麦克斯韦亥姆霍兹方程
大气分子的吸收
(2.1-8)
式中s为界面面电荷密度。
1，1，1
Hale Waihona Puke EtEn2，2，2
图1 界面上电场的法向和切向分量
在光学波段经常遇到的情况是s等于 零，这时，界面两侧的切向分量以及的 法向分量均连续。
§2 光波在大气中的传播
大气激光通信、探测等技术应用通常以大 气为信道。 由于大气构成成分的复杂性以及收受天气等 因素影响的不稳定性，光波在大气中传播时 ， 大气气体分子及气溶胶的吸收和散散射会引起 的光束能量衰减，空气折射率不均匀会引起的 光波的振幅和相位起伏；当光波功率足够大、 持续时间极短时，非线性效应也会影响光束的 特性，因此有必要研究激光大气传播特性。
(2.1-7)
五、电磁场的边界条件
在光电子技术的许多实际应用中，经常涉及在两 种或多种物理性质不同的介质交界面（在该处ε 、μ 发生突变）处光辐射场量之间的关系。这时，求解麦 克斯韦方程需要考虑边界条件。
如图1所示，光辐射场的边界条件可以直接由麦 克斯韦方程推得：
D1n D2 n s E1t E 2 t 0
一、大气衰减
激光辐射在大气中传播时，部分光辐射能量被 吸收而转变为其他形式的能量（如热能等）部分能 量被散射而偏离原来的传播方向（即辐射能量空间 重新分配）。吸收和散射的总效果使传输光辐射强 度的衰减。
dI/I=(I-I)/I= dl
为大气衰减系，在应用中，衰减系
I
dl
I
数常用单位为（1/km）或（dB/km）， 二者之间的换算关系为：
可改写为 ：
2
2 ~ E(r ) 0 r E(r ) 0
此方程平面波解的一般形式为
i (t k r 0 ) E(r , t ) E0e
亥姆赫兹方程
亥姆赫兹方程亥姆赫兹方程是电磁场学中的重要方程之一，描述了电磁场的传播和变化规律。
它是由德国物理学家亥姆赫兹基于麦克斯韦方程组发展而来的，被广泛应用于电磁学、天线理论、电波传播等领域。
亥姆赫兹方程是由两个部分组成的，分别是电场的旋度与时间的变化率成正比，以及磁场的旋度与时间的变化率成反比。
这两个部分分别表示了电场和磁场的相互作用和变化规律。
我们来看电场的旋度与时间的变化率成正比的部分。
根据亥姆赫兹方程，电场的旋度与时间的变化率成正比，这意味着电场的变化率越大，旋度也就越大。
电场的旋度表示了电场的环流性质，即电场围绕某一点的环流强弱。
当电场的变化率很大时，电场的环流也会很强，反之亦然。
这说明了电场的变化率与电场的环流性质之间存在密切的联系。
接下来，我们来看磁场的旋度与时间的变化率成反比的部分。
根据亥姆赫兹方程，磁场的旋度与时间的变化率成反比，即磁场的变化率越大，旋度越小。
磁场的旋度表示了磁场的环流性质，与电场类似。
但不同的是，磁场的变化率越大，磁场的环流越弱。
这说明了磁场的变化率与磁场的环流性质之间存在着反向的关系。
亥姆赫兹方程的解决了电磁场传播的问题。
根据亥姆赫兹方程，电场和磁场的变化率与它们的环流性质相关，从而决定了电磁场的传播方式和规律。
当电场和磁场的变化率较小时，电磁场的传播方式较为稳定；而当电场和磁场的变化率较大时，电磁场的传播方式则会产生明显的变化。
这也是为什么高频电磁场的传播方式与低频电磁场有所不同的原因。
亥姆赫兹方程在电磁学中有着广泛的应用。
例如，它被用于天线理论中，用来描述电磁波在空间中的传播和辐射特性。
通过求解亥姆赫兹方程，可以得到电磁波的幅度、相位和传播方向等重要参数。
这对于设计和优化天线的性能具有重要意义。
亥姆赫兹方程还被应用于电波传播领域。
在无线通信中，电磁波的传播特性对于信号的强度和质量有着重要影响。
通过求解亥姆赫兹方程，可以预测电磁波在不同环境中的传播损耗和传播路径，从而进行无线网络规划和优化。
由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程
由麦克斯韦方程组推导亥姆霍兹方程麦克斯韦方程组：\nabla \cdot \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho\nabla \cdot \mathrm{B} = 0\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}其中，- \mathrm{E} 表示电场强度；- \mathrm{B} 表示磁场强度；- \rho 表示电荷密度；- \mathrm{J} 表示电流密度；- \epsilon_0 表示真空介电常数；- \mu_0 表示真空磁导率。
根据法拉第电磁感应定律，有\nabla \times \mathrm{E} = - \frac{\partial\mathrm{B}}{\partial t}将其代入第四个式子中，得\nabla \times \mathrm{B} = \mu_0 \mathrm{J} - \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \mathrm{E}}{\partial t}对两个式子分别取旋度，得\nabla \times (\nabla \times \mathrm{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} \nabla \times \mathrm{B} \nabla \times (\nabla \times \mathrm{B}) = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})根据矢量恒等式\nabla \times (\nabla \times \mathrm{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathrm{A}) - \nabla^2 \mathrm{A}得到\nabla(\nabla \cdot \mathrm{E}) - \nabla^2 \mathrm{E} = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) \nabla(\nabla \cdot \mathrm{B}) - \nabla^2 \mathrm{B} = \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} - \mu_0 \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E}) 由于磁场无源，即 \nabla \cdot \mathrm{B} = 0，因此第二个式子可以简化为\nabla^2 \mathrm{B} = - \mu_0 \nabla \times \mathrm{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{E})对第一个式子取散度，得\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathrm{B}) 将第一个式子和上式代入第二个式子中，得到\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} + \mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times\mathrm{J})因为电荷守恒方程为 \nabla \cdot \mathrm{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}，所以上式可以进一步化简为\nabla^2 \mathrm{E} = \frac{1}{\epsilon_0} \nabla \cdot \rho - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathrm{E}}{\partial t^2} - \mu_0 \frac{\partial^2 \mathrm{J}}{\partial t^2} 这就是亥姆霍兹方程。
光波的亥姆霍兹方程在多数情况下
式中, 0 和 0 是真空中的介电常数和磁导率，已知
0 8.8542 10 12 c2 / N m2
0 4 10 7 N S 2 / c2
所以， c 2.99794 108 m / s
这个数值与实验中测得的真空中的光速非常接近,这又证明 了麦克斯韦理论的正确性。
~ E
Eeikr
全解为
~ E(r,t )
Eei ( kr t )
(1－18) (1－19)
式中 k kk0 k0—— 光波传播方向上的单位矢量；
r ——光源至空间某点的矢量。
k 称之为波矢量。
（1－19）式为单色平面波在各向同性均匀介质中传播时的电场 矢量的解析表达式。
2、单色球面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
四、单色光波在各向同性均匀介质中自由传 播时的振幅表达式
单色光波的波动方程（1－15）式和（1－16）式形式完 全相同，在这里只研究电场强度的 E~ 波方程动. E~
称为电场复矢量（简称电场矢量），又称为复振幅。
1 单色平面光波在各向同性均匀介质中自由传播时的解析表达式
解微分方程（1－15）式，得
二、物质方程
在麦克斯韦方程组中, E和B是电磁场的本
征物理量 ，D和H 是引进的两个辅助场量。
E和D,B和H的关系与电磁场所在物质的性
质有关。它们有如下关系：
D~ E~
(1---2)
B~ H~
(1---3)
式中 : 和 分别称为介电常数（或电容率）和磁导率.
另外，在导电物质中还有如下关系：
于无限大的各向同性均匀介质，在远离辐射源的区域内，
常数 , 常数， 0， 0麦克斯韦方程组变为：
混合物电导率麦克斯韦
混合物电导率麦克斯韦
混合物的电导率可以通过麦克斯韦方程来描述。
麦克斯韦方程是描述电磁场行为的一组方程，包括麦克斯韦-安培定律、法
拉第电磁感应定律、麦克斯韦-高斯定律和麦克斯韦-亥姆霍兹
方程。
混合物的电导率是指混合物中的电荷在外电场下的移动性，通常用电导率（σ）来表示。
电导率与物质中的自由电离子浓度
和电离子的迁移率有关。
对于一个混合物而言，其电导率可以通过以下公式计算：
σ = ∑(ni * zi * μi)
其中，ni表示第i个离子的浓度，zi表示第i个离子的电荷数，μi表示第i个离子的迁移率。
通过对所有离子进行求和，可以
得到混合物的总电导率。
需要注意的是，混合物中可能包含各种离子和分子，每个离子和分子的浓度和迁移率都可能不同，所以计算混合物电导率时需要考虑到所有成分的贡献。
实际计算中，可以通过实验测量电导率来确定混合物的电导率值，或者通过离子和分子的性质来估算电导率。
不同混合物的电导率数值和特性也会有所差异。
光纤光学2-1
S(x,y,z) 是光程函数，代入亥姆赫兹方程得：
根据光线理论的几何光学近似条件，有
，则
——光程函数方程
若已知折射率分布，可由上述方程求出光程函数S，则可确定 光线的轨迹。
8 刘德明：光纤光学 华中科技大学·光电子工程
射线方程的推导
n（2）射线方程（光线方程）
由光程函数方程可推得光线方程：
物理意义： • 将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来; • 由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式; • dr/dS=cosθ,对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播 ; 对于渐变波导,n是r的函数,则dr/dS为一变量,这表明光线将 发生弯曲。 • 可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。
e＝e0n2
为梯度算符，在直角坐标系与圆柱坐标系中分别为：
边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续： E1t＝E2t; H1t＝H2t; B1n＝B2n; D1n＝D2n
5 刘德明：光纤光学 华中科技大学·光电子工程
分离变量：电矢量与磁矢量分离
n
得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与 磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：波动方程
光线总是向折射率高的区域弯曲
n由光线方程可以证明下列关系式成立：
课后作业题：证明上式。 提示：
12 刘德明：光纤光学 华中科技大学·光电子工程
典型光线传播轨迹
13
刘德明：光纤光学 华中科技大学·光电子工程
§2.4 波导场方程
分离变量：空间坐标纵横分离：
n
前提条件：光纤中传播的电磁波是“行波”，场分布 沿轴向只有相位变化，没有幅度变化；
纵模
绝对原创 Maxvell麦克斯韦方程组总结
5
E .d l
s
B .dS 6 t
B 0 7
v
D
s
dV
8
1 和 5 是修正后的麦克斯韦方程，表明电流和时变电场都可以激发磁场。2 和 6 是法拉第电磁感应定律，表明时变磁场产生电场。这 4 个公式是麦克斯韦方程的核 心，说明时变电场和时变磁场互相激发，时变电磁场可以脱离场源而独立存在，在 空间形成电磁波。
利用哈密顿微分算子，可以证明，散度运算符合以下： A B A B 斯定理）
矢量场 A 的散度代表的是其通量的体密度，矢量场 A 散度的体积分等于该矢量 穿过包围该体积的封闭曲面的总通量，即
A dS S
A dl
l
它将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分， 将矢量 A 的线积分转换为该矢 量旋度的面积分。
六．亥姆霍兹定理
散度表示矢量场中各点场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与漩涡源的关 系。故场的散度和旋度一确定，则通量源和漩涡元也就是确定的。既然场是由源激 发的，通量源和漩涡源的确定便意味着场也确定，则亥姆霍兹定律成立。 亥姆霍兹定律的简答表达是：若矢量场 F 在无限空间中处处单值，且其导数连续有 界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表 示为一有界函数的梯度和一个矢量的旋度之和，即：
s 0
A dl lim
l
s
此极限值的意义是环量的面密度，称为环路强度。为此引入如下定义，称为矢 量场 A 的旋度，记为 rotA;
l A dl max rotA n lim s 0 S
《电动力学》公式推导荟萃
1. 电磁场能量守恒定律的推导应用麦克斯韦方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇=⋅∇∂∂-=⨯∇=⋅∇t DJ H B tBE D 0ρ和洛仑兹力公式B v E f ⨯+=ρρ及v Jρ=，结合公式E H H E H E ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(可给出电磁场对电荷系统所做的功率密度为E v v B v E v f ⋅=⋅⨯+=⋅ρρρ)(EtD HE J⋅∂∂-⨯∇=⋅=)( Et D E H ⋅∂∂-⋅⨯∇=)( []Et D H E H E⋅∂∂-⋅⨯∇+⨯⋅∇-=)()( Et D H t B H E⋅∂∂-⋅∂∂-⨯⋅-∇=)(令H E S⨯=H t B E t D t w ⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂对应的积分形式为注释:对于各向同性线性介质，H B E D με==,，由H t B E t D t w⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂给出能量密度为)(21B H D E w ⋅+⋅=而H E S⨯=为能流密度矢量，或称为坡印亭（Poynting ）矢量。
************************************************练习：将积分形式的麦克斯韦方程组分别应用于介质分界面两侧，试由两个高斯定理导出法向边值关系、两个安培定理导出切向边值关系。
2. 静电势ϕ满足泊松方程的推导对于各向同性线性介质，将E D ε=，ϕ-∇=E代入f D ρ=⋅∇ 得f E E E ρϕεϕεεεε=∇-∇⋅-∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇2)(即ερϕεεϕf -=∇⋅∇+∇12对于均匀介质, 有0=∇ε此即为静电势ϕ满足的泊松（poisson ）方程，其中f ρ为自由电荷体密度。
注释:当0=∇ε，或E⊥∇ε时，均有0=∇⋅∇ϕε，ϕ仍满足泊松方程。
3. 静电场能量公式的推导在线性介质中，电场总能量为⎰∞⋅=dVD E W 21 对于静电场，利用ρϕ=⋅∇-∇=D E,给出ρϕϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇-⋅∇-=⋅-∇=⋅)(])([D D D D D E所以⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞+⋅-=+⋅∇-=⋅dV s d D dV dV D dV D E ρϕϕρϕϕ)( 又=⋅⎰∞s d D ϕ，故注释:（1）电场能量分布于空间电场中。
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麦克斯韦亥姆霍兹方程
麦克斯韦亥姆霍兹方程是物理学中的一组基本方程，描述了电磁场的演化规律。
它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程。
麦克斯韦方程是描述电磁场的基本方程，它包括电场和磁场的产生和演化规律。
其中，安培定律和法拉第电磁感应定律描述了电磁场的演化规律，高斯定理和法拉第电磁感应定律描述了电磁场的产生规律。
亥姆霍兹方程是描述电磁场的波动性质的方程，它可以描述电磁波在介质中的传播规律。
亥姆霍兹方程的解可以得到电磁波的传播速度、波长和频率等特性。
麦克斯韦亥姆霍兹方程是电磁学领域的基础方程之一，对于研究电磁场的产生、演化规律和波动特性具有重要的意义。
它不仅在电子学、电磁波学等领域得到广泛应用，也在原子物理学和相对论等领域中发挥着重要作用。
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