n ＋1×(35)n ；则P n ＝C n n ×(25)n ＋1＋C n n ＋1×(25)n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(25)n ＋1×(35)n －1＋C n2n ×(25)n ＋1×(35)n＝(25)n ＋1×[C n n ＋C n n ＋1×35＋…＋C n 2n －1×(35)n －1＋C n2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ]， ························ 6分因此P n ＋1－P n ＝(25)n ＋2×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]－(25)n ＋1×[C 0n ＋C 1n ＋1×35＋…＋C n －12n －1×(35)n －1＋C n 2n ×(35)n ] ＝(25)n ＋1×{25×[C 0n ＋1＋C 1n ＋2×35＋…＋C n 2n ＋1×(35)n ＋C n ＋12n ＋2×(35)n ＋1]。
2020高中数学新课标测试模拟试卷及答案(两套)
高中数学新课标测试模拟试卷（一）一、填空题（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）1、数学是研究（）的科学，是刻画自然规律和社会规律的 科学语言和有效工具。
2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（）、基本思想。
3、高中数学课程应具有多样性和（），使不同的学生在数学上得到不同的发展。
）能力。
4、高中数学课程应注重提高学生的数学（5、高中数学选修 2-2 的内容包括：导数及其应用、（复数的引入。
）、数系的扩充与 6、高中数学课程要求把数学探究、（块和专题内容之中。
）的思想以不同的形式渗透在各个模 7、选修课程系列 1 是为希望在（ ）等方面发展的学生设置的， 系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。
8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与（ 的一种工具。
）。
）10、数学探究即数学（学习的过程。
）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、 二、判断题（本大题共 5 道小题，每小题 2 分，共 10 分）1、高中数学课程每个模块 1 学分，每个专题 2 学分。
（） 2、函数关系和相关关系都是确定性关系。
（ 3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依 据。
（ 4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。
） ）（ ）5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。
（）三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分）1、高中数学课程的总目标是什么？2、高中数学新课程设置的原则是什么？3、评价学生在数学建模中的表现时，评价内容应关注哪几个方面？4、请简述《必修三》中《算法初步》一章的内容与要求。
四、论述题（本大题共2道小题，第一小题12分，第二小题20分）1、请完成《等差数列前n项和》第一课时的教学设计。
2、请您结合自己的教学经验，从理论和实践两个方面谈谈如何改善课堂教学中的教与学的方式，能使学生更主动地学习？答案一、填空题1、空间形式和数量关系2、基本技能3、选择性4、思维5、推理与证明6、数学建模7、人文、社会科学8、情感、态度、价值观9、三角函数10、探究性课题二、判断题1、错，改：高中数学课程每个模块2 学分，每个专题1 学分。
山西省大同市第一中学2020届高三下学期3月月考数学(文)试题 Word版含解析
故选： .
【点睛】本题考查了线面夹角，意在考查学生 计算能力和空间想象能力.
10.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明 如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形 若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大止方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是
18.如图，在四棱锥 中， 为平行四边形， ， 平面 ，且 ，点 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 到平面 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接 交 于 点，连接 ，在 中， ，得到证明.
（2）计算 ，根据等体积法得到 ，计算得到答案.
【详解】（1）连接 交 于 点，连接 ，
【详解】 ，故 ，则 ，
故 .
故选：B.
【点睛】本题考查了回归方程的中心点，意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合．若点 是角 终边上一点，则 （ ）
A. -2B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 的值，再利用两角差的正切公式，求得 的值．
一､选择题：本大题共12小题，每小題5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测(数学试题文)试题
2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测（数学试题文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．22．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．733．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BCD6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．459．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10511．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，E ，F分别为AC ，PB 的中点，32EF =，则球O 的体积为______. 14．已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______.三、解答题：共70分。
梅河口市第五中学2020届高三数学下学期模拟考试试题文含解析
【答案】（1)
（2）
【解析】
【分析】
（1)根据题意先计算出 点坐标,然后得到直线 的方程,根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；(2）先计算 斜率不存在时,被圆 截得弦长， 斜率存在时设为 ，与椭圆联立，得到 和 ，代入到 得到 的关系，表示出直线 被圆 截得的弦长，代入 的关系，从而得到弦长的最大值.
7.在 中,角 的对边分别为 ，若 ， ,则 （ )
A。 1B。 2C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将已知条件 利用正弦定理化简即可得到答案。
【详解】因为 ，由正弦定理,得 ，所以 ,
故选:A
【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题。
8.在区间 上随机取一个数x,则 的值介于0到 之间的概率为
∴ ,∴ 或 ，解得 ,∴实数 的取值范围是 ，故选B。
11.已知过球面上三点 ， , 的截面到球心距离等于球半径的一半,且 ， ，则球面面积为（ ）
A. B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积．
【详解】如图,设球的半径为R，O′是△ABC的外心,外接圆半径为r，
【解析】
【分析】
全称命题的否定为 ，对结论进行否定,即可得到结果.
【详解】由全称命题的否定是特称命题,
可得命题 的否定是“ ”，
故选:C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.
4。已知向量 且 ，则
A。 1B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，求得 ,根据 ，列出关于 的方程，即可求解．
2020届全国100所名校高三模拟金典卷(三)数学(文)试题(解析版)
2020届全国100所名校高三模拟金典卷（三）数学（文）试题一、单选题1．集合{(,)|1}P x y y x ==+，{}2(,)|Q x y y x ==，则集合P Q I 中元素的个数是（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】根据集合,P Q 元素特征，联立方程，判断其解的个数即可. 【详解】P Q I 表示直线1y x =+与抛物线2y x =的图象交点，联立21y x y x=+⎧⎨=⎩，整理得210,1450x x --=∆=+=>， ∴方程有两个不同的实数解，即方程组有两个解，可知两个函数有两个公共点，故集合P Q I 中元素的个数为2． 故选：C. 【点睛】本题考查交集中元素的个数，注意集合元素的特征，属于基础题． 2．若复z 满足(2)23i z i ⋅+=-+（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i B ．2iC ．1D ．2【答案】D【解析】根据复数除法的运算法则，求出z ，即可得出结论. 【详解】∵223i z i i ⋅+=-+，∴212iz i i-+==+， ∴z 的虚部为2． 故选：D. 【点睛】本题考查复数的代数运算及复数的基本概念，属于基础题．3．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rA ．B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】本题先计算a b -r r，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r，所以||a b -==r r故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若75a =，927S =，则公差d 等于（ ） A ．0 B ．1C ．12D ．32【答案】B【解析】由927S =可求出5a ，结合已知即可求解. 【详解】()199599272a a S a +===，解得53a =， 所以75531752a a d --===-． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和、等差数列基本量的运算，掌握公式及性质是解题的关键，属于基础题．5．若双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，则C 的两个焦点坐标为（ ）A ．(0,B ．(0)C ．(0,D ．(【答案】C【解析】根据双曲线渐近线方程，建立m 的等量关系，求出双曲线方程，即可得出结论. 【详解】∵双曲线22:19y x C m -=的渐近线方程为23y x =±，23=，解得4m =， ∴双曲线方程为22149y x -=，∴双曲线C 的两个焦点坐标为(0,． 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质与标准方程的应用，要注意双曲线焦点位置，属于基础题．6．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（ ） A ．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损B ．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C ．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D ．剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 【答案】B【解析】根据表格提供的数据，逐项分析，即可得出结论. 【详解】选项A ，该公司2018年度冰箱类电器利润率占比为负值， 因此冰箱类销售亏损，所以A 项正确；选项B ，该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润是不同的量，不知道相应的总量，无法比较，所以B 项错误；选项C ，该公司2018年度空调类净利润占比比其它类占比大的多， 因此2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，所以C 项正确； 选项D ，剔除冰箱类销售数据后，该公司2018年度总净利润变大， 而空调类电器销售净利润不变，因此利润占比降低，所以选项D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查统计图表与实际问题，考查数据分析能力,属于基础题．7．函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案． 【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ； 又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ． 【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8．将函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ=（ ）A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】D【解析】根据函数平移关系求出()g x ，再由()g x 的对称性，得到ϕ的值，结合其范围，即可求解. 【详解】因为()cos 2cos 263g x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象关于y 轴对称， 所以()3k k πϕπ+=∈Z ，因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=． 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换关系以及余弦函数的对称性，属于基础题． 9．已知1b a <<，则下列大小关系不正确的是（ ） A ．b a a a < B ．a b b b > C ．b b a b > D ．b a a b >【答案】D【解析】根据指数函数和幂函数的单调性，逐项验证，即可得出结论. 【详解】∵1b a <<，∴x y a =和x y b =均为增函数， ∴b a a a <，a b b b >，A ，B 项正确，又∵by x =在(0,)+∞为增函数，∴b b a b >， C 项正确； b a 和a b 的大小关系不能确定，如3,2,b aa b a b ==>；4,2,b a a b a b ===；5,2,b a a b a b ==< ，故D 项不正确．故选：D. 【点睛】本题考查比较指数幂的大小关系，应用指数函数与幂函数的性质是解题的关键，属于基础题．10．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与14圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可． 【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题．11．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．5 C ．306D ．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中6cos ,226EAD ∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．(,)e -+∞D ．[,)e -+?【答案】A 【解析】【详解】由函数()()ln xe f x k x x x =+-，可得()211'1x x x e x e x e f x k x x x x ⎛⎫--⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x Q 有唯一极值点()1,'0x f x =∴=有唯一根1x =，0xe k x ∴-=无根，即y k=与()xe g x x =无交点，可得()()21'x e x g x x-=，由()'0g x >得，()g x 在[)1+∞上递增，由()'0g x <得，()g x 在()0,1上递减，()()min 1,g x g e k e ∴==∴≤，即实数k 的取值范围是(],e -∞，故选A. 【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题13．设x ，y 满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩，则3z x y =-的取值范围为_________．【答案】(1,9)-【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值和最小值即可. 【详解】做出满足不等式组001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎨-+>⎪⎪+-<⎩表示的平面区域，如下图（阴影部分）所示，根据图形，当目标函数3z x y =-过点(0,1)A 时， 取得最小值为1-，当目标函数3z x y =-过点(3,0)B 时， 取得最大值为9，所以3z x y =-的取值范围为(1,9)-. 故答案为：(1,9)-. 【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4727a a =，则63S S =_________． 【答案】2827【解析】根据已知求出等比数列的公比，再由等比数列的前n 项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 根据题意，有3127q =，解得13q =， 则()()6136331128112711a q S q q S a q q--==+=--． 故答案为：2827. 【点睛】本题考查等比数列的前n项和，考查计算求解能力，属于基础题.A B C D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外15．高三某班一学习小组的,,,活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D在_________.【答案】画画【解析】以上命题都是真命题，∴对应的情况是：则由表格知A在跳舞，B在打篮球，∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画16．设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y ， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．三、解答题17．在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，122cos b a c C=-．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，b =，求ABC V 的面积．【答案】（1）3B π=； （2 【解析】（1）由正弦定理将已知等式边化角，再由两角和的正弦公式，即可求解； （2）利用余弦定理，建立c 边方程关系，再由三角形面积公式，即可求出结论. 【详解】 （1）由122cos b a c C=-，得sin 12sin sin 2cos B A C C =-，2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，∴2cos sin sin B C C =，又∵在ABC V 中，sin 0C ≠， ∴1cos 2B =，∵0B π<<，∴3B π=．（2）在ABC V 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2742c c =+-，∴2230c c --=，解得3c =或1c =-（舍）， ∴ABC V 的面积133sin 2S ac B ==． 【点睛】本题考查正、余弦定理以及两角和差公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题． 18．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1kg 的包裹收费10元，重量超过1kg 的包裹，除收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg ，按1kg 计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；（2）该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 【答案】（1）平均数和中位数都为260件； （2）1000元．【解析】（1）根据频率分布直方图，求出每组的频率，即可求出平均数，确定中位数所在的组，然后根据中位数左右两边图形面积各占0.5，即可求出中位数；（2）由（1）每天包裹数量的平均数求出网点平均总收入，扣除工作人员工资即为所求. 【详解】（1）每天包裹数量的平均数为0.1500.11500.52500.23500.1450260⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(0,200)Q 的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5中位数为0.32001002600.5+⨯=， 所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件． （2）由（1）可知平均每天的揽件数为260， 利润为260531001000⨯-⨯=元， 所以该网点平均每天的利润有1000元． 【点睛】本题考查频率分布直方图求中位数、平均数以及简单应用，属于基础题．19．在如图所示的几何体中，已知BAC 90∠=o ，PA ⊥平面ABC ，AB 3=，AC 4=，PA 2.=若M 是BC 的中点，且PQ //AC ，QM //平面PAB ．()1求线段PQ 的长度；()2求三棱锥Q AMC -的体积V ．【答案】（1）2；（2）2.【解析】()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，推导出四边形PQMN 为平行四边形，由此能求出线段PQ 的长度．()2取AC 的中点H ，连接QH ，推导出四边形PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥Q AMC -的体积． 【详解】解：()1取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN //AC ∴，且1MN AC 22==，PQ //AC Q ，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM //Q 平面PAB ，且平面α⋂平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM //PN ∴，∴四边形PQMN 为平行四边形，PQ MN 2∴==．解：()2取AC 的中点H ，连接QH ，PQ //AH Q ，且PQ=AH=2，∴四边形PQHA 为平行四边形， QH //PA ∴，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，AMC 11S AC AB 322=⨯⨯=V Q （），QH PA 2==，∴三棱锥Q AMC -的体积：AMC 11V S QH 32233V =⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>. (1)过抛物线C 的焦点F 且与x 轴垂直的直线交曲线C 于A 、B 两点，经过曲线C 上任意一点Q 作x 轴的垂线，垂足为H .求证: 2||||||QH AB OH =⋅；(2)过点(2,2)D 的直线与抛物线C 交于M 、N 两点且OM ON ⊥，OD MN ⊥.求抛物线C 的方程.【答案】（1）见解析；（2）24y x =【解析】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==再根据点Q 在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，OM ON ⊥有12120x x y y +=，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设()()00000,,,0,,,Q x y H x QH y OH x ==2AB p =，从而2200||2QH y px AB OH ===.（2）由条件可知，:4MN y x =-+，联立直线MN 和抛物线C ，有242y x y px=-+⎧⎨=⎩，有2280y py p +-=，设()()1122,,,M x y N x y ，由OM ON ⊥有12120x x y y +=，有()()1212440y y y y --+=，由韦达定理可求得2p =，所以抛物线2:4C y x =. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．已知2()2()x f x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()'()g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在(1,(1))f 处的切线与(22)3y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在(0,1)上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在(ln ,)m +∞上单调递减，在(,ln )m -∞上单调递增. （Ⅱ）(,21]a e ∈-∞-.【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导数'()2()xg x m e =-，分0m ≤和0m >两种情况讨论，即可得到函数()g x 的单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得1m =，把不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2x e a xx<-在(0,1)上恒成立，设2()xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2xg x m e=-，当0m ≤时，()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <， 所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立.设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221xxxxh x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上，()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-， 所以在区间()0,1上，()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时，()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞， 因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.点睛：本题主要考查导数求解函数的单调区间，利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (2)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (3)利用导数研究函数的图象与性质，注意数形结合思想的应用．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα=【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OB OA=，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式化简得4cos ρθ=，所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OBOA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()11f x x x =+--， ()22g x x a x b =++-，其中a ， b 均为正实数，且2a b +=．（Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x ∈R 时，求证()()f x g x ≤．【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）见解析【解析】（Ⅰ）把()f x 用分段函数来表示，分类讨论，求得()1f x ≥的解集． （Ⅱ）当x ∈R 时，先求得()f x 的最大值为2，再求得()g x ）的最小值，根据()g x 的最小值减去()f x 的最大值大于或等于零，可得()()f x g x ≤成立． 【详解】（Ⅰ）由题意， ()2,12,112,1x f x x x x -≤-⎧⎪=-⎨⎪≥⎩＜＜，（1）当1x ≤-时， ()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；（2）当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．（3）当1x ≥时， ()21f x =≥恒成立，所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （Ⅱ）当x R ∈时， ()()11112f x x x x x =+--≤++-=；()()222222g x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+．而()()()22222222222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭， 当且仅当1a b ==时，等号成立，即222a b +≥，因此，当x R ∈时，()()222f x a b g x ≤≤+≤，所以，当x R ∈时， ()()f x g x ≤．【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．。
江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)
2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a <b <1且ab ≠0，则下列结论恒成立的是()A.a <12B.ab <b 2C.1a >1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a <b <1可得a -1 b -1 >0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。
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2020秋高三年级第一学期期中模拟测试数学(文)试题第Ⅰ卷一、选择题：(本题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合}{1<=x x A ，}{)3(<-=x x x B ，则=B A Y ( )A. ()0,1-B. ()1,0C. ()3,1-D. ()3,12.设复数z 满足()i z i 211-=⋅+（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知直线012:1=+-my x l 与直线()011:2=--+y m x l ，则"2"=m 是""21l l ⊥的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图所示.当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为 （ ）A.B.C.D.5．在等比数列{}n a 中，4a 和12a 是方程0132=++x x 的两根，则=8a ( )A ．23-B ．23C ．1-D ．1± 6.已知向量()m a ,1=，()2,3-=，且⊥+)(，则=m ( ) A ．－8 B ．－6 C. 6 D ．87.下列函数中，在()+∞,0内单调递减的是 ( ) A. xy -=22B. x x y +-=11 C. x y 1log 21= D. a x x y ++-=228.函数()()ϕω+=x A x f sin ()R x A ∈⎪⎭⎫⎝⎛<<->>22,0,0πϕπω的部分图象(如图所示，则=⎪⎭⎫⎝⎛3πf ( ) A.21 B.23C. 21-D. 23-9.已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围 A ．4≥m 或2-≤mB ．2≥m 或4-≤mC ．42<<-mD ．24<<-m10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则异面直线1A E 与AC 所成角的余弦值为 （ ） A ．15BC11.已知O 为坐标原点，抛物线x y C 8:2=上一点A 到焦点F 的距离为6，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则AP OP +的最小值为 ( ) A.4 B.34 C.64 D.36 12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()f x f x π+=-，当[0,]2x π∈时，()f x =则函数()()()1g x x f x π=--在区间3[,3]2ππ-上所有零点之和为 A. π B. 2π C. 3π D. 4π第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤-+0002x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为14. 曲线x y ln 2=在点()0,1处的切线方程为15. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C 16.已知函数()122-=x x x f ，数列{}n a 的通项公式为)(2019*∈⎪⎭⎫⎝⎛=N n nf a n ， 则=2019a ;此数列前2019项的和为 ． 三、解答题：17.在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c C a b 21cos +=. (1)求角A ；(2)若32=a ,求ABC ∆面积的最大值18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，124,60AA AC AB BAC ===∠=︒.（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ；（2）求三棱锥11C ABB -的体积19.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)2515，，第2组[)3525，，第3组[)4535，，第4 组[)5545，，第5组[)6555，，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值；(2)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；(3)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.20.在平面直角坐标系中，已知圆1C 的方程为()9122=+-y x ，圆2C 的方程为()1122=++y x ，动圆C与圆1C 内切且与圆2C 外切.(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)已知()0,2-P 与()0,2Q 为平面内的两个定点，过()0,1点的直线l 与轨迹E 交于B A ,两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21. 已知函数()()0ln 2>+=a x a xx f . （1）若函数()x f y =图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数()x f 的极值点； （2）若不等式()2<x f 有解，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线θρcos 4:1=C ，3cos :2=θρC .（1）求1C 与2C 的交点的极坐标； （2）设点Q 在1C 上，32=，求动点P 的轨迹的极坐标方程.23 选修4—5：不等式选讲 设函数()25--+-=x a x x f . (1)当1=a 时,求不等式()0≥x f 的解集; (2)若()1≤x f 恒成立,求a 的取值范围. .数学试卷(文)答案一、选择题二、填空题：13. 4 ; 14. 22-=x y 15.4π16. 22019=a ；2020 三、解答题： 17. (1) 3π=A ；(2)ABC ∆面积的最大值为33 18 （1）略 （2) 4=V19. 解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =.（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； （3）第1,2, 3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为12123,,,,a a b b b .设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105. 20. 解：（1）设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-.（2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++有2212(1)||34m AB m +==+， 点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l，从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，由函数13y t t =+在[1,)+∞单调递增 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，四边形APBQ 面积的最大值为6. 21. 解：22()(0)af x x x x'=-+> （1）∵0a >，∴当14a x =时，()f x '取最大值28a ，∴2=28a ，∵0a >，∴4a =∴此时222442()x f x x x x -'=-+=，在1(0,)2上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1(,+)2∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()f x 极小值点为12x =.（Ⅱ）∵22()(0)ax f x x x-'=>且0a >. ∴在2(0,)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，在2(,+)a∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴22()()ln f x f a a a a≥=+∵关于x 的不等式()2f x <有解，∴2ln 2a a a+<，∵0a >，∴22ln 10a a +-<令()ln 1g x x x =+-，∴11()1xg x x x-'=-=，在(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,+)∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≤=，∴22ln10a a +-<可解得20a >且21a≠∴a 的取值范围是0a >且2a ≠.22.（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，6πθ±=，32=ρ交点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛±6,32π（2）设()θρ,P ,()00,θρQ 且.cos 400θρ=，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为θρcos 10=23.(1) []3,2-(2) (][)+∞-∞-,26,Y。