2018年秋高中数学课时分层作业10正弦余弦函数的单调性与最值新人教A版必修
人教A版必修四 正余弦函数的单调性与最值 课时作业
第2课时正、余弦函数的单调性与最值A 级 基础巩固一、选择题1.函数y ＝－23cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( ) A.[ZK (#]在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，3π2上是减函数 C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是减函数 解析：y ＝－23cos x 在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数. 答案：A2．y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．[－1，0]B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，0]解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤sin x ≤1，2sin x ，－1≤sin x <0，因此函数的值域为[－2，0]． 答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析：由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案：C4.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0，π]上的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，11π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析：由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Ｚ)得k Ｔπ＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Ｚ)， 取k ＝0，则一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤Ｔπ12，7π12. 答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22 C.22 D ．0 解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π4≤2x －π4≤34π， 所以当2x －π4＝－π4时， f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4有最小值－22. 答案：B二、填空题6．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 解析：因为－π6≤x ≤π6，所以0≤2x ＋π3≤23π， 所以0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为[0，2]． 答案：[0，2]7.当x ＝_________时，函数f (x )＝cos2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4取最大值. 解析：当|x |≤π4时，－22≤sin x ≤22，f (x )＝cos2x ＋sin x ＝1－sin2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122])＋54，所以sin x ＝12，即x ＝π6时，f (x )取得最大值54. 答案：π68.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x 的单调递增区间是 .解析：由题意得，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Ｚ， 解得k Ｔπ＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Ｚ，所以函数的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k Ｔπ＋π3，k π＋5π6，k ∈Ｚ.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k Ｔπ＋π3，k π＋5π6，k ∈Ｚ 三、解答题9.已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围.解：由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Ｚ)得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Ｚ). 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω (k ∈Ｚ).据题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Ｚ). 从而⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω＞0，解得0＜ω≤32. 故ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 10.求下列函数的值域：(1)y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6； (2)y ＝cos2x －3cos x ＋2.解：(1)因为－π6＜x ＜π6，所以0＜2x ＋π3＜2π3. 所以－12＜cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＜1. 所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6的值域为(－1，2). (2)令t ＝cos x ，因为x ∈R ，所以t ∈[－1，1].所以原函数化为y ＝t 2－3t ＋2＝(t －32)2－14. 所以二次函数图象开口向上，直线t ＝32为对称轴. 所以[－1，1]为函数的单调减区间.所以当t ＝－1时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝0.所以y ＝cos2x －3cos x ＋2的值域为[0，6].[B 级 能力提升]1.已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C.π D.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图，可以取a ＝5π6，则b ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，13π6，则b －a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，4π3.答案：A2．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．解析：根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1， 所以sinωπ3＝1， 所以ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z. 又0<ω<2，所以ω＝32. 答案：323.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域是[－5，1]，求a ，b 的值.解：因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin( 2x ＋π6)≤1. 当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5. 当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。
高中数学 第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)—单调性、最值练习 新人教A版必修4-新人教A版
第12课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)——单调性、最值课时目标1.理解正、余弦函数单调性的意义，会求其单调区间．2．会求正、余弦函数的最大(小)值．识记强化1．y ＝sin x 单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k πk ∈Z ，单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k πk ∈Z .x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最大值1，x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，y ＝sin x 取得最小值－1.2．y ＝cos x 单调递增区间[－π＋2k π，2k π]k ∈Z ，单调递减区间[2k π，2k π＋π]k ∈Z .x ＝2k π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最大值1，x ＝2k π＋π，k ∈Z ，y ＝cos x 取最小值－1.课时作业 一、选择题1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π＋5π12(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 答案：C解析：∵2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z . ∴k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z. 2．函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1取得最大值时，x 的值应为( )A ．2k π－π3，k ∈ZB ．k π－π6，k ∈Z C ．k π－π3，k ∈Z D ．k π＋π6，k ∈Z 答案：B解析：依题意，当cos(2x ＋π3)＝1时，y 有最大值，此时2x ＋π3＝2k π，k ∈Z ，变形为x ＝k π－π6， k ∈Z .3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数答案：D解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，所以f (x )是偶函数，故D 错． 4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案：B解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 故y max ＝cos π6＝32，y min ＝cos 2π3＝－12. 所以，所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. 5．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象，如图． 由图象可知，函数y ＝|sin x |的一个递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2. 6．下列关系式中正确的是( )A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°答案：C解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°. 二、填空题7．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 8．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．答案：π6解析：令2×43π＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π－136π，k ∈Z ，当k ＝2时，|φ|min ＝π6. 9．函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为________． 答案：3解析：由y ＝2＋cos x 2－cos x ，得y (2－cos x )＝2＋cos x ，即cos x ＝2y －2y ＋1(y ≠－1)，因为－1≤cos x ≤1，所以－1≤2y －2y ＋1≤1，解得13≤y ≤3，所以函数y ＝2＋cos x 2－cos x的最大值为3. 三、解答题10．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 12 (cos2x )．解：(1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为原函数的单调递增区间， 由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π(k ∈Z )， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )．∴函数y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )． (2)由题意，得cos2x ＞0，∴2k π－π2＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z ， 即k π－π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z . ∵函数y ＝log 12x 在定义域内单调递减， ∴函数y ＝cos2x (x ∈(k π－π4，k π＋π4)，k ∈Z )的单调递减区间即为原函数的单调递增区间，∴x 只需满足2k π＜2x ＜2k π＋π2，k ∈Z .∴k π＜x ＜k π＋π4，k ∈Z . ∴函数y ＝log 12(cos2x )的单调递增区间为(k π，k π＋π4)，k ∈Z . 11．设a ＞0,0≤x <2π，若函数y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 与b 的值，并求该函数取得最大值和最小值时x 的值．解：y ＝cos 2x －a sin x ＋b ＝－(sin x ＋a 2)2＋a 24＋b ＋1， 由－1≤sin x ≤1，a ＞0，知①若0＜a 2≤1，即0＜a ≤2， 当sin x ＝－a 2时，y max ＝a 24＋b ＋1＝0， 当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4， 解得a ＝2，b ＝－2.②若a 2＞1，即a ＞2， 当sin x ＝－1时，y max ＝－(－1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝0， 当sin x ＝1时，y min ＝－(1＋a 2)2＋a 24＋b ＋1＝－4， 解得a ＝2，b ＝－2不合题意，舍去．综上，a ＝2，b ＝－2，当x ＝3π2时，y max ＝0；当x ＝π2时，y min ＝－4.能力提升12．定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b .例如：1] .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22 解析：在同一直角坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，结合a *b 的新定义可知．f (x )的最小值为－1，最大值为22，故其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22. 13．已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值X 围．解：由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )得 －π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 据题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ －π2ω≤－π3π2ω≥π4ω>0，解得0<ω≤32. 故ω的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.。
高中数学人教A版必修第一册 课时训练 分层突破 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值选题明细表基础巩固1.函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0，π2]上的最小值是( B )A.-1B.-√22C.√22D.0解析:因为x ∈[0，π2]，所以2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，所以f(x)min =-√22.故选B.2.函数f(x)=-2sin 2x+2cos x 的最大值和最小值分别是( B ) A.2，-2 B.2，-52C.2，-12D.52，-2解析:f(x)=-2sin 2x+2cos x=-2×(1-cos 2x)+2cos x=2cos 2x+2cos x-2= 2[(cos x+12)2-54]=2(cos x+12)2-52，因为-1≤cos x ≤1，所以f(x)min =-52，f(x)max =2.故选B.3.下列区间中，函数f(x)=5sin(x-π3)单调递增的区间是( A )A.(0，π2) B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:令-π2+2k π≤x-π3≤π2+2k π(k ∈Z)，可得-π6+2k π≤x ≤5π6+2k π(k ∈Z)，令k=0，可得-π6≤x ≤5π6，令k=1，可得11π6≤x ≤17π6，令k=2，可得23π6≤x ≤29π6，因为(0，π2)⊆[-π6，5π6]，故选项A 正确;选项B ，C ，D 都不符合题意.故选A.4.下列区间中使y=sin x 和y=cos x 都是减函数的是( C ) A.[-π2，0] B .[0，π2]C.[π2，π] D .[π，3π2]解析:x ∈[-π2，0]，y=sin x 和y=cos x 都是增函数，x ∈[0，π2]时，y=sin x 是增函数，y=cos x 是减函数，x ∈[π2，π]时，y=sin x 和y=cos x 都是减函数，x ∈[π，3π2]时，y=sin x 是减函数，y=cos x 是增函数.故选C.5.函数f(x)=3sin(2x-π6)在区间[0，π2]上的值域为 .解析:由x ∈[0，π2]，得2x-π6∈[-π6，5π6]，所以sin(2x-π6)∈[-12，1]，于是f(x)=3sin(2x-π6)∈[-32，3].答案:[-32，3]6.写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式 (不用分段函数表示).解析:不妨设f(x)=|sin ωx|，当T=1时，ω=π，则f(x)=|sin πx|.(答案不唯一)答案:f(x)=|sin πx|(答案不唯一)能力提升7.(多选题)下列不等式中成立的是( ABC ) A.sin 3<sin 2 B.cos 3<cos 2 C.cos(-2π5)<cos(-π4)D.sin12π5<sin17π4解析:因为π2<2<3<π，所以sin 2>sin 3，cos 2>cos 3，故选项A ，B 正确;因为-π2<-2π5<-π4<0，所以cos(-2π5)<cos(-π4)，故选项C 正确;因为sin12π5=sin 2π5，sin17π4=sin π4，且0<π4<2π5<π2，所以sin π4<sin2π5，即sin 12π5>sin17π4，故选项D 错误.故选ABC.8.若函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在[0，π]上的值域为[-12，1]，则ω的最小值为( A ) A.23B.34C.43D.32解析:函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)，因为x ∈[0，π]，所以ωx-π6∈[-π6，ωπ-π6].根据正弦函数的性质，当x=0时，可得f(0)=-12，所以π2≤ωπ-π6≤7π6，解得23≤ω≤43，则ω的最小值为23.故选A.9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是√2， 则ω= ，若f(x)在[0，π3]上单调递增，则ω的取值范围是 .解析:因为0≤x ≤π3，且0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3.因为f(x)max =2sinωπ3=√2，所以sinωπ3=√22，ωπ3=π4，即ω=34. 由2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2，k ∈Z ，得2kπω-π2ω≤x ≤2kπω+π2ω，k ∈Z ， 令k=0，得-π2ω≤x ≤π2ω，即f(x)在[-π2ω，π2ω]上单调递增，又f(x)在[0，π3]上单调递增，所以π3≤π2ω，即0<ω≤32.又0<ω<1，所以0<ω<1.答案:34 (0，1)10.已知函数f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由-π+2k π≤2x-π4≤2k π(k ∈Z)，得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+k π，π8+k π](k ∈Z).(2)因为x ∈[-π8，π2]，所以2x-π4∈[-π2，3π4].所以当2x-π4=0，即x=π8时，f(x)max =f(π8)=√2;当2x-π4=3π4，即x=π2时，f(x)min =f(π2)=-1.所以函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最大值为√2，此时x=π8;最小值为-1，此时x=π2.11.(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+2.(1)若f(α)=3，且α∈(0，π)，求α的值;(2)若对任意的x ∈[π4，π2]，不等式f(x)>m-3恒成立，求实数m 的取值范围.解:(1)因为f(α)=3，所以2sin(2α+π6)+2=3，即sin(2α+π6)=12，又由α∈(0，π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3.(2)对x ∈[π4，π2]，有2π3≤2x+π6≤7π6，所以-12≤sin(2x+π6)≤√32，可得1≤f(x)≤2+√3，所以要使f(x)>m-3对任意的x ∈[π4，π2]恒成立，只需f(x)min >m-3，所以m-3<1，解得m<4.故所求实数m 的取值范围为(-∞，4).应用创新12.已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4).(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.解:(1)因为sin(x+7π4)=sin(x-π4)=sin[(x-3π4)+π2]=cos(x-3π4)，所以f(x)=2sin(x+7π4)=-2sin(x+3π4).所以f(x)的最小正周期是2π，最大值是2. (2)因为f(-x)=2sin(x-3π4)，由π2+2k π≤x-3π4≤3π2+2k π，k ∈Z ，得函数的单调递减区间为[5π4+2k π，9π4+2k π](k ∈Z).。
高中数学第一章三角函数1.4.2.3正弦函数余弦函数的单调性与最值学案含解析新人教A版必修4
第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质状元随笔(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A sin z的形式求最值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．( )(2)正弦函数y＝sin x的一个增区间是[0，π]．( )(3)当余弦函数y＝cos x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 在( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数C ．[－π，0]上是减函数D ．[－π，π]上是减函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( ) A ．y ＝cos|x | B ．y ＝cos|－x |C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2 D ．y ＝－sin x 2 解析：y ＝cos|x |在()0，π上是减函数，排除A ；y ＝cos|－x |＝cos|x |，排除B ；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x2在(0，π)上是单调递减的． 答案：C4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：∵－1≤cos π2x ≤1，∴－1≤y ≤3.答案：A类型一 正、余弦函数的单调性例1 (1)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[－π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23π，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3 (2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是________．【解析】 (1)由π3≤x ≤43π，可得π2≤x ＋π6≤32π.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z .所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .【答案】 (1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (1)由A ，B ，C ，D 中x 的范围，求出x ＋π6的范围，验证是否为减区间．(2)将2x －π3代入到[－π＋2k π，2k π]，k∈Z 中，解出x 的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间同上．(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A <0，则单调性相反．跟踪训练1 (1)下列函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是增函数的是( )A.y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x(2)求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间．解析：(1)因为y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数，所以排除A ，B.因为π2≤x ≤π，所以π≤2x ≤2π.因为y ＝sin 2x 在2x ∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∴要求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间，只需求出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递减区间．令π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解之得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．答案：(1)D (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再利用性质求增区间．类型二 比较三角函数值的大小 例2 比较下列各组数的大小： (1)sin 250°与sin 260°； (2)cos 15π8与cos 14π9.【解析】 (1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin 250°>sin 260°.(2)cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，cos 14π9＝cos2π－4π9＝cos 4π9.∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小． 方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值． (2)不同名的函数化为同名函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．跟踪训练2 比较下列各组数的大小． (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin 493π； (2)cos 870°与sin 980°.解析：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin 493π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π.(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°， 即cos 870°>sin 980°.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．类型三 正、余弦函数的最值问题例3 函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的最小值是______，此时x ＝______.【解析】 当2x ＋π6＝π＋2k π，k ∈Z ，x ＝5π12＋k π，k ∈Z 时，y min ＝－2－1＝－3.【答案】 －35π12＋k π，k ∈Z 观察函数解析式特点，由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小值，求函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的最小值，并求x 的取值．方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．跟踪训练3 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.解析 (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈0，π2可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝sin x ，∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1，∴1≤y ≤72，∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. (1)先由x 的范围求出x ＋π6的范围，再求值域．(2)先换元令t ＝sin x ，再利用二次函数求值域．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，y ＝cos x 在(π，2π)上是增函数，所以区间M 可以是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π.答案：D2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( ) A ．y max ＝3，x ＝－π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.答案：C3．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D.答案：B4．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1 解析：因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2>cos1，即sin 2>cos 1.答案：D5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0解析：方法一 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，其单调递增区间为－π2＋2k π≤x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，则－π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z . 由于x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0. 方法二 函数在5π6取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6－π，5π6，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，又x ∈[－π，0]，所以其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22.答案：－228．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“>”或“<”)． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0<π8<2π7<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin π8<sin 2π7，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8<sin 2π7.答案：>三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .解析：(1)函数y ＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z .∴函数y ＝cos 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，函数y ＝－2sin x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递减、递增区间．令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z .即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z .令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z .即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z .即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 10．求下列函数的最大值和最小值： (1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6. 解析：(1)∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. (2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2； 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0. [能力提升](20分钟，40分)11．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) 解析：周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－38π≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .答案：C12．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．答案：(－π， 0]13．比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 15π7；(2)sin 194°与cos 160°.解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 15π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π7＝cos π7，∵0<π8<π7<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴cos π8>cos π7，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 15π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.14．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．解析：∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．。
高中数学第五章三角函数正弦函数余弦函数的单调性与最值学案新人教A版必修第一册
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值课程标准(1)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．会求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)及y ＝A cos (ωx ＋φ)的单调区间．(2)掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 最大值与最小值，会求简单三角函数的值域和最值．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点 正、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象❶单调性❷在____________上单调递增，在____________上单调递减在____________上单调递增，在____________上单调递减最值x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1x ＝________时，取得最大值1；x ＝________时，取得最小值－1助学批注批注❶ 从正、余弦曲线可以看出，正、余弦曲线分布在两条平行线y ＝1和y ＝－1之间，所以|sin x|≤1，即－1≤sin x≤1；所以|cos x|≤1，即－1≤cos x≤1.批注❷ 结合正、余弦曲线的上升、下降熟记单调区间．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数．( )(2)存在实数x，使得sin x＝√2.( )(3)在区间[0，2π]上，函数y＝sin x有三个零点．( )(4)余弦函数y＝cos x在[0，2π]上的单调减区间是[0，π].( ) 2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是( ) A．[0，π] B．[π2，π]C.[0，π2]D．[π，2π]3．函数y＝－2cos x的最小值为( )A.1B．－1C.2D．－24．比较大小：sin π6________sinπ3(填“＞”或“＜”)题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1 利用单调性比较大小例1 [2022·湖南永州高一期末]设a＝sin1，b＝sin2，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜b＜a D．c＜a＜b方法归纳利用单调性比较三角函数值大小的步骤巩固训练1 若a＝sin47°，b＝cos37°，c＝cos47°，则a，b，c大小关系为()A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a题型2 求单调区间例2 (1)y ＝cos (x －π4)在[0，π]上的单调递减区间为( )A ．[π4，3π4]B ．[0，π4]C ．[3π4，π]D ．[π4，π](2)求函数y ＝√2sin (π4－2x )的单调区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略巩固训练2 函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为( )A ．[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )B ．[kπ2+π12，kπ2+7π12](k ∈Z )C ．[kπ−π6，kπ+π3](k ∈Z )D ．[kπ2−π6，kπ2+π3](k ∈Z )题型 3 正、余弦函数的最值(或值域)例3 已知函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12.(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)求f (x )在区间[0，5π12]上的值域．方法归纳求与正、余弦函数有关的最值(或值域)的方法巩固训练3 (1)函数f (x )＝sin (x ＋π6)在[−π3，π2]上的最大值与最小值之和是()A ．12B ．－12C ．1D ．－1(2)已知函数f(x)＝1－sin2x＋sin x(0≤x≤π2)，当x＝________时，f(x)取得最大值．第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值新知初探·课前预习[教材要点]要点一[2kπ−π2，2kπ+π2](k∈Z) [2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) π2＋2kπ(k∈Z) －π2＋2kπ(k∈Z) 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．解析：由正弦曲线知y＝sin x在[0，π2]上是增函数．答案：C3．解析：因为y＝cos x的最大值是1所以函数y＝－2cos x的最小值是－2.答案：D4．解析：0＜π6＜π3＜π2，由于函数y＝sin x在[0，π2]上为增函数，则sinπ6＜sinπ3.答案：<题型探究·课堂解透例1 解析：因为0＜π－3＜1＜π－2＜π2，函数y＝sin x在(0，π2)上单调递增，所以sin (π－3)＜sin1＜sin (π－2)，即sin3＜sin1＜sin2，所以c＜a＜b.答案：D巩固训练1 解析：由题意得sin47°＝sin (90°－43°)＝cos43°，因为y＝cos x在[0，π2]上单调递减，所以b＞a＞c.答案：C例2 解析：(1)由cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，可得2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，解得π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，又∵x∈[0，π]，∴k＝0时，π4≤x≤π.(2)∵y＝√2sin (π4－2x)＝－√2sin (2x－π4)，∴由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)，得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调增区间为[kπ+3π8，kπ+7π8](k∈Z)，由2kπ－π2≤2x－π4≤π2＋2kπ，(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)．所以函数y＝√2sin (π4－2x)的单调减区间为[kπ−π8，kπ+3π3](k∈Z)．答案：(1)D (2)见解析巩固训练2 解析：函数y＝sin (2x＋π3)，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，所以函数y ＝sin (2x ＋π3)的单调递减区间为[kπ+π12，kπ+7π12](k ∈Z )．答案：A例3 解析：(1)∵函数f (x )＝sin (2x －π6)＋12，∴f (x )最小正周期T ＝2π2＝π，∵sin (2x －π6)≤1，sin (2x －π6)＋12≤32，∴当sin (2x －π6)＝1时，f (x )max ＝32.(2)当0≤x ≤5π12时，－π6≤2x －π6≤23π，∴当2x －π6＝π2时，即x ＝π3时，f (x )max ＝32，当2x －π6＝－π6时，即x ＝0时，f (x )min ＝0，∴f (x )在区间[0，5π12]上的值域为[0，32].巩固训练3 解析：(1)∵－π3≤x ≤π2，∴－π6≤x ＋π6≤2π3，∴－12≤sin (x ＋π6)≤1，∴最大值与最小值之和为－12＋1＝12.(2)令t ＝sin x ，则y ＝1－t 2＋t (0≤t ≤1)，对称轴为t ＝12，所以当t ＝12时，函数取得最大值，即sin x ＝12，得x ＝π6.答案：(1)A (2)π6。
5.4.2 第2课时 正弦函数余弦函数的单调性与最值(分层练习)(人教A版必修第一册)(1)
5.4.2第2课时正弦函数余弦函数的单调性与最值基础练巩固新知夯实基础1.函数()sin()6f x x π=+的一个递减区间是()A.－π2，π2B ．[－π，0]C.－2π3，D.π2，2π32.函数y +ω>0)的周期为π,则其单调递增区间为()A. π-3π4, πk ∈Z) B.2 π-3π4,2 πk ∈Z)C. π-3π8, πk ∈Z)D.2 π-3π8,2 πk ∈Z)3.函数cos(),0,62y x x ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是()A.12⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭ B.12⎡-⎢⎣⎦C.2⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.下列关系式中正确的是()A ．sin11°<cos10°<sin168°B ．sin168°<sin11°<cos10°C ．sin11°<sin168°<cos10°D ．sin168°<cos10°<sin11°5.比较下列各组数的大小，其中正确的是（）A ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．sin 250sin 260︒<︒D ．23cos cos 75ππ⎛⎫<- ⎪⎝⎭6.(多选)已知函数()2sin23f x x π=+（，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间0,3π（上单调递减C ．()f x 一个零点为6πD ．()f x 的图象关于直线83x π=对称7.若cos x ＝m －1有意义，则m 的取值范围是．8.求函数11sin()24y x π=+-+，x ∈[－4π，4π]的单调减区间．9.已知函数1()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）求函数()f x 的单调递增区间．能力练综合应用核心素养10.函数y =2sinsin +2的最小值是()A.2B.-2C.1D.-111.函数2sin()cos()36y x x ππ=--+(x ∈R )的最小值等于()A ．－3B ．－2C ．－1D ．－512.(多选)关于函数f (x )=4sin 2 +x ∈R),下列命题正确的是()A.y =f (x )的解析式可改写为yB.y =f (x )C.函数y =D.y =f +y 轴对称13.若函数sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,m 上单调递增，则m 的最大值为（）A ．13B ．12C ．23D ．114.（多选）对x ∀∈R ，2sin a x ≤+成立的充分不必要条件可以是（）A ．0a =B ．1a ≤C ．1a =D ．3a =15.若方程2cos sin 0x x a -+=在,22ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是______．16.已知函数()2sin(2)6f x a x a b π=+++的定义域是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域是[－5,1]，求a ，b 的值．17.已知函数()(3sin 2)3f x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.18.已知函数f (x )=3sin 2 -π 0.(1)求函数f (x )的最大值与最小值,并写出取得最大值、最小值时自变量的取值集合;(2)求函数g (x )= ,x .【参考答案】1.D 解析：∵2k π＋π2≤x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋4π3，k ∈Z .令k ＝0得π3≤x ≤4π3.又∵24,,2333ππππ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴函数()sin()6f x x π=+的一个递减区间为2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.2.C 解析：∵周期T =π,∴2π=π,∴ω=2,∴y =2sin 2 由-π2+2k π≤2x +π4≤2k π+π2(k ∈Z),得k π-3π8≤x ≤k π+π8(k ∈Z).3.B 解析：由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π3，故－12≤cos()6x π+≤32.故选B.4.C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°.由正弦函数的单调性得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.5.A 解析：对于A ：因为021018πππ-<-<-<，且sin y x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 正确；对于B ：因为232331717cos cos cos ,cos cos cos 555444ππππππ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且3045πππ<<<，cos y x =在[]0,π上递减，所以2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项B 错误；对于C ：因为sin 250sin 70,sin 260sin80︒=-︒︒=-︒，且070sin8090<︒<︒<，sin y x =在0,90⎡⎤⎣⎦上递增，33cos cos 55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以sin 70sin80︒<︒，即sin 250sin 260︒>︒，故选项C 错误；对于D ：因为33cos cos55ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且23075πππ<<<，cos y x =在[]0,π上递减，所以23coscos 75ππ>，即23cos cos 75ππ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故选项D 错误；故选：A 6.ABC 解析：因为22T ππ==，所以A 正确；由232232x πππ≤+≤得：51212x ππ-≤≤，故B 正确；因为2()sin(2)sin 0663f ππππ=⨯+==，故C 正确；因为882()sin(2)sin 60333f ππππ=⨯+==，所以直线8π3x =不过函数()f x 的最值点，故D 错误.故选：ABC7.[0,2]解析：因为－1≤cos x ≤1，要使cos x ＝m －1有意义，须有－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2.]8.解：111sin()1sin()2424y x x ππ=+-+=--.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．∴k ＝0时，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，k ＝1时，711,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，k ＝－1时，95,22x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦又∵x∈[－4π，4π]，∴函数11sin()24y x π=+-+的单调减区间为54,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，7,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.9.解：（1）由函数1()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知：()f x 的最小正周期为2412T ππ==，令1242x k πππ+=+，k ∈Z ，得22x k ππ=+，k ∈Z ．故()f x 的对称轴方程为22x k ππ=+，k ∈Z ．（2）令2kπ−2≤12 +4≤2kπ+π2，k ∈Z ，得4kπ−3 2≤ ≤4kπ+π2，k ∈Z ．故()f x 的单调递增区间为34,422k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．10.B 解析：因为y =2sinsin +2=2-4sin +2,所以当sin x =-1时,y =2sinsin +2取得最小值-2.11.C 解析：362x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin ()cos()2cos()cos()cos()266666y x x x x x ππππππ⎡⎤∴=-+-+=+-+=+⎢⎥⎣⎦，∴y min ＝－1.12.ACD 解析：A 正确,f (x)=4sin 2 +22 错误,由题意知T =2π2=π;C 正确,f 2 +2x ,是奇函数;D 正确,f +2 ++π3=4cos 2x ,是偶函数,其图象关于y 轴对称.故选ACD .13.C 解析：由sin 6y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得当22,262k x k k Z ππππππ-+≤-≤+∈时函数单调递增，即122,2,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，12,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，又函数在[]0,m ，所以203m <≤，即m 的最大值为23，故选：C.14.AC 解析：若x ∀∈R ，2sin a x ≤+恒成立，只需()min 2sin a x ≤+，又()min 2sin 1x +=，所以1a ≤，所以对x ∀∈R ，2sin a x ≤+成立的充分不必要条件可以是0a =，或者是1a =.故选：AC.15.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：把方程变为2sin cos a x x =-，设2()sin cos f x x x =-，则()f x 2sin (1sin )x x =--2sin sin 1x x =+-215sin 24x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭((,])22x ππ∈-．显然当且仅当()a f x ∈的值域时,()a f x =有解．且由(,]22x ππ∈-知,sin (1,1]x ∈-，当1sin 2x =-时，()f x 有最小值54-，当sin 1x =时，()f x 有最大值1，()f x ∴的值域为5[,1]4-,a 的取值范围是5[,1]4-．故答案为：5[,1]4-.16.解：因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，所以－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1.所以a >0时，531b a b =-⎧⎨+=⎩解得52b a =-⎧⎨=⎩a <0时，135b a b =⎧⎨+=-⎩解得12b a =⎧⎨=-⎩因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.17.解：（1）因函数()(3sin 2)3f x x π=+，则周期22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π.（2）当ππ44x -≤≤时，52636x πππ-≤+≤，而正弦函数sin y x =在[,62ππ-上递增，在5[,]26ππ上递减，且5sin(sin 66ππ-<，因此，当232x ππ+=，即12x π=时，sin(23x π+取最大值1，则()max 3f x =，当236x ππ+=-，即4x π=-时，sin(2)3x π+取最小值12-，则()min 32f x =-，所以()f x 的最大值为3，最小值为32-.18.解：(1)由题意得f (0)=0,即3sin 0-π3+φ=0,因此-π3+φ=k π,k ∈Z,即φ=k π+π3,k ∈Z,而0<φ<π2,∴φ=π3,故f (x )=3sin 2x.当2x =2k π+π2(k ∈Z),即x =k π+π4(k ∈Z)时,f (x )取得最大值3,当2x =2k π-π2(k ∈Z),即x =k π-π4(k ∈Z)时,f (x )取得最小值-3,所以f (x )取最大值3时,自变量x 的取值集合是 | = π+π4, ∈Z ,f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是 | = π-π4, ∈Z.(2)由(1)得g(x)= =3sinπ3-2x=-3sin2 x令π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得5π12+kπ≤x≤11π+kπ,k∈Z,又x故函数g(x)= ,x。
2018年秋高中数学课时分层作业10正弦余弦函数的单调性与最值新人教A版必修420180913379
f(x)＝sin 2x－
(
π π π 1 ，sin ＝ － ，1 . ∈ sin － 6 2 6 2
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1 ＝2 sin x＋ ∵x∈ π
(
1 1 2＋ . 2 2 1
)
[ 6 ， 6 ]，∴2≤sin x≤1.
5π
当 sin x＝1 时，ymax＝5； 1 5 当 sin x＝ 时，ymin＝ . 2 2
课时分层作业(十) 正弦、余弦函数的单调性与最值
(建议用时：40 分钟) [学业达标练] 一、选择题
[ 4 ， 2 ]上为减函数的是( ) π π A．y＝sin 2x＋ B．y＝cos 2x＋ ( 2) ( 2) π π C．y＝sin x＋ D．y＝cos x＋ ( 2) ( 2) π π π A [对于选项 A， 注意到 y＝sin 2x＋ ＝cos 2x 的周期为 π， 且在 ， 上是减函数． ] ( 2) [4 2]
5.4.2正弦函数、余弦函数单调性和与最值课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
8
8
原 :
作业：
一线第36课时
一线课堂
1,、2、3、4
素养演练
1、2、3、9、12
2
x 2k(k Z )时取最大值1
x 2k(k Z )时取最小值 1 x 2k(k Z )时取最小值1
2
例1：不求值，比较下列各组数的大小：
析 : (1) y sin x在[
2
,0]上递增 ,
0,
2
10
18
sin( ) sin( ).
18
10
23
23
3
析：
(2) cos(
) cos
cos
5
5
5
17
17
cos(
) cos
cos
4
4
4
y cos x在[0, ]上递减,
3
而0
,
4 5
3
cos cos ,
4
5
3
4
解 : x 0, ,
4
5
2 x , ,
3 3 6
1
sin(2 x ) ,1,
3 2
值域为1,2.
y=sint的图象
例3：求 y sin( 2 x )的单调递增区间 .
6
内: t 2x
内 :
外:
4
3
解得 x [ k ,
k ], k Z .
8
8
高中数学 课时作业10 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 新人教A版必修4
13．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 与sin ；
(2)sin196°与cos156°；
(3)cos 与cos .
解析：(1)∵－ <－ <－ < ，
∴sin >sin .
(2)sin196°＝sin(180°＋16°)＝－sin16°，
cos156°＝cos(180°－24°)＝－cos24°＝－sin66°，
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为 .
法二 函数在 取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为 ，即 ，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为 .
答案：D
3．函数y＝|sinx|＋sinx的值域为()
A．[－1,1] B．[－2,2]
C．[－2,0] D．[0,2]
解析：∵y＝|sinx|＋sinx＝
由2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
所以函数的单调减区间为 (k∈Z)．
答案： (k∈Z)
7．函数f(x)＝sin 在区间 上的最小值为________．
解析：当0≤x≤ 时，－ ≤2x－ ≤ ，因为函数y＝sinx在 上的函数值恒为正数，在 上的函数值恒为负数，且在 上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－ .
解析：y＝1＋sin ＝－sin ＋1.
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ (k∈Z)．
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π(k∈Z)．
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin 的单调减区间为 ， ， .
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos ；
(2)y＝2sin .
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值1.正弦函数、余弦函数的单调性(1)正弦函数y=sin x 的增区间为[2k π-π2，2k π+π2](k ∈Z);减区间为[2k π+π2，2k π+3π2](k ∈Z).(2)余弦函数y=cos x 的增区间为[2k π-π，2k π](k ∈Z);减区间为[2k π，2k π+π](k ∈Z).2.正弦函数、余弦函数的图象的最值 正弦曲线:余弦曲线:可得如下性质:由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[-1，1]. 对于正弦函数y=sin x ，x ∈R 有:当且仅当x=π2+2k π，k ∈Z 时，取得最大值1;当且仅当x=-π2+2k π，k ∈Z 时，取得最小值-1.对于余弦函数y=cos x ，x ∈R 有:当且仅当x=2k π，k ∈Z 时，取得最大值1; 当且仅当x=(2k+1)π，k ∈Z 时，取得最小值-1.正、余弦(型)函数的单调性类型一 利用图象确定函数的单调区间 [例1] 求函数y=|sin x|的单调区间.解:因为y=|sin x|的图象是由y=sin x 在x 轴上侧的图象不变、x 轴下侧的图象对折得到的，如图所示.由函数得，当x ∈[0，π2]时，函数单调递增，当x ∈[π2，π]时，函数单调递减，因此函数的单调递增区间是[k π，k π+π2](k ∈Z)， 单调递减区间是[k π+π2，k π+π](k ∈Z).(1)研究三角函数的单调性时，若函数的图象容易作出(或不能直接利用y=sin x ，y=cos x 的单调性求解，可以作出函数图象)，结合图象研究函数性质.(2)一般地，形如y=|Asin(ωx+ϕ)|或y=|Acos(ωx+ϕ)|的函数单调性常借助图象求解.提醒:本例中，由于函数y=|sin x|周期为T=π，因此函数的单调性中应为k π的形式.针对训练1:已知y=|cos x|，则函数的一个单调递增区间是( ) A.(-π4，π4) B .(π4，3π4)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:作出函数y=|cos x|的图象如图所示，当x ∈(3π2，2π)时，函数单调递增.故选D.类型二 形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ，ω≠0)的函数单调性[例2] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=2+cos(x 2+π3);(2)f(x)=2sin(π4-2x).解:(1)令2k π≤x 2+π3≤2k π+π，k ∈Z ，得4k π-2π3≤x ≤4k π+4π3(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [4k π-2π3，4k π+4π3](k ∈Z).令2k π+π≤x 2+π3≤2k π+2π，k ∈Z ，得4k π+4π3≤x ≤4k π+10π3(k ∈Z).故函数的单调递增区间是 [4k π+4π3，4k π+10π3](k ∈Z).(2)f(x)=2sin(π4-2x)=-2sin(2x-π4)， 令2k π-π2≤2x-π4≤2k π+π2，k ∈Z ，得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z).故函数的单调递减区间是 [k π-π8，k π+3π8](k ∈Z).令2k π+π2≤2x-π4≤2k π+3π2，k ∈Z ，得k π+3π8≤x ≤k π+7π8(k ∈Z).故函数的单调递增区间是[k π+3π8，k π+7π8](k ∈Z).求正弦、余弦型函数单调区间的方法(1)求函数y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω>0)的单调区间，一般将ωx+ϕ视作整体，代入y=sin x(或y=cos x)相应单调区间所对应的不等式，解之即得.(2)当ω<0时，先利用诱导公式将y=Asin(ωx+ϕ)(或y=Acos(ωx+ϕ))(A>0，ω<0)变形为y=-Asin(-ωx-ϕ)(或y=Acos(-ωx-ϕ))(A>0，ω<0)，再求函数的单调区间.(3)当A<0时，要注意单调区间的变化，谨防将增区间与减区间混淆.针对训练2:(1)(多选题)函数y=sin(-12x+π4)，x ∈[-4π，4π]的单调递减区间是( )A.[-4π，-5π2] B.[-π2，3π2]C.[π2，5π2] D.[7π2，4π](2)函数y=cos(π3-2x)的单调递增区间是 .解析:(1)因为y=sin(-12x+π4)=-sin(12x-π4)与函数y=sin(12x-π4)的增减性相反，令-π2+2k π≤12x-π4≤π2+2k π，k ∈Z ，得-π2+4k π≤x ≤3π2+4k π，k ∈Z ，当k=-1时，-9π2≤x ≤-5π2，当k=0时，-π2≤x ≤3π2，当k=1时，7π2≤x ≤11π2，又-4π≤x ≤4π，所以函数y=sin(-12x+π4)的单调递减区间为[-4π，-5π2]，[-π2，3π2]，[7π2，4π].故选ABD.(2)y=cos(π3-2x)=cos(2x-π3)，由-π+2k π≤2x-π3≤2k π，k ∈Z ，得-π3+k π≤x ≤π6+k π，k ∈Z.答案:(1)ABD (2)[-π3+k π，π6+k π](k ∈Z)类型三 利用正、余弦函数单调性比较大小 [例3] 比较下列各组数的大小. (1)sin 194°与cos 160°; (2)cos 32，sin 110，-cos 74;(3)sin(sin 3π8)与sin(cos 3π8).解:(1)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°，cos 160°=cos(90°+70°)=-sin 70°.因为0°<14°<70°<90°，函数y=sin x 在区间(0°，90°)上单调递增，所以sin 14°<sin 70°，所以-sin 14°>-sin 70°， 所以sin 194°>cos 160°. (2)sin 110=cos(π2-110)，-cos 74=cos(π-74)，因为0<π-74<π2-110<32<π，函数y=cos x 在(0，π)上是单调递减，所以cos(π-74)>cos(π2-110)>cos 32，即-cos 74>sin 110>cos 32.(3)cos 3π8=cos(π2-π8)=sin π8.因为0<π8<3π8<π2，函数y=sin x 在(0，π2)上单调递增，所以sin π8<sin 3π8，所以cos 3π8<sin 3π8.而0<cos 3π8<sin 3π8<1，且函数y=sin x 在(0，1)上单调递增，所以sin(cos 3π8)<sin(sin 3π8).三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到[-π2，π2]或[π2，3π2]内;对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[-π，0]或[0，π]内.(2)不同名的函数化为同名的函数.(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.针对训练3:比较下列各组数的大小. (1)sin(-320°)与sin 700°;(2)cos17π8与cos37π9.解:(1)因为sin(-320°)=sin(-360°+40°)=sin 40°， sin 700°=sin(720°-20°)=sin(-20°)， 又函数y=sin x 在[-90°，90°]上单调递增， 所以sin 40°>sin(-20°)， 所以sin(-320°)>sin 700°. (2)因为cos 17π8=cos(2π+π8)=cos π8，cos37π9=cos(4π+π9)=cos π9，又函数y=cos x 在[0，π]上单调递减， 所以cos π8<cos π9，所以cos17π8<cos37π9.正、余弦(型)函数的值域与最值类型一 正、余弦(型)函数的最值问题[例4] 求下列函数的最值，并求函数取最值时，相应x 的值. (1)y=3sin(2x+π3);(2)y=1+cos(2x+π3)，x ∈[-π3，π6].解:(1)当2x+π3=2k π+π2(k ∈Z)，即x=k π+π12(k ∈Z)时，y max =3，当2x+π3=2k π-π2(k ∈Z)，即x=k π-5π12(k ∈Z)时，y min =-3.(2)因为x ∈[-π3，π6]，所以2x+π3∈[-π3，2π3].所以-12≤cos(2x+π3)≤1.当2x+π3=0，即x=-π6时，函数取最大值，y max =1+1=2. 当2x+π3=2π3，即x=π6时，函数取最小值，y min =-12+1=12.形如y=Asin(ωx+ϕ)+k 或y=Acos(ωx+ϕ)+k(A ≠0，ω≠0)的函数 (1)在R 上的最值，可结合sin(ωx+ϕ)，cos(ωx+ϕ)的范围及A 的符号确定.(2)若定义域为确定的区间，令t=ωx+ϕ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性及A 的符号，求其值域.针对训练4:求下列函数最值，并求取最大值和最小值时x 的值. (1)y=1-3cos 2x;(2)y=-2sin(2x-π4)，x ∈[0，π2].解:(1)当cos 2x=1时，y 有最小值1-3=-2，此时x 的值满足2x=2k π，即x=k π(k ∈Z).当cos 2x=-1时，y 有最大值1+3=4，此时x 的值满足2x=2k π+π，即x=k π+π2(k ∈Z).(2)由x ∈[0，π2]，得2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，即-2≤-2sin(2x-π4)≤√2.当2x-π4=π2，即x=3π8时，函数取最小值-2.当2x-π4=-π4，即x=0时，函数取最大值√2.类型二 形如y=Asin 2x+Bsin x+C 或y=Acos 2x+Bcos x+C 型最值问题 [例5] 求使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值. 解:令t=sin x ，则-1≤t ≤1， 所以y=-t 2+√3t+54=-(t-√32)2+2.当t=√32时，y max =2， 此时sin x=√32，即x=2k π+π3或x=2k π+2π3(k ∈Z).当t=-1时，y min =14-√3，此时sin x=-1，即x=2k π+3π2(k ∈Z).综上，使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最大值时自变量x 的集合为{x|x=2k π+π3或x=2k π+2π3，k ∈Z}，且最大值为2.使函数y=-sin 2x+√3sin x+54取得最小值时自变量x 的集合为{x|x=2kπ+3π2，k ∈Z}，且最小值为14-√3.形如y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)的三角函数，可先设sin x=t ，将函数y=asin 2x+bsin x+c(a ≠0)化为关于t 的二次函数y=at 2+bt+c(a ≠0)(-1≤t ≤1)，根据二次函数的单调性求值域(最值).针对训练5:求函数y=-cos 2x+√3sin x+54的值域.解:因为cos 2x=1-sin 2x ， 所以y=sin 2x+√3sin x+14.令t=sin x ，则-1≤t ≤1， 所以y=t 2+√3t+14=(t+√32)2-12.当t=-√32时，y min =-12，当t=1时，y max =54+√3.故函数的值域为[-12，54+√3].典例探究:函数y=sin x 的定义域为[a ，b]，值域为[-1，12]，则b-a的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3B.8π3C.2πD.4π解析:如图，当x ∈[a 1，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最大.当x ∈[a 2，b]时，值域为[-1，12]，且b-a 最小.所以b-a 的最大值与最小值之和为(b-a 1)+(b-a 2)=2b-(a 1+a 2)=2×π6-(-7π6-π2)=2π.故选C.应用探究:已知函数y 1=a-bcos x 的最大值是32，最小值是-12，求函数y=-4asin 3bx 的最大值.解:因为函数y 1的最大值是32，最小值是-12，当b>0时，由题意得{a +b =32,a -b =-12,所以{a =12,b =1.此时y=-4asin 3bx=-2sin 3x.当b<0时，由题意得{a -b =32,a +b =-12,所以{a =12,b =-1.此时y=-4asin 3bx=-2sin(-3x)=2sin 3x. 因此，y=-2sin 3x 或y=2sin 3x. 函数的最大值均为2.1.函数f(x)=3-2cos 4x 的最大值为( D ) A.1 B.2 C.3 D.5解析:因为-1≤cos 4x ≤1，所以-2≤2cos 4x ≤2，所以1≤3-2cos 4x ≤5，所以f(x)=3-2cos 4x 的最大值为5.故选D. 2.函数f(x)=sin x ，x ∈[π6，2π3]的值域为( B )A.[-1，1]B.[12，1]C.[12，√32] D.[√32，1]解析:因为函数y=sin x 在区间[π6，π2]上是增函数，在区间[π2，2π3]上是减函数，所以当x ∈[π6，2π3]时，f(x)max =f(π2)=1，f(x)min =f(π6)=12，因此，所求函数的值域为[12，1].故选B.3.函数y=sin 2x+sin x-1的值域为( C ) A.[-1，1] B.[-54，-1]C.[-54，1] D .[-1，54]解析:因为y=sin 2x+sin x-1=(sin x+12)2-54，当sin x=-12时，y min =-54;当sin x=1时，y max =1，即y ∈[-54，1].故选C.4.函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是( D )A.[-π，-5π6] B.[-5π6，-π6]C.[-π3，0] D .[-π6，0]解析:令2k π-π2≤x-π3≤2k π+π2，k ∈Z ，解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6，所以函数f(x)=2sin(x-π3)，x ∈[-π，0]的单调递增区间是[-π6，0].故选D.[例1] (多选题)下列结论正确的是( ) A.sin(-π18)<sin(-π10)B.sin(-π18)>sin(-π10) C.cos(-23π5)<cos(-17π4) D.cos(-23π5)>cos(-17π4)解析:因为-π2<-π10<-π18<0，且y=sin x 在区间[-π2，0]上单调递增，所以sin(-π18)>sin(-π10)，故B 正确.又cos(-23π5)=cos23π5=cos 3π5，cos(-17π4)=cos17π4=cos π4，0<π4<3π5<π，且y=cos x 在区间[0，π]上单调递减， 所以cos(-23π5)<cos(-17π4)，故C 正确，故选BC.[例2] 已知函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则ω的取值范围为 .解析:由正弦函数图象知，要使函数y=sin 12ωx 在(0，π)上是减函数，则{ω<0,|ωπ2|≤π2,解得-1≤ω<0. 答案:[-1，0)[例3] 函数y=lo g 12sin(2x+π4)的单调递增区间是 .解析:设g(x)=sin(2x+π4)，则y=lo g 12g(x)与g(x)的增减性相同，所以g(x)单调递减，且g(x)>0，所以π2+2k π≤2x+π4<π+2k π，k ∈Z ，即π8+k π≤x<3π8+k π，k ∈Z.故所求函数的单调递增区间为[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z).答案:[π8+k π，3π8+k π)(k ∈Z)[例4] 求下列函数的值域. (1)y=|sin x|+sin x; (2)y=sinx -2sinx+1.解:(1)当sin x ≥0时，|sin x|=sin x; 当sin x<0时，|sin x|=-sin x ，所以y={2sinx ,sinx ≥0,0,sinx <0.因为当sin x ≥0时，0≤sin x ≤1，所以0≤y ≤2; 当sin x<0时，y=0.所以函数y=|sin x|+sin x 的值域为[0，2]. (2)y=sinx -2sinx+1=sinx+1-3sinx+1=1-3sinx+1.当sin x=1时，y max =-12，易得该函数的值域为(-∞，-12]. [例5] 已知函数f(x)=2sin(2x-π3)+1.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若关于x 的方程f(x)-m=2在x ∈[π4，π2]上有解，求实数m 的取值范围.解:(1)最小正周期T=2π2=π，令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2(k ∈Z)，解得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为[k π-π12，k π+5π12](k ∈Z).(2)因为x ∈[π4，π2]，所以2x-π3∈[π6，2π3]，即sin(2x-π3)∈[12，1]，又因为f(x)=2sin(2x-π3)+1，所以f(x)的值域为[2，3]. 由f(x)-m=2，得f(x)=m+2， 所以m+2∈[2，3]，即m ∈[0，1].选题明细表基础巩固1.函数f(x)=sin(2x-π4)在区间[0，π2]上的最小值是( B )A.-1B.-√22C.√22D.0解析:因为x ∈[0，π2]，所以2x-π4∈[-π4，3π4]，所以sin(2x-π4)∈[-√22，1]，所以f(x)min =-√22.故选B. 2.函数f(x)=-2sin 2x+2cos x 的最大值和最小值分别是( B ) A.2，-2 B.2，-52C.2，-12D.52，-2解析:f(x)=-2sin 2x+2cos x=-2×(1-cos 2x)+2cos x=2cos 2x+2cos x-2= 2[(cos x+12)2-54]=2(cos x+12)2-52，因为-1≤cos x ≤1，所以f(x)min =-52，f(x)max =2.故选B.3.下列区间中，函数f(x)=5sin(x-π3)单调递增的区间是( A )A.(0，π2) B.(π2，π)C.(π，3π2) D.(3π2，2π)解析:令-π2+2k π≤x-π3≤π2+2k π(k ∈Z)，可得-π6+2k π≤x ≤5π6+2k π(k ∈Z)，令k=0，可得-π6≤x ≤5π6，令k=1，可得11π6≤x ≤17π6，令k=2，可得23π6≤x ≤29π6，因为(0，π2)⊆[-π6，5π6]，故选项A 正确;选项B ，C ，D 都不符合题意.故选A.4.下列区间中使y=sin x 和y=cos x 都是减函数的是( C ) A.[-π2，0] B .[0，π2]C.[π2，π] D .[π，3π2]解析:x ∈[-π2，0]，y=sin x 和y=cos x 都是增函数，x ∈[0，π2]时，y=sin x 是增函数，y=cos x 是减函数，x ∈[π2，π]时，y=sin x 和y=cos x 都是减函数，x ∈[π，3π2]时，y=sin x 是减函数，y=cos x 是增函数.故选C.5.函数f(x)=3sin(2x-π6)在区间[0，π2]上的值域为 .解析:由x ∈[0，π2]，得2x-π6∈[-π6，5π6]，所以sin(2x-π6)∈[-12，1]，于是f(x)=3sin(2x-π6)∈[-32，3].答案:[-32，3]6.写出一个最小正周期是1，值域是[0，1]的函数解析式 (不用分段函数表示).解析:不妨设f(x)=|sin ωx|，当T=1时，ω=π，则f(x)=|sin πx|.(答案不唯一)答案:f(x)=|sin πx|(答案不唯一)能力提升7.(多选题)下列不等式中成立的是( ABC ) A.sin 3<sin 2 B.cos 3<cos 2 C.cos(-2π5)<cos(-π4)D.sin12π5<sin17π4解析:因为π2<2<3<π，所以sin 2>sin 3，cos 2>cos 3，故选项A ，B 正确;因为-π2<-2π5<-π4<0，所以cos(-2π5)<cos(-π4)，故选项C 正确;因为sin12π5=sin 2π5，sin17π4=sin π4，且0<π4<2π5<π2，所以sin π4<sin2π5，即sin 12π5>sin17π4，故选项D 错误.故选ABC.8.若函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)在[0，π]上的值域为[-12，1]，则ω的最小值为( A ) A.23B.34C.43D.32解析:函数f(x)=sin(ωx-π6)(ω>0)，因为x ∈[0，π]，所以ωx-π6∈[-π6，ωπ-π6].根据正弦函数的性质，当x=0时，可得f(0)=-12，所以π2≤ωπ-π6≤7π6，解得23≤ω≤43，则ω的最小值为23.故选A.9.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值是√2，则ω= ，若f(x)在[0，π3]上单调递增，则ω的取值范围是 .解析:因为0≤x ≤π3，且0<ω<1，所以0≤ωx ≤ωπ3<π3.因为f(x)max =2sinωπ3=√2，所以sinωπ3=√22，ωπ3=π4，即ω=34. 由2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2，k ∈Z ，得2kπω-π2ω≤x ≤2kπω+π2ω，k ∈Z ， 令k=0，得-π2ω≤x ≤π2ω，即f(x)在[-π2ω，π2ω]上单调递增，又f(x)在[0，π3]上单调递增，所以π3≤π2ω，即0<ω≤32.又0<ω<1，所以0<ω<1.答案:34 (0，1)10.已知函数f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.解:(1)因为f(x)=√2cos(2x-π4)，x ∈R ，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由-π+2k π≤2x-π4≤2k π(k ∈Z)，得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为[-3π8+k π，π8+k π](k ∈Z).(2)因为x ∈[-π8，π2]，所以2x-π4∈[-π2，3π4].所以当2x-π4=0，即x=π8时，f(x)max =f(π8)=√2;当2x-π4=3π4，即x=π2时，f(x)min =f(π2)=-1.所以函数f(x)在区间[-π8，π2]上的最大值为√2，此时x=π8;最小值为-1，此时x=π2.11.(2022·山东青岛模拟)已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+2.(1)若f(α)=3，且α∈(0，π)，求α的值;(2)若对任意的x ∈[π4，π2]，不等式f(x)>m-3恒成立，求实数m 的取值范围.解:(1)因为f(α)=3，所以2sin(2α+π6)+2=3，即sin(2α+π6)=12，又由α∈(0，π)，得π6<2α+π6<13π6，所以2α+π6=5π6，解得α=π3.(2)对x ∈[π4，π2]，有2π3≤2x+π6≤7π6，所以-12≤sin(2x+π6)≤√32，可得1≤f(x)≤2+√3，所以要使f(x)>m-3对任意的x ∈[π4，π2]恒成立，只需f(x)min >m-3，所以m-3<1，解得m<4.故所求实数m 的取值范围为(-∞，4).应用创新12.已知函数f(x)=sin(x+7π4)+cos(x-3π4).(1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.解:(1)因为sin(x+7π4)=sin(x-π4)=sin[(x-3π4)+π2]=cos(x-3π4)，所以f(x)=2sin(x+7π4)=-2sin(x+3π4).所以f(x)的最小正周期是2π，最大值是2. (2)因为f(-x)=2sin(x-3π4)，由π2+2k π≤x-3π4≤3π2+2k π，k ∈Z ，得函数的单调递减区间为[5π4+2k π，9π4+2k π](k ∈Z).。
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课时分层作业(十) 正弦、余弦函数的单调性与最值(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数．]2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°C [由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y ＝sin x 在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]3．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，x ∈[－π，0]的单调递增区间是( )【导学号：84352098】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0D [令2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z ，又－π≤x ≤0，∴－π6≤x ≤0，故选D.]4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.] 5．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 A [由条件知ω＝2.∵f (x )是偶函数且|φ|＜π2，∴φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减．] 二、填空题6．y ＝a cos x ＋1的最大值为5，则a ＝________. ±4 [∵|a |＋1＝5，∴|a |＝4，∴a ＝±4.]7．将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为___________．cos 150°＜cos 760°＜sin 470° [cos 150°＜0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°＞0，cos 760°＝cos 40°＞0且cos 20°＞cos 40°，所以cos 150°＜cos 760°＜sin 470°.]8．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________.【导学号：84352099】8 [因为T ＝2ππ3＝6.所以在[0，＋∞)第一次出现最大值x ＝64＝32，第二次出现最大值x ＝152，所以t ≥152.又因为t ∈Z . 所以t 的最小值为8.] 三、解答题9．求下列函数的单调递增区间． (1)y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，x ∈[0，π]； (2)y ＝log 12sin x .【导学号：84352100】[解] (1)由y ＝－13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的单调性，得π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 即2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z . 又x ∈[0，π]，故2π3≤x ≤π.即单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π.(2)由sin x ＞0，得 2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z ，∴函数的定义域为(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )．设u ＝sin x ，则0＜u ≤1， 又y ＝log 12u 是减函数，∴函数的值域为(0，＋∞)．∵12＜1，∴函数y ＝log 12sin x 的递增区间即为u ＝sin x (sin x ＞0)的递减区间，故函数y ＝log 12sin x 的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 10．求下列函数的最大值和最小值． (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.[解] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由函数图象(略)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，sin π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)y ＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3 ＝2sin 2x ＋2sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋12. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴12≤sin x ≤1. 当sin x ＝1时，y max ＝5； 当sin x ＝12时，y min ＝52.[冲A 挑战练]1．函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )【导学号：84352101】A ．65 B ．1 C ．35D ．15A [∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝π2，∴f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤65.∴f (x )max ＝65.故选A.]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|cos x |在[－π，π]上的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C [在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知y ＝|cos x |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，而f (x )依|cosx |取值的递增而递减，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0及⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为f (x )的单调递减区间．]3．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值是________．4π3 [因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12. 不妨在一个区间[0,2π]内研究，可知sin π6＝sin 5π6＝sin 13π6＝12，sin 3π2＝－1，结合图象(略)可知(b －a )min ＝3π2－5π6＝2π3，(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.]4．若函数f (x )＝sin ωx (0＜ω＜2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω等于________．32 [根据题意知f (x )在x ＝π3处取得最大值1， ∴sin ωπ3＝1，∴ωπ3＝2k π＋π2，k ∈Z ，即ω＝6k ＋32，k ∈Z .又0＜ω＜2，∴ω＝32.]5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，且|φ|＜π.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，求f (x )的单调递增区间. 【导学号：84352102】[解] 由f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立知， 2·π6＋φ＝2k π±π2(k ∈Z )．∴φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6(k ∈Z )．∵|φ|＜π，得φ＝π6或φ＝－5π6，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，∴φ＝－5π6，由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ).。