2013-2014(1)线性代数试题(B)解答
全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解． ，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
第 4页
2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里 自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量 的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示 方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设
2014年10月04184自学考试线性代数试题(卷)与答案
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.23.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、 6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
《线性代数》(经科社2013版)习题解答_20141104224704
··· ··· ··· ···
an an ··· an + b
n 仿教材例1.4.4 n−1 ∑ = = = = = = = = = = = =b ( ai + b). i=1 或例1.4.6
a1 ··· a1
当b ̸= 0, 且
ai + b ̸= 0时, 方程组仅有零解.
i=1
13. 见《线性代数学习指导》P28例31.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
第 2章 矩 阵
习 题2.1
略.
习题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6.
2014年4月自考线性代数真题及答案
三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，其63分)
1 4 16．计算行列式D= 2 3
3 1 4 2
2 3 1 4
4 2 的值. 3 1
a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 17．设矩阵A= a 21 a 22 a 23 ，B= a11 3a 31 a12 3a 32 a13 3a 33 ，求可逆矩阵P，使得PA=B. a a 31 a 32 a 33 31 a 32 a 33 1 1 2 1 0 0 18．设矩阵A= 2 2 3 ，B= 2 1 1 ，矩阵X满足XA=B，求X. 4 3 3 1 2 2
1 +2 2 + 3 ， 1 + 2 +2 3 也是该方程组的基础解系．
全国2014年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)答案课程代码：04184
一、单项选择题 1-5 CABDC 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1 0 1 1 4 3 6．0 7．4 8． 9． 10．-2 11． , 12．1 13． 1 k (1 2 ) 14． 15．2 3 2 5 5 0 1
导出组同解方程组为
基础解系 1 (1, 1,1, 0)T , 2 (2,3, 0,1)T ，通解为 * k11 k2 2 , k1 , k2 R.
2
21．解：特征方程 | E A |
0 0
0 0 2 1 ( 2)( 2 a 2 2a 1) 0 1 a
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
2 3 4 6．3阶行列式 1 5 2 第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=________． 1 1 1
2014年7月全国自考线性代数(经管类)试题答案
1 2
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
1 1 21．解： 原式=3 1 1
22 ．
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 3 1 0
解
1 1 1 1 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1
2014年7月全国自考线性代数经管类试题答案线性代数经管类自考自考线性代数测试题自考线性代数线性代数经管类线性代数自考试卷04184线性代数经管类线性代数经管类第四版线性代数自考重点自考线性代数复习资料
全国 2014 年 7 月高等教育自学考试 线性代数（经管类）试题答案 课程代码：04184
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1．A 2．C 3．D 4．D 5．C 6．B 7． A 8． C 9． C 10．B
1 2 0 5
T , 3
3 2 2 0
T , 4
1 1 3 0 1 2 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0
2 2 2 则标准形为 f (z1 , z 2 , z3 ) z1 z2 z3
四、证明题（本题 6 分） 27．证：设 k11 k22 k33 k44 0 即 (k1 k2 k3 k4 )1 (k2 k3 k4 )2 (k3 k4 )3 k44 0
1 a
则 b a 1 0, 即b a 1 时，方程组一定有解．
25．解：易知
2 x 1 y x 0 tr ( A) tr ( B ) ，即 ，则 2 2 y y 1 A B
2013-2014研究生考试题(B)-参考答案
线性代数与矩阵分析（B 卷）参考答案年级 专业 2013 -2014学年第 1 学期 考试科目 线性代数与矩阵分析 命题人 赵松泉 共2页 第 1 页一、判断题： 判断下列说法是否正确，正确的在题后的括号内画“√”错误的画“×”（每小题4分，共20分）1、（√）；2、（√）；3、（√）；4、（√）；5、（√）。
二、 选择题，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题4分，共20分）6、（C ）；7、（B ）；8、（B ）；9、（B ）；10、（B ）。
三、 解答题（每小题10分，共60分）11、解：维数是5；一个基为：310000003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1003100000⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1003000100⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，100000011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
12、解：()A λ的Smith 标准形为201511()~1(2015)A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭。
13、解：由基1234,,,αααα到1234,,,ββββ的过渡矩阵为 371144241113442413104441110444⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ --⎪⎝⎭；()2124321234-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ξ=β,β,β,β ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭。
线性代数与矩阵分析（B 卷）参考答案年级 专业 2013-2014学年第 1 学期 考试科目 线性代数与矩阵分析 命题人 赵松泉 共2页 第 2 页14、解：方阵A的Jordan标准形1100010000110001J⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭。
15、解：4454444A1453510354504535⎛⎫⨯⨯-⎪=-⨯⨯⎪⎪⨯⨯⎝⎭。
16、解：微分方程组的解为1332123213332(222)()()tttx e k t k k kx e k t k kx e k t k k⎧=++-⎪=++⎨⎪=++⎩，其中123,,k k k为任意常数。
2014年10月全国自考线性代数(经管类)真题及答案
2014年10月全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试卷及答案课程代码：04184本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。
说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ijA （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】A.1-B.0C.1D.22.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】A.2-B.21- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】 A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011 B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201 D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2115.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错误、不填均无分、6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出 的表示式为11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数 为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定，则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。
2013年10月自学考试02198线性代数试题和答案
线性代数---2013年10月1.设行列式，，则A、－3B、－1C、1D、3正确答案：B解析：由行列式的性质2.设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)=A、1B、2C、3D、4正确答案：A解析：所以A的秩为13.设A为2阶可逆矩阵，若，则A*=A、B、C、D、正确答案：A解析：因为，所以4.设A为m×n矩阵，A的秩为r，则A、r=m时，Ax=0必有非零解B、r=n时，Ax=0必有非零解C、r<m时，Ax=0必有非零解D、r<n时，Ax=0必有非零解正确答案：D解析：齐次线性方程组的判定方法为：r5.二次型f(xl，x2,x3)=的矩阵为A、B、C、D、正确答案：C解析：二次型的矩阵为。
故选C。
6.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=______．正确答案：167.设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=，则A=______.正确答案：8.设矩阵A=，B=，且r(A)=1，则r（B）=______.正确答案：19.设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=________．正确答案：10.设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=______．正确答案：511.若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足______.12.齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为______．正确答案：213.已知矩阵A=与对角矩阵D=相似，则数a=______正确答案：514.设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=______．正确答案：015.已知二次型f (x1,x2,x3)=正定，则实数t的取值范围是______．正确答案：16.计算行列式D=.正确答案：17.已知向量α=（1，2，k），β=，且βαT=3，A=αTβ，求 (1)数k的值； (2)A10．18.已知矩阵A=，B=，求矩阵X，使得AX=B.正确答案：19.求向量组α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．正确答案：20.设线性方程组，问：(1)λ取何值时，方程组无解？(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．正确答案：21.求矩阵A=的全部特征值与特征向量．正确答案：22.用配方法化二次型f (x1,x2,x3)=为标准形，并写出所用的可逆线性变换．正确答案：23.设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．正确答案：。
2013年10月自考线性代数真题及答案
全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。
2014级线性代数试卷及答案
e2
1
1
0
1 2
1 1
,
e3
2
1 6
1 1
2 0 2
(3)取 P (e1 e2 e3 )
1
6
2 2
3 3
1 ，正交变换 x Py ， 1
第 6页（A 卷，共 7页）
第 1页（A 卷，共 7页）
6. 已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A 2E O ,则【 】.
A. A E 与 A 2E 均可逆
B. A 与 E A 均可逆
C. A 可逆， E A 不可逆
D. A 不可逆， E A 可逆
7. 下列说法错误的是【 】. A. 实对称矩阵的特征值均为实数 B. 实反对称矩阵的特征值为零或虚数 C. 实正交矩阵的特征值的模为 1 D. 若 A 与 B 相似，则 A 与 B 合同
0 1
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
0 1
1 0
01
1 0 2
A
(B
2E )1
0
1
0
.
1 0 1
第 4页（A 卷，共 7页）
6. AT A* AT A A* A AT A | A | E
| A |2 ( | A |)3 | A | 0 or | A | 1 .
10．曲线 ez y2 关于 Oz 轴旋转而成的旋转曲面方程为【 】.
二、计算题与证明题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
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广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答
课 程：线性代数Ⅰ、Ⅱ 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、填空题（每小题3分，本大题满分21分）
1．行列式304
503221
--中元素2-的代数余子式为 29 .
2．设向量(1,2)=α，(2,1)=β，则矩阵T
=αβ2142⎛⎫
⎪⎝⎭
.
3. 设A 为3阶方阵，且||4=A ，则|2|=A 32 .
4. 已知200*220421⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
A ，且||0>A ，则1-=A 100110210.5⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭.
5．已知矩阵1234523456357911⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，则秩()R =A 2 .
6．当t = 6 时，向量组123(0,4,2),(2,3,1),(1,2,3)t t t =-=-=-a a a 线性相关.
7. 设方阵A 满足方程23a -+=A A E O ，且已知A 的一个特征值为2=λ，则常数=a 2 .
二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）
1．设A 为35⨯矩阵，B 为p k ⨯矩阵，若AB 意义，则必有（ A ）. （A ）5p =； （B ）3p =； （C ）5k =； （D ）3k =.
2．行列式241
3635104
---的值等于（ D ）.
（A ）1； （B ）-1； （C ）2； （D ）0.
3．设A 是3阶矩阵，A 的第二列乘以2为矩阵B ，则T A 的（ A ）为T B . （A ）第二行乘以2； （B ）第二列乘以2；
（C ）第二行乘以12； （D ）第二列乘以1
2
.
4. 设A 是n m ⨯矩阵，若线性方程组=0Ax 仅有零解，则必有（ C ）. （A ）()R m =A ； （B ）()R m <A ； （C ）()R n =A ； （D ）()R n <A . 5．若向量组1,,ααm 线性无关，且11m m k k ++=0αα，则（ A ）. （A ）1,,m k k 全为0； （B ）1,,m k k 全不为0； （C ）1,
,m k k 不全为0； （D ）前述情况都可能出现.
三、（每小题7分，本大题满分14分）
1. 计算行列式31125134
20111533
D ---=---.
解：D 5111
11131
0010
5530---=
--511
1111550
=---- ------4分 511
620550
=---62
4055
-==--.------7分
2．设12,,,αααβ为3维列向量，矩阵12(,,)=A ααα，12(2,,)=B ααβ. 已知行列式det 1=A ，det 2=-B ，计算det(2)+A B .
解：det(2)+A B 12det(4,3,2)=+αααβ ------2分
1212det(,,2)=+αααβ ------4分
121212[det(,,2)det(,,)]=+αααααβ ------5分
1
12[2det det ]2
=+A B ------6分
12=.------7分
已知1000110001100011⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ，求1-A . 解：按方法1(,)(,)r
-−−→A I I A 求1-A ：------2分
1000100011000100(,)0110001000110001⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A I 10001000010011000010111000011111r ⎛⎫ ⎪-
⎪−−→ ⎪- ⎪--⎝⎭，------7分 所以11000110011101111-⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭
A .------8分 五、（本题满分10分）
求齐次线性方程组123412341
23420,20,3630
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系.
解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换:
121112113613-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 121100200010r -⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭120100100000r -⎛⎫
⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
.------5分
原方程组的同解方程组为
124320
0x x x x +-=⎧⎨
=⎩
.------7分 分别令241,0x x ==和240,1x x ==，求得基础解系为
12100-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，210
01⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
ξ.------10分
设123451*********(,,,,)2102333334--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
a a a a a ，求向量组12345,,,,a a a a a 的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示.
解：123451*********(,,,,)2102333334--⎛⎫ ⎪--
⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
a a a a a 12102000620322109632r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭12102032210963200062r --⎛⎫ ⎪- ⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭
14410333
221013330003100062r
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
-⎝⎭
11610039210103910001300000r ⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪−−→ ⎪
⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
------8分 由此可知，12345,,,,a a a a a 的秩为3，一个最大无关组为124,,a a a ，------10分 且有3121233=+a a a ，51241611
993
=--a a a a .------12分
求矩阵123213336⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 的特征值和特征向量.
解：方阵A 的特征多项式为
1
2
3
||2
13336λλλλ----=------I A 12
1323
1336
c c c c
λλλλλ--+------
2
3
010059
λλλ--=+--(1)(9)λλλ=+-， 方阵A 的特征值为11λ=-，20λ=，39λ=.------6分
当11λ=-时，解方程组()--=I A x 0. 由
223110223001334000r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
--=---−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
I A ，
得基础解系
T 1(1,1,0)=-p .
因此方阵A 对应于11λ=-的全部特征向量为11k p (1k 不为零).------8分
当20λ=时，解方程组()-=A x 0. 由
123101213011336000r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
A ，
得基础解系
T 2(1,1,1)=--p .
因此方阵A 对应于20λ=的全部特征向量为22k p (2k 不为零).------10分
当39λ=时，解方程组(9)-=I A x 0. 由
8231109283021333000r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=--−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
I A ，
得基础解系
T 3(1,1,2)=p .
因此方阵A 对应于39λ=的全部特征向量为33k p (3k 不为零).------12分
已知向量组
A ：12(0,1,1),(1,1,0)==a a ；
B ：123(1,0,1),(1,2,1),(3,2,1)=-==-b b b .
证明A 组与B 组等价.
证明：记T T 12(,)=A a a ，T T T
123(,,)=B b b b .
11301(,)022*******-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B A 113010*********r -⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭113010221100000r -⎛⎫
⎪
−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
.
可知()(,)2R R ==B B A .------5分
易知12,a a 线性无关，故()2R =A .------6分
因此()()(,)R R R ==A B B A ，从而A 组与B 组等价.------8分。