(12)用枚举法解题
《数学]枚举法》
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整理pptຫໍສະໝຸດ ❖我们把将段设为顶点，所在段的最大 分值设为顶点的权，各顶点按自西向 东的顺序相连，组成一条游览路线。 显然，如果确定西端为起点、东段为 终点，则这条游览路线的总分值最大。
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例题分析
❖本题非常简单，即枚举变量A,B,C的所 有可能取值情况，对每种取值情况判 断是否符合表达式即可。
❖算法如下
for(int A=1;A<=3;A++) for(int B=1;B<=3;B++) for(int B=1;B<=3;B++) if(A+B==C) 输出A,B,C;
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for(int A=1;A<=3;A++) for(int B=1;B<=3;B++) { C=A+B; if(C>=1)&&(C<=3) 输出A,B,C; }
通过变量的依赖关系减少了解变量的个数(局部 枚举)，优化了枚举算法，n^3 -> n^2。
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枚举法解题的一般思路
❖对命题建立正确的数学模型； ❖根据命题确定的数学模型中各变量的
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❖在我们的例子中，相应的OUTPUT.TXT的内 容为：
5849
❖输入输出示例：
INPUT.TXT
OUTPUT.TXT
330
5489
222
212
具体的移动方案如图所示。
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❖ 我们分析一下表示时钟时针初始位置的数码j（0≦j≦3）与时刻的对 应关系：
▪ 0——12点 ▪ 1——3点 ▪ 2——6点 ▪ 3——9点
解概率题的三种常用方法
思路探寻概率是高中数学中的重要内容，概率问题主要考查事件发生的几率.概率问题一般比较抽象，解法灵活，很多同学在解题时不得要领，无法得到正确的答案.本文重点谈一谈解概率题的三种常用方法，以帮助同学们提升解概率题的效率.一、枚举法枚举法是指将所有可能的情况一一列举，然后根据条件进行判断,得出问题答案的方法.在运用枚举法解答概率问题时,我们可以根据题意将所有可能的情况一一列举出来，找出满足题目要求的情况，再运用古典概型概率公式求出事件发生的概率.例1.一个不透明的纸箱中装有大小、形状相同的红、黑小球各一个，现进行摸球游戏，随机摸取三次，每次摸取1个，每次摸取的球在下一次摸取前放回纸箱中.那么摸到1个红球、2个黑球的概率是多少?解析：每次摸到的小球不是红球就是黑球，摸三次的结果一共有以下8种：①红球、红球、红球，②红球、红球、黑球，③红球、黑球、红球，④黑球、红球、红球，⑤红球、黑球、黑球，⑥黑球、红球、黑球，⑦黑球、黑球、红球，⑧黑球、黑球、黑球.其中摸到1个红球、2个黑球的情况有3种，即摸到1个红球、2个黑球的概率是38.对于事件发生的情况较少的问题，我们采用枚举法，把所有可能出现的情况一一罗列出来，再进行筛选，就不难得出正确的答案.运用枚举法解题，能将混乱繁杂的概率问题简单化.二、图象法图象法是解答高中数学问题的常用方法，有些概率问题中事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积、体积有关，此时我们很难计算出事件的个数，不妨采用图象法来解题，首先根据题意画出相应的图形，然后借助图形来分析问题，确定构成事件区域的长度、面积、体积以及实验的全部结果所构成的长度、面积、体积，再根据几何概型的概率公式进行求解.例2.A 、B 两人计划一起爬山，他们约定早上5点至6点之间在校门口会面，谁先到就在门口等20分钟，如果过了时间对方还没有到就先行离开.请问A 、B 两人一起去爬山的概率是多少?解析：5点至6点之间一共有60分钟，我们可以用如图所示的平面直角坐标系来呈现他们在校门口相遇的情况，用x 轴表示A 到达校门口的时间，y 轴表示B 到达校门口的时间，若A 、B 两人在校门口相遇，则|x -y |≤20，在平面直角坐标系中画出两条直线：|x -y |=20.正方形的面积表示早上5点至6点之间A 、B 两人在校门口相遇的所有可能，上、下两个三角形的面积即为A 、B 两人无法在校门口相遇的可能，中间部分的面积则表示A 、B 两人可以在校门口相遇的可能，由几何概型概率公式可得A 、B 两人在校门口相遇的概率为P=60×60-2×12×(60-20)260×60=58.我们借助图形，将概率问题转为平面几何中的面积问题，通过求得正方形和中间部分图形的面积，便可根据几何概型概率公式求得A 、B 两人一起去爬山的概率.运用图象法解题能将抽象的问题直观化、具体化.三、间接法有些问题直接求解较为困难或者比较复杂，此时我们可以利用间接法来解题，首先求出不可能发生的情况数，然后用总数减去它，便能快速求出事件发生的可能情况数，进而求得事件的概率.例3.甲、乙两人玩掷骰子游戏，如果两人各掷一次，所掷骰子点数分别为m 、n ，则所掷骰子点数和m +n<11的概率是多少呢?解析：甲、乙两人掷骰子，每个人掷骰子的结果都不受另外一个人结果的影响.所掷骰子点数和m +n ≥11的情况只有3种：甲掷6点、乙掷6点，甲掷6点、乙掷5点，甲掷5点、乙掷6点.而甲、乙两人掷骰子一共有6×6=36种情况，则所掷骰子点数和m +n ≥11的概率为336=112，所以所掷骰子点数和m +n<11的概率为1-112=1112.所掷骰子点数和m +n<11的情况较多，所掷骰子点数和m +n ≥11的情况相对较少，这两个事件为对立事件，于是采用间接法，先求所掷骰子点数和m +n ≥11的概率，再用1取减它即可得到问题的答案.概率问题虽然难度不是很大，但综合性较强，侧重于考查同学们的逻辑推理能力、综合分析能力.因此同学们在解题时要注意仔细分析问题，可根据解题需求将可能的事件一一列举，或借助图形来分析问题，或换个角度思考问题，采用间接法来解题.（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）傅云平48。
枚举法解题
枚举法解题枚举法是一种常用的问题求解方法，通过遍历所有可能的解空间，逐个检查并找出满足条件的解。
它在计算机科学和数学领域被广泛应用于解决各种问题，如组合优化、图论、搜索等。
本文将介绍枚举法的基本原理、应用场景以及相关的优化技巧。
1. 基本原理枚举法是一种朴素的穷举搜索方法，其基本思想是通过遍历所有可能的解空间来寻找问题的解。
具体而言，枚举法将问题转化为一个可枚举的集合或序列，并对其中每个元素进行检查，判断是否满足问题所要求的条件。
当找到满足条件的解时，即可结束搜索。
枚举法通常包括以下几个步骤： - 确定待求解问题中需要枚举的变量或参数； - 确定变量或参数可以取值的范围； - 遍历所有可能取值组合，并对每个组合进行检查； - 找到满足条件的解后结束搜索。
2. 应用场景枚举法适用于那些问题空间较小或可以通过剪枝等手段进行优化的情况。
以下是一些常见的应用场景：2.1 组合优化问题组合优化问题是指在给定一组元素的情况下，通过选取其中的若干个元素，使得满足某种条件或达到最优解。
例如，在一个集合中找到和为给定值的子集，或者找到满足某种性质的排列等。
枚举法可以通过遍历所有可能的组合或排列来解决这类问题。
2.2 图论问题图论是研究图及其应用的数学分支，常见问题包括最短路径、最小生成树、拓扑排序等。
枚举法在图论中有广泛应用，例如在求解旅行商问题时，可以通过枚举所有可能的路径，并计算其总长度来寻找最优解。
2.3 搜索问题搜索问题是指在一个搜索空间中寻找特定目标的过程。
例如，在八皇后问题中，需要在一个8x8的棋盘上放置八个皇后，并使得它们互不攻击。
枚举法可以通过遍历所有可能的放置方式，并逐个检查是否满足条件来解决这类搜索问题。
3. 优化技巧虽然枚举法简单直观，但对于问题空间较大的情况，其时间复杂度常常非常高，甚至无法接受。
因此，在实际应用中，我们可以采取一些优化技巧来减少搜索空间和提高效率。
3.1 剪枝剪枝是指通过一些条件判断，在搜索过程中排除不可能的解，从而减少搜索空间。
“枚举法”解题举隅
３． ５ ４， ．
答 ： 有 十 种 换法 ． 共 【 ２ 使 得 ｍ ＋ｍ＋７ 完 全 平方 数 的 所 有 这 例 】 是
现 给 出 以下 几 题 ， 读 者思 考 ． 供 １已知 ＋ ＝２ ， 方程有 多少组 正整数 解． ． ＋ Ｏ 向此 ２ 以 】９ 的 质 因数 为边 的 三 角形 共 有 ． ９５
— —
３设 ２ｘ ＋ｎ ２ ． １ ＋ １能 分 解 为 两 个 一 次 因 式 的 积 ， 各 因式 的 系数 都 是 正 整 数 ， 满 足条 件 的 整 数 且 则
，
样的整数 的积是
．
个．
解析 ： 分五 种 情况 ： （ ） ｍ０ １当 十ｍ＋ ７ 时 ， 一Ⅲ 则 ： 一７ ； （） ，０ ”＋７ （ ＋１ 时 ， ｍ一６ ２当 ＋ ２ ＝ ， ） 则 ； （ ） ， ＋ ，＋７ （ ３当 ｎ 一 ｍ～Ｉ 时 ， ｍ一 一２ ） 则 ； （ ） 朋０ ４当 ＋ ＋７ （ ＋２ 时 ， 一 ） 则 一 １ ； （ ） ｍ ＋ ”＋７ （ ５ 当 ｉ 一 Ⅲ一 ２ 时 ， 一５ ） 有 ｍ＋４ ， ＝７ 此 时无 整 数 解 ；
当 一 ２ ， 时 只有 ～ 种可 能 ， 即 一６ ７ ，— ； 当 一 ３ ， 时 ＋ 一 １ ， 两 种 可 能 ： 一 ５ 一７ ２有 Ｙ ， 或 一６ 。 ６ 一 ； 当ｘ ＝４时 ， ＋ ： １ ， 三 种 可 能 ： ＝ ４ 一 ７ Ｙ １有 Ｙ ， 或 ＝ ５ ， 一６或 一 ６ ， 一５ ； 当 一 ５ ， ＋ 一 １ ， 时有 四种 可能 ： ３ｚ 时 Ｙ ０此 ＝ ， 一７ 或 ：４ 一６ ３ ， ， 或 Ｉ 一５ 一５ 或 一６ ｚ ４ ，： ． 因此 共 有 ｌ 十 ３ ４ １ ＋２ ＋ — ０种 可 能 的 摸 球 结 果 ， 其 中 摸 出 的球 中恰 好有 ３ 红球 的结 果 有 ２种 ， 所 个 故 求 概 率 为 ２一 ｉ 选 Ｂ １ ．
人教版数学五年级上册十三专题之十一：用最大公因数解决问题
人教版数学五年级上册十三专题之十一：用最大公因数解决问题【教法剖析】1.分析法:用公因数来解答的应用题,绝大多数要用最大公因数来解答;解题时要通过对已知条件全面认真分析,找出与最大公因数相对应的数量关系,选择合适的解题方法。
2.求最大公因数的方法:(1)枚举法;(2)分解质因数法;(3)短除法。
例如:求12和30的最大公因数。
(1)枚举法12的因数有:1、2、3、4、6、12;30的因数有:1、2、3、5、6、10、15、30。
12和30的公因数有:1、2、3、6,其中6就是12和30的最大公因数。
(2)分解质因数法先将12分解质因数,得:12=2×2×3;再将30分解质因数:30=2×3×5;现在,找出它们的公共因数2和3,因此两数的最大公因数是2×3=6。
(3)短除法所以,12和30的最大公因数是2×3=6。
例1一根铁丝长42厘米,一根铜丝长56厘米,现在要把它们都截成同样长的小段,并且没有剩余,每段最长多少厘米?一共可以截成几段? 【助教解读】“都截成同样长的小段,并且没有剩余”,就是每段长度是原来两根长度的公因数,求“最长”就是公因数中最大的一个。
至于求共截多少段,可由两根截成的段数相加即可得到。
要求每段最长多少厘米,就是求42和56的最大公因数,42和56的最大公因数是14。
42÷每段长度=铁丝段数,56÷每段长度=铜丝段数。
解:42和56的最大公因数是14,42÷14=3(段) 56÷14=4(段) 3+4=7(段)答:每段最长14厘米,一共可以截成7段。
【经验总结】解答本题的关键是求42和56的最大公因数,再通过铁丝、铜丝的长度除以最大公因数求出段数。
例2一块长方形木板,长48厘米,宽32厘米。
现要将这块长方形木板锯成大小相等的正方形小方块,且木板没有剩余,锯成的木板边长最长是多少厘米?一共可以锯成多少块?【助教解读】将长方形木板锯成大小相等的正方形小方块,且木板没有剩余,说明锯成的正方形的边长是48和32的公因数,要求锯成的小正方形边长最长是多少厘米,说明小正方形的边长是48和32的最大公因数。
枚举法解题
枚举法解题【实用版】目录1.枚举法解题的概述2.枚举法解题的步骤3.枚举法解题的实际应用4.枚举法解题的优缺点正文1.枚举法解题的概述枚举法解题是一种通过穷举所有可能的解决方案来求解问题的方法。
这种方法通常用于解决具有有限个解的问题，通过列举所有可能的答案，然后逐一验证，从而找到正确的解。
枚举法解题在计算机科学和数学中有着广泛的应用，尤其是在组合问题、排列问题和图论问题等领域。
2.枚举法解题的步骤枚举法解题可以分为以下几个步骤：(1) 确定问题：首先要明确问题是什么，以便确定需要求解的目标。
(2) 确定解的空间：分析问题，找出所有可能的解，构成解的空间。
(3) 逐一验证：从解的空间中逐一取出一个解，验证是否满足问题的要求。
如果满足，则找到了问题的一个解；如果不满足，则继续验证下一个解。
(4) 结束验证：当验证完解的空间中的所有解后，如果还没有找到满足问题的解，则说明问题无解。
3.枚举法解题的实际应用枚举法解题在实际问题中有很多应用，例如：(1) 组合问题：在组合问题中，通常需要求解从给定的元素中取出若干个元素进行组合的方法数。
例如，从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数可以通过枚举法求解。
(2) 排列问题：在排列问题中，通常需要求解将给定的元素进行排列的方法数。
例如，从 n 个元素中取出 m 个元素进行全排列的方法数可以通过枚举法求解。
(3) 图论问题：在图论问题中，枚举法可以用于求解最短路径、最小生成树等问题。
例如，可以通过枚举所有可能的路径，然后逐一验证路径的长度，从而找到最短路径。
4.枚举法解题的优缺点枚举法解题的优点是简单易懂，代码实现较为简单。
然而，枚举法解题也存在一些缺点：(1) 时间复杂度高：当问题规模较大时，枚举法解题所需的时间会呈指数增长，可能导致计算量过大，无法在合理的时间内求解。
(2) 空间复杂度高：枚举法解题需要存储所有可能的解，当问题规模较大时，所需的存储空间也会呈指数增长。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：枚举法
有这么一类数学问题,当题中的部分条件出现的可能情况为有限个时,我们可以把这些可能情况一一列举出来,再根据另一部分条件进行验证,这种解题的思维方法叫做枚举法。
运用枚举法解题的关键是要在列举过程中,保证既不重复,也不遗漏。
这时常常要对可能情况进行恰当的分类。
而这种正确的分类也有助手暴露问题的本质,降低问题的难度。
常用的分类方法有按数量的大小分类、按奇偶性分类等。
枚举法解题的一般步骤：(1)列出问题的可能答案；(2)逐一检验；(3)找到正确答案。
[例1] 有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,如257,1459等等,这类数共有个。
分析与解答先枚举最高位是l,且满足条件的数,共9个：10112358,112358,123581347 ,1459 ,156167 ,178 ,189再看最高位是2且满足条件的数,共8个：202246 ,21347,2246,2358 ,246 ,257268 ．279最高位是9且满足条件的数有1个：909所以,这类数共有9+8+7+…+2+1=45个。
[例2]哥德巴赫猜想说：每个大于或等于6的偶数,都可以表示成两个素(质)数之和。
问：168是哪两个两位数的质数之和,并且其中一个的个位数是17思路剖析本题可从“其中一个的个位数是1”人手。
对符合条件的两位数进行枚举,找到本题的答案。
解答要把168表示成两个两位数的质数之和,则这两个质数均大于68。
满足大于68和个位是l这两个条件的两位数是：71、81、91,其中只有71 是质数,所以另一个质数是168-71=97。
故本题所求的两个两位数的质数分别是71、97。
[例3] 从两位的自然数中,每次取两个不同的数,要使这两个数的和是三位数,有多少种取法?思Jg．剖析我们可以采用枚举的方法,按两位自然数由小到大的顺序逐个考虑, 先从最小的两位自然数10想起,它与哪些两位数的和是三位数,直到最大的两位自然数99止,然后统计一下共有多少种。
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（ 12）用枚举法解题 【知识精读】同学们：一分耕耘一分收获，只要我们能做到有永不言败+勤奋学习+有远大的理想+坚定的信念，坚强的意志，明确的目标，相信你在学习和生活也一定会收获成功（可删除）
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。
列举解答要注意：
① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
【分类解析】
例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项
式。
解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左）
解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右）
X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4
X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X
X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y
XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2
Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。
X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
例3 讨论不等式ax<b 的解集。
当a>0时，解集是x<a , 当a<0时，解集是x>a
, 13A B
当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解)
例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1
合计共27个
【实战模拟】
1． 己知x ，y 都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
4． 如图线段AF 上有B ，C ，D ，E 四点,试分别写出以A ，B ，C ，D ，E 为一端且不重复的
所有线段，并统计总条数。
A B C D E F
5. 写出以a,b,c 中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。
6. 除以4余1 两位数共有几个？
7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8. 把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计
算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？
9. 右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从 A 到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？
10. 列表讨论不等式ax>b 的解集.
11. 一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6则这个正整数的最小值是＿＿
练习12
1.
8组 2. 18组 3. 9组 4. 15条 5. 10个 6.
22个（从13，17，…97） 7.
25种 8.
1＋22＋32＋42＝30个， 55个， 385个 9. 70种
10. 当a>0时，x<a b ； 当a<0时，x>a
b ； 当a=0,b ≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
11. 27。