第六章 线性空间
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
高等代数第六章
数域P上的线性空间．
例5 全体正实数R＋，
1) 加法与数量乘法定义为： a, b R , k R
a b log
b a
k a ak
a , b R , k R 2) 加法与数量乘法定义为：
a b ab
k aa
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
为数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添上 零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘法
构成数域 P上的一个线性空间。
例3 线性空间 P mn
数域 P上 m n矩阵的全体作成的集合,按矩阵的乘法 和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间。
例4 任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个
3）如果 σ 、τ都是双射，那么 g 也是双射，并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn，定义了两个向 量的加法和数量乘法： (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
定义：集合是一些事物汇集到一起组成的一个整
体；组成集合的这些事物称为集合的元素。
集合用大写字母A、B、C 等表示； 集合的元素用小写字母a、b、c 等表示．
Note “集合”概念没有一个严谨的数学定义，只是有一个 描述性的说明． 集合论的创始人－－19世纪中期德国数学家康托尔 （Cantor）把集合描述为：所谓集合是指我们直觉 中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为 一个整体来考虑的结果. 集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.
第六章 线性空间 习题答案
第六章 线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （1n ≥）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n n ⨯实矩阵，A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a b a b a a b b a a ⊕=+++，211111(1)(,)(,)2k k k a b ka kb a -=+； 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k =0 α；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k = αα；8）全体正实数+R ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a = ．解 1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}V f f x x =∈R A 即为题目中的集合，显然，对任意的(),()f g V ∈A A ，及k ∈R ，有()()()f g h V +=∈A A A ，()()()kf kf V =∈A A ，其中()()()h x f x g x =+．这就说明V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量α的两个向量的和可能平行于α，例如：以α为对角线的任意两个向量的和都平行于α，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}V a b a b =∈R 即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)a b ，(,)i i a b V ∈，1,2,3i =；,k l ∈R ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)a b a b a b ⊕=+++=，故(0,0)是V 中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b aa ⊕=+++=，则有211(,)(,)a b a a b =--，即2(,)aa b --为(,)a b 的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+= ； ⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la ---=+=++ 2(1)(,)()(,)2kl kl kla klb a kl a b -=+= ； ⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k l l k a b l a b ka kb a la lb a --⊕=+⊕+ 222(1)(1)(,)22k k l l ka la kb a lb a kla --=+++++2(1)(1)[(),()]2k k l k l a k l b a ++-=+++()(,)k l a b =+ ；⑧1122121212[(,)(,)](,)k a b a b k a a b b a a ⊕=+++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++， 而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a --⊕=+⊕+ 22212112212(1)(1)(,)22k k k k ka ka kb a kb a k a a --=+++++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++， 即11221122[(,)(,)](,)(,)k a b a b k a b k a b ⊕=⊕ ．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V 构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为1=≠0 αα，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2k l k l αα+=≠=+=+ ααααα，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故+R 对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,a b +∈R ，,k l ∈R ，有①a b ab ba b a ⊕===⊕；②()()()()a b c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕； ③11a a a ⊕==，即1是定义的加法⊕的零元素； ④111a a a a ⊕==，即1a是a 的负元素； ⑤11a a a == ；⑥()()()()ll klkklk l a k a a a a kl a ===== ； ⑦()()()k lk l k l a aa a k a l a ++===⊕⑧()()()()()kk kk a b k ab ab a b k a k b ⊕====⊕ ．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以+R 构成实数域上的一个线性空间． 『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：1）k =00；2）()k k k -=-αβαβ．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明 1）证法１ 由于对任意的向量α，存在负向量-α，使得()+-=0αα，故(())()(1)(())0k k k k k k k k =+-=+-=+-=+-==00αααααααα；证法２ 对于任意的向量α，有()k k k k +=+=00ααα，左右两边再加上k α的负向量k -α，即可得k =00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()k k k k -+=-+=αββαββα，等式两边再加上k β的负向量k -β，即可得()k k k -=-αβαβ． 5．证明：在实函数空间中，21,cos ,cos2t t 是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明 由于在实函数空间中，有1cos 22cos 2-=t t ，即cos 2t 可由另外两个向量线性表出，故21,cos ,cos 2t t 是线性相关的．7．在4P 中，求向量ξ在基1234,,,εεεε下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)====--=εεεεξ． 解法1 设ξ在基1234,,,εεεε下的坐标为1234(,,,)k k k k '，则有11223344k k k k =+++ξεεεε．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+++=⎪⎨-=⎪⎪+-=⎩ 解方程组，得12341,0,1,0k k k k ===-=，即为ξ在基1234,,,εεεε下的坐标．解法2 将1234,,,εεεε和ξ作为矩阵的列构成一个矩阵()1234,,,,=εεεεξA ，对A 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定ξ与1234,,,εεεε的线性关系．2）对A 进行初等行变换，得到1210010001111100100003010001011101100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=→→ ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，于是13=-ξεε．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P 上的空间n nP ⨯；2）n nP⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数． 解 1）n nP⨯是数域P 上全体n 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,i j n ≤≤，令ij E 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素均为0的n 级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ij E ，,1,2,,i j n =是线性无关的，且任意n 级矩阵A 均可由它们线性表出，从而为n nP⨯的一组基．于是n nP⨯的维数为2n ．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}n n S P ⨯'=∈=A A A ，{|}n n T P ⨯'=∈=-A A A ，{()|0,}n n ij ij N a P a i j ⨯==∈=>A ．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,S T N 分别表示n nP ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①ii E ，1,2,,i n = ；ij ji +E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间S 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． ②ij ji -E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间T 的一组基，其维数为(1)12(1)2n n n -+++-=． ③ii E ，1,2,,i n = ；ij E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间N 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． 『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P 中,求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩εεεε1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ηηηη 1234(,,,)x x x x =ξ在1234,,,ηηηη下的坐标； 2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=--⎩εεεε1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩ηηηη (1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标； 『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求ξ在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解 1）由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故i η，1,2,3,4i =在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为iη本身，故123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA 即为由基1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵．又由于1234(,,,)x x x x =ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为111222133344412927331129231900182773926y x x y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ， 即1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327y x x x x y x x x x y x x y x x x x ⎧=+--⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=--++⎩2）由于这一题目是在4维向量空间4P 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)-=A εεεεηηηη111112021212111131110021101111222----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令12341234(,,,),(,,,)==B C εεεεηηηη，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2n n ⨯矩阵=()P B C ，对矩阵P 实施初等行变换，当把B 化成单位矩阵E 时，矩阵C 就化成了1-B C ：1111202121211113=1110021101111222---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P 10001001010011010010011101010⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭1()-=E B C 于是，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为11001110101110010-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A B C ． 另外，设1234,,,e e e e 为4P 的单位向量组成的自然基，那么12341234(,,,)(,,,)=e e e e B εεεε．于是1123412341100(1,0,0,0)(,,,)(,,,)0000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e B ξεεεε， 因此，ξ在1234,,,εεεε下的坐标为112134111111021210011100001110y y y y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ． 类似地，构造矩阵=()'P Bξ，并对其进行初等行变换，将B 化成单位矩阵E 时，矩阵'ξ就化成了1-'B ξ： 11111110003/132121001005/13=()1110000102/130111000013/13---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪'→→= ⎪⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P EB ξ，所以，(1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标为12343512133y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 『方法技巧』利用n 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．10．继第9题1），求一非零向量ξ，它在基1234,,,εεεε与1234,,,ηηηη下有相同的坐标． 解 根据上一题的讨论可知，由1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵为123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA ． 设所求向量为1234(,,,)x x x x '=ξ，由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，故根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为1-A ξ．因此，如果ξ在两组基下的坐标相同，那么1-=A ξξ．左右两边乘以A ，可得=A ξξ，即()-=0A E ξ，也就是说ξ是齐次线性方程组()-=0A E X 的解．利用消元法求得方程组的解为12341111x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 其中k 是任意常数．于是(,,,)k k k k '=ξ，k 是非零常数，即为所求向量．『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．12．设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊂，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =．证明 设12dim dim V V r ==．那么①如果0r =，则1V 与2V 都是零空间，从而，12V V =．②如果0r >，任取1V 的一组基12,,,r ααα，由于21V V ⊂，且12,V V 的维数相等，故，根据基的定义，12,,,r ααα也是2V 的一组基，于是1122(,,,)r V L V == ααα．『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设100010312⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求33P⨯中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．解 设111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 是与A 交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A 分解成100000010000001311⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB ．由于单位矩阵E 与任何矩阵都可交换，故X 与A 可交换当且仅当X 与B 可交换．事实上，由()=+=+=+AX E B X EX BX X BX ，()=+=+=+XA X E B XE XB X XB可知=AX XA 当且仅当=BX XB ．将=BX XB 按元素写出，即为131313232323333333112131122232132333300030003333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 从而132311213133122232330,33,3,x x x x x x x x x x ==⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 即132331331121323312220,33,3.x x x x x x x x x x ==⎧⎪=--⎨⎪=--⎩ 这是一个含有9个未知数的线性方程组，取1112212233,,,,x x x x x 为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为1100000300⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，2010000030⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，3000100100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，4000010010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，5000000311⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ．于是12345,,,,X X X X X 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B 可交换的形式，这能够给计算带来简便．19．设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++= 与121n n x x x x -==== 的解空间，证明12n P V V =⊕．证法１ 由于齐次方程组120n x x x +++= 的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -= ααα．另外，齐次方程组12n x x x === 的一组基础解系为(1,1,,1)'= β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．又由于向量组121,,,,n - αααβ组成的n 级矩阵的行列式111111001(1)0010110011n n +---=-≠， 故121,,,,n - αααβ线性无关，从而121dim (,,,,)n L n -= αααβ，而121(,,,,)n n L P -⊂ αααβ，所以，根据习题12可知，121(,,,,)n n P L -= αααβ．于是，12121121(,,,)()(,,,,)n n n V V L L L P --+=+== αααβαααβ，且12dim dim dim n P V V =+，故12n P V V =⊕．证法2 由于齐次方程组120n x x x +++= 的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα， 即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -= ααα．另外，齐次方程组12n x x x === 的一组基础解系为(1,1,,1)'= β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．对于任意的12V V ∈ ξ，不妨设112211n n k k k l --=+++= ξαααβ，则112211n n k k k l --+++-=0 αααβ，按分量写开，即为1211210,0,0,0.n n k k k l k l k l k l -------=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 直接解得1210n k k k l -===== ，从而=0ξ．因此12{}V V =0 ．所以1212dim()dim dim V V V V n +=+=，而显然12n V V P +⊂，根据习题12可知，12n V V P +=，结合12{}V V =0 ，有12n P V V =⊕．证法3 设1212(,,,)n a a a V V =∈ ξ，即1V ∈ξ且2V ∈ξ，那么12120,.n n a a a a a a +++=⎧⎨===⎩ 直接解得120n a a a ==== ，即=0ξ．因此12{}V V =0 ．另外，对于任意的12(,,,)n n x x x P =∈ η，显然有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n x x x x x x x x x x x x ==---+ η， 其中121()n x x x x n=+++ ，且121(,,,)n x x x x x x V ---∈ ，2(,,,)x x x V ∈ ．所以12n P V V =+． 结合12{}V V =0 ，有12n P V V =⊕．『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．20．证明：如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，那么21211V V V V ⊕⊕=．证法1 由题设知，11122V V V V =++．由于12V V V =⊕，故12dim dim dim V V V =+．又因为11112V V V =⊕，所以11112dim dim dim V V V =+．于是11122dim dim dim dim V V V V =++．因此21211V V V V ⊕⊕=．证法2 由题设知，11122V V V V =++．设11122=++0ααα，其中11112223,,V V V ∈∈∈ααα，那么，由11122()=++0ααα及12V V V =⊕，可得11122,+==00ααα．再由11112V V V =⊕可得1112==0αα，于是，零向量的表示法唯一，从而21211V V V V ⊕⊕=．。
第六章 线性空间
n 唯一确定的， 这组数就称为 在基 1 , 2 , … , n 下的坐标，记为 ( a1, a2 , … , an ) .
(2) 维与基的关系
如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向
量 1, 2 , …, n ，且 V 中任一向量都可以
用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 1, 2 , …
线性表出，则称r为这个向量组的秩，又称i1 , i2 , …,
ir是这个向量组的一个极大线性无关组.
(2) 秩与极大线性无关组有以下一些结论 1) 每一个不全由零向量组成的向量组都有极大线性
无关组；
2) 向量组与它的任一极大线性无关组等价；一个
向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3) 如果向量组可由线性表出，则前一向量组的秩
3) 如果向量组1 , 2 , …, r 线性无关，但向量 组 1 , 2 , …, r , 线性相关，那么 可以被 1 ,
2 , …, r 线性表出，而且表法是唯一的.
5 秩与极大线性无关组
(1) 设V是数域P上的线性空间，1 , 2 , …, s是V中 一组向量， 如果该向量组中有r个向量i1 , i2 , …, ir 线性无关，且每个j (j=1,2,...,s)都可由i1 , i2 , …, ir
向量的加法和数乘构成的数域P上的线性空间. 2) Pm×n：数域P上m×n矩阵的全体，按通常矩阵的 加法和数乘构成的数域P上的线性空间. 3) P[x]: 数域P上一元多项式的全体，按通常的多 项式的加法和数乘构成的数域P上的线性空间.
4) P[x]n: 数域P上次数小于n的一元多项式的全体， 再添上零多项式，按通常的多项式的加法和数乘构成的 数域P上的线性空间. 5) 数域P按数的加法与乘法构成数域P上的线性空 间. 复数域C按数的加法与乘法构成数域R上的线性空 间,也构成复数域C上的线性空间.
高等代数考研复习[线性空间]
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1.2 常用线性空间
n P (1)n维向量空间： {(a1, a2,
, an ) | ai , P}
Pn 空间的基 1, 2 , , n 其中 i (0
n dim P n. 空间维数 P
1
i
0)
n
nm P (2)矩阵空间： Anm | A (aij ), aij P.
3 1 1 3 3 0 1 1 F1 , F2 , F3 , F4 . 1 1 1 1 2 1 0 2
(1)求由 F1, F2 , F3 , F4到 E11, E12 , E21, E22 的过渡矩阵.
1 线性空间概念、基维数与坐标
1.1
线性空间的定义： 设V是一个非空集合，P是一个数域.在V的元 素之间定义了两种运算：加法与数乘，并且 两种运算满足8条性质.则称集合V是数域P上 的线性空间. 简单地说：带有线性运算的集合，同时运算 满足8条性质的集合称为线性空间. 线性空间中的元素称为向量，线性空间也称 为向量空间.
y1 y 2 A . yn
(1 , 2 ,
y1 y , n ) 2 , yn
那么，
x1 x 2 xn
题型分析：1)确定空间的基与维数
nn V { A | A A , A P }, 求V的基与维数. 例1 设
过渡矩阵都是可逆的！并且由 1, 2 , , n 到
1 坐标变换：设 1, 2 , , n 与 1, 2 , , n 都是
n维空间V的基，对V中任一向量，有
x1 x , n ) 2 ( 1 , 2 , xn
线性空间及线性变换
是V1的一组基, 1 , 2 , , l 是V2的一组基.
(1) V1+V2的基与维数. 令矩阵 A ( 1 , 2 , , k , 1 , 2 , , l ) ,求A的秩,则 V1+V2的维数等于A的秩r,A中r个线性无关的列即为 V1+V2的基. (2) V1∩V2的基与维数. 令 x 1 1 x 2 2 x k k y 1 1 y 2 2 y l l ,解这 个方程组求它的一个基础解系: (xi1,xi2,…,xik,yi1,yi2,…,yil)/,i=1,2,…,d,d=k+l-r,则 z y i=1,2,…,d是V1∩V2的一组基, V1∩V2的维数等于 d=k+l-r. 4.线性变换的值域与核 线性变换/A的值域 / AV { y | y V , y / A , V } ,/A的 核/A-1(0)={y|y∈V,/Ay=0}.
二、基本方法 1.V1,V2是线性空间V的两个子空间,证明V=V1△V2 只要证明以下两点: (1)V1∩V2={0}; (2)dimV=dimV1+dimV2. 2.求线性空间V的基与维数,可先找到V的一个生成 元组 , , , ,然后证明 , , , 线性无关.
f ( ) ( 1 ) ( 2 )
r1 r2
生成
( s )
rs
则V可分解为A的不变子空间的直和
V=V1 △V2△…△Vs,其中: V i
是A属于 i 的根子空间.
{ X | ( i I A) i X 0, X V }
r
2.子空间的性质 我们用dimV表示线性空间V的维数. (1) 设V1和V2是线性空间V的子空间,则 dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2). (2) 设V1,V2,…,Vm是线性空间V的真子空间,则必存 在 V ,使 V ,1 i m , (3) 设V1=L(u1,u2,…,um),v1,v2,…,vr是V1中的r个线性 无关的向量,且r<m,则可以从u1,u2,…,um中去掉r个向 量,使剩下的m-r个向量与v1,v2,…,vr合在一起仍生成 子空间V1. 3.子空间的和与交的基与维数的求法 设V1和V2是线性空间V的子空间, 1 , 2 , , k
高等代数第六章线性空间小结太原理工大学
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本章的重点是线性空间的概念，子空间的和， 基与维数；
难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子 空间的直和.
本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的 判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与 维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构 的判内容及其内在联系可用下图来说明： 线性空间
④ dim(W)=∑dim(Vi) .
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3. 同构映射的基本性质：
(1) 线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组 合，线性相关性；
(2) 同构映射把子空间映成子空间； (3) 线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传 递性；
(4) 数域P上两个有限维线性空间同构<＝>它们有相 同的维数，因而，数域P上的每一个n维线性空间都 与n元数组所成的线性空间Pn同构.
线性空间 小结
线性空间是线性代数的中心内容，是几何空 间的抽象和推广，线性空间的概念具体展示了代 数理论的抽象性和应用的广泛性.
一、线性空间 1. 线性空间的概念 2. 线性空间的性质 (1) 线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；
(2) (–1)α=-α，kα=0<＝>k=0，或α=0
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(3) 若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量
α1,α2,…,αn，且V 中任意向量都可由它线性表示， 则V是n维的，而α1,α2,…,αn就是V的一个基.
(4) 设α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn是n维线性空间V的两 个基，A是由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的过渡矩 阵，(x1,x2,…,xn)和(y1,y2,…,yn)分别是向量α在这两 个基下的坐标，则A是可逆的，且坐标关系为.
线性代数_第六章
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在 基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种 运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为 欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子 空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函 数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的 实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0
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3、为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令
证明：1、2皆为的子空间，且
5、设是线性空间的子空间，如果但则必有
三、计算题
1、设，，其中
，，；，
求与的基和维数。
2、在线性空间中，求由基到基的过渡矩阵，
在基下的坐标，其中
四、证明题
1、前4个埃尔米特多项式为1， ，和，这些多项式是在研究数学物
理中的某种重要的微分方程时产生的．证明这前4个埃尔米特多项式构
成的一组基．
2、在中，令 证明： (1) 都是的子空间；(2)
则1、2都是的子空间，且1＋2＝____________，＝____________. 5、设是线性空间V的一组基，，则由基到基的过渡矩阵T
＝__________，而在基下的坐标是__________.
6、在中, 在基的坐标是________________.
7、令，，，，则是的一组基，判定是否在中，若在，求在基下的坐ຫໍສະໝຸດ 标____________.
8、已知，则dim=_____，的一组基_______________. 二、判断题
1、 设，则是的子空间.
2、已知为上的线性空间，则维(）＝2.
3、设，是的解空间，1是的解空间，2是的解空间，则. 4、设线性空间的子空间中每个向量可由中的线性无关的向量组线性
表出，则维()＝.
第六章 线性空间测验
一、填空题 1、已知是的一个子空间，则dim＝ ， 的一组基是
___________
_.
2、在中，若线性无关，则的取值范围是____________.
3、已知是数域P中的一个固定的数，而
是的一个子空间，则＝__________，而维()＝__________.
4、设是数域P上的维列向量空间，记