九年级(上)培优讲义-第2讲解直角三角形

第2讲：解直角三角形一、建构新知1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °.2.阅读教材后回答。

（1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有.（3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.已知条件已知条件解法一边一角一条直角边和一个锐角（a, ∠A）斜边和一个锐角（c, ∠A）两边两条直角边（a,b）斜边和一条直角边（a ,c）4.阅读教材后回答.（1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比），其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？BACABC北 北 二、经典例题例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值．例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°：（1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ．例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离.ABD C A BDCQPCBA例4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，sinB =53. 一只蚂蚁从点B 开始沿BC 方向向点C 以2cm /s 的速度移动，另一只蚂蚁从C 点开始以1cm /s 的速度向点A 移动. 如果两只蚂蚁分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q （如图），问：第几秒时△PCQ 与△ABC 相似？例5. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上. 动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ． （1） 当t ＝31时，求tan ∠EDB ；（2） 如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时∠EOA 的度数．（精确到1度）三、基础演练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中必定成立的是（ ）.A . c =asinAB . c =acosAC . c =cos a A D . c =sin aA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .根据条件完成填空.c =10,∠A = 45°，则a = ,b = ，∠B = . a =5,b =15,则∠B = ，∠A = ，c = . c =3， sinA =63，则a = ,b = .3. 在Rt △ABC 中，∠A 的对边为a ，∠C ＝90°，cosA =25，a =12, 则斜边AB 上的中线长为 .4. 等腰△ABC 中，底边BC =20，sinC =35, 则AB = . 5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .请根据已知条件解直角三角形.（角度精确到1°，长度精确到0.1）(1) ∠B =72°，c =14； （2）a = 26,b = 62； （3）sinB =45，a =126. 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长和面积．7. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC =4，求△ABC 的面积.ABAC8. 如图，大坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度为1:1.2，坝顶宽DC =2.5m ，坝高4.5m .求：（1）迎水坡BC 的坡比；（2）坝底AB 的长.9. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）10.已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与y x 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，21tan =∠ABO ，OB =4，OE =2。

（1）求直线AB 的解析式； （2）求该反比例函数的解析式.CA B60° 45°北北图9xyBECDOAD CBAABC四、直击中考1.（2013山东）河堤横断面如图所示，堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡比为3:1，则AB 的长为（ ）米 A ．12 B ．34 C ．35 D ．362．（2013哈尔滨）在△ABC 中，AB =22，BC =1，∠ABC =450，以AB 为一边作等腰直角三角形ABD ，使∠ABD =900，连接CD ，则线段CD 的长为 ． 3.（2013安徽 ）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD ，其中AD ∥BC ,坡角α=600，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=450。

若原坡长AB =20m ，求改造后的坡长AE .（结果保留根号）4.（2013浙江）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，3AB =m ．已知木箱高3BE =m ，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面AC 的高度EF ．AB EC Dβα5.（2013江苏）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2（单位：km ）．一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处．此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离． （上述2小题的结果都保留根号）五、挑战竞赛1. 如图，菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A ’、D ’处，且A ’D ’经过B ，EF 为折痕，当D ’F ⊥CD 时，CFFD的值为（ ） A ．312- B ．36C ．2316- D ．318+ 2.△ABC 中，已知，且b =4，则a +c = . 六、每周一练1．设关于x 的方程ax 2+（a +2）x +9a =0有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2．则a 的取值范围是（ ） A ．72-＜a ＜52 B ．a ＞52 C ．a ＜72- D ．112-＜a ＜0FED'A'DCB AyOBPAx2．如图，已知直线x y 21=与抛物线6412+-=x y 交于A 、B 两点，点P 在直线AB 上方的抛物线上运动．当△P AB 的面积最大时，点P 的坐标为 ．3.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=±利用这些公式可将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．例：331133130tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan ⨯+-=+--=63612-=32-=． 根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题： (1)计算 15sin 的值．(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一，小华想用所学的知识来测量该铁塔高度。

如图：小华站在离铁塔底A 距离7米的C 处，测得铁塔顶B 的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC 为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：732.13≈，414.12≈）CAE D75°B。