解直角三角形(培优)
人教版九年级数学下册28.2-1-3：解直角三角形(培优训练)学案设计
28.2解直角三角形培优一 知识要点：1. 解直角三角形的依据：①．三边之间关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) ②．锐角之间关系：∠A ＋∠B ＝90°. ③．边角之间关系正弦函数：sin A ＝∠A 的对边斜边 余弦函数：cos A ＝∠A 的邻边斜边正切函数：tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边2、解直角三角形的类型：根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法： （1）已知两边：①两条直角边a 、b ．其解法：c=22b a +，用tanA=ba,求得∠A ，∠B=90°－∠A ． ②斜边和一条直角边c 、a ．其解法：b=22a c -，用sinA=ca，求得∠A ，∠B=90°－∠A ．（2）一边和一锐角：①一条直角边a 和锐角A ：∠B=90°－∠A ；用tanA=b a ,求得b=A a tan ；用sinA=ca ，求得c=Aasin ． ②斜边c 和锐角A ：∠B=90°－∠A ；用sianA=c a ,求得a=csianA ；用cosA=cb ,求得b=ccosA ． 3、解直角三角形的方法（口诀）：“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．二 例题教学：一）利用解直角三角形求边或角例1：已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC=45°，D 是BC 上的点，BD=10．∠ADC=60°．求AC （3≈1.73，结果保留整数）．二）构造直角三角形求线段的长度或面积例2：如图，在△ABC 中，若∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC＝22， 求BC 的长例3. 如图，在四边形ABCD 中， CD=2，AB=1， ∠C= 60°，∠D= ∠B= 90°，求此四边形ABCD 的面积。
初三数学---解直角三角形---培优班
ABE F QP 初三数学 解三角形1.（2007•宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m ，那么塔高AB 为 米.2． 如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断ABAE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到）．（参考数据：3≈，sin74°≈，cos74°≈，tan74°≈，sin76°≈，cos76°≈）3. (2010年兰州市)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到米，参考数据：2≈，3≈，5≈，6≈4.（2007台州）一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为 米. （注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）5. （2010楚雄）如图，河流的两岸PQ ，MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD ＝50米，某人在河岸MN 的A 处测的∠DAN ＝35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测的∠CBN ＝70°，求河流的宽度CE （结果保留两个有效数字）． （参考数据：si n 35°≈，co s35°≈，t an 35°≈Si n 70°≈，co s70°≈，t an 70°≈）6. （2010扬州）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：2≈，3≈）7. (2010年绍兴市)如图,小敏、小亮从A ,B 两地观测空中C 处一个气球,分别测得仰角为30°和60°,A ,B 两地相距100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10秒后到达C ′处时,在A 处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到ｍ）；（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）. 8．（2009年铁岭市）某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在DCN︒35︒70A B CDE 45°60°同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=°，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=°，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=°，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． （1）求ADB ∠的度数； （2）求索道AB 的长．（结果保留根号）9.（苏州）某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为米，现要做一个不锈钢的扶手AB 及两根与FG 垂直且长为l 米的不锈钢架杆AD 和BC(杆子的底端分别为D ，C)，且∠DAB=66. 5°． (1)求点D 与点C 的高度差DH ；(2)求所用不锈钢材料的总长度l (即AD+AB+BC ，结果精确到米)．(参考数据：°≈，°≈，°≈10.（2007山东威海）如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428≈，cos 400.7660≈，tan 400.8391≈，3 1.732≈．11.（2009年江苏省）如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）CQ BA P北 40 30 AC DE FB 北东C DBE60°76°O12.（2010株洲市）如图，直角ABC ∆中，90C ∠=︒，25AB =，5sin 5B =，点P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连结AP ． （1）求AC 、BC 的长；（2）设PC 的长为x ，ADP ∆的面积为y ．当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．13.（2009年泸州）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时(即350米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：7.13≈)(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少14.(2009年黄冈市)如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，距离为612千米，且位于临海市（记作点B ）正西方向603千米处．台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市．临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？DCBA15．（2010义乌）如图1，已知∠ABC ＝90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP ＝BA 时，∠EBF ＝ °，猜想∠QFC ＝ °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明； （3）已知线段AB ＝32，设BP ＝x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABEQPFC图1ACBEQF。
最新人教版九年级下册数学培优训练十八 解直角三角形
【解析】作 AD⊥BC，垂足为点 D，
在 Rt△ABD 中，∠B＝45°，
∴BD＝AD＝AB·sin 45°＝
6
2 ×2
＝
3.
在 Rt△ACD 中，AD＝ 3 ，AC＝ 15 ，
∴CD＝ AC2－AD2 ＝2 3 ， ∴BC＝BD＋CD＝3 3 ，
∴S△ABC＝12 BC·AD＝21 ×3 3 × 3 ＝92 .
十八 解直角三角形
已知两边解直角三角形
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 2 ，BC＝ 10 ，则 AB 边上的中线长是( D )
A． 10 B．2 2 C． 2 D． 3
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 为 AC 边上的中线，已知 BC＝4，BD＝2 7 ，
则∠A＝___3_0_°__．
3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝5， b＝7，解这个直角三角形．(角度精确到 1″) 【解析】∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝5，b＝7， ∴c＝ a2＋b2 ＝ 25＋49 ＝ 74 ， tan A＝75 ，tan B＝75 ， 则∠A≈35°32′16″，∠B≈54°27′44″. 答：c＝ 74 ，∠A≈35°32′16″，∠B≈54°27′44″.
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，边 AB 的垂直平分线分别交边 BC，AB 于 25
点 D，E，如果 BC＝8，tan A＝43 ，那么 BD＝____4___．
6．在△ABC 中，若∠B＝45°，AB＝10 2 ，AC＝5 5 ，
则△ABC 的面积是__7_5_或__2_5__．
4．在△ABC 中，AB＝AC＝4，BC＝4 3 ，求∠BAC. 【解析】过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
九年级(上)培优讲义：第2讲 解直角三角形
第2讲：解直角三角形一、建构新知1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °.2.阅读教材后回答。
（1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有.（3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c.已知条件已知条件解法一边一角一条直角边和一个锐角（a, ∠A）斜边和一个锐角（c, ∠A）两边两条直角边（a,b）斜边和一条直角边（a ,c）4.阅读教材后回答.（1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比），其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？BACABC北 北 二、经典例题例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值．例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°：（1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ．例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离.ABD C A BDCQPCBA例4. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，sinB =53. 一只蚂蚁从点B 开始沿BC 方向向点C 以2cm /s 的速度移动，另一只蚂蚁从C 点开始以1cm /s 的速度向点A 移动. 如果两只蚂蚁分别从B 、C 点同时出发各自运动到P 、Q （如图），问：第几秒时△PCQ 与△ABC 相似？例5. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上. 动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连接OD ，过点D 作DE ⊥OD ，交边AB 于点E ，连接OE ．记CD 的长为t ． （1） 当t ＝31时，求tan ∠EDB ；（2） 如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时∠EOA 的度数．（精确到1度）三、基础演练1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列式子中必定成立的是（ ）.A . c =asinAB . c =acosAC . c =cos a A D . c =sin aA2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .根据条件完成填空.c =10,∠A = 45°，则a = ,b = ，∠B = . a =5,b =15,则∠B = ，∠A = ，c = . c =3， sinA =63，则a = ,b = .3. 在Rt △ABC 中，∠A 的对边为a ，∠C ＝90°，cosA =25，a =12, 则斜边AB 上的中线长为 .4. 等腰△ABC 中，底边BC =20，sinC =35, 则AB = . 5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ,b , c .请根据已知条件解直角三角形.（角度精确到1°，长度精确到0.1）(1) ∠B =72°，c =14； （2）a = 26,b = 62； （3）sinB =45，a =126. 已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长和面积．7. 如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，BC =4，求△ABC 的面积.ABC8. 如图，大坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角B 为30°，背水坡AD 的坡度为1:1.2，坝顶宽DC =2.5m ，坝高4.5m .求：（1）迎水坡BC 的坡比；（2）坝底AB 的长.9. 为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰，便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处？（结果精确到个位．参考数据：2 1.43 1.7≈，≈）10.已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与y x 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，21tan =∠ABO ，OB =4，OE =2。
九年级奥数培优 解直角三角形
A 卷一、填空题1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是11， 则这个三角形的另两边之长分别是 和 。
2.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=6，CA 的平分线AD=则AB = 。
3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，BC=AC=A = ，外接圆的半径是 。
4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30°和60°，则梯形的周长是 厘米。
5.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC=2，cosB=35，则ABC S ∆= 。
6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐角度数分别是 度和 度。
7.若0°<α <90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的三角形ABC 的内切圆半径和外接圆半径这和等于 。
8.计算200120001(tan 60)(3tan 30)3= 。
9.已知tan α＝2，α为锐角，4cos 5sin 2cos 3sin αααα-=+ 。
10.如果等腰三角形ABC 中，底角是30°，面积为3，那么ABC ∆的周长是 。
二、解答题11.已知等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，点D 在直线BC 上，且BD = AB ，求∠ADB 的余切值。
12.如图，已知△ABC 中，∠C = 90°，E 、F 在AB 边上，AF=EF=EB ，且CF = sin α，CE ＝cos α，求斜边AB 的长。
B 卷一、填空题1.在△ABC 中，有一个角为60°，S ∆=20，则它的三边之长分别为 、 和 。
2.如图，在Rt △ABC 中，E 、D 分别是边AC 、BC 的中点，BE=AB =10，∠C =90°，则AD = 。
3.计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝ 。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十一讲 解直角三角形(含答案)
第十一讲 解直角三角形趣题引路】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220kmB 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。
（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ABCD E F图11-1解析 （1）作AD BC ⊥于点D ，（如图11-1）， °220,30111.2AD B AD AB km =∠=∴==，由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A 市会受这次台风影响；（2）在BD 及BD 的延长线上分别取E 、F 两点，使AE=AF=160km ，则当台风中心从到达E 点时起，直到离开F 点，该市都会受到这次台风的影响，),2).DE AE km EF DE km ===∴==∴)h =； （3）当台风中心位于D 时，A 市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为()11012 6.520-=级知识延伸】解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理.C图11-2如图11-2，在△ABC 中，AC=b ,AB=c ,BC=a .过A 作BC 上的高，长为ha ，则有sin ,ha B c =sin ,ha C b =于是有sin sin ,c B b C ⋅=⋅于是，得sin sin b cB C=，同理可得,sin sin a b A B =因此 ,sin sin sin a b cA B C==这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 111sin sin sin .222ABC S ab C ac B bc A ∆===在上图中，222cos cos ,cos ,BD AB B c B CD BC BD a c B AB BD AD =⋅=⋅=-=-⋅-= ()()222222,cos cos ,AC DC c c B b a c B =-∴-⋅=--⋅得2222cos b a c ac B =+-，同理可得2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.这就是余弦定理.运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形.例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD 中AD=CD,AB=7,tan 2,A B D =∠=∠=90°，求BC 的长.ABD CE图11-3解析 延长AB 与DC 交于点E ，∠D=90°，tan 2,DEA AD∴==得DE=2AD,CD AD = .EC DC AD ∴==∠BCE=180°-∠BCD=∠A ,tan 2.BEBCE BC∴∠== 设BC=x ，则BE=2x ，因而,又222,AE AD DE =+()))()222127772,1.33x x x BC ∴+=+==-=解得或舍去，故点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题.例2 在四边形ABCD 中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，36S =四边形ABCD ,求AD 的长.DC图11-4解析 如图11-4，连接AC ，则△ABC 为Rt △，于是AC=5,1136363430.sin 22ACD ABC S S AC CD ACD ∆∆∴=-=-⨯⨯=∴⋅⋅∠=30°， 即1512sin ACD 2⨯⨯⋅∠=30°，sin 1,ACD ACD ∴∠=∴∠=90°. ∴由勾股定理知13.AD ==点评：运用公式1sin 2ABC S ab C ∆=不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小好题引路】佳题新题品味.例1 如图11-5，河对岸有A 、B 两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB 平行的方向取相距40m 的C 、D 两点（点A 、B 、C 、D 在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A 、B 两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.）DBAC EF图11-5解析 作AE ⊥CD,BF ⊥CD,垂足分别为点E 、F ，∵AB ∥CD,∴四边形ABFE 为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°-∠ACB -∠BCD=180°-70°-65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=x m ， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot ∠ADE.又∵DE=x +40，∴x +40=x ·cot30°，解得x =20， ∴AE=EC=BF=20,在Rt △BFC 中，cot ∠BCF=CFBF,即CF=BF·cot ∠65°=（20）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=(20)+(20)cot ∠65°（m ）点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来.例2 如图11-6，E 是四边形ABCD 的DC 边上一点，CE=,AB=2,BC=1,∠D=90°, ∠B=60°,ABCE S =四边形（1）求AC 的长；（2）求∠ACD 的度数. ABCDEF图11-6解析 （1）过点A 作AF ⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin ∠B=2·sin60°BF=AB·cos ∠B=2·cos60°=1.∴CF=B C －BF=)11-在R t △ACF 中，由勾股定理，得(2)∵ABCE S 四边形=ABC ACE S S ∆∆+而11=,,22ABC ACE S AF BC S CE AD ∆∆⋅=⋅∴)11122+∴又sin ∠ACD=1,2AD AC == 故∠ACD=30°.点评：本题求AC 也可直接利用余弦定理：2222cos ,AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅直接求得.中考真题欣赏例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得.从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①测量数据尽可能少；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形（如果测A 、D 间距离，用m 表示；测D 、C 间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ、、等表示，测倾器高度不计）.(2)根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示）. 解析 (1)如图11-7，测三个数据：DC 间距离n ，∠HDM ()α,∠HCG ()β； (2)设HG=x .在Rt △CHG 中，CG=cot x β⋅,在Rt △DHM 中，DM=()cot x n α-⋅，∴cotxβ⋅=()cotx nα-⋅. ∴cot.cot cotnxααβ⋅=-点评：本题是一道较为开放的题目，方案很多，但要求抓住题目的要求：“尽可能少”四个字，否则影响得分.例2（南京市）如图11-8，∠POQ=90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC=30°，分别求点A、D到OP的距离.ABCDFGO图11-8解析过点A、D分别作AE⊥OP,DF⊥OP,DG⊥OQ,垂足分别为E、F、G.在正方形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°.∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°.在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2·33cm）∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO，∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°.在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2·33cm）在Rt△BOC中，OC=12BC=1（cm）. ∴3∴点A到OP3cm），点D到OP的距离为3点评：本题是一道正方形、矩形与解直角三角形相结合的试题，难度不大，关键是通过作辅助线合理构造直角三角形来解答.竞赛样题展示例1.（1999年全国联赛）如图11-9在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC,求tan ∠ABM.ABCDEFMN图11-9解析 延长BC 、MN 交于点E ，作EF ⊥BM 于F.设AB=a ,AM=()x x a <,则MD=a x -，.由正方形ABCD 及N 为DC 的中点，知∠MDN=∠NCE, ∠DNM=∠CNE,ND=CN,故MDN ECN ∆≅∆，可知CE=MD=a x -，BE=2a x -， 由∠NMB=∠MBC,知EB=EM.由EF ⊥BM 知∠FEB=90°-∠FBE=∠ABM,BF=12BM,且∠A=∠BFE.故△AB M ～△FEB .∴BM AMBE BF=,即22BM AM BE =⋅.∴()2222a x x a x +=-.即22340x ax a -+=∴11,.33x a AM AB ==即∴1tan .3AM ABM AB ∠== 点评：本题的解决充分利用了“∠NMB=∠MBC”这个条件来构建等腰三角形，利用等腰三角形的性质及相似三角形列方程求解，本题的解法很多，还可以过点N 作平行线来解决.例2（2000年全国竞赛）如图11-10，四边形EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹得锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角.已知EG=k ，FH=l ，四边形EFGH 的面积为S ，求证：sin θ=2S kl. ABCDEFGHMNO图11-10证明 过F 、H 分别作EG 的垂线，垂足分别为M 、N ，EG 和FH 的交点为O .∴sin θ=FM HNFO HO=,即FM=FO·sin θ;HN=HO·sin θ. ∴S=EFG EHG S S ∆∆+=()1111sin sin .2222EG FM EG HN EG FO HO GE FH θθ⋅+⋅=+=⋅∴22sin .S S EG FH klθ==⋅点评：准确使用锐角三角函数的定义是解答本题的关键.过关检测】A 级1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AC 上一点，且AD=BD=5,CD=3,则sinA=______.2.等腰三角形的面积为2，底角为α，则tan α=_______.3.在△ABC ，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，CD=1,已知AD 、BD 的长是关于x 的方程20x px q ++=的两个根，且tanA-tanB=2.则_____,_______.p q ==4.已知△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，D 是AC 上一点，且AD:DC=1:2,则tan ∠DBC=________,cos ∠DBC=________.5.如图11-11，在△ABC 中，AB=AC,腰上的高BD=2，底边上的高AE=4，求tanC 的值.ABCDE图11-11B 级1.如图11-12，在△ABC 中，AB=AC ,∠ABN=∠MBC,BM=NM,BN=a ，则点N 到BC 的距离是_______.MNCBAABCD图11-12 图11-132.如图11-13，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°,AD 平分∠CAB ，则_______.AB ACCD CD-=3. △ABC 中，15,17,(a b A θθ==∠=为定值）若满足上述条件的三角形的∠C 唯一存在，则tanC=_______.4.已知菱形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是_______.5.设P 、Q 为线段BC 上两定点，且BP=CQ ，A 为BC 外一动点，当点A 运动到使∠BAP =∠CAQ 时，△ABC 是什么三角形？试证明你的结论.。
培优-解直角三角形
培优--解直角三角形一、知识要点1、解直角三角形：在直角三角形中由已知元素___________________ 叫做解直角三角形。
4．解直角三角形的类型： 已知两边；；已知_______________________________。
5．解直角三角形依据 （1）三边关系：__________________。
（2）角关系：∠A+∠B ＝_____。
（3）边角关系：sinA=____，sinB=____，cosA=____．cosB=____，tanA=____ ，tanB=____。
二、巩固提高1、．（2015•福州模拟）△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．bcosB=cB ． c sinA=aC ．atanA=bD ． 2、（2014•浙江杭州）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）A ．3sin40°B ． 3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°3、（2014•黑龙江龙东）△ABC 中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，则△ABC 的面积为 .4、 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为 5、如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC =，则对角线AC 的长为 .6、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知下列条件解三角形（1）已知a=4，c=8， （2）已知b=10，∠B=60°7、如图所示，已知:在△ABC 中，∠A=600,∠B=450,AB=8.求△ABC 的面积。
CB A αa b cB A C8、（2014•重庆A ,第20题7分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC=14，AD=12，tan ∠BAD=，求sinC 的值．9. （2014•乐山，第21题10分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，∠B=30°，CE ⊥AB ，垂足为点E ．若AD=1，AB=2，求CE 的长．10 （2016·湖北襄阳）（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cosC=22，sinB=31，AD=1． （1）求BC 的长；（2）求tan ∠DAE 的值．11、. （2016·江苏常熟·一模）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长．。
专题03 7.5解直角三角形培优训练(解析版)九下数学专题培优训练
专题03 7.5解直角三角形培优训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+√55BD的最小值是()A. 2√5B. 4√5C. 5√3D. 10【答案】B【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M.由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=√55BD，推出CD+√55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠ABE=90°，∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=2√5或−2√5(舍弃)，∴BE=2a=4√5，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AC，∴CM=BE=4√5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55，∴DH=√55BD，∴CD+√55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CD+√55BD≥4√5，∴CD+√55BD的最小值为4√5．故选：B．2.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，则tan∠ACD的值为()A. √3B. √3+1C. √3−1D. 2√3【答案】B【解析】本题考查了锐角三角函数，解直角三角形，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，有一定难度．作AH⊥CB交CB的延长线于H，利用含45°的等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，解直角三角形，求出各边长，并证明AH//DC，推出∠ACD=∠CAH，由锐角三角函数定义即可解决问题．【解答】解：如图，△BCD是含45°的等腰直角三角形，△ABD是含30°角的直角三角形，∠ADB= 30°，作AH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABD=90°，∠DBC=45°，∴∠ABH=45°，∵∠AHB=90°，∴△ABH是等腰直角三角形，∴AH=BH，设AH=BH=a，则AB=√2a，BD=√6a，BC=CD=√3a，CH=a+√3a，∵∠AHB=∠DCB=90°，∴AH//DC，∴∠ACD=∠CAH，∴tan∠ACD=tan∠CAH=CHAH=√3+1，故选B．3.如图，在正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE连接AE，DE，连接BD交CE于点F，有下列结论：①∠AED=150∘；②△DEF∽△BAE；③DFFB =√33；④S△BEC:S△BFC=(√3+2):3.其中正确结论的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，相似三角形，全等三角形的判定及含30°的直角三角形的性质．①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和，周角求得判定即可②由①可得到∠ADE的度数，再利用正方形的性质即可得∠DEF=∠ABE，即可判定③可利用含30°的直角三角形的性质即可分别求出DFBF，再与tan∠ECD=tan30°作比较即可④两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可【解答】解：∵△BEC为等边三角形∴∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°，AB=EB=EC=BC=DC ∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠ECD=90°−60°=30°∴在△ABE和△DCE中，AB=DC∠ABE=∠ECDBE=EC∴△ABE≌△DCE(SAS)∴∠AEB=∠DEC=180°−30°2=75°∴∠AED=360°−60°−75°×2=150°故①正确由①知AE=ED∴∠EAD=∠EDA=15°∴∠EDF=45°−15°=30°∴∠EDF=∠ABE由①知∠AEB=∠DEC，∴△DEF～△BAE故②正确过点F作FM⊥DC交于M，如图设DM=x，则FM=x，DF=√2x∵∠FCD=30°∴MC=√3x则在Rt△DBC中，BD=√2⋅(√3+1)x∴BF=BD−DF=√2⋅(√3+1)x−√2x则DFBF =√2x√2(√3+1−1)x=√33故③正确如图过点E作EH⊥BC交于H，过F作FG⊥BC交于G，得由③知MC=√3x，MC=FG∴FG=√3x∵BC=DC=(√3+1)x∴BH=√3+12x∵∠EBC=60°∴EH=√3⋅√3+12x，∴S△BECS△BFC =12⋅EH⋅BC12⋅FG⋅BC=EHFG=√3⋅√3+12x√3x=√3+12故④错误，所以正确的有3个．故选：B．4.在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是()A. 2B. 12C. 23D. √55【答案】B【解析】如图，取格点K，连接AK，BK.观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，推出∠AED=∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．观察图象可知AK⊥BK，BK=2AK，BK//CD，∴∠AED=∠ABK，∴tan∠AED=tan∠ABK=AKBK =12，故选：B．5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=13，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为()A. 4√2B. 4C. 7D. 3√2【答案】C【解析】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．连接AE，根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形的性质求出CD，根据面积公式出去AE，根据翻转变换的性质求出AF，根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：连接AE交CD于点F，∵AC=3，cos∠CAB=13，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=6√2，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=12AB=92，S△ABC=12×3×6√2=9√2，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=12S△ABC=9√22，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9√2，AE⊥CD，×CD×AE=9√2，则12解得，AE=4√2，∴AF=2√2，，由勾股定理得，DF=√AD2−AF2=72∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选C．6.在长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A、B、C、D四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是()A. √29B. 5.5C. √181D. 3√52【答案】A【解析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、解直角三角形以及同角三角函数的关系．设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步利用同角三角函数的关系，求得结论即可．【解答】解：如图，作EF平行于长方形的长，GH平行于长方形的宽，交于O，设正方形边长为x，EF与OD边成的角为θ，则GH与OA、OC边成的角为θ，AB与AJ边成的角为θ，在Rt△AOH、Rt△COG中，GH=OG+OH=xcosθ+2xcosθ=3xcosθ=15，同理得出EF=EO+HA+AJ=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=3xcosθ+2xsinθ=19②解①得xcosθ=5将xcosθ=5代入②解②得xsinθ=2，两边平方相加得x2=29，所以正方形的边长x=√29．故选A．二、填空题7.如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=12BD，连接AC，若tanB=53，则tan∠CAD的值______．【答案】15【解析】延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CE AB =DE AD =CD BD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =EC AE =15． 本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．【解答】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即AD AB =53， ∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ，∴△CDE∽△BDA ，∴CE AB =DE AD =CD BD =12，∴CE =32x ，DE =52x ， ∴AE =152x ，∴tan∠CAD =EC AE =15， 故答案为15．8. 已知在菱形ABCD 中，∠A =60°，DE//BF ，sinE =45，DE =6，EF =BF =5，则菱形ABCD 的边长=______．【答案】4√5【解析】连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD ，判断△ABD 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD 的长．本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．【解答】解：连接BD ，过B 作BG//EF 交DE 的延长线于G ，∵∠DEF =∠F ，∴EG//BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∵EF =BF ，∴四边形BFEG 是菱形，∴EG =BG =EF =BF =5，∴DG =6+5=11，∵EF//BG ，∴∠G =∠DEF ，过D 作DH ⊥GB 交GB 的延长线于H ，∴∠DHG =90°，∵sin∠DEF =sinG =DH DG =45， ∴DH =445， ∴GH =335，∴BH =GH −BG =85，∴BD =√BH 2+DH 2=√(85)2+(445)2=4√5，∵在菱形ABCD 中，∠A =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AB =BD =4√5，故答案为：4√5．9. 如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标为(2,√5)，底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得到△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标为________【答案】(203,4√5 3)【解析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，根据点A的坐标求出OC、AC，再利用勾股定理列式计算求出OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出OB，根据旋转的性质可得BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出O′D、BD，再求出OD，然后写出点O′的坐标即可．【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于C，过点O′作O′D⊥A′B于D，∵A(2,√5)，∴OC=2，AC=√5，由勾股定理得，OA=√OC2+AC2=√22+(√5)2=3，∵△AOB为等腰三角形，OB是底边，∴OB=2OC=2×2=4，由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO，∴O′D=4×√53=4√53，BD=4×23=83，∴OD=OB+BD=4+83=203，∴点O′的坐标为(203,4√53)，故答案为(203,4√5 3).10.三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD的长度是______．【答案】15−5√3【解析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10√3，∵AB//CF，=5√3，∴BM=BC×sin30°=10√3×12CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5√3，∴CD=CM−MD=15−5√3．故答案是：15−5√3．11.如下图，正方形ABCD中，AB=3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正CD连接GH，则GH的最小值为________．方形DEFG，点H是CD上一点，且DH=23【答案】√22【解析】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和三角形中位线定理解答.连接CG.证明△ADE≌△CDG(SAS)，推出∠DCG=∠DAE=45°，推出点G的运动轨迹是射线CG，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小．【解答】解：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，四边形DECG是正方形，∴DA=DC=AB=3，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90∘，∠DAC=45∘，∴∠ADE=∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAE=45∘，∴点G的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当GH⊥CG时，GH的值最小，∵DH=23CD=2，∴CH=CD−DH=3−2=1，∴最小值=CH⋅sin45∘=1×√22=√22．故答案为：√2．212.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，，则点F的坐标是_________．【答案】(8,12)【解析】本题考查坐标与图形性质，解直角三角形，勾股定理的运用，过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，易得∠AEF=∠HFG=∠FGO，然后利用勾股定理和解直角三角形分别求出AF和HG的长即可．【解答】解：过点F作直线FA//OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥AH于点H，∴∠FGO=∠HFG，∠EAF=90°，∠AOG=90°=∠AHG，∴四边形AOGH为矩形，∴OG=AH=17，∵∠EFG=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°，∠HFG+∠AFE=90°，∴∠AEF=∠HFG=∠FGO，=6，在Rt△AEF中，EF=10，则AE=10·cos∠FEA=10×35∴AF=√EF2−AE2=8，FH=AH−AF=17−8=9，在Rt△FGH中，FG=FHcos∠HFG=935=15，∴HG=√FG2−FH2=12，∴点F的坐标为(8,12)．故答案为(8,12)．三、解答题13.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE=√34，5BF−5AD=4．(I)求AE的长；(2)求cos∠CAG的值及CG的长．【解析】(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H.首先证明四边形AEHO是矩形，利用勾股定理求出CH，OH即可．(2)利用勾股定理求出CF，利用相似三角形的性质求出FG，证明∠CAG=∠CTG，求出cos∠CTG即可解决问题．本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．【答案】解：(1)延长CO交⊙O于T，过点E作EH⊥CT于H．∵直线l是⊙O的切线，∴AE⊥OD，∵OC⊥AB，∴∠EAO=∠AOH=∠EHO=90°，∴四边形AEHO是矩形，∴EH=OA=3，AE=OH，∵CH=√EC2−EH2=√(√34)2−32=5，∴AE=OH=CH−CO=5−3=2．(2)∵AE//OC，∴AE OC =AD DO =23，∴AD =25OA =65， ∵5BF −5AD =4，∴BF =2，∴OF =OB −BF =1，AF =AO +OF =4，CF =√OC 2+OF 2=√32+12=√10， ∵∠FAC =∠FGB ，∠AFC =∠GFB ，∴△AFC∽△GFB ，∴AF FG =CF BF ，∴4FG =√102， ∴FG =4√105， ∴CG =FG +CF =9√105，∵CT 是直径，∴∠CGT =90°， ∴GT =√TC 2−CG 2=(9√105)=3√105， ∴cos∠CTG =TG TC =3√1056=√1010， ∵∠CAG =∠CTG ，∴cos∠CAG =√1010．14. 在矩形ABCD 中，AB =8，点H 是直线AB 边上的一个点，连接DH 交直线CB 的干点E ，交直线AC 于点F ，连接BF ．(1)如图①，点H 在AB 边上，若四边形ABCD 是正方形，求证：△ADF≌△ABF ；(2)在(1)的条件下，若△BHF 为等腰三角形，求HF 的长；(3)如图②，若tan∠ADH =43，是否存在点H ，使得△BHF 为等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可．(2)想办法证明∠ADH=30°，求出AH即可解决问题．(3)如图②中，可以假设AH=4k，AD=3k，DH=5k，因为△BHF是等腰三角形，∠BHF 是钝角，推出HF=BH，设BH=HF=x，构建方程组解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．【答案】(1)证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠FAB=∠FAD=45°，∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF(SAS)．(2)解：如图①中，∵∠BHF>∠HAD，∴∠BHF是钝角，∵△BHF是等腰三角形，∴BH=FH，∴∠HBF=∠BFH，∵△ADF≌△ABF，∴∠ADF=∠ABF，∵∠AHD =∠HBF +∠BFH ，∴∠AHD =2∠ADH ，∵∠AHD +∠ADH =90°，∴∠ADH =30°，∴AH =AD ⋅tan30°=8√33， ∴BH =HF =8−8√33．(3)解：如图②中，存在．理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =8，AB//CD ，∠DAH =90°，∵tan∠ADH =AHAD =43， ∴可以假设AH =4k ，AD =3k ，则DH =5k ，∵△BHF 是等腰三角形，∠BHF 是钝角，∴HF =BH ，设BH =HF =x ，∵AH//CD ，∴AH CD =HF DF ， ∴4k8=x 5k−x①， ∵AH +BH =8，∴4k +x =8 ②，由①②可得，x =83或403(舍弃)，∴存在，该三角形的腰长为83．15. 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图：①分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点P 、Q ；②作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．(1)小明所求作的直线DE是线段AB的______；(2)联结AD，AD=7，sin∠DAC=17，BC=9，求AC的长．【答案】(1)线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD=7∴CD=BC−BD=2，在Rt△ADF中，∵sin∠DAC=DFAD =17，∴DF=1，在Rt△ADF中，AF=√72−12=4√3，在Rt△CDF中，CF=√22−12=√3，∴AC=AF+CF=4√3+√3=5√3．【解析】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了解直角三角形．【解答】】(1)利用基本作法进行判断；(2)过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD=7，则CD=2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．解：(1)小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线(或中垂线)；故答案为线段AB的垂直平分线(或中垂线)；(2)见答案．16.如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=16，点E在AB边上，与点A、B不重合，过点D作DE的垂线与BC的延长线相交于点F，连结EF，交CD于点G．(Ⅰ)当G为EF的中点时，求AE的长；(Ⅱ)当△DEG是以DE为腰的等腰三角形时，求tan∠ADE．【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形等知识，解决本题的关键是综合运用以上知识．(Ⅰ)根据∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCF=90°证明△DAE∽△DCF，对应边成比例，再根据三角形中位线定理即可求解；(Ⅱ)①当DE=DG时，先证明△EDF≌△EBF得DE=BE，再根据勾股定理求得AE的长，即可求得结果；②当ED=EG时，证明△DAE∽△FBE得DAFB =AEBE，求得AE的长，即可求得结果．【答案】解：(Ⅰ)∵DF⊥DE ∴∠EDG+∠CDF=90°又∵∠EDG+∠ADE=90°∴∠ADE=∠CDF又∵∠A=∠DCF=90°∴△DAE∽△DCF∴ADCD =AECF∴CF=16×AE8=2AE又∵CD//AB，点G为EF的中点∴点C为BF的中点∴CF=BC=8∴2AE=8∴AE=4(Ⅱ)①当DE=DG时，则∠DEG=∠DGE 又∵CD//AB，∴∠DGE=∠BEG∴∠DEG=∠BEG又∵∠EDF=∠EBF=90°EF=EF∴△EDF≌△EBF(AAS)∴DE=BE设AE=x，则BE=16−x，在Rt△DAE中，AD2+AE2=DE2∴82+x2=(16−x)2解得x=6，即AE=6∴tan∠ADE=AEAD =68=34②当ED=EG时，则∠EDG=∠EGD 又∵CD//AB∴∠EGD=∠BEG，∠EDG=∠AED ∴∠AED=∠BEG又∠A=∠B=90°∴△DAE∽△FBE∴DAFB =AEBE由(I)得：CF=2AE设AE=x，则CF=2x，BE=16−x，BF=8+2x，∴88+2x =x16−x解得：x1=4√5−4，x2=−4√5−4(舍去)∴AE=4√5−4∴tan∠ADE=AEAD =4√5−48=√5−12综上所述：tan∠ADE=34或tan∠ADE=√5−12．17.在△ABC中，∠ACB=90°．(1)如图①，若点E在AC的延长线上，ED⊥AB，垂足为D，MN//AB分别交AE、BE于点M、N.且BC=MN，cos∠ABC=35，AD=8，求AM的长；(2)如图②，若将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△AEF，连接FC并延长交BE于点M，若CFBM =43，求tan∠ABC．【解析】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．(1)设BC=3x，AB=5x，根据勾股定理可求AC=4x，根据锐角三角函数可求AE=10，由题意可证△EMN∽△EAB，可得EMEA =MNAB，可求EM=6，即可求AM的长；(2)根据旋转的性质可得AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB，∠ACB=∠AFE=90°，即可得∠FAC=∠EAB，∠EFM=∠G=∠BCG，可得BC=BG=EF，根据“AAS”可证△EFM≌△BGM，可得BM=EM，通过证明△FAC∽△EAB，可得ACAB=CF BE =4a6a=23，设AC=2b，AB=3b，根据勾股定理求出AC，即可求tan∠ABC的值．【答案】解：(1)∵cos∠ABC=35=BCAB，∴设BC=3x，AB=5x.在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=4x．∵tan∠CAB=BCAC =DEAD=3x4x=34，∴DE=34AD，且AD=8，∴DE=6.在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=10．∵MN=BC，∴MN=3x．∵MN//AB，∴△EMN∽△EAB，∴EMEA =MNAB，∴EM10=3x5x，∴EM=6，∴AM=AE−ME=4．(2)过点B作BG//EF，交FM延长线于点G．∵CFBM =43，∴设CF=4a，BM=3a．∵将△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角，得到△AEF，∴AF=AC，EF=BC，AE=AB，∠FAE=∠CAB．∵AF=AC，∴∠AFC=∠ACF.∵∠ACB=∠AFE=90°，∴∠AFC+∠EFM=90°，∠ACF+∠BCG=90°，∴∠BCG=∠EFM．∵EF//BG，∴∠EFM=∠G，∴∠BCG=∠G，∴BC=BG，∴BG=EF，且∠EFM=∠G，∠FME=∠BMG，∴△EFM≌△BGM，∴EM=BM=3a，∴BE=6a．∵∠FAE=∠CAB，∴∠FAC=∠EAB，且AFAE =ACAB，∴△FAC∽△EAB，∴ACAB =CFBE=4a6a=23，∴设AC=2b，AB=3b.在Rt△ACB中，BC=√AB2−BC2=√5b，∴tan∠ABC=ACBC =2√55．。
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解直角三角形
1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔ﻩﻩ
顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.ﻩﻩ
ﻩ
A． B.51 C.D．１01
2．（2０15•浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）ﻩﻩ
A.逐渐变小ﻩ
B.逐渐变大
C.时大时小ﻩ
D.保持不变
3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）ﻩ
ﻩ
(3题) (4题)
A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米ﻩD．（1１﹣4)米
4．（2０1５•山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角ﻩＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎﻩCA Ｄ的值（ ）ﻩﻩﻩ
A.ﻩ Ｂ.ﻩ C ．ﻩﻩD ．
5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（ ）
ﻩﻩ
(6题)
Ａ.３4米ﻩB.ﻩ38米ﻩC ． 45米ﻩD ．ﻩ5０米
6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆
顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( )
ﻩﻩ A ．５米 Ｂ.６米 C . ８米 D .
米ﻩ
二.填空题ﻩ 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎﻩBAC =,则对角线AC 的长为 . ﻩ
(１题） (2题) (3题） （5题)
2.如图,在等边ﻩＡBＣ内有一点D,AＤ=5，BＤ＝6，CD=4，将ﻩＡBＤ绕A点逆时针旋转,使AB与ＡC重合，点D旋转至点E,则ﻩＣDE的正切值为．ﻩﻩ
3.（2015•广东广州,第15题３分)如图，ﻩABC中,ＤＥ是BC的垂直平分线,DE交AC于点E，连接BE.若BE＝9，ＢC=12，则ｃosC= .ﻩ
4．在ﻩABC中，ﻩB＝30°,AB=１2,ＡC=6,则BC=.
5．(2015•山东东营，第1４题３分)4月26日,2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道Ａ处的俯角为，B处的俯角为.如果此时直升机镜头C处的高度ＣD为２00米，点Ａ、D、Ｂ在同一直线上,则AB两点的距离是米．ﻩ
6.（20１5湖北荆州第15题3分)15．如图，小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A 的仰角为3０°,然后向山脚直行１00米到达C处，再测得山顶A的仰角为4５°,那么山高A Ｄ为米(结果保留整数，测角仪忽略不计，≈１．414,,1.73２)ﻩ
(6题)（7题）
7．(201５•浙江宁波，第１6题4分)如图,在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的Ｃ处测得旗杆底端B的俯角为4５°,测得旗杆顶端A的仰角为3０°,
若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆ＡB的高度是m（结果保留根号）
三解答题
1．如图,热气球的探测器显示,从热气球Ａ处看一栋高楼顶部B的仰角
为30°,看这栋高楼底部C的俯角为65°,热气球与高楼的水平距离ＡD为
1２0m.求这栋高楼的高度.（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示
即可)
2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆ＡB的高度,如图,老师测得升旗台前斜坡FＣ的坡比为ｉFC＝１：10（即EF:CＥ=1:10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即ＣE＝３5m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知taｎα=,升旗台高AF ＝１ｍ,小明身高CD=1.6m,请帮小明计算出旗杆AB的高度．ﻩﻩﻩ
3．(2015·河南,第20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BＣ的高度，他们在斜坡上Ｄ出测得大树顶端B的仰角是48°. 若坡角ﻩFAE＝30°,求大树的高度. (结果保留整数,参考数据:siｎ4８°≈０.７4，coｓ48°≈0.67，tan48°≈１.11，3≈１.73)ﻩ
4. 如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午９:0０观测到某渔船在观测点A的西南方向上的Ｂ处跟踪鱼群由南向北匀速航行。
当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西6０°方向上的Ｃ处。
若该渔船的速度为每小时3０海里，在此航行过程中，问该渔船从Ｂ处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(
ﻩ
ﻩﻩ
ﻩﻩ
5．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶Ｅ点恰好看到塔的底部D点,且俯角α为45°.从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=6米,求塔CD的高度.（结果保留根号)ﻩ
F
D
第20
30°
48°
E A C
B
60°
北
B
C
A。