第2讲 直角三角形(基础)
北师大版数学八年级下册第1章第2节直角三角形(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.注意引导学生围绕教学目标进行讨论，避免偏离主题。
3.关注发言不够积极的学生，鼓励他们参与讨论，提高他们的自信心。
-举例：通过几何图形的拼凑或代数方法，引导学生发现并理解勾股定理的推导。
-勾股定理的应用：将勾股定理应用于实际问题，解决如斜边长度计算等问题。
-举例：给出实际情景，如测量墙壁高度等，让学生运用勾股定理解决问题，注意单位的转换和计算过程的准确性。
-直角三角形的判定：在给定三条边长的情况下，准确判断一个三角形是否为直角三角形。
北师大版数学八年级下册第1章第2节直角三角形（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第1章第2节，主要内容为直角三角形。具体内容包括：
1.直角三角形的定义与性质：了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的三个内角之和为180度，其中一个角为直角（90度）。
2.勾股定理：探讨直角三角形中，直角边与斜边的关系，推导并掌握勾股定理（a²+b²=c²）。
5.情感与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学美感，树立正确的数学价值观，认识到数学在科学、技术和社会发展中的重要作用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-直角三角形的定义与性质：理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的内角和为180度，其中一个角为直角（90度）。
直角三角形
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理1提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别AB 、AC 的中点。
初中数学知识点精讲精析 直角三角形全等的判定 (2)
2.8 直角三角形全等的判定学习目标1.探索两个直角三角形全等的条件。
2.掌握两个直角三角形全等的条件（HL ）。
知识详解1.直角三角形全等的判定定理（Ⅰ）文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（角写为“HL ”） （Ⅱ）数学语言：在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'''''AB AC AB C A ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'（HL ）说明：证明两个直角三角形全等时，一定要分清用判定定理“HL ”，还是用一般三角形全等的判定定理。
书写证明的格式也要注意区分，不要混淆。
2.定理的运用：“HL ”是直角三角形独有的判定定理，对于一般三角形不成立，“HL ”定理是直角三角形全等判定的补充。
3.角平分线的性质定理（Ⅰ）文字语言：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（Ⅱ）数学语言：∵OP 是∠AOB 的平分线PE ⊥OA 于E ，PD ⊥OB 于D∴PD ＝PE （角平分线性质）（Ⅲ）定理的作用：证明线段相等4.角平分线的判定定理（性质定理的逆命题）（Ⅰ）文字语言：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
（Ⅱ）数学语言：∵点P 在∠AOB 的内部PD ⊥OA 于DPE ⊥OB 于E∴点P 在∠AOB 的平分线上（角平分线的判定定理）（Ⅲ）定理的作用：证明角相等【典型例题】例1：1.已知：如图，A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE ＝BF ，AC ＝BD 求证：CF ＝DE 。
【答案】证明：因为AC ⊥CE ，BD ⊥DF所以∠ACE ＝∠BDF ＝90°在Rt △ACE 和Rt △BDF 中AE ＝BF （已知）AC ＝BD （已知）∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）∴∠A ＝∠B∵AE ＝BF∴AE+EF ＝BF+EF即AF ＝BE在△ACF 和△BDE 中AF BE A B AC BD =∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪()()()已证已证已知∴△ACF ≌△BDE （SAS ）∴CF ＝DE【解析】证线段相等，通常利用三角形全等的性质证明，但往往证一次全等不能解决问题，本题利用两次全等实现了最终目的，第一次全等为第二次全等创造条件。
《直角三角形的性质》PPT课件
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质
学校县定都市金山库镇敦煌钟中心学校教师龙去燕燕班级活跃1班第2课时含30°角的直角三角形的性质【知识与技能】1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.2.会利用性质解题.【过程与方法】通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【教学难点】巧妙运用性质解题.一、情境导入，初步认识用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=12AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°.∵AM平分∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.∵CM=12AM=7.5cm.∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.【教学说明】在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.例 2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.（1）求∠CBD的度数；（2）求AB的长.【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC ∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD 底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=12CD=2.又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,∴△CBM≌△EBM(ASA),∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8.【教学说明】直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=12 BC.【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12(180°-120°)=30°.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=12 BD.同理，在Rt△CDF中，DF=12 CD.∴DE+DF=12BD+12CD=12(BD+CD)=12BC.例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.解：延长AD、BC交于点E,在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.三、运用新知，深化理解1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（）.A.1∶3B.1∶2C.2∶3D.1∶42.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.【答案】1.B 2.等边三角形四、师生互动，课堂小结特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.。
(完整版)直角三角形的判定和性质
直角三角形全等的判定【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）【典型例题讲解】例1：已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE 求证：OB=OC.例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE：例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
【随堂练习】1．选择：（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（）个①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等A．0 B．1 C．2 D．3（2）在下列定理中假命题是（）A．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形D．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形（3）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC到D，使CD=AC则AC：BD=（）A．1：1 B．3：1 C．4：1 D．2：3（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE，分别是斜边AB上的高与中线，CF 是∠ACB的平分线。
则∠1与∠2的关系是（）A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB 的度数是（）A．30°B．60°C．120°D．150°2．解答：（1已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.（2）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F 求证：CE=DF.B MC【课后习题】一、填空题:(每题5分,共20分)1.有________和一条________对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“___________”. 2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AM 平分∠CAB,CM= 20cm, 那么M 到AB 的距离是____cm.3.已知△ABC 和△A ′B ′C ′,∠C=∠C ′=90°,AC=A ′C ′,要判定△ABC ≌△A ′B ′C ′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________. 4.如图,B 、E 、F 、C 在同一直线上,AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E,AB=DC,BE=CF, 若要说明AB ∥CD,理由如下:∵AF ⊥BC 于F,DE ⊥BC 于E(已知)∴△ABF,△DCE 是直角三角形∵BE=CF(已知)∴BE+_____=CF+_______(等式性质) 即_______=___________(已证)∴Rt △ABF ≌Rt △DCE( )二、选择题:(每题5分,共25分) 5.两个直角三角形全等的条件是( )A.一锐角对应相等;B.两锐角对应相等;C.一条边对应相等;D.两条边对应相等 6.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等. A.6个 B.5个 C.4个 D.3个7.如图,AB ∥EF ∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形( ) A.5对; B.4对; C.3对; D.2对8.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF9.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( )A.AASB.SASC.HLD.SSS三、解答题:(共55分)10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=2AC,M 是AB 的中点,点N 在BC 上,MN ⊥AB.求证:AN 平分∠BAC.(7分)BA21N MCB A E FC B AEF C D11已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)B AE F D12知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE ⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)BAE CD13已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)C14已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.(1)用圆规比较EM与FM的大小.(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)B AE MFC D直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; ②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30°.【典型例题讲解】例1：已知，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ，D 为AB 中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，求BC ，CD 和DE 的长例2：已知：△ABC 中，AB=AC=BC （△ABC 为等边三角形）D 为BC 边上的中点， DE ⊥AC 于E.求证：AC CE 41.例3：已知：如图AD ∥BC ，且BD ⊥CD ，BD=CD ，AC=BC. 求证：AB=BO.【随堂练习】1.△ABC 中，∠BAC=2∠B ，AB=2AC ，AE 平分∠CAB 。
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2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 <sinA< ； < cosA< ； tanA> 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝__ ___，cos A ＝___ ___，tan A ＝____ __， sin B ＝___ ___，cos B ＝_____ _，tan B ＝___ ___．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．例5.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sinB 、cosB 、tanB ．例7.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．A D ECBF例7图 例8图 例9图 例13图例8.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2． 例9.如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45类型三. 化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．例12．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（ ）A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ） A ．35 B. 45 C. 34 D. 433. 如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316；求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．7. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 28．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.9．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ） A.41 B. 31 C.21D. 110．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2CB A ABO专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 （2）︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ (5) tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α （5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是（ ） A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°<∠ A < 60°B. 30°<∠ A < 60°C. 60°< ∠A < 90°D. 30°<∠ A < 90°例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan 45(2 1.41)3-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭2.计算：1201314.330sin 21）（）（-++---π3.计算：212322cos602°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32． 计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．9. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．11.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
第2讲 解直角三角形-九年级数学上册同步精品讲义(北师大版)原卷版
第2讲解直角三角形解直角三角形为中考必考内容，至少有一道是解答题，常是利用解直角三角形的相关知识来解决实际问题。
在解直角三角形的综合题中，常与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。
在教学中，一要注意强调书写格式问题；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
知识点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，知识精讲目标导航一角锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【知识拓展1】如图，已知一商场自动扶梯的长l为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为α，则tanα的值为（）。
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直角三角形【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， .（4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.a b ，c 222a b c +=222a cb =-222b c a =-()222c a b ab =+-222x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22121n n n -+，，1,n n >2222,21,221n n n n n ++++n 2222,,2m n m n mn -+,m n m n >、图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ≠+222a b c +<222a b c +>c要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简 称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释： （1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】 类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、． （1）若＝5，＝12，求； （2）若＝26，＝24，求．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、．2、一圆形饭盒，底面半径为8，高为12，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？a b c a b c c b a a b c b c a :3:5a c b a c cmcm举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段组成的三角形是不是直角三角形． （1）＝7，＝24，＝25； （2）＝，＝1，＝； （3），，()；举一反三：【变式1】判断以线段为边的△ABC 是不是直角三角形，其中．【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ） A ．20:15:12 B ．3:4:5 C ．5:4:3 D ．10:8:2m m a b c ，，a b c a 43b c 3422a m n =-22b m n =+2c mn =0m n >>a b c ，，a =b =2c =4、已知a、b、c满足|a﹣|++（c﹣4）2=0．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．举一反三：【变式1】下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．【变式2】根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题： （1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．举一反三：【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．a b c ，，222a b c +=8、如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ．【巩固练习】 一.选择题1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )A.150B.200C.225D.无法计算2.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．a=1.5，b=2，c=3B ．a=7，b=24，c=25C ．a=6，b=8，c=10D ．a=3，b=4，c=53．三角形的三边长分别为 、、（都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ． 钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）cm 2cm2cm 2cm 22a b +2ab 22a b -a b、A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米 5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）A ．全等三角形的对应角相等B ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二.填空题7．命题“锐角与钝角互为补角”的逆命题是 ．8. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC.若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点重合，则AC ＝ .9. 已知两条线段的长分别为11和60，当第三条线段的长为 时，这3条线段能组成一个直角三角形．10. 如图，AB ＝5，AC ＝3，BC 边上的中线AD ＝2，则△ABC 的面积为______．11. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.cm 'Bcm cm cmcm三.解答题13. 已知在三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，CD＝3，BD＝5，求AC的长．14.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．15.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？16. 如图，已知AB＝AC，AE＝AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1＝∠2.。