【中考冲刺】初三数学培优专题 10 最优化(含答案)(难)

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初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题10 最优化_答案[精品]

专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22+16+3y 2=142+4+3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f ()在a ≤≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f ()在a ≤≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f ()在=0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当=43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+xBF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而=AC =3831=AB .故原式取最小值时，=38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即20032)1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－2+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22=4(m －34)2+1034，由此得12+22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－)，于是有（a +b )2=12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=ca >0，得1<0，2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是ca=12<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2+1，从而a +c >2+1，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =52+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－43s ≥0，=1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =2+(9－10s )+25s 2－27=0，∵关于的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得=0.75（万元），3－=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－－，代入y ＋y ＋=3，得2＋(－5)＋(2－5＋3)=0．∵为实数，∴Δ=(－5)2－4(2－5＋3)≥0，解得－1≤≤133,故的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =a ，c =a 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (2＋＋1)=13．∵a ≠0，∴2＋＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为2＋－12=0，解得1=－4，2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为2＋＋316=0．解得1=－34，2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设1，2，…，n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴13＋23＋…＋n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤13＋23＋…＋n3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，13＋23＋…＋n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，13＋23＋…＋n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴12＋22＋…＋402的最大值和最小值存在．不妨设1≤2≤…≤40．若1>1，则1＋2=(1－1)＋(2＋1)，且(1－1)2＋(2＋1)2=12＋22＋2(2－1)＋2>12＋22．于是，当1>1时，可以把1逐步调整到1，此时，12＋22＋…＋402的值将增大．同理可以把2，3，…，39逐步调整到1，此时12＋22＋…＋402的值将增大．从而，当1，2，…，39均为1，40=19时，12＋22＋…＋402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数i ，j ，使得j －i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（i ＋1)2＋(j －1)2=i 2＋j 2－2(i －j －1)<i 2＋j 2．这表明，在 1，2，…，40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，12＋22＋…＋402的值将减小，因此，当12＋22＋…＋402取得最小值时，1，2，…，40中任意两个数的差都不大于1．故当1=2=…=22=1，23=24=…=40=2时，12＋22＋…＋402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

初三数学培优试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则方程的解为：A. x = 2，x = 3B. x = 1，x = 6C. x = 2，x = 4D. x = 3，x = 52. 下列函数中，是奇函数的是：A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B = ∠C = °。

4. 下列命题中，正确的是：A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等D. 矩形的对边平行且相等5. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，则a^2 + b^2 + c^2的值为：6. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a、b、c的值分别为：7. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于x轴的对称点为B，则点B的坐标为：8. 已知等腰三角形ABC中，AB = AC，且BC = 6，AD是BC边上的高，则AD的长度为：9. 下列不等式中，正确的是：A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 2x ≤ 3x - 110. 若a、b、c是等比数列，且a + b + c = 27，b^2 = ac，则a、b、c的值分别为：二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2 = ，x1x2 = 。

12. 函数y = 2x - 3的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（），（）。

13. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 45°，则∠B = ∠C = °。

14. 下列命题中，正确的是：平行四边形的对角线互相平分，等腰三角形的底角相等，矩形的对边平行且相等。

初三数学培优试题(含答案)

初三数学培优试题一学校：班级：姓名：分数：一．选择题1、下列函数：① 3y x =-，②21y x =-，③()10y x x=-<，④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个2．（2018济南，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在方格线的格点上，将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°，得到△A ′B ′C ′，则点P 的坐标为（）A ．（0，4）B ．（1，1）C ．（1，2）D ．（2，1）xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算，若开始输入x 的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件的x 的不同值最多有（）（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不．．在04x ≤≤的范围内，则a 的取值范围是（）（A ）5a >或2a <- （B ）25a -≤≤ （C ）25a -<< （D ）5a ≥或2a ≤-5、如图所示，已知点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点。

若O 的半径长为，则AP BP +的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）6．（3分）如图，矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，将△BCE 沿CE 翻折，点B 落在点F 处，tan ∠DCE=．设AB=x ，△ABF 的面积为y ，则y 与x 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．P B A二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程）7.已知一组数据：12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。

初三数学培优试题(含答案)

初三上册培优数学试卷答案

1. 已知a > 0，b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > 0B. a - b > 0C. -a - b > 0D. -a + b > 0答案：C2. 若x^2 - 2x - 3 = 0，则x的值为（）A. 3B. -1C. 3 或 -1D. 3 或 1答案：C3. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°答案：D4. 已知一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = b^2 - 4ac，若Δ = 0，则该方程有两个（）A. 相等的实数根B. 不相等的实数根C. 无实数根D. 有两个复数根答案：A5. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为（）A. 11B. 21C. 25D. 36答案：B二、填空题（每题5分，共50分）6. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为______。

答案：2 或 37. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的度数为______。

答案：105°8. 若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式为Δ = 0，则该方程有两个______。

答案：相等的实数根9. 已知x + y = 5，xy = 6，则x^2 + y^2的值为______。

答案：2110. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为______。

答案：1 或 3三、解答题（每题10分，共30分）11. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解答：将方程因式分解得：(2x + 1)(x - 2) = 0，解得x = -1/2 或 x = 2。

12. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，求∠C的度数。

专题10 一次函数综合(提优)-【考前抓大题】冲刺2021年中考数学(原卷版)

专题10 一次函数综合（提优）1．如图，直线l1：y＝kx+b分别交x轴、y轴于点B（4，0）、N，直线l2：y＝2x﹣1分别交x轴、y轴于点M、A，l1，l2交点P的坐标（m，2），请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）当x时，kx+b≥2x﹣1；（2）不等式kx+b＜0的解集是；（3）在平面内是否存在一点H，使得以A，B，P，H四点组成的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，说明理由．2．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（﹣1，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移3个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）在（2）中△AOB扫过的面积是．3．如图：在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣3，0），交y轴于点B（0，1），过点C（﹣1，0）作垂直于x轴的直线交AB于点D，点E（﹣1，m）在直线CD上且在直线AB的上方．（1）求k、b的值；（2）用含m的代数式表示S四边形AOBE，并求出当S四边形AOBE＝5时，点E的坐标；（3）当m＝2时，以AE为边在第二象限作等腰直角三角形△P AE．直接写出点P的坐标．4．如图，直线y=−12x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y＝x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．（1）点C的坐标为；（2）若CQ将△AOC分成1：2两部分时，t的值为；（3）若S△ACQ：S四边形CQOB＝1：2时，求直线CQ对应的函数关系式．5．如图，直线y＝kx﹣1与x轴正半轴、y轴负半轴分别交于B、C两点，且OC＝2OB．（1）求B点坐标和k的值；（2）若点A是直线y＝kx﹣1上的一个动点（不与点B重合），且点A的横坐标为t，试写出在点A运动过程中，△AOB的面积S与t的函数表达式；（3）若△AOB的面积为1时，试确定点A的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线OC交于点C．（1）求点A，B的坐标．（2）若点C的坐标为（m，2），求线段AC的长．（3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使△ABP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B坐标为（3，1），将直线AB沿x轴向左平移经过点C（1，1）．（1）求平移后直线L的解析式；（2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，设运动时间为t．是否存在t，使得△OPQ为等腰三角形？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．8．如图，直线y=43x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为8，试求点P的坐标．（3）点M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B1处，求出点M的坐标．（4）点C在y轴上，连接AC，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．9．如图，P为正比例函数y=32x图象上的一个动点，⊙P的半径是2.5，设点P的坐标为（x，y）．（1）求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y=−12x+b过点C．（1）求m和b的值；（2）直线y=−12x+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．①当CP＝5，求t的值；②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y=−12x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C，在如图线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P，Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q做x轴的垂线，交直线AB、OC于点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线l与x轴，y轴分别交于A（10，0），B （0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线l上的动点．（1）求直线l的解析式；（2）设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．13．解答下列各题．（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．（2）如图2，直线l1与坐标轴交于点A、B，直线l2：y＝﹣2x﹣4经过点A且与直线l1垂直，求直线l1的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（4，4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥y轴于点C，点P 是线段AB上的动点，点D是直线y＝2x﹣2上的动点且在第一象限内．若△CPD成为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），其中a，b满足√a+1+（b﹣3）2＝0，顶点C在y的正半轴上，∠ABC＝30°．（1）填空：a＝，b＝，点C的坐标为；（2）将△COB沿BC翻折，得到△CO′B，过点O′作直线O′D垂直x轴于点D．①求O′B所在直线的解析式；②直线O′D上有一点P，使得△PBC的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；③M是直线O′D上一点，点M关于x轴的对称点为N，若点F在y轴上，当|MA﹣MC|最大时，求NF+12FC的最小值．15．如图，点A为平面直角坐标系第一象限内一点，直线y＝x过点A，过点A作AD⊥y轴于点D，点B是y轴正半轴上一动点，连接AB，过点A作AC⊥AB交x轴于点C．（1）如图1，当点B在线段OD上时，求证：AB＝AC；（2）①如图2，当点B在OD延长线上，且点C在x轴正半轴上，写出OA、OB、OC之间的数量关系，并说明理由；②当点B在OD延长线上，且点C在x轴负半轴上，直接写出OA、OB、OC之间的数量关系；（3）直线BC分别与直线AD、直线y＝x交于点E、F．若BE＝5，CF＝12，画出符合条件的图形，并直接写出AB的长．16．如图①，长方形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，OA＝9，OC＝8．（1）连接OB，则OB将长方形面积分成相等的两部分，则直线OB的函数关系式为．（2）如图②，点D在边OA上，点E在边BC上，且OD＝BE，连接DE，此时线段DE将该长方形的面积分成相等的两部分，请说明等分的理由．（3）如图③，点D在边OA上，且OD＝1．将∠OAB沿DF折叠，折痕交长方形OABC的边于点F，点A落在点A′处，若直线DA′将该长方形面积分成1：2两部分，求直线DF的函数关系式．17．（1）如图1，已知直线y=−12x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；（2）如图2，正方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（﹣5，5），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第二象限，且是直线y＝﹣2x﹣1上的一点，点Q是平面内任意一点，若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．（3）如图3，西安铁一中滨河学校为了庆祝2021年元且联欢，在一块由三条小路（分别是x轴和直线AB：y=−12x+4、直线AC：y＝﹣2x﹣1）围成的三角形区域内计划搭建一个三角形的特色场地．如图，D（4，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、AC上，且∠DEF＝90°，DE＝EF，试求出该特色场地（△DEF）的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A 作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒√3个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．（1）求m与k的值；（2）当点P运动到点D时，求t的值；（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．19．在平面直角坐标系中，直线y=−43x+b（b＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，AB＝10．（1）如图1，求b的值；（2）如图2，经过点B的直线y＝（n+4）x+b（﹣4＜n＜0）与直线y＝nx交于点C，与x轴交于点R，CD∥OA，交AB于点D，设线段CD长为d，求d与n的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在第四象限，CF交OA于点E、交OB于点S，点P在第一象限，PH⊥OA，点N在x轴上，点M在PH上，MN交PE于点G，∠EGN＝45°，PH＝EN，过点E作EQ⊥CF，交PH于点Q，连接BF、RQ，BF交x轴于点V，若C为BR中点，EQ＝EF+2√2=√2PM，∠ERQ＝∠ABF，求点V的坐标．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与y＝kx+2分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（−23，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F．（1）求点F的坐标．（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值．（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P 是直线l上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．。

2023年九年级中考数学专题培优训练：反比例函数【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：反比例函数一、单选题（本大题共10小题）1. （上海市2022年中考数学真题）已知反比例函数y =（k ≠0），且在各自象限内，kx y 随x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（）A ．（2，3）B ．（-2，3）C ．（3，0）D ．（-3，0）2. （云南省2022年中考数学真题）反比例函数y =的图象分别位于（）6x A ．第一、第三象限B ．第一、第四象限C ．第二、第三象限D ．第二、第四象限3. （四川省德阳市2022年中考数学真题）一次函数与反比例函数在同1y ax =+ay x =-一坐标系中的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．4. （黑龙江省省龙东地区2022年中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数的图象上，顶点A 在反比3y x =例函数的图象上，顶点D 在x 轴的负半轴上．若平行四边形OBAD 的面积是ky x =5，则k 的值是（）A ．2B ．1C ．D ．1-2-5. （广东省2022年中考数学真题）点，，，在反比例函数()11,y ()22,y ()33,y ()44,y 图象上，则，，，中最小的是（）4y x =1y 2y 3y 4y A ．B ．C ．D ．1y 2y 3y 4y 6. （贵州省黔东南州2022年中考数学真题）若二次函数的图像如()20y ax bx c a =++≠图所示，则一次函数与反比例函数cy x =-在同一坐标系内的大致图像为y ax b =+（）A ．B ．C ．D ．7. （广西北部湾经济区2022年中考数学真题）已知反比例函数的图象如图(0)by b x =≠所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐()0y cx a c =-≠2(0)y ax bx c a =++≠标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8. （广西贺州市2022年中考数学真题）已知一次函数的图象如图所示，则y kx b =+与的图象为（）y kx b =-+by x =A ．B ．C ．D ．9. （海南省2022年中考数学真题）若反比例函数的图象经过点，则(0)ky k x =≠(2,3)-它的图象也一定经过的点是（）A ．B ．C ．D ．(2,3)--(3,2)--(1,6)-(6,1)10. （贵州省贵阳市2022年中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中有，P ，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上．根据图中四Q M N ()0ky k x =>点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（）ky x =A ．点B ．点C ．点D ．点PQMN二、填空题（本大题共7小题）11. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年中考数学真题）在反比例的1k y x -=图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则24x kx -+该反比例函数的解析式为．12. （湖北省随州市2022年中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象在第一象限交于点1y x =+ky x =C ，若，则k 的值为．AB BC =13. （浙江省湖州市2022年中考数学真题）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在y 轴的负半轴上，，以AB 为边向上作正tan 3ABO ∠=方形ABCD ．若图像经过点C 的反比例函数的解析式是，则图像经过点D 的反1y x =比例函数的解析式是．14. （山东省滨州市2022年中考数学真题）若点都在反比例123(1,)(2,)(3,)A y B y C y --,,函数的图象上，则的大小关系为．6y x =123,,y y y15. （山东省威海市2022年中考数学真题）正方形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，4）．若反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过点C ，则k 的值为．kx16. （山东省烟台市2022年中考数学真题）如图，A ，B 是双曲线y ＝（x ＞0）上的kx 两点，连接OA ，O B ．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，交OB 于点D ．若D 为AC 的中点，△AOD 的面积为3，点B 的坐标为（m ，2），则m 的值为．17. （辽宁省铁岭市、葫芦岛市2022年中考数学真题）如图，矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图像上，点A 在x 轴的正半轴上，AB ＝3BC ，点D 在x 轴的负半轴上，AD ＝AB ，连接BD ，过点A 作AE ∥BD 交y 交于点E ，点F 在AE 上，连接FD ，FB ．若△BDF 的面积为9，则k 的值是．三、解答题（本大题共10小题）18. （山东省泰安市2022年中考数学真题）如图，点A 在第一象限，轴，垂足AC x ⊥为C ，，，反比例函数的图像经过的中点B ，与交于OA =1tan 2A =ky x =OA AC 点D ．(1)求k 值；(2)求的面积．OBD 19. （四川省泸州市2022年中考数学真题）如图，直线与反比例函数32y x b=-+的图象相交于点，，已知点的纵坐标为612y x =A B A(1)求的值；b (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点C 的坐标．C x ABC 20. （2022年四川省乐山市中考数学真题）如图，已知直线1：y =x +4与反比例函数y =(x <0)的图象交于点A (−1，n )，直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称．kx(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．21. （四川省成都市2022年中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函xOy 数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．26y x =-+ky x =(),4A a B(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；B (2)过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴A AC C BC AC y 分成长度比为的两部分时，求的长；1:2BC (3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形P Q 是完美筝形时，求，两点的坐标．ABPQ P Q 22. （黑龙江省绥化市2022年中考数学真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在11y k x b =+()5,0A 50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭22k y x =第一象限内交于P ，K 两点，连接，的面积为．OP OAP △54(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)当时，求x 的取值范围；21y y >(3)若C 为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．OA PC KC +PKC 23. （四川省广元市2022年中考数学真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图像与函数（x ＞0）的图像相交于点B （1，6），并与x 轴交于点ky x =A ．点C 是线段AB 上一点，△OAC 与△OAB 的面积比为2：3(1)求k 和b 的值；(2)若将△OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到△OA ′C ′，判断点A ′是否在函数（x ＞0）的图像上，并说明理由．ky x =24. （湖北省江汉油田、潜江、天门、仙桃2022年中考数学真题）如图，，OA OB =，点A ，B 分别在函数（）和2ky x =（）的图象上，且90AOB ∠=︒1k y x =0x >0x >点A 的坐标为．(1,4)(1)求，的值：1k 2k (2)若点C ，D 分在函数（）和（）的图象上，且不与点1k y x =0x >2ky x =0x >A ，B 重合，是否存在点C ，D ，使得，若存在，请直接出点C ，D COD AOB △△≌的坐标：若不存在，请说明理由．25. （湖南省常德市2022年中考数学试题）如图，已知正比例函数与反比例函数1y x =的图象交于，两点．2y ()2,2A B(1)求的解析式并直接写出时的取值范围；2y 12y y <x(2)以为一条对角线作菱形，它的周长为AB 求其所在直线的解析式．26. （江苏省苏州市2022年中考数学真题）如图，一次函数的图像与()20y kx k =+≠反比例函数的图像交于点，与y 轴交于点B ，与x 轴交于()0,0my m x x =≠>()2,A n 点．()4,0C -(1)求k 与m 的值；(2)为x 轴上的一动点，当△APB 的面积为时，求a 的值．(),0P a 7227. （湖北省宜昌市2022年中考数学真题）已知抛物线与轴交于22y ax bx =+-x ，两点，与轴交于点．直线由直线平移得到，与轴交于点()1,0A -()4,0B y C l BC y ．四边形的四个顶点的坐标分别为，，()0,E n MNPQ ()1,3M m m ++()1,N m m +，．()5,P m m +()5,3Q m m ++(1)填空：，；=a b =(2)若点在第二象限，直线与经过点的双曲线有且只有一个交点，求M l M ky x =的最大值；2n (3)当直线与四边形、抛物线都有交点时，存在直线，对于同l MNPQ 22y ax bx =+-l 一条直线上的交点，直线与四边形的交点的纵坐标都不大于它与抛物线l l MNPQ 的交点的纵坐标．22y ax bx =+-①当时，直接写出的取值范围；3m =-n ②求的取值范围．m参考答案1. 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出k <0，再根据k =xy ，逐项判定即可．【详解】解：∵反比例函数y =（k ≠0），且在各自象限内，y 随x 的增大而增大，,kx ∴k =xy <0，A 、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；B 、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；C 、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；D 、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；故选：B ．2. 【答案】A 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵6＞0，∴反比例函数y =的图象分别位于第一、第三象限．6x 故选：A 3. 【答案】B 【分析】A 选项可以根据一次函数与y 轴交点判断，其他选项根据图象判断a 的符号，看一次函数和反比例函数判断出a 的符号是否一致；【详解】一次函数与y 轴交点为（0，1），A 选项中一次函数与y 轴交于负半轴，故错误；B 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者一致，故B 选项正确；C 选项中，根据一次函数y 随x 增大而增大可判断a >0，反比例函数过一、三象限，则-a >0，即a <0，两者矛盾，故C 选项错误；D 选项中，根据一次函数y 随x 增大而减小可判断a <0，反比例函数过二、四象限，则-a <0，即a >0，两者矛盾，故D 选项错误；故选：B ．4. 【答案】D 【分析】连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，根据平行四边形的性质可得1522AOB OBAD S S == ，AB ∥OD ，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设AB 交y 轴于点C ，∵四边形OBAD 是平行四边形，平行四边形OBAD 的面积是5，∴，AB ∥OD ，1522AOB OBAD S S == ∴AB ⊥y 轴，∵点B 在反比例函数的图象上，顶点A 在反比例函数的图象上，3y x =k y x =∴，3,22COB COA kS S ==-∴，35222AOB COB COA k S S S =+=-=解得：．2k =-故选：D ．5. 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解．【详解】解：由反比例函数解析式可知：，4y x =40>∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵点()11,y ，()22,y ，()33,y ，()44,y 在反比例函数4y x =图象上，∴1234y y y y >>>，故选D ．6. 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像确定a ，b ，c 的正负，即可确定一次函数y ax b =+所经过的象限和反比例函数cy x =-所在的象限．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像开口向上，对称轴在y 轴左边，与y 轴的交点在y 轴负半轴，∴a >0，02b a -<，c <0，∴b >0，-c >0，∴一次函数y ax b =+的图像经过第一、二、三象限，反比例函数cy x =-的图像在第一，三象限，选项C 符合题意．故选：C 7. 【答案】D 【分析】先由反比例函数图象得出b >0，再分当a >0，a <0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，(0)by b x =≠∴b >0，若a <0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，故A 、B 、C 、D2ba 选项全不符合；当a >0，则-2ba <0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，故只有C 、D两选项可能符合题意，由C 、D 两选图象知，c <0，又∵a >0，则-a <0，当c <0,a >0时，一次函数y =cx -a 图象经过第二、第三、第四象限，故只有D 选项符合题意．故选：D ．8. 【答案】A 【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象0,0k b >>y kx b =-+限，反比函数的图象位于第一、三象限内，即可求解．by x =【详解】解：根据题意得：，0,0k b >>∴，0k -<∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比函数的图象位于第一、y kx b =-+by x =三象限内．故选：A 9. 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k 的值，再分别计算选项(0)ky k x =≠(2,3)-中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，(0)ky k x =≠(2,3)-∴k ＝2×（﹣3）＝﹣6，∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，1×（﹣6）＝﹣6，,6×1＝6≠﹣6，则它一定还经过（1，﹣6），故选：C ．10. 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现y x 点不在函数的图象上M ky x =【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用平滑的曲线连接发现点不()0ky k x =>y x M 在函数的图象上ky x =故选C 11. 【答案】3y x=【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k 的值，再根据反比例函数的性质即可确定k 的值．【详解】解：∵x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±4，即k =±4，∵在在反比例函数y =的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减小，1k x -∴k -1＞0，∴k ＞1．解得：k =4，∴反比例函数解析式为，3y x =故答案为：．3y x =12. 【答案】2【分析】过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，证明△OAB ∽△HAC ，再求出点C 坐标即可解决问题．【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，∵直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，1y x =+∴将y =0代入，得，将x =0代入，得y =1，1y x =+1x =-1y x =+∴A （，0），B （0，1），1-∴OA =，OB =1，1∵∠AOB =∠AHC =90°，∠BAO =∠CAH ，∴△OAB ∽△HAC ，∴AO OB ABAH CH AC ==∵OA =，OB =1，，1AB BC =∴1112AH CH ==∴AH =，CH =2，2∴OH =1，∵点C 在第一象限，∴C （1，2），∵点C 在上，ky x =∴．122k =⨯=故答案为：2．13. 【答案】3y x=-【分析】过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设，，结合正OB x =3OA x =方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点ADF ∆BAO ∆CBE ∆C 和点D 的坐标，求出，即可求出答案．212x =【详解】解：过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图：∵，tan 3OAABO OB ∠==设，，OB x =3OA x =∴点A 为（，0），点B 为（0，）；3x -x -∵四边形ABCD 是正方形，∴，，AD AB BC ==90DAB ABC ∠=∠=︒∴，ADF DAF DAF BAO ∠+∠=∠+∠∴，ADF BAO ∠=∠同理可证：，ADF BAO CBE ∠=∠=∠∵，90AFD BOA CEB ∠=∠=∠=︒∴≌≌CBE ∆，ADF ∆BAO ∆∴3OA FD EB x ===，OB FA EC x ===，∴2OE OF x ==，∴点C 的坐标为（x ，2x ），点D 的坐标为（2x -，3x ），∵点C 在函数1y x =的函数图像上，∴221x =，即212x =；∴21236632x x x -=-=-⨯=- ，∴经过点D 的反比例函数解析式为3y x =-；故答案为：3y x =-．14. 【答案】y 2＜y 3＜ y 1【分析】将点A （1，y 1），B （-2，y 2），C （-3，y 3）分别代入反比例函数，并求得6y x =y 1、y 2、y 3的值，然后再来比较它们的大小．【详解】根据题意，得当x =1时，y 1=，661=当x =-2时，y 2=，632=--当x =-3时，y 3；623==--∵-3＜-2＜6，∴y 2＜y 3＜ y 1；故答案是y 2＜y 3＜ y 1．15. 【答案】24【分析】过点C 作CE ⊥y 轴，由正方形的性质得出∠CBA =90°，AB =BC ，再利用各角之间的关系得出∠CBE =∠BAO ，根据全等三角形的判定和性质得出OA =BE =2，OB =CE =4，确定点C 的坐标，然后代入函数解析式求解即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥y 轴，∵点B （0，4），A （2，0），∴OB =4，OA =2，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠CBA =90°，AB =BC ，∴∠CBE +∠ABO =90°，∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE =∠BAO ，∵∠CEB =∠BOA =90°，∴，ABO BCE ≅ ∴OA =BE =2，OB =CE =4，∴OE =OB +BE =6，∴C （4，6），将点C 代入反比例函数解析式可得：k =24，故答案为：24．16. 【答案】6【分析】应用k 的几何意义及中线的性质求解．【详解】解： D 为AC 的中点，AOD ∆的面积为3，∴AOC ∆的面积为6，所以122k m ==，解得：m ＝6．故答案为：6．17. 【答案】6【分析】根据△BDF 的面积等于△ABD 的面积，设B （a ，3a ）（a ＞0），则ABD S =△12×3a •3a ＝9，求解即可得到点B 的坐标，则根据=k xy 求解即可．【详解】解：∵AE ∥BD ，依据同底等高的原理，∴△BDF 的面积等于△ABD 的面积，∵AB ＝3BC ，AD ＝AB ，∴设B （a ，3a ）（a ＞0），则ABD S =12×3a •3a ＝9，解得a ∴3k a a =⋅=3a 2＝6．即k ＝6．故答案为：6．18. 【答案】(1)2(2)32【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，Rt ACO ∆90ACO ∠=︒1tan 2A =2OC =，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；4AC =()2,4A ()1,2B k （2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．AD y ∥AD OBD OADBADS SS=-△△△(1)解：根据题意可得，在中，，，Rt ACO ∆90ACO ∠=︒1tan 2A =，2AC OC ∴=，222(2)OC OC ∴+=，，2OC ∴=4AC =，()2,4A ∴的中点是B ， OA ，()1,2B ∴；2k ∴=(2)解：当时，，2x =1y =，()2,1D ∴，413AD ∴=-=．∴OBD OAD BAD S S S =-△△△()11332321222=⨯⨯-⨯⨯-=19. 【答案】(1)b =9(2)C (4,0)，或C (8,0)【分析】（1）把y =6代入12y x =得到x =2，得到A (2,6)，把A (2,6)代入32y x b=-+，得到b =9；（2）解方程组39212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得到 x =2(舍去)，或x =4，1234y ==，得到B (4,3)，设C (x ,0)，直线与x 轴交点为D ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，得到AE =6，BF =4，根据3902y x =-+=时，x =6，得到D (6,0)，推出6CD x =-，根据ABC ACD BCDS S S =- 1122CD AE CD BF =⋅-⋅362x =-=3，求得x =3，或x =9，得到C (4,0)，或C (8,0)．(1)解：∵直线32y x b =-+与反比例函数12y x =的图象相交于点A ，B ，点A 的纵坐标为6，∴126=x ，x =2，∴A (2,6)，∴3622b=-⨯+，b =9；(2)39212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31292x x -+=，∴x =2(舍去)，或x =4，∴1234y ==，∴B (4,3)，设C (x ,0)，直线与x 轴交点为D ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ，则AE =6，BF =3，3902y x =-+=时，x =6，∴D (6,0)，∴6CD x =-，∴ABC ACD BCD S S S =- 1122CD AE CD BF =⋅-⋅()12CD AE BF =-()16632x =--362x =-，∵3ABC S =△，∴3632x -=，62x -=±，∴x =4，或x =8，∴C (4,0)，或C (8,0)．20. 【答案】(1)反比例函数的解析式为y =3x -；(2)图中阴影部分的面积为7．【分析】（1）先求得点A 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l ′的解析式为y =-x +2，再根据图中阴影部分的面积=S △ABC - S △OCD 求解即可．(1)解：∵直线1：y =x +4经过点A (-1，n )，∴n =-1+4=3，∴点A 的坐标为(-1，3)，∵反比例函数y =kx (x <0)的图象经过点A (-1，3)，∴k =-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y =3x -；(2)解：∵直线l ′经过点A ，且与l 关于直线x =−1对称，∴设直线l ′的解析式为y =-x +m ，把A (-1，3)代入得3=1+m ，解得m =2，∴直线l ′的解析式为y =-x +2，直线1：y =x +4与x 轴的交点坐标为B (-4，0)，直线l ′：y =-x +2与x 轴的交点坐标为C (2，0)，与y 轴的交点坐标为D (0，2)，∴图中阴影部分的面积=S △ABC - S △OCD =12×6×3-12×2×2=9-2=7．．21. 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为4y x =B ()2,2(2)(3)，()4,1--()1,5-【分析】(1)首先把点A 的坐标代入，即可求得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入26y x =-+，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B 的坐标；ky x =(2)设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点C 的坐标为，直线AC 与y 轴的交点为4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭点D ，把点A 、C 的坐标分别代入y =kx +b ，可求得点D 的坐标为，可求40,4m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭得AD 、CD 的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得；(3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平B PB AB ⊥4y x =P P x 行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，B x C AD BC ⊥D ,BQ AP M 根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D 的坐标为ADB BCP ∽P AP (a ，b )，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐AQ AB =M AP Q 标．(1)解：把点A 的坐标代入，26y x =-+得，解得a =1，426a =-+故点A 的坐标为(1,4)，把点A 的坐标代入，k y x =得k =4，故反比例函数的表达式为，4y x =， 264y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得，232=0x x -+解得，，11x =22x =故点A 的坐标为(1,4)，点的坐标为；B ()2,2(2)解：设直线AC 的解析式为y =kx +b ，点C 的坐标为，直线AC 与y 轴的交点4,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭为点D ，把点A 、C 的坐标分别代入y =kx +b ，得， 44k b mk b m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得， 444k m b m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩故点D 的坐标为，40,4m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，AD ∴==，CD ==如图：当AD :CD =1:2时，连接BC ，得，得，12=2264120m m -+=得，4212640m m +-=解得或(舍去)，24m =216m =-故或(舍去)，2m =-2m=故此时点C 的坐标为(-2,-2)，BC ∴==如图：当CD :AD =1:2时，连接BC，得，得，12=22164630m m -+=得，4263160m m +-=解得或(舍去)，214m =216m =-故或(舍去)，12m =-12m =故此时点C 的坐标为，1,82⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BC ∴=综上，BC 的长为(3)解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过B PB AB ⊥4y x =P P x 点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图B x C AD BC ⊥D ,BQ AP M ∵()()1,4,2,2A B ∴()2,4D 设，，则4,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭0m <42,2,2,1PC m BC DB AD m =-=-==90︒∠= ABP 90ABD PBC BPC∴∠=︒-∠=∠又D C∠=∠∴ADB BCP∽AD DB BC PC∴=即12=422mm--解得或（舍去）4m =-2m =则点()4,1P --设直线的解析式为，将点，PA y sx t =+()1,4A ()4,1P --414s t s t -+=-⎧⎨+=⎩解得13s t =⎧⎨=⎩直线的解析式为∴PA 3y x =+设，根据题意，的中点在直线上，则(),Q a b BQ M PB M 2222a b++⎛⎫⎪⎝⎭，∵QA AB ===则()()22223=22145a b a b ++⎧+⎪⎨⎪-+-=⎩解得或（在直线上，舍去）15a b =-⎧⎨=⎩06a b =⎧⎨=⎩AB ．()1,5Q ∴-综上所述，．()()4,1,1,5P Q ---22. 【答案】(1)115,22y x =-+22.y x =(2)或，01x <<4x >(3)65【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求OAP △54出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围；（3）作点K 关于x 轴的对称点，连接，交x 轴于点C ，连接KC ，则K 'KK 'PK 'PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据求解即可．PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--(1)解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，11y k x b =+()5,0A 50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴把，代入得，()5,0A 50,2B ⎛⎫⎪⎝⎭11y k x b =+，解得，，1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数解析式为115,22y x =-+过点P 作轴于点H ，PH x ⊥∵(5,0),A ∴5,OA =又5,4PAO S ∆=∴15524PH ⨯⨯=∴1,2PH =∴，151222x -+=∴4,x =∴1(4,)2P ∵在双曲线上，1(4,)2P ∴2142,2k =⨯=∴22.y x =(2)解：联立方程组得，15222y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，，1112x y =⎧⎨=⎩22412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴(1,2),k 根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，01x <<4x >∴当时，求x 的取值范围为或，21y y >01x <<4x >(3)解：作点K 关于x 轴的对称点，连接交x 轴于点M ，则（1，-2），K 'KK 'K 'OM =1，连接交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，PK '设直线的解析式为PK ',y mx n =+把代入得，1(4,(1,2)2P K '-2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线的解析式为PK '517,66y x =-当时，，解得，，0y =106657x -=751x =∴17(,0)5C ∴175OC =∴17121,55MC OC OM =-=-=178555AC OA OC =-=-=，514AM OA OM =-=-=∴PKC AKM KMC PACS S S S ∆∆∆∆=--1112181422225252=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯122455=--65=23. 【答案】(1)b =5，k =6(2)不在，理由见详解【分析】（1）把点B 的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；（2）由（1）及题意易得点C 的坐标，然后根据旋转的性质可知点C ′的坐标，则根据等积法可得点A ′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A ′的横坐标，最后问题可求解．(1)解：由题意得：，166b k +=⎧⎨=⎩∴b =5，k =6；(2)解：点A ′不在反比例函数图像上，理由如下：过点A ′作A ′E ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F，如图，由（1）可知：一次函数解析式为，反比例函数解析式为，5y x =+6y x =∴点，()5,0A -∵△OAC 与△OAB 的面积比为2：3，且它们都以OA 为底，∴△OAC 与△OAB 的面积比即为点C 纵坐标与点B 纵坐标之比，∴点C 的纵坐标为，2643⨯=∴点C 的横坐标为，451x =-=-∴点C 坐标为，()1,4-∴CF =4，OF =1， ∴，OC =tan 4CFCOF OF ∠=由旋转的性质可得：，OC OC A OC AOC '''==∠=∠根据等积法可得：OA CF A E OC ⋅'=='∴，tan A E OE A OE'=='∠∴，A '，100617=≠∴点A ′不在反比例函数图像上．24. 【答案】(1)，14k =24k =-(2)，()4,1C ()1,4D -【分析】（1）过点A 作AE ⊥y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴交于点F ，将点A 代入即可求得，证明△AOE ≌△BOF ，从而求得点B 坐标，将点B 代入求1k y x =1k 2k y x =得；（2）由可得OC =OA =OB =OD ，可得C 与B 关于x 轴对称，2k COD AOB △△≌A 与D 关于x 轴对称即可求得坐标．(1)如图，过点A 作AE ⊥y 轴交于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴交于点F ，∵，90AOB ∠=︒∴∠AOE +∠BOF =90°，又∵∠AOE +∠EAO =90°，∴∠BOF =∠EAO ，又∵∠AEO =∠OFB ，OA =OB ，∴△AOE ≌△BOF （AAS ），∴AE =OF ，OE =BF ，∵点A 的坐标为，(1,4)∴AE =1，OE =4，∴OF =1，BF =4，∴B （4，-1），将点A 、B 分别代入和，1k y x =2ky x =解得，，；14k =24k =-(2)由（1）得，点A 在图象上，点B 在图象上，两函数关于x 轴对称，4y x =4y x =-∵，COD AOB △△≌∴OC =OA =OB =OD ，只需C 与B 关于x 轴对称，A 与D 关于x 轴对称即可，如图所示，∴点C （4，1），点D （1，-4）．25. 【答案】(1)或02x <<2x <-(2)或或或14+33y x =1433y x =-34y x =-34y x =+【分析】（1）由点可求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的对称性可求出()2,2A 2y ，从而求解出时的取值范围；()2,2B --12y y <x （2）由菱形的性质和判定可知另外两个点在直线的图象上且两个点关于原点y x =-对称，从而可求出这两个点的坐标即可求解．(1)解：设，2(0)ky k x =≠在反比例函数的图象上，()2,2A 2(0)ky k x =≠，224k xy ∴==⨯=，24y x ∴=由反比例函数图象的性质对称性可知：A 与B 关于原点对称，即，()2,2B --当或时，；∴02x <<2x <-12y y <(2)如图所示，菱形的另外两个点设为M 、N ，由菱形的性质和判定可知M 、N 在直线的图象上且两个点关于原点对称，y x =-不妨设，则，()()0M a a a -<，()N a a -，菱形AMBN 的周长为，AM ∴=AO == AB MN ⊥MO ∴==，即，，1a ∴=-()11M -，(11)N -，设直线AM 的解析式为：,y mx n =+则：，解得：，122m n m n -+=⎧⎨+=⎩1343m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AM 的解析式为：，∴14+33y x =同理可得AN 的解析式为：，34y x =-BM 的解析式为：，34y x =+BN 的解析式为：．1433y x =-26. 【答案】(1)k 的值为，的值为612m (2)或3a =11a =-【分析】（1）把代入，先求解k 的值，再求解A 的坐标，再代入反比例函()4,0C -2y kx =+数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x 轴上的一动点，可得．由()0,2B (),0P a 4PC a =+，建立方程求解即可．CAP ABPCBPS S S=+△△△(1)解：把代入，()4,0C -2y kx =+得．12k =∴．122y x =+把代入，()2,A n 122y x =+得．3n =∴．()2,3A 把代入，()2,3A m y x =得．6m =∴k 的值为，的值为6．12m (2)当时，．0x =2y =∴．()0,2B ∵为x 轴上的一动点，(),0P a ∴．4PC a =+∴，1142422CBP S PC OB a a =⋅=⨯+⨯=+△．113434222CAP A S PC y a a =⋅=⨯+⨯=+△∵，CAP ABP CBP S S S =+△△△∴．374422a a +=++∴或．3a =11a =-27. 【答案】(1)，1232-(2)当时，可以取得最大值，最大值为22m =-2n (3)①的取值范围为：或；②的取值范围：n 112n ≤≤4n =-m 13m -≤【分析】（1）将点，代入函数解析式得，解之()1,0A -()4,0B 22y ax bx =+-2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩即可；（2）设直线的解析式为，将点和代入得BC ()0y dx e d =+≠()4,0B ()0,2C -，求出直线的解析式；再求出直线的解析式为，402d e e +=⎧⎨=-⎩BC 122y x =-l 12y x n =+根据反比例函数图象上点的坐标特征得，再由直线与()()21343k m m m m =++=++l 双曲线有公共点，由直线与双曲线有且只有一个交点得2222860x nx m m +---=l ，进而可求得；0∆=（3）当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线的解析l 12y x n =+22y ax bx =+-式，得，可求得；当时，直线与抛物线有且21322212y x x y x n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩4n ≥-4n =-1y x 42=-只有一个交点；①当时，四边形的顶点分别为，()2,3F -3m =-MNPQ ()2,0M -，，．第一种情况：如第24题图2，时，直线与四()2,3N --()2,3P -()2,0Q 4n =-l 边形，抛物线都有交点，且满足直线与矩形的交点的纵MNPQ 22y ax bx =+-l MNPQ坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．第二种情况：当直线经过点22y ax bx =+-l 时，如24题图3所示，，解得，，当直线经过点时，如A 1(1)02n ⨯-+=12n =l M 24题图4所示得，，最终可得的取值范围为：或．1n =112n ≤≤n 112n ≤≤4n =-②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上m MNPQ ()1,3M m m ++1y x 42=-时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边l MNPQ 22y ax bx =+-l 形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标，得解得，．MNPQ 13m =-（Ⅱ）如图24题图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这m MNPQ ()1,3M m m ++条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）l M l 与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的MNPQ 22y ax bx =+-l MNPQ 交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标，，213(1)(1)2322m m m +-+-=+解之可求出m ；综合（Ⅰ）到（Ⅱ），得的取值范围：．m 13m -≤≤(1)将点，代入函数解析式得()1,0A -()4,0B 22y ax bx =+-2016420a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：，；1232-(2)设直线的解析式为，BC ()0y dx e d =+≠∵直线经过和，BC ()4,0B ()0,2C -∴，解得，402d e e +=⎧⎨=-⎩122d e ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线：．BC 122y x =-∵直线平移得到直线，且直线与轴交于点，BC l l y ()0,E n ∴直线：，l 12y x n =+∵双曲线经过点，ky x =()1,3M m m ++∴，()()21343k m m m m =++=++∴．243m m y x ++=∵直线与双曲线有公共点，l 联立解析式得：，21243y x n m m y x ⎧=+⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩∴，21432m m x n x +++=整理得：，2222860x nx m m +---=∵直线与双曲线有且只有一个交点，l ∴，0∆=即，()22(2)42860n m m ----=整理得：，224832240n m m +++=化简得：，222860n m m +++=∴，〖注：或得到〗()222286222n m m m =---=-++22n k=-∵点在第二象限，M ∴，1030m m +<⎧⎨+>⎩解得，．3<1m -<-∴当时，可以取得最大值，最大值为2．2m =-2n (3)如24题图1，当直线与抛物线有交点时，联立直线与抛物线l 12y x n =+的解析式.22y ax bx =+-得：，21322212y x x y x n⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得：，21312222x x x n--=+整理得：，24420x x n ---=∴，0∆≥即，161680n ++≥∴，4n ≥-当时，直线：与抛物线有且只有一个交点．4n =-l 1y x 42=-()2,3F -①当时，四边形的顶点分别为，，，3m =-MNPQ ()2,0M -()2,3N --()2,3P -．()2,0Q 第一种情况：如第24题图2，当直线经过时，此时与重合.l ()2,3P -()2,3P -()2,3F -∴时，直线与四边形，抛物线都有交点，且满足直线与4n =-l MNPQ 22y ax bx =+-l 矩形的交点的纵坐标都不大于与抛物线的交点的纵坐标．MNPQ 22y ax bx =+-第二种情况：当直线经过点时，如24题图3所示.l A ，解得，，1(1)02n ⨯-+=12n =当直线经过点时，如24题图4所示l M ，解得，，1(2)02n ⨯-+=1n =∴，112n ≤≤综上所述，的取值范围为：或．n 112n ≤≤4n =-②（Ⅰ）当的值逐渐增大到使矩形的顶点在直线上m MNPQ ()1,3M m m ++1y x 42=-时，直线与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边l MNPQ 22y ax bx =+-l 形的交点的纵坐标都小于它与抛物线的交点的纵坐标．MNPQ ，13(1)42m m +=+-解得，．13m =-（Ⅱ）如图24题图5，当的值逐渐增大到使矩形的顶点在这m MNPQ ()1,3M m m ++条开口向上的抛物线上（对称轴左侧）时，存在直线（即经过此时点的直线）l M l 与四边形、抛物线同时有交点，且同一直线与四边形的MNPQ 22y ax bx =+-l MNPQ 交点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．，213(1)(1)2322m m m +-+-=+化简，得：．23120m m --=解得，1m =2m 从（Ⅰ）到（Ⅱ），在的值逐渐增大的过程中，均存在直线，同时与矩形、m l MNPQ 抛物线相交，且对于同一条直线上的交点，直线与矩形的交22y ax bx =+-l l MNPQ 点的纵坐标都不大于它与抛物线的交点的纵坐标．综上所述，的取值范围：．m 13m -≤≤。

初中九年级数学下册培优专题练习(含答案)

专题01 “确”有其事——由确定性带来的延展式思考【专题解读】确定一条直线需要2个要素，若缺其一，则会形成一个直线系或一簇直线；同样的道理，确定三角形时，也是需要3个要素且有关联性，若缺其一，则图形不定，而当图形确定时，一定是可解析的，当图形不确定时，多会产生多解或最值情形。

这也是审计划规模环节时的一个方向性思考，即先从试题的结构性，一致性上选择破题之道，对试题有一个整体性的把控。

本专题便从“定”与“不定”两个方面来解读．【思维索引】例1．（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知P (a ,a +2)，求OP 的最小值．（2）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为Q ，求OQ 的最小值．例2．已知，如图ABC ∆中，90C ∠=︒．（1）用没有刻度的直尺和圆规求作点P ，使得经过点C 的P e 与直线AB 相切于点A ；（2）在（1）的条件下，若10AB =，8BC =，求P e 的半径．例3.如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，CD 与AB 交于点F ，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，若AE =AD =【变式】在ABC ∆和DCE ∆中，CA =CB ，CE =CD ，90ACB DCE ∠=∠=︒，3BC =，4CD =CED ∆绕着点C 逆时针旋转．（1）如图1，求当点A 落在ED 上时，AC 、AD 、CD 围成的图形的面积．（2）如图，若P 是AB 的中点，Q 是DE 上任意一点，求PQ 的最大值与最小值的差．例4．已知二次函数()220y ax ax c a =-+>的图像与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且:2:3CP PD =．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若3a ≤，求这个二次函数上最低点的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）若5tan 4PDB ∠=，求这个二次函数的关系式．【素养提升】1．半径为5的O e 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且垂直于OP 的弦CD 的长为（）A.3B.4C.5D.62．半径为5的O e 中有一点P ，4OP =，则经过点P 且长度为整数的弦的数量有（） A.1条 B.5条 C.8条 D.10条 3．如图，平面直角坐标系中，点()9,6A ，AB y ⊥轴，垂足为B ，点P 从原点O 出发向x 轴正方形运动，同时，点Q 从点A 出发向B 运动，当点Q 到达B 时，整个运动停止，若点P 与点Q 的速度之比为1:2，则下列说法正确的是（） A.线段PQ 始终经过点（2，3） B.线段PQ 始终经过点（3，2） C.线段PQ 始终经过点（2，2） D.线段PQ 不可能始终经过某一点(第3题图) ( 第4题图)4．如图，ABC ∆是等边三角形，12AB =，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90︒，得到线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为（）A.B.6+C.3D.65．对于二次函数()()22110y ax a x a a =--+-≠，有下列结论中正确的结论是（）①其图象与x 轴一定相交；②若0a <，函数在1x >时，y 随x 的增大而减小；③无论a 取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上； ④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点． A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④6．已知，如图，AB 是O e 直径，C 为圆上一点，若6AC =，8BC =，D 为半圆弧AB 的中点，则CD 的值为____ __．7．已知，如图，AB 是O e 直径，C ，D 都为圆上的一点，若6AC =，8BC =，且ABD ∆是等腰直角三角形，则CD 的值为____ __．8．已知二次函数21y x mx m =----经过的定点的坐标为__ ____．9．如图，矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，E 为BC 上一点，将ABE ∆沿着AE 折叠，点B 的对应为P ．（1）连接CP ，则线段CP 的最小值为____ __；（2）连接DP ，若2DP =，则EDP ∆的面积为____ __．10．如图，平面直角坐标系中，()7,0A ，()5,2B ，()0,2C ，一条动直线l 分别与BC ，OA 交于点E 、F ，且将四边形OABC 的面积分成相等的两部分，则点C 到动直线l 的距离的最大值为__________．11．如图，ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆（其中B 旋转后得到D ，C 旋转后得到E ），若DE 恰好经过点C ，求此时BD 的长．12．如图，6AB =，60ABC ∠=︒，将AC 绕点A 旋转60︒得到AD ，求ABD ∆的面积．13．已知：如图，AB 是O e 的直径，3AC =，4BC =，P 是AB 下方半圆上一动点，CQ PC ⊥交PB的延长线于点Q ．（1）若P 在弧AB 的中点，求CQ 的长；（2）若CQ 最大，求最大的CQ 的长．14．如图，二次函数()220y ax ax c a =-++>的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，过A 的直线()20y kx k k =+≠与这个二次函数图象交于另一点F ，与其对称轴交于点E ，与y 轴交于点D ，DE EF =．（1）求A 点坐标；（2）若BDF ∆的面积为12，求此二次函数的表达式；（3）若二次函数图象顶点为P ，连接PF ，PC ，2CPF DAB ∠=∠，求此二次函数的表达式．15．如图，在ABC ∆中，已知10cm AB AC ==，16cm BC =，AD BC ⊥于D ，点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，其中点E 沿BC 向终点C 运动，速度为4cm/s ；点F 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为5cm/s ，设它们运动的时间为x （s ）. （1）求x 为何值时，EFC ∆和ACD ∆相似；（2）是否存在某一时刻，使得EFD ∆被AD 分得的两部分面积之比为3:5，若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由；（3）当2x ≤时，若以EF 为直径的圆与线段AC 只有一个公共点，求出相应x 的取值范围．16．如图①，()8,6A ，AB y ⊥轴于B 点，点R 从原点O 出发，沿y 轴正方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，沿线段AB 向点B 以相同的速度匀速运动，当点Q 到达点B 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）点B 的坐标为______；（2）过R 点作RP OA ⊥交x 轴于点P ，当点R 在OB 上运动时，BRQ ∆的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图像为抛物线的一部分，如图②，求点R 的运动速度；（3）如果点R 、Q 保持（2）中的速度不变，当257t ≤时，设PRQ ∆与OAB ∆的重叠部分的面积为y ，请求出y 关于t 的函数关系式．专题02 “参”透机关——由参数带来的指向性思维【专题解读】参数，实际上是一个变量，一个代数式。

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最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a bx 2-=时，a b ac y 442-=最小值；（2）当0<a ，abx 2-=时，a b ac y 442-=最大值；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值．（“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b ac a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（）A. (0，21-) B. (0，0) C. (0，611) D. (0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？（南通市中考试题）8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．（江苏省竞赛试题）9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．（黄冈市竞赛试题）10. 已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．（天津市竞赛试题）11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？（河北省竞赛试题）B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．（全国初中数学竞赛试题）4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（）A. 0B. 4C. 8D. 10（天津市竞赛试题）5．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（）A. 5B.423 C. 427 D. 435（天津市选拔赛试题）6．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？（“祖冲之杯”邀请赛试题）8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==. 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？（绍兴市竞赛试题）9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b ，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．（四川省竞赛试题）11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．（国家理科实验班招生试题）12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．（全国初中数学竞赛试题）专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a . ∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413）例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x . 当x =43时，y 2取得最大值1，a =1；当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22. 故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值. 此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB . 故原式取最小值时，x =38. (3)如图，原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a . 因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2003，即20032)1(≤+k k k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2）若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数. 当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28. 下表说明c 没有比6更小的正整数解. 显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故A 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >∵|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b ，从而a +c >2+1，则212>>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b >2≥2=，即b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1 4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|ABC (2125,24k k k -++-），ABC S =，而k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0. 75（万元），3－x =2. 25(万元）．即甲商品投入0. 75万元，乙商品投入2. 25万元，获得利润1. 05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a －3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3．故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1．故当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。