江苏省无锡市2021年九年级上学期数学期末考试试卷(I)卷
江苏省无锡市2021年九年级上学期数学期末考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）请判别下列哪个方程是一元二次方程（）
A . x+2y=1
B . x2+5=0
C . 2x+=8
D . 3x+8=6x+2
2. （2分） (2019九下·无锡期中) 若圆锥的主视图是边长为的等边三角形，则该圆锥俯视图的面积是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）如图所示的两个三角形相似，则α与β的度数分别为（）
A . α=30°，β=30°
B . α=105°，β=30°
C . α=30°，β=105°
D . α=105°，β=45°
4. （2分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6cm， cosB＝，则BC等于（）
A . 1cm
B . 2cm
C . 3cm
D . 6cm
5. （2分）若菱形两条对角线的长分别为12cm和16cm，则这个菱形的周长为（）
A . 10cm
B . 20cm
C . 28cm
D . 40cm
6. （2分）为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据，则该坡道倾斜角α的正切值是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2019九上·柳江月考) 一元二次方程x2=4的根情况是（）
A . 有两个不相等的实数根
B . 有两个相等的实数根
C . 只有一个实数根
D . 没有实数根
8. （2分）反比例函数的图像经过点（1,－2），则此函数的解析式是（）
A . y=2x
B . y=-
C . y=-
D . y=x
9. （2分） (2018八上·湖州期中) 下列句子中，属于命题的是（）
A . 直线AB和CD垂直吗
B . 作线段AB的垂直平分线
C . 同位角相等，两直线平行
D . 画∠
10. （2分）(2017·马龙模拟) 函数y=kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （2分）(2017·苍溪模拟) 已知x1和x2分别为方程x2+x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2=________；x1•x2=________．
12. （1分）(2017·姑苏模拟) 在开展“国学诵读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间为8小时的人数是________．
13. （1分）(2018·苏州模拟) 如图，已知是线段的黄金分割点，且 .若表示以
为一边的正方形的面积，表示长是、宽是的矩形的面积，则 ________ .(填“>”“＝”或“<”)
14. （1分）(2017·西湖模拟) 已知三个边长分别为2、3、5的正方形如图排列，则图中阴影部分面积为________．
15. （1分）某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为________
16. （1分） (2016九上·海原期中) 依次连接菱形各边中点所得到的四边形是________．
三、解答题 (共9题；共84分)
17. （10分） (2020九上·大丰期末) 解方程：
（1）
（2）
18. （5分）(2014·深圳) 计算：﹣2tan60°+（﹣1）0﹣（）﹣1 ．
19. （10分）在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm和15cm．
（1）求它们的面积比；
（2）若在地图上量得甲的面积为16cm2，则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？
20. （5分）已知，如图，AB、DE是直立在地面上的两根立柱，AB=12m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=4m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长6m，请你计算DE的长．
21. （15分）(2017·银川模拟) 某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：
代号情况分类家庭数
A带孩子玩且关心其作业完成情况8
B只关心其作业完成情况m
C只带孩子玩4
D既不带孩子玩也不关心其作业完成情况n
（1）求m，n的值；
（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在B、C、D类家庭中抽取家长组成培训班，其比例为B类20%，C、D类各取60%，请你估计该培训班的家庭数；
（3）若在C类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出C类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．
22. （4分）(2017·定远模拟) 如图①，把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形，将此基本图形不断的复制并平移，使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中心重合，这样得到图②，图③，…
（1）观察图形并完成表格：
图形名称基本图形的个数菱形的个数
图①11
图②23
图③37
图④4________
………
猜想：在图n中，菱形的个数为________ [用含有n（n≥3）的代数式表示]；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（x1，1），则x1=________；第2017个基本图形的中心O2017的坐标为________
23. （15分）(2017·滨海模拟) 如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B（b，1）两点．
（1）
求反比例函数的表达式；
（2）
在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）
求△PAB的面积．
24. （5分）四边形ABCD中,点E是AB的中点,F是AD边上的动点．连结DE、CF．
（1）若四边形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如图（1）所示．
①请直接写出AE的长度;
②当DE⊥CF时,试求出CF长度．
（2）如图（2）,若四边形ABCD是平行四边形,DE与CF相交于点P．
探究：当∠B与∠EPC满足什么关系时,成立？并证明你的结论．
25. （15分） (2019九上·大田期中) 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ ，将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN ，延长QN交直线CD于点M ．
（1）求证：MC＝MQ
（2）当BQ＝1时，求DM的长；
（3）过点D作DE⊥CQ，垂足为点E，直线QN与直线DE交于点F，且，求BQ的长．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共9题；共84分)
17-1、
17-2、18-1、19-1、
19-2、20-1、
21-1、
21-2、
21-3、
22-1、
22-2、
23-1、
23-2、23-3、
24-1、
25-1、25-2、。
2021-2022学年江苏省无锡市初三数学第一学期期末试卷及解析
2021-2022学年江苏省无锡市初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．2x+y＝2 B．2x3﹣x＝0 C．x+＝7 D．2x﹣x2＝72．（3分）已知⊙O的半径为4，OA＝5，则点A在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定3．（3分）若a是从“﹣1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a﹣1）x2+x﹣3＝0为一元二次方程的概率是（）A．1 B．C．D．4．（3分）一组样本数据为1、2、3、3、6，下列说法错误的是（）A．平均数是3 B．中位数是3 C．方差是3 D．众数是35．（3分）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，若平均每次降价的百分率为x（）A．60（1+x）＝48.6 B．60（1﹣x）＝48.6C．60（1+x）2＝48.6 D．60（1﹣x）2＝48.66．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，则∠B的度数为（）A．140°B．100°C．80°D．40°7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（）A．（0，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB＝12，CD＝6（）A．18πB．12πC．6πD．3π9．（3分）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b，a※b＝a2b，则方程（x+1）※2＝（3⊕x）（）A．x1＝，x2＝﹣2 B．x1＝﹣1，x2＝C．x1＝﹣，x2＝2 D．x1＝1，x2＝﹣10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P；②CP存在最大值为3+3；③BP存在最小值为3；④点P运动的路径长为π．其中（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0，另一个根不为0：．12．用配方法将方程x2+4x＝0化成（x+m）2＝n的形式：．13．如图，转盘中6个扇形的面积都相等．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，以BC边所在的直线为轴．15．某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下：测试项目采访写作计算机操作创意设计测试成绩（分）82 85 80 如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按5：2：3计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是分．16．一个直角三角形的斜边长cm，两条直角边长的和是6cm cm，直角三角形的面积是cm2．17．古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法．以方程x2+3x＝20为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的矩形加中间小正方形组成，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积为，方程x2+3x＝20可化为．18．将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，点G的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）x2+x﹣3＝0．20．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+4（m﹣2）＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．21．（8分）小明每天骑自行车．上学，都要通过安装有红、绿灯的4个十字路口．假设每个路口红灯和绿灯亮的时间相同．（1）小明从家到学校，求通过前2个十字路口时都是绿灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）（2）小明从家到学校，通过这4个十字路口时至少有2个绿灯的概率为．（请直接写出答案）22．（8分）如图，正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为r23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京和张家口举行．为迎接本次冬奥会，某校组织初一年级学生开展“迎冬奥”知识竞赛活动（满分为50分）．从竞赛成绩中随机抽取了20名男生和20名女生的成绩（单位：分）（成绩用x表示，共分成四个等级：A：47＜x≤50，B：44＜x≤47，C：41＜x≤44，D：x≤41），下面是这40名学生成绩的信息：20名男生的成绩：50，46，50，46，49，46，49，46，43，47，40，44，43，44．20名女生中成绩为B等级的数据是：45，46，46，47，46所抽取学生的竞赛成绩统计表性别平均数中位数众数男46 46 46女46.5 b48 根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝．（2）该校初一年级共有400名男生参与此次竞赛，估计其中等级为A的男生约有多少人？24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AN、AC是⊙O的弦，AN、PC的延长线相交于点M，且AM⊥PM （1）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的长．25．（8分）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作△ABC的内切圆⊙O．（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AC＝3，则△ABC内切圆的半径为．（如需画草图，请使用图2）26．（10分）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，超过5本以上的部分可以打折．（1）该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；（2）如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），且∠ABO＝30°，C为线段OB上一点，连接OD，∠COD＝∠OAD．（1）求∠BAD的度数；（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．28．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°；同时，点F从B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动（点E在AB上）．当其中一点到达终点时，另一点也同时停止移动．设移动时间为t（s）（其中t≠0）．（1）当t为何值时，四边形DEFC的面积为18cm²？（2）是否存在某个时刻t，使得DF＝BE，若存在，若不存在，请说明理由．（3）点E是否可能在以DF为直径的圆上？若能，求出此时t的值，若不能参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1．【解答】解：A．是二元一次方程；B．未知数的最高次数是3，故本选项不符合题意；C．是分式方程；D．是一元二次方程；故选：D．2．【解答】解：∵⊙O的半径为4，OA＝5，∴OA＞半径，∴点A在⊙O外．故选：C．3．【解答】解：当a﹣1≠0，即a≠7时2+x﹣3＝7是一元二次方程，∴在“﹣1、0、7、2”这四个数中有3个数使方程（a﹣2）x2+x﹣3＝2是一元二次方程，∴恰好使方程（a﹣1）x2+x﹣5＝0是一元二次方程的概率是：．故选：B．4．【解答】解：这组数据的平均数为＝3，众数为3，方差为×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+2×（4﹣3）2+（8﹣3）2]＝6.8，故选：C．5．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：60（1﹣x）2＝48.6，故选：D．6．【解答】解：设∠A的度数为2x，则∠B、7x，由题意得：5x+7x＝180°，解得：x＝20°，则∠B＝4x＝80°，故选：C．7．【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．故选：D．8．【解答】解：连接OC、OD，∵AB是⊙O的直径，AB＝12，∴OA＝OB＝6，∴OC＝OD＝6，∵CD＝7，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∵AB∥CD，∴S△OCD＝S△BCD，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝3π，故选：C．9．【解答】解：原方程变形为：2（x+1）4＝2×3+x﹣3，整理得：2x2+6x﹣2＝0，因式分解，得（5x+1）（x﹣2）＝5，解得：x1＝﹣，x2＝2，故选：A．10．【解答】解：设AB与CP交于G，如图2所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6、E分别是AB，∴AD＝AE＝8，∠DAE＝90°，∴∠DAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAC，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），故①正确；∴∠DBA＝∠ECA，∵∠ECA+∠AGC＝90°，∠AGC＝∠BGP，∴∠DBA+∠BGP＝90°，∴∠BPC＝90°，∴BP＝BC•sin∠BCP，∴当∠BCP最小时，BP最小，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，在Rt△BCP中，斜边BC一定，CP最大，∵当∠BCP最小时，BP最小，∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，如图3所示：在Rt△AEC中，AE＝4，∴EC＝＝＝3，∵AE＝AD，∠EAC＝90°﹣∠BAE＝∠DAB，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD＝EC＝4，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴四边形ADPE是正方形，∴PD＝PE＝AE＝3，∴BP＝BD﹣PD＝8﹣3，∴CP存在最大值为3+3，BP存在最小值为3，故②正确；取BC的中点为O，连接OA，∵∠BAC＝∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的圆上运动，OA＝OP＝OB＝OC＝AB＝＝3，如图4，当AE⊥CP时＝＝，∴∠ACE＝30°，∴∠CAE＝60°，∠AOP＝7∠ACE＝60°，∵将△ADE绕点A顺时针旋转60°，∴点P在以点O为圆心，OA长为半径的圆上运动的轨迹为，∴点P运动的路径长为：＝π，故④正确；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．【解答】解：设方程另一个根为1，因为0+4＝1，0×2＝0，所以根为0和3的一元二次方程可为x2﹣x＝0．故答案为：x2﹣x＝0．12．【解答】解：把方程x2﹣4x＝2两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+8＝4，配方得（x﹣2）8＝4．故答案为：（x+2）4＝4．13．【解答】解：指针指向的可能情况有6种，而其中“指针所落扇形中的数为3的倍数”有8种，所以，事件“指针所落扇形中的数为3的倍数”发生的概率为＝．故答案为：．14．【解答】解：由已知得，母线长l＝13，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝13×5×π＝65π．故答案为：65πcm2．15．【解答】解：该应聘者的素质测试平均成绩是＝82（分），故答案为：82．16．【解答】解：∵直角三角形的斜边长cm，∴这个直角三角形外接圆的半径为×＝（cm），∵两条直角边长的和是6cm，∴两条直角边的乘积为＝8（cm），∴直角三角形的面积是4cm6．故答案为：，4．17．【解答】解：根据题意可知：每个矩形的面积为x（x+3）＝20，中间小正方形的边长为x+3﹣x＝3，∴中间小正方形的面积为3×3＝3，∴正方形ABCD的面积为20×4+9＝89．又∵正方形ABCD的边长为x+x+6＝2x+3，∴正方形ABCD的面积为（3x+3）2．∴方程x5+3x＝20可化为（2x+5）2＝89．故答案为：89；（2x+8）2＝89．18．【解答】解：如图，设G（m，∵点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，∴A′（7﹣m，m+3），∵OA′＝2，∴（4﹣m）2+（3+m）4＝22，解得，m＝﹣2±，∴G（﹣3+，0）或（﹣3﹣．故答案为：或．三、解答题（本大题共10小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：∵（x﹣1）2﹣3＝0，∴（x﹣1）2＝4，则x﹣1＝4或x﹣1＝﹣2，解得x6＝3，x2＝﹣2；（2）∵a＝1，b＝1，∴Δ＝52﹣4×7×（﹣3）＝13＞0，则x＝＝，即，．20．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣16（m﹣5）＝m2﹣12m+36＝（m﹣6）5≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝（m﹣6）7＝0，解得m＝6，此时方程为x3﹣8x+16＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x4＝x2＝4．21．【解答】解：（1）根据题意画图如下：∵共有4种等可能情形，满足条件的有1种，∴通过前3个十字路口时都是绿灯的概率．（2）根据题意画图如下：∵共有16种等可能情形，满足条件的有11种，∴通过这6个十字路口时至少有2个绿灯的概率为．故答案为：．22．【解答】解：如图所示：连接OB、OC，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∴OD＝OB＝r，∴BD＝＝r，∴BC＝4BD＝r，即正三角形ABC边长为r．∴正三角形ABC周长为．∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××BC×OD＝2××r＝．∴正三角形ABC面积为．23．【解答】解：（1）女生成绩在B组所占的百分比为7÷20×100%＝35%，所以女生成绩在C组所占的百分比为1﹣35%﹣45%﹣10%＝10%，即a＝10；女生成绩在A组的有20×45%＝8（人），将这20名女生的成绩从小到大排列、11位的两个数都是47，即c＝47；答：a＝10，b＝47；（2）解：由题意得，．答：该校初一年级男生竞赛成绩等级为A的约有140人．24．【解答】解：（1）直线PC与⊙O相切．理由：连结OC，则OA＝OC，∴∠P AC＝∠ACO．∵∠PCB＝∠P AC，∴∠PCB＝∠ACO．∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC．∵OC为半径，∴直线PC与⊙O相切．（2）∵∠P＝30°，∠OCP＝90°，∴∠COP＝60°．∵AB＝10，∴AN＝5，∴．∴．25．【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；（2）连接OC，过O点分别作AB、BC的垂线、E、F，如图2，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴OD＝OE＝OF＝r，OC平分∠ACB，∵AC＝BC，∴CO⊥AB，∴点C、O、D共线，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△ACD中，CD＝＝，∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC，∴×4×r+×6×r＝，解得r＝，即△ABC内切圆的半径为．故答案为．26．【解答】解：（1）∵50×10＝500（元），500＜600，∴读书兴趣小组购买书籍的数量超过10本．设读书兴趣小组购买书籍x本，则每本的售价为50﹣2（x﹣10）＝（70﹣2x）元，依题意得：（70﹣4x）x＝600，整理得：x2﹣35x+300＝0，解得：x5＝15，x2＝20．当x＝15时，70﹣2x＝70﹣4×15＝40＞35；当x＝20时，70﹣2x＝70﹣2×20＝30＜35，舍去．答：读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本．（2）设书店给出的优惠方案二中超过5本以上的部分打y折销售，依题意得：50×5+（15﹣5）×50×＜600，解得：y＜8．答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．27．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝60°，∵＝，∴∠COD＝∠BAD，∵∠COD＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD＝，即∠BAD的度数为30°；（2）如图，存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，∵∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，∴∠PBC＝90°﹣∠ABO＝90°﹣30°＝60°，由（1）得，∠OAC＝30°，∴∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∴∠PCB＝∠ACO＝60°，∴△PBC是等边三角形，∵A（8，3），∴OA＝3，∴OC＝OA•tan∠OAC＝4×＝，在Rt△AOB中，OA＝3，∴OB＝OA•tan60°＝3，∴BC＝OB﹣OC＝3﹣＝2，作PQ⊥BC于Q，∴CQ＝BC＝，∴PQ＝CQ•tan∠PCB＝×＝3，∴OQ＝OC+CQ＝7，∴P（3，﹣4）．即：存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，﹣2）．28．【解答】解：（1）由题意得：DE＝AD＝t，CD＝10﹣t，CF＝4﹣2t，∵DE∥BC，∴S四边形DEFC＝＝18，∴＝18，∴t1＝5，t2＝16（舍去），∴当t＝4时，四边形DEFC的面积为18cm²．（2）假设存在t，使DF＝BE，在Rt△DCF中：DF8＝CD2+CF2＝（10﹣t）3+（10﹣2t）2，在Rt△ADE中，AE＝，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣，∴（10﹣t）2+（10﹣2t）3＝（10）8，∴t＝，当2t＝10时，t＝7，∵，∴t的值不存在．（3）∵点E是在DF为直径的圆上，∴∠DEF＝90°，∵∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，∴t＝10﹣2t，∴t＝．。
2021年九年级上学期期末考试数学人教版试题(必刷卷二十+答案)
2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十）一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分．）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°△BC=3△AC=4，那么cosA的值等于（）A. 34B.43C.35D.452.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长为（）A. 18cm；B. 5cm；C. 6cm；D. ±6cm；3.函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A. y＝﹣2（x﹣1）2+2B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C. y＝﹣2（x+1）2+2D. y＝﹣2（x+1）2﹣24.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD△②∠ADC=∠ACB△③AC ABCD BC△④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（△A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O△S△DOE=12cm2，则S△AOB等于（）A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm26.如图，P是Rt ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC相似，这样的直线可以作（）A. 1△B. 2△C. 3△D. 4△7.二次函数y=kx2△6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是△ △A. k△3B. k△3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠08.如图，在水平地面上，由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°，点A到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（）A. 米B. 6米C.D. 12米9.已知反比例函数y=kx的图象如图，则二次函数y=2kx2-4x+k2的图象大致为（△A. B. C. D.10.如图，已知：正方形ABCD边长为1△E△F△G△H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s△AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.二、细心填一填（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是BC=5m，则坡面AB的长度是_____△12.如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4△AE=1，则⊙O的半径为______△13.如图，点 P 在函数 y＝kx的图象上，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点B，且△APB 的面积为 4，则 k等于_____．14.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF△14CD，下列结论：①∠BAE△30°△②△ABE∽△ECF△③AE⊥EF△④△ADF∽△ECF．其中正确结论是_____△(填序号)三、（本大题共 2 小题，每小题8 分，满分 16 分）15.计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°16.已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标．四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17.如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续向正东方向航行20 海里到达C 处时，测得小岛A 在北船的北偏东30°的方向．（1）若小岛A 到这艘轮船航行路线BC 的距离是AD，求AD 的长．（2）已知在小岛周围17 海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危≈1.732）18.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，−1）.OA B；（1）画出OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的11OA B（要求：新图与原图的相似比为2：1）.（2）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似22五、（本大题共 2 小题，每小题10 分，满分 20 分）19.如图，△ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上点．（1）当BD、BC 和CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？（2）当△ADB∽△EAC 时，求∠DAE 的度数．20.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A△C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4△2），直线y=△12x+3交AB△BC分别于点M△N，反比例函数y=kx的图象经过点M△N△(1)求反比例函数的解析式；(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．六、（本题满分 12 分）21.操作：如图，在正方形ABCD 中，P 是 CD 上一动点（与 C，D 不重合），使三角板的直角顶点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E．（1）根据操作结果，画出符合条件的图形；（2）观察所画图形，写出一个与△BPC相似的三角形，并说明理由；（3）当点P 位于CD 的中点时，直接写出（2）中两对相似三角形的相似比．七、（本题满分 12 分）22.某超市销售一种商品，成本每千克40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80 元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如表：（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），求W 与x 之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；（3）指出售价为多少元时获得利润最大？并试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况．八、（本题满分 14 分）23.锐角△ABC 中，BC＝6，BC 边上的高 AD＝4，两动点 M，N 分别在边 AB，AC 上滑动（M 不与 A、B 重合），且MN∥BC，以 MN 为边向下作正方形 MPQN，设其边长为 x，正方形 MPQN 与△ABC 公共部分的面积为 y（y＞0）．（1）MN,BC具备什么条件，△AMN△△ABC；（2）当x为何值时，PQ 恰好落在边B C 上（如图1）；（3）当PQ 在△AB C 外部时（如图2），求y 关于x 的函数关系式（注明x 的取值范围）并求出x 为何值时y 最大，最大值是多少？2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十）一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共10 小题，每小题 4 分，共40 分．）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA的值等于（）A. 34B.43C.35D.45【答案】D【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴225AB AC BC，∴4 cos5ACAAB．2.已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长为（）A. 18cm；B. 5cm；C. 6cm；D. ±6cm；【答案】C【解析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c．解：根据比例中项的概念，得c2=ab=36，c=±6，又线段不能是负数，-6应舍去，取c=6，故选C．“点睛”考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．3.函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（）A. y＝﹣2（x﹣1）2+2B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2C. y＝﹣2（x+1）2+2D. y＝﹣2（x+1）2﹣2【答案】B【解析】【分析】先确定物线y＝﹣2x²的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y＝﹣2x²的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2(x﹣1)²﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4.如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC ABCD BC；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选C．点睛：此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．5.如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于（）A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm2【答案】C【解析】分析：利用平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥CD，进而得出△DOE∽△BOA，再利用相似三角形的性质得出答案．详解：∵在ABCD中，E为CD中点，∴AB=CD=2DE，又∵AB∥CD，∴△AOB∽△EOD，∴=（）2=4，∴S△AOB=4S△DO E=48cm2．故选：C．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DOE∽△BOA是解题关键．6.如图，P是Rt ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC相似，这样的直线可以作（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】C【解析】试题分析：本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．解：有三条：①过点P点作AB边上的垂线，可得出一条符合要求的直线；②另外两条分别是AC、BC两边的平行线．故选C．考点：相似三角形的判定．7.二次函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A. k ＜3B. k ＜3且k≠0C. k≤3D. k≤3且k≠0【答案】D【解析】试题分析：根据二次函数与x 轴的交点则240b ac ，进而求出k 的值取值范围即可．∵二次函数y=kx 2-6x+3的图象x 轴有两个交点，∴24364336120b ac k k ，且0k ，解得：3k ，且0k ，则k 的取值范围是3k，且0k ， 故选答案：D考点：抛物线与x 轴的交点．8.如图，在水平地面上，由点A 测得旗杆BC 顶点C 的仰角为60°，点A 到旗杆的距离AB=12米，则旗杆的高度为（ ）B. 6米 米 D. 12米【答案】C【解析】【分析】此题可由仰角的正切值求得旗杆的高度．【详解】解：由于AB=12（米），仰角α=60°，则，故选：C ．【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．9.已知反比例函数y=k x的图象如图，则二次函数y=2kx 2-4x+k 2的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，由图知当x=﹣1时，y=﹣k＞1，∴k＜﹣1，∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，对称为x=﹣，﹣1＜＜0，∴对称轴在﹣1与0之间，故选：D．考点：1、反比例函数的图象；2、二次函数的图象10.如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．设AE为x，则AH=1-x，根据勾股定理，得EH2=AE2+AH2=x2+（1-x）2即s=x2+（1-x）2．s=2x2-2x+1，∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=．∴自变量的取值范围是大于0小于1．故选B．考点：1．二次函数的应用；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理．二、细心填一填（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）11.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是_____．【答案】10m【解析】【分析】由河堤横断面迎水坡AB的坡比是1，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案．【详解】河堤横断面迎水坡AB的坡比是1即tan ∠BAC=BCAC ∴∠BAC=30，∴AB=2BC=2×5=10m. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的应用-坡度坡角问题.12.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD=4，AE=1，则⊙O 的半径为______．【答案】52 【解析】试题分析：连接OC ，则OC=r ，OE=r －1，CE=12CD=2，根据Rt △OCE 的勾股定理可得：2222+(1)r r ，解得：r=．考点：垂径定理．13.如图，点 P 在函数 y ＝k x的图象上，PA ⊥x 轴于点 A ，PB ⊥y 轴于点B ，且△APB 的面积为 4，则 k 等于_____．【答案】-8【解析】【分析】由反比例函数系数 k 的几何意义结合△APB 的面积为 4 即可得出 k ＝±8，再根据反比例函数在第二象限有图象即可得出 k ＝﹣8，此题得解．【详解】∵点 P 在反比例函数 y ＝k x 的图象上，P A ⊥x 轴于点 A ，PB ⊥y 轴于点 B ， ∴S △APB ＝12|k |＝4， ∴k ＝±8．又∵反比例函数在第二象限有图象，∴k ＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，熟练掌握“在反比例函数 y ＝k x图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |是解题的关键．14.如图，在正方形 ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD ，下列结论：①∠BAE ＝30°；②△ABE ∽△ECF ；③AE ⊥EF ；④△ADF ∽△ECF ．其中正确结论是_____．(填序号)【答案】②③【解析】设边长是4，则CF =1，DF =3，BE=EC =2，利用勾股定理知，AF 5， 所以EF 2215，AE 22225. 所以 2AE +2EF =2AF ,所以AE ⊥EF ；③正确. ∠AEB +∠FEC =90°，∠CFE +∠FEC =90°，所以∠AEB=∠CFE ，∠B=∠C,所以△ABE ∽△ECF ②正确.故答案为②③.三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）15.计算：（1）sin 260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos 245°+sin 245°+sin 254°+cos 254°【答案】（1）54；（2）2. 【解析】【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【详解】（12﹣＝34﹣12+1＝54， （2）原式＝（cos²45°+sin²45°）+（sin²54°+cos²54°）＝1+1 ＝2【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义． 16.已知二次函数 y ＝﹣x 2+2x+3，（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；（2）求该二次函数图象与 x 轴的交点坐标．【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）该二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．【解析】【分析】（1）利用配方法把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；（2）通过解方程﹣x²+2x +3＝0 即可求出结果．【详解】（1）y ＝﹣x²+2x+3＝﹣（x²﹣2x+1﹣1）+3＝﹣(x ﹣1)²+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）当 y ＝0 时，﹣x 2+2x+3＝0，解得 1x ＝﹣1，2x ＝3，所以该二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ax²+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程.四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）17.如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续向正东方向航行20 海里到达C 处时，测得小岛A 在北船的北偏东 30°的方向．（1）若小岛A 到这艘轮船航行路线BC 的距离是AD，求AD 的长．（2）已知在小岛周围17 海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危≈1.732）【答案】（1）AD≈17.32（海里）；（2）轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【解析】【分析】（1）如图，直角△ACD 和直角△ABD 有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用AD 表示出CD 与BD，根据CB＝BD﹣CD 即可列方程，从而求得AD 的长；（2）利用（1）中所求，与17 海里比较，确定轮船继续向前行驶，有无触礁危险．【详解】（1）如图所示．则有∠ABD＝30°，∠ACD＝60°．∴∠CAB＝∠ABD，∴BC＝AC＝20 海里．在Rt△ACD 中，设CD＝x 海里，CD x，在Rt△ABD 中，AB＝2AD＝x，则AC＝2x，AD223BD＝3x，又∵BD＝BC+CD，∴3x＝20+x，∴x＝10．∴AD x＝（海里）；（2）∵17.32 海里＞17 海里，∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．18.已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，−1）.OA B；（1）画出OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的11OA B（要求：新图与原图的相似比为2：1）.（2）在y轴的左侧以O为位似中心作OAB的位似22【答案】见解析【解析】【分析】（1）将点A、点B绕点O顺时针旋转90°得到点A1、B1，连接A1、B1、O三点即可；（2）根据位似的性质得出A2、B2的位置，连接A2、B2、O三点即可；【详解】如图所示：【点睛】本题主要考查图形的旋转以及图形的位似的作图方法.五、（本大题共 2 小题，每小题10 分，满分 20 分）19.如图，△ABC 是等边三角形，D 为 CB 延长线上一点，E 为 BC 延长线上点．（1）当BD、BC 和CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？（2）当△ADB∽△EAC 时，求∠DAE 的度数．【答案】（1）见解析；（2）120°．【解析】【分析】（1）由等边三角形得AB＝BC＝CA、∠ABC＝∠ACB＝60°，即∠ABD＝∠ACE＝120°，结合BC²＝BD•CE 知AB•AC＝BD•CE，据此可得答案；（2）由△ADB∽△EAC 知∠D＝∠CAE，由∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°知∠CAE+∠DAB＝60°，根据∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC 可得答案.【详解】（1）当BC²＝BD•CE 时，△ADB∽△EAC，∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝∠ACE＝120°，∵BC²＝BD•CE，∴AB•AC＝BD•CE，AB BD，CE AC∴△ADB∽△EAC；（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠D＝∠CAE，∵∠ABC＝∠D+∠DAB＝60°，∴∠CAE+∠DAB＝60°，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAB+∠BAC＝60°+60°＝120°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及等边三角形的性质．20.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，A 、C 分别在坐标轴上，点B 的坐标为（4，2），直线y=﹣12x+3交AB ，BC 分别于点M ，N ，反比例函数y=k x的图象经过点M ，N ． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点P 在y 轴上，且△OPM 的面积与四边形BMON 的面积相等，求点P 的坐标．【答案】（1）y=4x ；（2）点P 的坐标是（0，4）或（0，﹣4）． 【解析】【分析】(1) 根据B 点坐标知线段BC 在直线x=4上,将ェ=4代入一次函数解析式求得N 点坐标, 再将N 点坐标代入反比例函数求解, 即可得反比例函数的解析式。
江苏省无锡市江阴实验中学2022-2023学年数学九年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）A ．83cmB ．163cmC ．3cmD ．43cm 2．已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k （a ＞0），其图象过点A （0，2），B （8，3），则h 的值可以是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3 3．对于反比例函数y=k x（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（ ） A ．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上B ．当k ＞0时，y 随x 的增大而减小C ．过图象上任一点P 作x 轴、y 轴的线，垂足分别A 、B ，则矩形OAPB 的面积为kD ．反比例函数的图象关于直线y=﹣x 成轴对称4．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是（ ）A ．点数小于4B ．点数大于4C ．点数大于5D ．点数小于55．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ）A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣1 6．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，则下列说法：①0a >；②20a b +=；③0a b c ++>；④0>；⑤420a b c -+<，其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47． “泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．如图，PA 、PB 、DE 分别切O 于A 、B 、C 点，若圆O 的半径为6，10OP =，则PDE ∆的周长为（ ）A ．10B ．12C ．16D ．20 9．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()4,0A ，其部分图象如图所示．下列叙述中：①24b ac <；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；③20a b +=；④0a b c ++<；⑤当04x <<时，y 随x 增大而增大．正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是( )A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位11．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）A ．9人B ．10人C ．11人D ．12人12．如图，在菱形ABCD 中，点E,F 分别在AB,CD 上，且AE CF =，连接EF 交BD 于点O 连接AO.若25DBC ∠=︒,，则OAD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°二、填空题（每题4分，共24分）13．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为_____．14．如图，角α的两边与双曲线y=kx（k＜0，x＜0）交于A、B两点，在OB上取点C，作CD⊥y轴于点D，分别交双曲线y=kx、射线OA于点E、F，若OA=2AF，OC=2CB，则CEEF的值为______．15．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是_____cm1．16．计算：()023-+-＝______.17．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝______度．18．设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根，则1212x x x x ++=______.三、解答题（共78分）19．（8分）计算:()03tan30201982cos 45π︒--+-︒．20．（8分）如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在BC, AB 上，且∠ADE=60°.求证：△ADC~△DEB ．21．（8分）如图，在ABC 中，点D 在BC 边上，3BC CD =，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线，并交于点E ，且ED 的延长线交AC 于点F ，3AD DF =．（1）求证：CFD CAB △∽△．（2）求证：四边形ABED 为菱形．（3）若53DF =，9BC =，求四边形ABED 的面积． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,1)C .（1）ABC ∆的外接圆圆心M 的坐标为 .（2）①以点M 为位似中心，在网格区域内画出DEF ∆，使得DEF ∆与ABC ∆位似，且点D 与点A 对应，位似比为2：1，②点D 坐标为 .（3）DEF ∆的面积为 个平方单位.23．（10分）如图，在ABC ∆中，AD 是高.矩形EFGH 的顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上，FG 在边BC 上，6BC =，4=AD ，23EF EH =.求矩形EFGH 的面积.24．（10分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x 米．(1)若苗圃的面积为72平方米，求x 的值；(2)这个苗圃的面积能否是120平方米？请说明理由．25．（12分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，连接OE.过点C 作CF//BD 交OE 的延长线于点F ，连接DF.求证：（1）△ODE ≌△FCE;（2）四边形OCFD 是矩形．26．如图，抛物线y =ax 2 +bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】试题分析：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：r=83cm．故选A．考点：弧长的计算．2、D【解析】解：根据题意可得当0＜x＜8时，其中有一个x的值满足y=2，则对称轴所在的位置为0＜h＜4故选：D【点睛】本题考查二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．3、D【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；详解：A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；B．当k＞0时，y随x的增大而减小，错误，应该是当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小；故本选项不符合题意；C．错误，应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线，垂足分别A、B，则矩形OAPB的面积为|k|；故本选项不符合题意；D．正确，本选项符合题意．故选D．点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．4、D【解析】根据所有可能的的6种结果中，看哪种情况出现的多，哪种发生的可能性就大．【详解】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况，即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种，故点数小于5的可能性较大，故选：D．【点睛】本题考查了等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是关键．5、C【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；由上可得，c的值是1或0，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．6、D【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y 的值可判断③；根据抛物线与x 轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y 的值可判断⑤.【详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；∵抛物线与x 轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x=2b a-=1，∴2a+b=0，故②正确； 观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；∵抛物线与x 轴有两交点坐标，∴△>0，故④正确；观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，故选D.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-2b a；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）；当b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b 2-4ac=0，抛物线与x 轴有一个交点；当b 2-4ac ＜0，抛物线与x 轴没有交点．7、B【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+n+n 2＝111，解得：n 1＝10，n 2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8、C【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP ，根据勾股定理求得PA 的长；根据切线长定理，得AD=CD ，CE=BE ，PA=PB ，从而求解．【详解】∵PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 点，∴AD=CD ，CE=BE ，PA=PB ，OA ⊥AP ．在直角三角形OAP 中，根据勾股定理，得=8，∴△PDE 的周长为2AP=1．故选C ．【点睛】此题综合运用了切线长定理和勾股定理．9、B【分析】由抛物线的对称轴是 1x =，可知系数a b ，之间的关系，由题意，与x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ，根据抛物线的对称性，求得抛物线与x 轴的一个交点坐标为() 0B -2，，从而可判断抛物线与 x 轴有两个不同的交点，进而可转化求一元二次方程根的判别式，当 1x =时，代入解析式，可求得函数值，即可判断其y 的值是正数或负数. 【详解】抛物线的对称轴是 1x =1202b a b a∴-=+=，；③正确， 与x 轴的一个交点坐标为() 4,0A ∴抛物线与与 x 轴的另一个交点坐标为() 0B -2，∴关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是122,4x x =-=；②正确， 当x=1时，y=0a b c ++<；④正确∴抛物线与x 轴有两个不同的交点 ∴2b -4ac>0，2b >4ac 则①错误；当01x <<时，y 随x 增大而减小 当14x ≤<时，y 随x 增大而增大，⑤错误； ∴②③④正确，①⑤错误故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象的基本性质：对称性、增减性、函数值的特殊性、二次函数与一元二次方程的综合运用，是常见考点，难度适中，熟练掌握二次函数图象基本性质是解题关键.10、D【解析】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），平移后抛物线y=-3x 2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选D ．11、C【分析】设参加酒会的人数为x 人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x 人，依题可得：12x （x-1）=55， 化简得：x 2-x-110=0，解得：x 1=11，x 2=-10（舍去），故答案为C.【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.12、C【分析】由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE ≌△DOF ，然后根据全等三角形的性质可得BO=DO ，即O 为BD 的中点，进而可得AO ⊥BD ，再由∠ODA=∠DBC=25°，即可求出∠OAD 的度数.【详解】∵四边形ABCD 为菱形∴AB=BC=CD=DA ，AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠ODA=∠DBC=25°，∠OBE=∠ODF ，又∵AE=CF∴BE=DF在△BOE 和△DOF 中，BOE=DOF OBE=ODF BE=DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△BOE ≌△DOF （AAS ）∴OB=OD即O 为BD 的中点，又∵AB=AD∴AO ⊥BD∴∠AOD=90°∴∠OAD=90°-∠ODA=65° 故选C.【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握菱形的性质，得出全等三角形的判定条件是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、 (0，2+1) 【分析】将△OAN 绕点O 逆时针旋转90°，点N 对应N′，点A 对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C 重合，以及F 、C 、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF ＝∠NOF ＝45°，结合ON′＝ON 、OF ＝OF 即可证出△N'OF ≌△NOF （SAS ），由此即可得出N′M ＝NF ＝1，再由△OCF ≌△OAN 即可得出CF ＝N ，通过边与边之间的关系即可得出BN ＝BF ，利用勾股定理即可得出BN ＝BF ＝2，设OC ＝a ，则N′F ＝1CF ＝1（a ﹣2），由此即可得出关于a 的一元一次方程，解方程即可得出点C 的坐标．【详解】将△OAN 绕点O 逆时针旋转90°，点N 对应N′，点A 对应A′，如图所示．∵OA ＝OC ，∴OA′与OC 重合，点A′与点C 重合．∵∠OCN′+∠OCF ＝180°，∴F 、C 、N′共线．∵∠COA ＝90°，∠FON ＝45°，∴∠COF+∠NOA ＝45°．∵△OAN 旋转得到△OCN′，∴∠NOA ＝∠N′OC ，∴∠COF+∠CON'＝45°，∴∠N'OF ＝∠NOF ＝45°．在△N'OF 与△NOF 中，ON ON N OF NOF OF OF '∠'∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△N′OF ≌△NOF （SAS ），∴NF ＝N'F ＝1．∵△OCF ≌△OAN ，∴CF ＝AN ．又∵BC ＝BA ，∴BF ＝BN ．又∠B ＝90°，∴BF 1+BN 1＝NF 1，∴BF ＝BN ＝．设OC ＝a ，则CF ＝AN ＝a ．∵△OAN 旋转得到△OCN′，∴AN ＝CN'＝a ，∴N'F ＝1（a ），又∵N'F ＝1，∴1（a ）＝1，解得：a +1，∴C （0+1）．故答案是：（0+1）．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于a 的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．14、49【解析】过C ，B ，A ，F 分别作CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴，设DO 为2a ，分别求出C ，E ，F 的坐标，即可求出CE EF的值． 【详解】如图：过C ，B ，A ，F 分别作CM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，AG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴， 设DO 为2a ，则E （2k a ，2a ）， ∵BN ∥CM ，∴△OCM ∽△OBN ， ∴CO CM BO BN =23， ∴BN =3a ，∴B （3k a ，3a ）， ∴直线OB 的解析式y =29a kx ， ∴C （29k a，2a ）， ∵FH ∥AG ，∴△OAG ∽△OFH ，∴23OA AG OF FH ==， ∵FH=OD=2a ，∴AG =43a ， ∴A （34k a ，43a ）， ∴直线OA 的解析式y =2169a kx ， ∴F （98k a，2a ）， ∴CE EF =292928k k a a k k a a --=49，故答案为：49【点睛】 本题考查反比例函数图象上点的特征，相似三角形的判定，关键是能灵活运用相似三角形的判定方法．15、2536【解析】∵等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AB=∠CAB ﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，∴阴影部分的面积=12×5×tan30°×． 16、4 【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.【详解】解：原式＝1+3＝4.故答案为：4.【点睛】此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．17、1【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，∴∠C′AB′＝∠CAB ，AC′＝AC ，∵∠BAC'＝80°，∴∠C′AB′＝∠CAB ＝12∠C′AB ＝40°， ∴∠ACC′＝70°，∴∠B ＝∠ACC′﹣∠CAB ＝1°，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．18、－5.【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】∵1x ，2x 是关于x 的一元二次方程240x x +-=的两根， ∴121214x x x x +=-=-，， ∴()1212145x x x x ++=-+-=-，故答案为：5-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果1x ，2x 是方程20x px q ++=的两根，那么12x x p +=﹣，12x x q =．三、解答题（共78分）19、﹣1【分析】首先计算乘方、开方、特殊三角函数值，再计算乘法，最后实数的加减法即可．030(2019)45π︒--︒12=-+111=-+1=．【点睛】本题考查了幂的乘方、二次根式、特殊三角函数值等知识点，熟记各运算法则和特殊三角函数值是解题关键．20、见解析【解析】根据等边三角形性质得∠B=∠C ，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证ADC DEB . 【详解】证明：∆ABC 是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°, ∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，∵∠ADE=60°，∴∠ADB=∠BDE+60°, ∴∠CAD=∠BDE,∴ADC DEB【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；（2）先证明四边形ABED 是平行四边形，再证出AD=AB ，即可得出四边形ABED 为菱形；（3）连接AE 交BD 于O ，由菱形的性质得出BD ⊥AE ，OB=OD ，由相似三角形的性质得出AB=3DF=5，求出OB=3，由勾股定理求出OA=4，AE=8，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】（1）证明：∵//EF AB ，∴CFD CAB ∠=∠；又∵C C ∠=∠，∴CFD CAB ∆∆∽；（2）证明：∵//EF AB ，//BE AD ，∴四边形ABED 是平行四边形，∵3BC CD =，∴:3:1BC CD =，∵CFD CAB ∆∆∽，∴::3:1AB DF BC CD ==，∴3AB DF =，∵3AD DF =，∴AD AB =，∴四边形ABED 为菱形；（3）解：连接AE 交BD 于O ，如图所示：∵四边形ABED 为菱形，∴BD AE ⊥，OB OD =，∴90AOB ∠=︒，∵CFD CAB ∆∆∽，∴::3:1AB DF BC CD ==，∴35AB DF ==，∵39BC CD ==，∴3CD =，6BD =，∴3OB =， 由勾股定理得：224OA AB OB =-= ∴8AE =，∴四边形ABED 的面积11862422AE BD =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．22、（1）(2,2)；（2）①见解析；②(4,6)；（3）4【分析】（1）由于三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故只要利用网格特点作出AB 与AC 的垂直平分线，其交点即为圆心M ；（2）根据位似图形的性质画图即可；由位似图形的性质即可求得点D 坐标；（3）利用（2）题的图形，根据三角形的面积公式求解即可.【详解】解：（1）如图1，点M 是AB 与AC 的垂直平分线的交点，即为△ABC 的外接圆圆心，其坐标是（2，2）； 故答案为：（2，2）；（2）①DEF ∆如图2所示；②点D 坐标为（4，6）；故答案为：（4，6）；（3）DEF ∆的面积=11242422DE ⨯=⨯⨯=个平方单位. 故答案为：4.【点睛】 本题考查了三角形外心的性质、坐标系中位似图形的作图和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题关键.23、6EFGH S =四边形【分析】根据相似三角形对应边比例相等性质求出EF,EH 的长，继而求出面积.【详解】解：如图：∵四边形EFGH 是矩形，AD 交EH 于点Q,∴∥EH FG∴AEH ABC ∆∆∽ ∴AQ EH AD BC= 设2EF x =，则3EH x = ∴42346x x -=解得：1x =. 所以2EF =，3EH =.∴236EFGH S EF EH =⋅=⨯=四边形【点睛】本题考查的知识点主要是相似三角形的性质，利用相似三角形对应边比例相等求出有关线段的长是解题的关键.24、（1）x 的值为12；（2）这个苗圃的面积不能是120平方米，理由见解析.【分析】（1）用x 表示出矩形的长为30-2x ，利用矩形面积公式建立方程求解，根据平行于墙的边长不能大于18米，舍去不符合题意的解；（2）根据面积120平方米建立方程，若方程有解，则可以达到120平米，否则不能.【详解】解：（1）根据题意得()30272-=x x ，化简得215360x x -+=，()()1230--=x x120-=x 或30x -=∴1=12x ，2=3x当=12x 时，平行于墙的一边为30-2x=6＜18，符合题意；当=3x 时，平行于墙的一边为30-2x=24＞18，不符合题意，舍去.故x 的值为12.（2）根据题意得()302120-=x x化简得215600-+=x x()2=154160=150∆--⨯⨯-<，∴方程无实数根故这个苗圃的面积不能是120平方米.【点睛】本题考查一元二次方程的应用：面积问题，根据面积公式列出一元二次方程是解题的关键.25、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据题意得出DOE CFE ∠=∠，DE CE =，根据AAS 即可证明；（2）由（1）可得到OD FC =，再根据菱形的性质得出90DOC ︒∠=，即可证明平行四边形OCFD 是矩形.【详解】证明：（1）CF BD ∥，DOE CFE ∴∠=∠，.E 是CD 中点，DE CE ∴=，又DEO CEF ∠=∠ODE FCE ∴∆≅∆(AAS)（2）ODE FCE ∆≅∆，OD FC ∴=，.CF BD ∥，∴四边形OCFD 是平行四边形，平行四边形ABCD 是菱形，90DOC ︒∴∠=.∴平行四边形OCFD 是矩形.【点睛】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.26、（1）2142y x x =--+顶点D 的坐标为（－1，92） （2）H （34，158） （2）K （－32，358） 【分析】（1）将A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，进而可用配方法求出其顶点D 的坐标；（2）根据抛物线的解析式可求出C 点的坐标，由于CD 是定长，若△CDH 的周长最小，那么CH+DH 的值最小，由于EF 垂直平分线段BC ，那么B 、C 关于直线EF 对称，所以BD 与EF 的交点即为所求的H 点；易求得直线BC 的解析式，关键是求出直线EF 的解析式；由于E 是BC 的中点，根据B 、C 的坐标即可求出E 点的坐标；可证△CEG ∽△COB ，根据相似三角形所得的比例线段即可求出CG 、OG 的长，由此可求出G 点坐标，进而可用待定系数法求出直线EF 的解析式，由此得解；（2）过K 作x 轴的垂线，交直线EF 于N ；设出K 点的横坐标，根据抛物线和直线EF 的解析式，即可表示出K 、N 的纵坐标，也就能得到KN 的长，以KN 为底，F 、E 横坐标差的绝对值为高，可求出△KEF 的面积，由此可得到关于△KEF 的面积与K 点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出其面积的最大值及对应的K 点坐标.【详解】（1）由题意，得164404240a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得12a =-，b =－1． 所以抛物线的解析式为2142y x x =--+，顶点D 的坐标为（－1，92）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH +CH 最小，即最小为DH +CH =DH +HB =BD=2CD ==． ∴△CDH 的周长最小值为CD +DR +CH． 设直线BD 的解析式为y =k 1x +b ，则11112092k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得132k =-，b 1= 2． 所以直线BD 的解析式为y =32-x + 2． 由于BCCE =BCRt △CEG ∽△COB ，得CE :CO =CG :CB ，所以CG = 2.3，GO = 1.3．G （0，1.3）．同理可求得直线EF 的解析式为y =12x +32． 联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （34，158）． （2）设K （t ，2142t t --+），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ． 则KN =y K －y N =2142t t --+－（12t +32）=2135222t t --+．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=12KN（t+ 2）+12KN（1－t）= 2KN= －t2－2t+ 3 =－（t+32）2+294．即当t=－32时，△EFK的面积最大，最大面积为294，此时K（－32，358）．【点睛】本题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积的求法、二次函数的应用等知识，难度较大．。
2021-2022学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级下学期期中考试化学试题
2021-2022学年江苏省无锡市江阴市华士片九年级下学期期中考试化学试题1.中国传统文化艺术源远流长，下列明显涉及化学变化的是A．编扎风筝B．湿法炼铜C．雕剪窗花D．捏制泥人2. 2022年3月22日是世界水日，3月22日-3月28日是中国水周，世界水日的主题是“珍惜地下水”，下列有关水的说法不合理的是A．水隐藏在地下，不会被污染B．全球水量丰富，可用淡水资源不足C．珍惜地下水，珍视隐藏资源D．船体借助水产生浮力实现运输货物3.下列物质由分子构成的是A．氯化钠B．金刚石C．蒸馏水D．汞4.了解化学符号含义，有利于我们更加深入的进行“宏微”辨识，下列化学用语表述正确的是A．氦气：He 2B．3个氧原子：O 3C．二氧化碳分子：CO 2D．2个亚铁离子：Fe 2+5.人体中有50多种元素在自然界中都可以找到，下列关于人体中元素的说法正确的是A．人体中含量最高的元素是H B．缺乏微量元素，不影响人体健康C．钙元素只存在于人体牙齿中D．缺碘或碘过量都会引起甲状腺肿大6.化学知识也可以利用几何图形可以进行有效的排序，下列表示合理的是B．金属材料的熔点：A．地壳中元素含量：C．氯元素质量分数：D．金属活动性顺序：7.江阴市2022年4月1日空气质量报告如图所示，下列说法正确的是A．CO会导致酸雨B．当日主要污染物是O 3C．酒精燃烧会生成SO 2和NO 2D．PM10、PM2.5指的是两种气体8.下列物质放入水中能形成溶液的是A．蔗糖B．汽油C．面粉D．泥沙9.有关实验现象，下列描述正确的是A．铁丝在氧气中燃烧，火星四射，生成四氧化三铁B．电解水时正极和负极产生气体的体积比为1：2C．硝酸铵固体溶于水后，溶液的温度几乎不变D．打开浓盐酸的瓶塞，瓶口看到白烟10.相关实验操作合理的是A．干燥CO 2B．监控O 2流速C．吸收CO 2D．收集O 211.“碱”一词在阿拉伯语中表示灰。
人们将草木灰（有效成分：K2CO3，其性质与碳酸钠相似）放到水中，利用灰汁洗浴、印染等。
2023-2024学年江苏省无锡市锡东片九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）一元二次方程x 2﹣16＝0的解是（ ）A ．x 1＝2，x 2＝﹣2B ．x 1＝4，x 2＝﹣4C ．x 1＝8，x 2＝﹣8D ．x 1＝16，x 2＝﹣162．（3分）已知关于x 的方程x 2+2x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＝1B ．m ≥1C ．m ＜1D ．m ≠03．（3分）已知⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为4，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 内D ．无法确定4．（3分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB ＝4，那么AP 的长是（ ）A ．2√5−2B ．2−√5C ．2√5−1D ．√5−25．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．25π6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是（ ）A ．560（1+x ）2＝315B ．560（1﹣x ）2＝315C ．560（1﹣2x ）2＝315D ．560（1﹣x 2）＝3157．（3分）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，若∠CBD ＝55°，则∠AOC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．125°D ．110°8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD =AB BC ；④AC 2＝AD •AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，AB ＝2√61，AD ＝10，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH ⊥AC 于H ，连接BH ，在点C 移动的过程中，BH 的最小值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．（3分）如图，将正方形纸片ABCD 沿PQ 折叠，使点C 的对称点E 落在边AB 上，点D 的对称点为点F ，EF 为交AD 于点G ，连接CG 交PQ 于点H ，连接CE ．下列四个结论中：①△PBE ∽△QFG ；②S △CEG ＝S △CBE +S 四边形CDQH ；③EC 平分∠BEG ；④EG 2﹣CH 2＝GQ •GD ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 千米．12．（3分）若y x =34，则x+y x 的值为 ．13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 ．14．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 ．15．（3分）如图，点D 、E 分别在AB 与AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，DE ＝3，则BC ＝ ．16．（3分）若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 ．17．（3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，连接AE 、CD 交于点F ，当△AFD 的面积为72时，△ABC 的面积为 ．18．（3分）矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，连结BD ，E ，F 分别在边BC ，CD 上，连结AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF ＝45°，BE ＝3，则DN 的长为 ．三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣1＝0；（2）x 2+6x ﹣16＝020．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +m ﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）求证：该方程总有两个实数根．21．（10分）如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝∠B ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，BD ＝2，求EC 的长．22．（10分）如图，∠BAC＝90°，点A在⊙O上，过点O作BA的平行线交AC于点E，交过点C的直线于点D，且∠D＝∠BCA．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝2，BC＝2√3，求CE的长．23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．（1）若每件降价2元，则每天可销售件；（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？24．（10分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．（1）求证：∠BAC＝∠E；（2）若AB＝8，DC＝2，CE=3√10，求CF的长．25．（10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，AC为对角线，P是边BC延长线上一点，连接AP．（1）在线段AP上求作点M，使得∠AMC＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）；（2）在（1）的作图条件下，当AP＝25时，求线段AM的长度．26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．（1）方程①x2﹣x﹣2＝0；②x2−2x+89=0；③6x2+x＝0；④13x2+2x+83=0，这几个方程中，是倍根方程的是（填序号即可）；（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，请直接写出a，b，c的等量关系．27．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝4，∠ABC＝60°．点P为射线BC上一点，以BP为直径作⊙O交AB、DC于E、F两点．设⊙O的半径为x．（1）如图2，当⊙O与DP相切时，x＝；（2）如图3，当点P与点C重合时，①求线段CE长度；②求阴影部分的面积；（3）当⊙O与平行四边形ABCD边所在直线相切时，求x的值．28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，①求CF的长；②求PF的长；（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求AJDK的值及∠ARD的度数.2023-2024学年江苏省无锡市锡山区锡东片九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）一元二次方程x2﹣16＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝﹣2B．x1＝4，x2＝﹣4C．x1＝8，x2＝﹣8D．x1＝16，x2＝﹣16【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．【解答】解：∵x2﹣16＝0，∴x2＝16，解得：x1＝4，x2＝﹣4．故选：B．2．（3分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＝1B．m≥1C．m＜1D．m≠0【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4m＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m＞0，解得m＜1．故选：C．3．（3分）已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系．【解答】解：∵⊙O的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：点在圆外．故选：A．4．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝4，那么AP的长是（）A．2√5−2B．2−√5C．2√5−1D．√5−2【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=√5−12AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝4×√5−12=2√5−2．故选：A．5．（3分）已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则圆锥的侧面积是（）A．10πB．15πC．20πD．25π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：圆锥的侧面积=12×2π×4×5＝20π，故选：C．6．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2＝315B．560（1﹣x）2＝315C．560（1﹣2x）2＝315D．560（1﹣x2）＝315【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次降价后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得：560（1﹣x）2＝315，故选：B．7．（3分）如图，点A、B、C在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠CBD＝55°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．105°C．125°D．110°【分析】设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，先由圆内接四边形的性质得∠E＝∠CBD＝55°，再由圆周角定理即可得出答案．【解答】解：设点E是优弧AC（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，如图所示：∵∠CBD＝55°．∴∠E＝∠CBD＝55°．∴∠AOC＝2∠E＝110°．故选：D．8．（3分）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD =ABBC；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．9．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2√61，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M 上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD=√(2√61)2−102=12，BM=√BD2+DM2=√122+52=13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．10．（3分）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；△CDG③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG ＝∠ECM +∠GCM =12∠BCD ＝45°，由于EC ⊥HP ，则∠CHP ＝45°，由折叠可得：∠EHP ＝∠CHP ＝45°，则EH ⊥CG ；利用勾股定理可得EG 2﹣EH 2＝GH 2；由CM ⊥EG ，EH ⊥CG ，得到∠EMC ＝∠EHC ＝90°，所以E ，M ，H ，C 四点共圆，所以∠HMC ＝∠HEC ＝45°，通过△CMH ≌△CDH ，可得∠CDH ＝∠CMH ＝45°，这样，∠GDH ＝45°，因为∠GHQ ＝∠CHP ＝45°，易证△GHQ ∽△GDH ，则得GH 2＝GQ •GD ，从而说明④成立．【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°．由折叠可知：∠GEP ＝∠BCD ＝90°，∠F ＝∠D ＝90°．∴∠BEP +∠AEG ＝90°，∵∠A ＝90°，∴∠AEG +∠AGE ＝90°，∴∠BEP ＝∠AGE ．∵∠FGQ ＝∠AGE ，∴∠BEP ＝∠FGQ ．∵∠B ＝∠F ＝90°，∴△PBE ∽△QFG ．故①正确；②过点C 作CM ⊥EG 于M ，由折叠可得：∠GEC ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠GEC ，在△BEC 和△MEC 中，{∠B =∠EMC =90°∠BEC =∠GECCE =CE， ∴△BEC ≌△MEC （AAS ）．∴CB ＝CM ，S △BEC ＝S △MEC ．∵CG ＝CG ，∴Rt △CMG ≌Rt △CDG （HL ），∴S △CMG ＝S △CDG ，∴S △CEG ＝S △BEC +S △CDG ＞S △BEC +S 四边形CDQH ，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠BEC ＝∠DCE ，∴∠BEC ＝∠GEC ，即EC 平分∠BEG ．∴③正确；④连接DH ，MH ，HE ，如图，∵△BEC ≌△MEC ，△CMG ≌△CDG ，∴∠BCE ＝∠MCE ，∠MCG ＝∠DCG ，∴∠ECG ＝∠ECM +∠GCM =12∠BCD ＝45°，∵EC ⊥HP ，∴∠CHP ＝45°．∴∠GHQ ＝∠CHP ＝45°．由折叠可得：∠EHP ＝∠CHP ＝45°，∴EH ⊥CG ．∴EG 2﹣EH 2＝GH 2．由折叠可知：EH ＝CH ．∴EG 2﹣CH 2＝GH 2．∵CM ⊥EG ，EH ⊥CG ，∴∠EMC ＝∠EHC ＝90°，∴E ，M ，H ，C 四点共圆，∴∠HMC ＝∠HEC ＝45°．在△CMH 和△CDH 中，{CM =CD∠MCG =∠DCG CH =CH，∴△CMH ≌△CDH （SAS ）．∴∠CDH ＝∠CMH ＝45°，∵∠CDA ＝90°，∴∠GDH ＝45°，∵∠GHQ ＝∠CHP ＝45°，∴∠GHQ ＝∠GDH ＝45°．∵∠HGQ ＝∠DGH ，∴△GHQ ∽△GDH ，∴GQ GH =GH GD ，∴GH 2＝GQ •GD ，∴GE 2﹣CH 2＝GQ •GD ．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）如果在比例尺为1：1 000 000的地图上，A 、B 两地的图上距离是3.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离是 34 千米．【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．【解答】解：根据题意，3.4÷11000000=3400000（厘米）＝34（千米）． 即实际距离是34千米．故答案为：34．12．（3分）若y x =34，则x+y x 的值为 74 ．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：由合比性质，得x+y x =3+44=74． 故答案为：74． 13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是 ﹣3 ．【分析】根据根与系数的关系可得x 1+x 2=−b a =−m ，x 1x 2=c a =−3，把x 1＝1代入，可求x 2，进而可求m ．【解答】解：根据题意可得x 1x 2=c a =3，∵x 1＝﹣1，∴x 2＝﹣3，故答案为：﹣314．（3分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是 5 ．【分析】首先根据勾股定理，得斜边是10，再根据其外接圆的半径是斜边的一半，得出其外接圆的半径．【解答】解：∵直角边长分别为6和8，∴斜边是10，∴这个直角三角形的外接圆的半径为5．故答案为：5．15．（3分）如图，点D 、E 分别在AB 与AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，DE ＝3，则BC ＝ 9 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADES △ABC =（AD AB ）2，∵S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，∴S △ADE S △ABC =（AD AB ）2=19， ∴AD AB =13， ∵△ADE ∽△ABC ，DE ＝3，∴DE BC =AD AB ， ∴3BC =13，∴BC ＝9，故答案为：9．16．（3分）若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 90° ．【分析】利用弧长公式求解即可．【解答】解：设圆心角为n °．则有nπ×4180=2π，∴n ＝90，故答案为：90°．17．（3分）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，连接AE 、CD 交于点F ，当△AFD 的面积为72时，△ABC 的面积为 21 ．【分析】由题意可得S △ABE ＝S △ACE =12S △ABC ＝S △ADC ＝S △BDC ，S △AFD ＝S △BFD =72，S △CEF ＝S △BEF ，可求S △ABE ＝3S △AFD =212，即可求解．【解答】解：连接BF ，∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴S △ABE ＝S △ACE =12S △ABC ＝S △ADC ＝S △BDC ，S △AFD ＝S △BFD =72，S △CEF ＝S △BEF ，∴S △CEF ＝S △AFD ＝S △BFD =72=S △BEF ，∴S △ABE ＝3S △AFD =212，∴S △ABC ＝21，故答案为：21．18．（3分）矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝12，连结BD ，E ，F 分别在边BC ，CD 上，连结AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF ＝45°，BE ＝3，则DN 的长为 12√55 ．【分析】根据矩形的性质，由勾股定理得出BD ，延长AB 至P ，使PB ＝AB ＝6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ，延长AE 交PQ 于H ，连接HF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点P 重合，得到△APG ，由旋转的性质可得PG ＝DF ，∠APG ＝∠ADF ＝90°，AG ＝AF ，∠P AG ＝∠DAF ，证出∠GAF ＝90°，得出∠GAH ＝∠F AH ＝45°，可证△AGH ≌△AFH ，得出GH ＝FH ，证出FH ＝DF +PH ，设DF ＝x ，则FQ ＝DQ ﹣DF ＝12﹣x ，利用勾股定理列出方程求出x ＝4，然后由DF ∥AB ，得△DFN ∽△BAN ，所以DF AB =DN BN =46=23，即可求出DN 的长． 【解答】解：在矩形ABCD 中，∵∠BAD ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，∴BD =√AB 2+AD 2=√62+122=6√5，如图，延长AB 至P ，使PB ＝AB ＝6，过P 作BC 的平行线交DC 的延长线于Q ，得正方形APQD ， 延长AE 交PQ 于H ，连接HF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，点D 与点P 重合，得到△APG ，∵四边形APQD 是正方形，∴AP ＝PQ ＝DQ ＝AD ，∠P AD ＝∠APH ＝∠Q ＝∠ADQ ＝90°，由旋转得：△APG ≌△ADF ，∴PG ＝DF ，∠APG ＝∠ADF ＝90°，AG ＝AF ，∠P AG ＝∠DAF ，∴∠P AG +∠P AF ＝∠DAF +∠P AF ＝∠P AD ＝90°，即∠GAF ＝90°，∵∠HAF ＝45°，∴∠GAH ＝90°﹣45°＝45°，∴∠GAH ＝∠F AH ＝45°，在△AGH 和△AFH 中，{AG =AF∠GAH =∠FAH AH =AH，∴△AGH ≌△AFH （SAS ），∴GH ＝FH ，∵GH ＝PG +PH ＝DF +PH ，∴FH ＝DF +PH ，设DF ＝x ，则FQ ＝DQ ﹣DF ＝12﹣x ，∵AB ＝BP ＝6，BE ∥PQ ，∴AE ＝EM ，∴PH ＝2BE ＝2×3＝6，∴FH ＝DF +PH ＝x +6，HQ ＝PQ ﹣PH ＝12﹣6＝6，在Rt △QFH 中，由勾股定理得：FQ 2+HQ 2＝FH 2，∴（12﹣x ）2+62＝（x +6）2，解得：x ＝4，∴DF ＝4，∵DF ∥AB ，∴△DFN ∽△BAN ，∴DF AB =DN BN =46=23， ∴DN =25BD =25×6√5=12√55． 故答案为：12√55．三、解答题（本大题共10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）x2+6x﹣16＝0【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法把方程转化为x+8＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±√2，所以x1＝1+√2，x2＝1−√2；（2）x2+6x﹣16＝0，（x+8）（x﹣2）＝0，x+8＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣8，x2＝2．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；（2）求证：该方程总有两个实数根．【分析】（1）直接把x＝2代入到原方程中得到关于m的方程，解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．【解答】（1）解：当x＝2时，4﹣2m+m﹣1＝0，∴﹣m＝1﹣4，∴m＝3，∴x1+x2＝3，∴另一个根是1；（2）证明：Δ＝（﹣m ）2﹣4×1×（m ﹣1）＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根．21．（10分）如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，∠ADE ＝∠B ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）若AB ＝5，BC ＝6，BD ＝2，求EC 的长．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由外角的性质可得∠BAD ＝∠CDE ，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠CDE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）∵△ABD ∽△DCE ，∴AB DC =BD EC∴EC =85．22．（10分）如图，∠BAC ＝90°，点A 在⊙O 上，过点O 作BA 的平行线交AC 于点E ，交过点C 的直线于点D ，且∠D ＝∠BCA ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝2，BC ＝2√3，求CE 的长．【分析】（1）根据题意得出BC为圆O直径，根据平行线的性质及垂直的定义推出OE⊥CA，根据直角三角形的性质得出∠D+∠DCE＝90°，等量代换推出∠BCD＝90°，则BC⊥CD，根据切线的判定定理即可得解；（2）利用勾股定理求出AC，可得结论．【解答】（1）证明：∵BA∥OD，∴∠OEC＝∠BAC＝90°，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠D＝∠BCA，∴∠BCA+∠DCE＝∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，∴CD是圆O的切线；（2）解：∵AB＝2，BC＝2√3，∠BAC＝90°，∴AC=√BC2−AB2=√(2√3)2−22=2√2，∵OB＝OC，OE∥AB，∴AE＝EC，∴EC=12AC=√2．23．（10分）“农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件．为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件．（1）若每件降价2元，则每天可销售64件；（2）若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？【分析】（1）根据该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，列式计算即可；（2）设每件应降价y元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可．【解答】解：（1）48+（2÷0.5）×4＝48+16＝64， 故答案为：64；（2）设每件应降价y 元， 依题意，得（40﹣30﹣y ）（48+4y 0.5）＝504，整理，得y 2﹣4y +3＝0， 解方程，得 y ＝1，y ＝3， 要尽快减少库存，所以取y ＝3． 答：每件应降价3元．24．（10分）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D ，弦CE 与AB 交于点F ，连接AE ，AC ，BC ． （1）求证：∠BAC ＝∠E ；（2）若AB ＝8，DC ＝2，CE =3√10，求CF 的长．【分析】（1）由垂径定理推出AC ̂=BC ̂，即可得到∠BAC ＝∠E ； （2）由勾股定理求出AC 的长，由△ACF ∽△ECA ，得到AC EC=CF CA，代入有关数据即可求出CF 的长．【解答】（1）证明：∵OC ⊥AB OC 是⊙O 的半径 ∴AD ＝BD ，AC ̂=BC ̂， ∴∠BAC ＝∠E ；（2）解：∵∠BAC ＝∠E ， ∵∠ACF ＝∠ECA ， ∴△ACF ∽△ECA ， ∴AC EC=CF CA，∵AB ＝8， ∴AD ＝BD ＝4，∵∠ADC ＝90° AD ＝4，CD ＝2∴AC =√AD 2+CD 2=2√5， ∴√53√10=2√5，∴CF =2√103．25．（10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝10，AC 为对角线，P 是边BC 延长线上一点，连接AP ．（1）在线段AP 上求作点M ，使得∠AMC ＝120°（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图条件下，当AP ＝25时，求线段AM 的长度．【分析】（1）作△ABC 的外接圆交AP 于点M ，根据菱形的性质和圆周角定理即可得∠AMC ＝120°； （2）根据菱形ABCD 中，∠B ＝60°，可得△ABC 是等边三角形，证明△CAM ∽△P AC ，可得AM AC=AC AP，进而可得AM 的长度．【解答】解：（1）如图，点M 即为所求；（2）菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠B ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ＝10，∠ACB ＝60°，∴∠ACP ＝120°， ∵∠CAM ＝∠P AC ， ∴△CAM ∽△P AC ， ∴AM AC=AC AP，∴AM =AC 2AP =10025=4．26．（10分）如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x 2﹣6x +8＝0的两个根是x 1＝2，x 2＝4，则方程x 2﹣6x +8＝0是“倍根方程”．（1）方程①x 2﹣x ﹣2＝0；②x 2−2x +89=0；③6x 2+x ＝0；④13x 2+2x +83=0，这几个方程中，是倍根方程的是 ②④ （填序号即可）；（2）若关于x 的方程（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0是“倍根方程”，求代数式m 2+2m +2的值；（3）若一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程，请直接写出a ，b ，c 的等量关系． 【分析】（1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断；（2）利用因式分解法解方程得到x 1＝2，x 2＝m ，再根据新定义m ＝4或m ＝1，然后把m ＝4或m ＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；（3）设方程的根的两根分别为t 、2t ，根据根与系数的关系得t +2t =−b a，t ⋅2t =c a，然后求出α，再计算对应的t 的值，可得结论． 【解答】解：（1）①x 2﹣x ﹣2＝0， 解得x 1＝2，x 2＝﹣1； ②x 2−2x +89=0， 解得x 1=23，x 2=43； ③6x 2+x ＝0，解得x 1＝0，x 2=−16； ④13x 2+2x +83=0，解得x 1＝﹣2，x 2＝﹣4， ∴②④是“倍根方程”． 故答案为：②④；（2）（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0，x ﹣2＝0或x ﹣m ＝0， 解得x 1＝2，x 2＝m ，∵（x ﹣2）（x ﹣m ）＝0是“倍根方程”， ∴m ＝4或m ＝1，当m ＝4时，m 2+2m +2＝16+8+2＝26； 当m ＝1时，m 2+2m +2＝1+2+2＝5， 综上所述，代数式m 2+2m +2的值为26或5；（3）∵一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（b 2﹣4ac ≥0）是倍根方程， ∴设方程的两根分别为t ，2t ，根据根与系数的关系得t +2t =−ba ，t •2t =ca ， ∴t =−b3a ， ∴2（−b3a ）2=ca ， ∴2b 2＝9ac ．27．（10分）如图1，平行四边形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，∠ABC ＝60°．点P 为射线BC 上一点，以BP 为直径作⊙O 交AB 、DC 于E 、F 两点．设⊙O 的半径为x ． （1）如图2，当⊙O 与DP 相切时，x ＝ 4 ； （2）如图3，当点P 与点C 重合时， ①求线段CE 长度； ②求阴影部分的面积；（3）当⊙O 与平行四边形ABCD 边所在直线相切时，求x 的值．【分析】（1）由平行四边形的性质可得：AB ∥CD ，AB ＝CD ＝8，得出∠DCP ＝∠ABC ＝60°，再由切线的性质可得DP ⊥BP ，得出∠CDP ＝30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，可得CP =12CD＝4，推出⊙O 的直径BP ＝8，即可得出答案； （2）①运用勾股定理即可求得答案；②如图2，连接OE ，利用圆周角定理可得出∠BOE ＝2∠BCE ＝60°，过点E 作EH ⊥OB 于H ，则∠OEH ＝30°，利用勾股定理可求得EH =√3，再运用扇形面积公式和三角形面积公式即可求得答案； （3）分两种情况：①当⊙O 与直线CD 相切时，由切线性质可得∠OFC ＝90°，进而可得OB ＝OF ＝x ，OC ＝4﹣x ，CF =12（4﹣x ），再由勾股定理建立方程求解即可；②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT ＝OB ＝x ，证明四边形ACOT 是矩形，即可得出答案【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝8，BC ＝4，∠ABC ＝60°．∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝8， ∴∠DCP ＝∠ABC ＝60°， ∴∠CDP ＝90°﹣∠DCP ＝30°， ∴CP =12CD ＝4， ∴⊙O 的半径x ＝4； （2）①∵点P 与点C 重合， ∴BC 为⊙O 的直径，∴∠BCE ＝90°﹣∠CBE ＝30°， ∴BE =12BC ＝2， 在Rt △BCE 中，CE =√BC 2−BE 2=√42−22=2√3； ②如图2，连接OE ， ∵BÊ=BE ̂， ∴∠BOE ＝2∠BCE ＝60°，∴OH =12OE ＝1，∴EH =√OE 2−OH 2=√22−12=√3， ∴S 阴影＝S 扇形OBE ﹣S △OBE=60π×22360−12×2×√3=2π3−√3；（3）①当⊙O 与直线CD 相切时，如图3，∴OF ⊥CD ， ∴∠OFC ＝90°， ∵∠OCF ＝∠ABC ＝60°， ∴∠COF ＝30°，∴CF =12OC ， ∵OB ＝OF ＝x ，∴OC ＝4﹣x ，CF =12（4﹣x ）， ∵CF 2+OF 2＝OC 2，∴[12（4﹣x ）]2+x 2＝（4﹣x ）2，解得：x ＝﹣12+8√3或x ＝﹣12﹣8√3（舍去），②当⊙O 与直线AD 相切时，如图4，过点O 作OT ⊥AD 于T ，连接AC ，则OT＝OB＝x，取AB的中点G，连接CG，∴BG＝AG=12AB＝4＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△BCG是等边三角形，∴CG＝BC＝4＝AG，∴∠BAC＝∠ACG＝30°，∴∠ACB＝90°，∴AC=√82−42=4√3，∴∠ACO＝90°，∴∠TOC＝∠DTO＝∠ATO＝90°＝∠ACO，∴四边形ACOT是矩形，∴x＝OT＝AC＝4√3；综上所述，x＝﹣12+8√3或4√3．28．（10分）已知四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2．（1）如图1，P是BD上一点，连接AP并延长，交BC的延长线于点E，交CD于点F，若CE＝4，①求CF的长；②求PF的长；（2）如图2，M是AD的中点，连接BM，过点M作MN⊥BM交BC的延长线于点N，点Q在BC上，连接MQ，分别过点B，N作直线MQ的垂线，垂足分别为C，H，若BG＝1，求GH的长；（3）如图3，J为AB上一点，L为BC上一点，BJ＝BL，分别过点J，L作BC，AB的平行线，两条直线交于点K，将四边形BJKL绕点B顺时针旋转，如图4，直线AJ交直线DK于点R，求AJDK的值及∠ARD的度数.【分析】（1）①利用菱形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；②过点A 作AT ⊥BC 于点T ，利用菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理求得AE 的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得AP ，AF ，则PF ＝AF ﹣AP ；（2）过点B 作BE ⊥AD ，交DA 的延长线于点E ，过点N 作NF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，利用菱形，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论； （3）连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O ，连接BK ，JL ，BK 与JL 交于点O ′，BD 与AR 交于点W ，利用菱形的性质，旋转的性质和相似三角形的判定与性质得到△ABJ ∽△DBK ，再利用相似三角形的性质得出结论；利用相似三角形的对应角相等，三角形的内角和定理和菱形的性质解答即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ∥AB ，BC ＝AB ＝2， ∴△EFC ∽△EAB ， ∴CF AB =EC EB ， ∴CF 2=44+2，∴CF =43；②过点A 作AT ⊥BC 于点T ，如图，∵∠ABC ＝60°，AB ＝2， ∴∠BAT ＝30°，∴BT ＝1，CT ＝BC ﹣BT ＝1， ∴AT =√AB 2−BT 2=√3， ∵CE ＝4， ∴TE ＝CT +CE ＝5，∴AE =√AT 2+TE 2=√3+25=2√7． ∵AD ∥BC ， ∴△APD ∽△EPB ， ∴AD BE =AP PE，∴26=AP PE，∴AP =13PE =14AE =√72．∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△ECF ， ∴AD CE =AF EF，∴24=AF EF ，∴AF =12EF =13AE =2√73， ∴PF ＝AF ﹣AP =√76；（2）过点B 作BE ⊥AD ，交DA 的延长线于点E ，过点N 作NF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，如图，∵BC ∥AD ，BE ⊥AD ，NF ⊥AD ， ∴四边形BEFN 为矩形， ∴BE ＝NF ．∵∠ABC ＝60°，AB ＝2， ∴∠ABE ＝30°， ∴AE =12AB ＝1，∴BE =√AB 2−AE 2=√3， ∴NF ＝BE =√3． ∵M 是AD 的中点， ∴AM =12AD ＝1， ∴EM ＝AE +AM ＝2， ∴BM =√BE 2+EM 2=√7． ∴MG =√BM 2−BG 2=√6． ∵MN ⊥BM ，∴∠BME +∠NMF ＝90°，∵∠EBM +∠EMB ＝90°， ∴∠EBM ＝∠FMN ． ∵∠BEM ＝∠MFN ＝90°， ∴△BEM ∽△NFM ， ∴ME MB =NF NM，∴√7=√3NM， ∴NM =√212．∵MN ⊥BM ，∴∠BMG +∠NMQ ＝90°， ∵∠BMG +∠MBG ＝90°， ∴∠MBG ＝∠＝NMQ ． ∵∠BGM ＝∠MHN ＝90°， ∴△MGB ∽△NHM ， ∴BM BG=NM MH，∴√71=√212MH， ∴MH =√32．∴GH ＝MG ﹣MH =√6−√32；（3）连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O ，连接BK ，JL ，BK 与JL 交于点O ′，BD 与AR 交于点W ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AC ⊥BD ，AO =12AC ，BO =12BD ，∠ABO =12∠ABC ＝30°，第31页（共31页） ∴AO =12AB ＝1，BO =√3，∴BD ＝2√3，∴BD AB =2√32=√3．∵四边形ABCD 是菱形，分别过点J ，L 作BC ，AB 的平行线，BJ ＝BL ， ∴四边形BJKL 是菱形，∠JBL ＝60°，∴BK ⊥JL ，BO ′=12BK ，JO ′=12JL ，∠JBO ′=12∠JBL ＝30°， ∴BO′BJ =cos30°=√32， ∴BK BJ =√3． ∴BD AB =BK BJ ．∵∠ABJ 和∠DBK 为旋转角，∴∠ABJ ＝∠DBK ，∴△ABJ ∽△DBK ，∴AJ DK =AB BD =√3=√33． ∵△ABJ ∽△DBK ，∴∠BAJ ＝∠BDK ．∵在△ABW 和△DRW 中，∵∠BAJ ＝∠BDK ，∠BWA ＝∠DWR ，∴∠ABW ＝∠ARD ，∴∠ARD ＝∠ABW ＝∠ABD ＝30°．。
2020-2021学年江苏省无锡市九年级四模数学试题及答案解析
中考数学模拟试题注意事项：1．本试卷包含选择题（第1题～第10题，共10题）、非选择题（第11题～第28题，共18题）两部分．本卷满分130分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号填写在答题纸相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好．3．所有的试题都必须在专用的“答题纸”上作答，选择题用2B铅笔作答、非选择题在指定位置用0.5毫米黑色水笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．）1．－5的相反数是（▲）A．15B．15C．5 D．－52．下列运算正确的是（▲）A．(－2x2)3＝－6x6B．(y＋x)(－y＋x)＝y2－x2 C．2x＋2y＝4xy D．x4÷x2＝x23．下列各式中，是3a2b的同类项的是（▲）A．2x2y B．―2ab2C．a2b D．3ab4．某中学足球队的18名队员的年龄情况如下表：年龄（单位：岁）14 15 16 17 18人数 3 6 4 4 1则这些队员年龄的众数和中位数分别是 （ ▲ ） A ．15，15 B ．15，15.5 C ．15，16D ．16，155．如图，直线a ∥b ，EF ⊥CD 于点F ，∠2＝25°，则∠1的度数是 （ ▲ ） A ．155° B ．135° C ．125° D ．115°6．若双曲线y ＝m 2―2m x 过点（2，6），则该双曲线一定过点 （ ▲ ）A ．（―3，―4）B ．（4，―3）C ．（―6，2）D ．（4，4）7．如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则以DE 为直径的圆与BC 的位置关系是 （ ▲ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．无法确定8．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，abC DEF1 2 （第5题）（第8题）（第7题）A BCD B ′（第10题）则任两个螺丝间的距离的最大值为 （ ▲ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．109．若A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是一次函数y ＝ax ＋x ―2图像上的不同的两点，记m ＝(x 1―x 2)( y 1―y 2)，则当m ＜0时，a 的取值范围是 （ ▲ ） A ．a ＜0 B ．a ＞0 C ．a ＜―1 D ．a ＞―110．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14，有如下结论：①BC 的边长等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠前的△ABC 的面积可以等于33a 2；④折叠后，以A 、B 为端点的线段与中线CD 一定平行且相等，其中正确的结论是 （ ▲ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．处） 11．16的平方根是 ▲ ．12．国家提倡“低碳减排”，某公司计划建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，将数据213000000用科学记数法表示为 ▲ ． 13．函数23y x =+中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 14．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为▲ ．15．已知圆柱体的底面圆周长是6πcm ，母线长为5cm ，则该圆柱体的全面积为 ▲ cm 2．16．如图，BD 为⊙O 的直径，点A 为¼BDC的中点，∠ABD ＝35º，则∠DBC＝ ▲ º．17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为 ▲ ．18．如图，等腰梯形ABCD ，AB ∥CD ，AB ＝32，DC ＝2，对角线AC ⊥BD ，平行于线段BD 的直线MN 、RQ 分别以1个单位/秒、2个单位/秒的速度同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ，当直线RQ 到达点C 时两直线同时停止运动．记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为S 1，被直线RQ 扫过的面积为S 2，若S 2＝mS 1，则m 的最小值是 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （本题满分8分）（1）计算：22cos4523-︒--+；（2）化简：2121a a a a a -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭.20. （本题满分8分）（1）解方程：111=+-x x x ； （2）解不等式组：12,5 1.2x x x+≤⎧⎪⎨->⎪⎩．21.（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，分别连接BE 、DF 、BD ． （1）求证：△AEB ≌△CFD ；（2）若四边形EBFD 是菱形，求∠ABD 的度数．22．（本题满分8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）参与调查的学生及家长共有 ▲人；（2）在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是 ▲ 度； （3）在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生人数是 ▲ 人；（4）若全校有1200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有多少人？ABCDFE（第21题）23．（本题满分6分）为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练．物理、化学各有4个不同的操作实验题目，物理用番号①、②、③、④代表，化学用字母a、b、c、d表示．测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）请用树形图或列表法，表示某个同学抽签的各种可能情况；（2）小张同学对物理的①、②和化学的b、c的号实验准备得较好，他同时抽到两科都准备较好的实验题目的概率是多少？24．（本题8分）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30º，在A、C之间选择一点B （A、B、得塔顶D的仰角为75º，且AB间距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（第24题）（2）求塔高CD（结果用根号表示）．25．（本题满分10分）某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金m 元；（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：表1分段方式处理办法 不超过150元（含150元）全部由个人承担超过150元，不超过10000元（不含150元，含10000元）的部分个人承担n%，剩余部分由公司承担超过10000元（不含10000元）的部分全部由公司承担 设一职工当年治病花费的医疗费为x 元，他个人实际承担的费用（包括医疗费个人承担的部分和缴纳的医疗公积金m 元）为y 元．（1）由表1可知，当0150x ≤≤时，y x m =+；那么，当15010000x <≤时，y = ▲ ； （用含m 、n 、x 的方式表示）（2）该公司职工小陈和大李2013年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：职工 治病花费的医疗费x （元）个人实际承担的费用y （元）小陈 300 280 大李500320请根据表2中的信息，求m 、n 的值，并求出当15010000x <≤时，y 关于x 函数解析式； （3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？26．（本题满分10分）如图，矩形OABC （4，―2）．抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点．yABCO（1）求抛物线的解析式；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当△APQ的面积恰好被AC平分时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，直接写出点H的纵坐标的取值范围．27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发．（1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；（2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；（3）过点A作AC⊥AB，AC交射线PQ于点C，连接BC，D是BC的中点．在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，试求出这时tan ∠ABC 的值；若不存在，试说明理由．28．（本题满分8分）已知正方形ABCD 的边长AB ＝k （k 是正整数），正△PAE 的顶点P 在正方形内，顶点E 在边AB 上，且AE ＝1. 将△PAE 在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB 、BC 、CD 、DA 、AB 、……连续地翻转n 次，使顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置. （1）如果我们把正方形ABCD 的边展开在一直线上，那么这一翻转过 程可以看作是△PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图2是k ＝1时，△PAE 沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索：若k ＝1，则△PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n ＝ ▲ 时，顶点．．P ．第一次回到原来的起始位置.P （图1）（图2）yxOQPABDC yxOQPAB（2）若k＝2，则n＝▲时，顶点P．第一次回到原来的起始位置；若k＝3，则．．n＝▲时，顶点P．第一次回到原来的起始位置.．．（3）请你猜测：使顶点P．第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代．．数式表示n）.中考模拟考试(二)数 学 参 考 答 案三、解答题：本大题共10小题，共84分.19. （本题满分8分，每题4分）（1）原式＝ 2122329'⨯-+L L （2）221(1)=2a a a a--'÷原式L L ＝149'L L ＝141a a +'-L L 20. （本题满分8分，每题4分）（1）21(1)2x x x x '+-=-L L （2）解①得：x ≥1……1′ 132x '=L L 解②得：x ＜3……2′ 检验……4′ ∴1≤x ＜3……4′21. （本题满分8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝BC ，AB ＝CD ．……………2分 ∵点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴AE ＝12AD ，FC ＝12B C ．∴AE ＝CF ．……………………3分∴△AE B≌△CFD．4分（2）解：∵四边形EBFD是菱形，∴BE＝DE．……………………………5分∴∠EBD＝∠EDB．……………………6分∵AE＝DE，∴BE＝AE．∴∠A＝∠ABE．……………………7分∵∠EBD＋∠EDB＋∠A＋∠ABE＝180°，∴∠ABD＝∠ABE＋∠EBD＝12×180°＝90°．………………8分22. （本题满分8分）（1）400；………2分（2）135；………4分（3）62；…………6分（4）调查的学生的总人数是：62＋73＋54＋16＝205（人），对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是62＋73＝135（人），则全校有1200名学生中，达到“非常了解”和“基本了解”的学生是：1200×≈790（人）．…………8分23. （本题满分6分）解：（1）画树状图得：∴某个同学抽签的所有等可能情况有16种；………………………………………4分（2）∵小张同时抽到两科都准备的较好的实验题目的有①b，①c，②b，②c共4种情况，∴他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是＝．………………6分25．（本题满分10分）解：（1）()150150%y m x n =++- ………………………（2分） （2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：()()150300150%28010020150500150%320,m n m n m n ++-=⎧=⎧⎪⎨⎨=++-=⎩⎪⎩g g 解得： ………………………（6分） ()()1150********%220150100005y x x x ∴=++-=+≤p …………（8分） （3）个人实际承担的费用最多只需2220元． …………………………………（10分）26．（本题满分10分）解：（1）抛物线242y x x =--…………………………3分（2）①当1＜t ≤97时，如图1．若AC 平分△APQ 面积，则M 为PQ 中点， 作PN ⊥AB 交AC 于点N ，则AQ=PN=7（t-1） 由△APN ∽△ABC ，解得t=1413． …………………4分当97＜t ≤137时，如图2． 若AC 平分△APQ 面积，则M 为PQ 中点， ∴AP=CQ=t ，7（t-1）+t=6，解得t=138． …………………5分当137＜t ≤157时，AC 不可能平分△APQ 的面积．…………………6分 ∴当t=1413或138时，△APQ 的面积被AC 平分．②当H 2y <-或H 1423y >时，∠HOQ ＞∠POQ ．……………………10分（各2分）27．（本题满分10分）（图2）解：（1）Q ⎪⎭⎫⎝⎛3,425或()3,4 …………2分（少一解扣1分）（2）点E 为AB 的中点．……3分 理由．………5分（3）①当点C 在线段PQ 上时，延长BQ 与AC 的延长线交于点F ，过点F 作FH ⊥x 轴，垂足为H ； ∵ AC ⊥AB∴HA OB F A ∽△△∴FH AO FA AB = 即345=FA∴415=FA∵ DQ ∥AC ，DQ ＝AC ，且D 为BC 中点∴ F C ＝2DQ ＝2AC ，∴45=AC ，在Rt △BAC 中， tan ∠ABC ＝41………8分②当点C 在PQ 的延长线上时，tan ∠ABC ＝49．……………………………………10分28．（本题满分8分）（1）12次 ………………2分 （2）24次；12次；……………………4分（3）当k 是3的倍数时，n ＝4k ；当k 不是3的倍数时，n ＝12k. …………8分DCyxOQPABF。
2022年江苏省无锡市梁溪区九年级数学第一学期期末检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）1．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）A ．甲组B ．乙组C ．丙组D ．丁组2．在校田径运动会上，小明和其他三名选手参加100米预赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道．若小明首先抽签，则小明抽到1号跑道的概率是（ ）A ．116B ．14C ．13D ．123．如图，在直线l 上有相距7cm 的两点A 和O （点A 在点O 的右侧），以O 为圆心作半径为1cm 的圆，过点A 作直线AB l ⊥.将O 以2cm /s 的速度向右移动（点O 始终在直线l 上），则O 与直线AB 在______秒时相切.A ．3B ．3.5C ．3或4D ．3或3.5 4．一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（ ）A ．m=1．n=7B ．m=﹣1，n=7C ．m=﹣1，n=1D ．m=1，n=﹣75．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ）A ．摸出黑球的可能性最小B ．不可能摸出白球C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大6．抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜2B ．m ＞2C ．0＜m≤2D ．m ＜﹣27．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，且E 是CD 的中点，∠CDB=30°，3（ ）A ．πB ．3πC ．6πD ．12π8．在平面直角坐标系中，将()1,4A -关于x 轴的对称点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，则点B '的坐标是（ ） A ．()1,4-- B ．()4,1- C ．()41-, D ．()4,1--9．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．2πC ．4D ．4π10．如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O 与AC 相切于点D ，BD 平分ABC ∠，3AD OD =，12AB =，CD 的长是（ ）A ．23B ．2C ．33D ．311．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．12×108B ．1.2×108C ．1.2×109D ．0.12×10912．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则函数值y 随x 值的增大而减小时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜2D ．x ＞2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，这是二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象，根据图象可知，函数值小于0时x 的取值范围为_____．14．已知正六边形的边长为4cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm ．（结果保留π）15．在ABC ∆中，若A ∠、B 满足1sin tan 302A B -+-=，则ABC ∆为________三角形． 16．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．17．天水市某校从三名男生和两名女生中选出两名同学做为“伏羲文化节”的志愿者，则选出一男一女的概率为 ．18．若m 是方程22310x x -+=的根，则2692019m m ++-的值为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，已知点B 的坐标是（-2，0)，点C 的坐标是（8，0)，以线段BC 为直径作⊙A ，交y 轴的正半轴于点D ，过B 、C 、D 三点作抛物线.（1）求抛物线的解析式；（2）连结BD ，CD ，点E 是BD 延长线上一点，∠CDE 的角平分线DF 交⊙A 于点F ，连结CF ，在直线BE 上找一点P ，使得△PFC 的周长最小，并求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G ，使得∠GFC=∠DCF ，若存在，请直接．．写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.20．（8分）如图，在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且BD DC AC ==，已知108ACE ∠=︒，2BC =． （1）求B 的度数；（2）我们把有一个内角等于36︒的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比512-． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD 的长．21．（8分）已知抛物线()22y a x c =-+经过点()2,0A 和 90,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ． （1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点,E F 分别在线段,AB BD 上（E 点不与,A B 重合），且DEF A ∠=∠，则DEF ∆能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，且PBD CBDS m S ∆∆=，试确定满足条件的点P 的个数．22．（10分）如图，二次函数y=（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x ﹣2）2+m 的x 的取值范围．23．（10分）已知四边形ABCD 为O 的内接四边形，直径AC 与对角线BD 相交于点E ，作CH BD ⊥于H ，CH 与过A 点的直线相交于点F ，FAD ABD ∠=∠.（1）求证：AF 为O 的切线；（2）若BD 平分ABC ∠，求证：DA DC =；（3）在（2）的条件下，N 为AF 的中点，连接EN ，若135AED AEN ∠+∠=︒，O 的半径为2EN 的长. 24．（10分）如图，AB 是O 的直径，AC 为弦，BAC ∠的平分线交O 于点D ，过点D 的切线交AC 的延长线于点E ．求证：()1DE AE ⊥； ()2AE CE AB +=．25．（12分）山西是我国酿酒最早的地区之一，山西酿酒业迄今为止已有4000余年的历史.在漫长的历史进程中，山西人民酿造出品种繁多、驰名中外的美酒佳酿，其中以汾酒、竹叶青酒最为有名.某烟酒超市卖有竹叶青酒，每瓶成本价是50元，经调查发现，当售价为100元时，每天可以售出50瓶，售价每降低1元，可多售出5瓶（售价不高于100元）（1）售价为多少时可以使每天的利润最大？最大利润是多少？（2）要使每天的利润不低于4000元，每瓶竹叶青酒的售价应该控制在什么范围内？26．如图，Rt ABO ∆的顶点A 是双曲线k y x=与直线()1y x k =--+在第二象限的交点．AB x ⊥轴于B ，且32ABO S ∆=．（1）求反比例函数的解析式；（2）直线与双曲线交点为A 、C ，记AOC ∆的面积为1S ，AOB ∆的面积为2S ，求12:S S参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】试题分析：大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故答案选D ．考点：事件概率的估计值.2、B【详解】解：小明选择跑道有4种结果，抽到跑道1只有一种结果，小明抽到1号跑道的概率是14 故选B ．【点睛】本题考查概率．3、C【分析】根据O 与直线AB 的相对位置分类讨论：当O 在直线AB 左侧并与直线AB 相切时，根据题意，先计算O运动的路程，从而求出运动时间；当O 在直线AB 右侧并与直线AB 相切时，原理同上. 【详解】解：当O 在直线AB 左侧并与直线AB 相切时，如图所示1O ∵1O 的半径为1cm ，AO=7cm ∴O 运动的路程1OO =AO －1AO =6cm ∵O 以2cm /s 的速度向右移动∴此时的运动时间为：1OO ÷2=3s ；当O 在直线AB 右侧并与直线AB 相切时，如图所示2O∵2O 的半径为1cm ，AO=7cm∴O 运动的路程2OO =AO ＋2AO =8cm ∵O 以2cm /s 的速度向右移动∴此时的运动时间为：2OO ÷2=4s ；综上所述：O 与直线AB 在3或4秒时相切故选：C.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系：相切和动圆问题，掌握相切的定义和行程问题公式：时间=路程÷速度是解决此题的关键.4、B【解析】先把（x+m ）1=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 1-4x-3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）1=n 可化为：x 1+1mx+m 1-n=0，∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩故选：B ．【点睛】此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．5、D【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球， ∴摸出黑球的概率是223， 摸出白球的概率是123， 摸出红球的概率是2023， ∵123＜223＜2023， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D ．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．6、A【解析】试题分析：由题意知抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点，所以△=b 2﹣4ac ＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m ＜2，故答案选A ．考点：抛物线与x 轴的交点．7、D【解析】根据题意得出△COB 是等边三角形，进而得出CD ⊥AB ，再利用垂径定理以及锐角三角函数关系得出CO 的长，进而结合扇形面积求出答案．【详解】解：连接BC ，∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，又∵CO=BO ，∴△COB 是等边三角形，∵E 为OB 的中点，∴CD ⊥AB ，∵CD=63， ∴EC=33，∴sin60°×CO=33，解得：CO=6，故阴影部分的面积为：21206360π⨯=12π． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了垂径定理以及锐角三角函数和扇形面积求法等知识，正确得出CO 的长是解题关键．8、C【分析】先求出点B 的坐标，再根据旋转图形的性质求得点B '的坐标【详解】由题意，()1,4A -关于x 轴的对称点B 的坐标为（-1，-4），如图所示，点B 绕原点逆时针旋转90︒得到B '，过点B’作x 轴的垂线，垂足为点C则OC=4，B’C=1，所以点B’的坐标为()41-,故答案选：C.【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.9、B【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积），代入数值解答即可．【详解】∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，∴BC ＝，∠ACB ＝∠A 'CB '＝45°， ∴阴影部分的面积＝＝2π，故选B ．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB '的面积﹣△CA 'B '的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA '的面积）是解决问题的关键.10、A【分析】由切线的性质得出AC OD ⊥， 求出30A ∠︒＝ ，证出ODB CBD ∠∠＝ ，得出//OD BC ，得出90C ADO ∠∠︒＝＝，由直角三角形的性质得出16063632ABC BC AB AC BC ∠︒＝，＝＝，＝＝，得出30CBD ∠︒＝ ，再由直角三角形的性质即可得出结果．【详解】解：∵O 与AC 相切于点D ，903330//90160636323033623AC OD ADO AD OD OD tanA AD A BD ABC OBD CBD OB OD OBD ODB ODB CBD OD BC C ADO ABC BC AB AC BC CBD CD ∴⊥∴∠︒∴∴∠︒∠∴∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∠∠︒∴∠︒∴∠︒∴，＝，＝，＝＝＝，平分，＝，＝，＝，＝，，＝＝，＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝＝；故选A．【点睛】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等OD BC是解题的关键．知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出//11、B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】120 000 000＝1.2×108，故选：B．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、A【分析】首先根据抛物线与坐标轴的交点确定对称轴，然后根据其开口方向确定当x满足什么条件数值y随x值的增大而减小即可．【详解】∵二次函数的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，∴AB中点坐标为（1，0），而点A与点B是抛物线上的对称点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵开口向上，∴当x＜1时，y随着x的增大而减小，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及判断方法是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、﹣1＜x＜1．【分析】根据图象直接可以得出答案【详解】如图，从二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣1的图象中可以看出函数值小于0时x 的取值范围为：﹣1＜x ＜1【点睛】此题重点考察学生对二次函数图象的理解，抓住图象性质是解题的关键14、8π【解析】试题分析：先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式．解：方法一：先求出正六边形的每一个内角==120°， 所得到的三条弧的长度之和=3×=8π（cm ）；方法二：先求出正六边形的每一个外角为60°，得正六边形的每一个内角120°，每条弧的度数为120°，三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为8πcm ．故答案为8π．考点：弧长的计算；正多边形和圆．15、直角【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A 和∠B ，即可作出判断． 【详解】∵1sin tan 302A B -+-=， ∴1sin 02A -=，tan 30B -=， ∴1sin 2A =，tan 3B = ∵1sin 302︒=，tan 603︒= ∴∠A=30°，∠B=60°，∴180?180306090C A B ∠∠∠=︒--=︒-︒-︒=︒，∴△ABC 是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．16、－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．17、【解析】试题分析：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，∴选出一男一女的概率为：．故答案为．考点：列表法与树状图法求概率18、1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m2−3m+1＝0，∴2m2−3m＝-1∴原式＝-3（2m2−3m）＋2019＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．三、解答题（共78分）19、（1）213442y x x =-++；（2）428,55⎛⎫ ⎪⎝⎭P ；（3）124,(73⎛+-- ⎝⎭G G 【分析】（1）由BC 是直径证得∠OCD=∠BDO,从而得到△BOD ∽△DOC,根据线段成比例求出OD 的长， 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),将点D 坐标代入即可得到解析式；（2）利用角平分线求出45CDF，得到90CAF ，从而得出点F 的坐标（3,5），再延长延长CD 至点C '，可使CD C D ,得到C '(-8，8)，求出C 'F 的解析式，与直线BD 的交点坐标即为点P ，此时△PFC 的周长最小；（3）先假设存在，①利用弧等圆周角相等把点D 、F 绕点A 顺时针旋转90︒，使点F 与点B 重合，点G 与点Q 重合，则Q 1(7，3),符合1CQ DF ，求出直线FQ 1的解析式，与抛物线的交点即为点G 1，②根据对称性得到点Q 2的坐标，再求出直线FQ 2的解析式，与抛物线的交点即为点G 2，由此证得存在点G .【详解】（1）∵以线段BC 为直径作⊙A,交y 轴的正半轴于点D ，∴∠BDO+∠ODC=90︒,∵∠OCD+∠ODC=90︒,∴∠OCD=∠BDO,∵∠DOC=∠DOB=90︒,∴△BOD ∽△DOC, ∴OB OD ODOC , ∵B （-2，0)，C （8，0)， ∴28OD OD , 解得OD=4(负值舍去)，∴D （0,4）设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8),∴4=a(0+2)(0-8),解得a=14-， ∴二次函数的解析式为y=14-(x+2)(x-8),即213442y x x =-++.（2）∵BC为⊙A的直径，且B（-2，0)，C（8，0)，∴OA=3,A(3,0),∴点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，∴11904522CDF CDE,连接AF，则224590CAF CDF, ∵OA=3，AF=5∴F(3，5)∵∠CDB=90︒,∴延长CD至点C'，可使CD C D,∴C'(-8，8)，连接C'F叫BE于点P，再连接PF、PC，此时△PFC的周长最短，解得C'F的解析式为3641111y x，BD的解析式为y=2x+4,可得交点P428 (,) 55.（3）存在；假设存在点G，使∠GFC=∠DCF，设射线GF交⊙A于点Q,①∵A(3，0),F(3，5),C(8，0),D(0，4),∴把点D 、F 绕点A 顺时针旋转90︒，使点F 与点B 重合，点G 与点Q 重合，则Q 1(7，3),符合1CQ DF ， ∵F(3，5),Q 1(7，3),∴直线FQ 1的解析式为11322y x ， 解21132213442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，得114x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，224x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去）， ∴G 196(46,)2；②Q 1关于x 轴对称点Q 2(7，-3),符合2CQ DF ，∵F(3，5),Q 2(7，3),∴直线FQ 2的解析式为y=-2x+11, 解221113442y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，得1173x y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，2273x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩， ∴G 2(721,3221)综上，存在点G 96(46,)2或(721,3221)，使得∠GFC=∠DCF.【点睛】 此题是二次函数的综合题，（1）考查待定系数法求函数解析式，需要先证明三角形相似，由此求得线段OD 的长，才能求出解析式；（2）考查最短路径问题，此问的关键是求出点F 的坐标，由此延长CD 至点C '，使CD C D ,得到点C '的坐标从而求得交点P 的坐标；③是难点，根据等弧所对的圆心角相等将弧DF 旋转，求出与圆的交点Q 1坐标，从而求出直线与抛物线的交点坐标即点G 的坐标；再根据对称性求得点Q 2的坐标，再求出直线与抛物线的交点G 的坐标.20、（1）36︒；（2）①有三个：,,BDCADC BAC ∆∆∆，理由见解析；②3【分析】（1）设B x ∠=，根据题意得到,2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，由三角形的外角性质，即可求出x 的值，从而得到答案；（2）①根据黄金三角形的定义，即可得到答案；②由①可知，BAC ∆是黄金三角形，则根据比例关系，求出1BD AC ==，然后求出AD 的长度.【详解】解：（1）BD DC AC ==， 则,B DCB CDA A ∠=∠∠=∠， 设B x ∠=，则,2DCB x CDA A x ∠=∠=∠=，又108ACE ∠=︒，108B A ︒∴∠+∠=，2108x x ∴+=，解得：36x ︒=，36B ︒∴∠=；（2）①有三个：,,BDC ADC BAC ∆∆∆,36DB DC B ︒=∠=DBC ∴∆是黄金三角形；或,18036CD CA ACD CDA A =∠=︒-∠-∠=︒，CDA ∆∴是黄金三角形；或108ACE ︒∠=，72ACB ︒∴∠=，又272A x ∠==︒，A ACB ∴∠=∠，BA BC ∴=，BAC ∆∴是黄金三角形；②∵BAC ∆是黄金三角形，AC BC ∴= 2BC =，1AC ∴=，2,1BA BC BD AC ====，21)3AD BA BD ∴=-=-=-【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及黄金三角形的定义，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质．21、（1）()2,3；（2）可能，BE 的长为5或258；（3）当3010m <<时，满足条件的点P 的个数有4个，当310m =时，满足条件的点P 的个数有3个，当310m >时，满足条件的点P 的个数有2个（此时点P 在BD 的左侧）． 【解析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．（2）可能分三种情形①当DE DF =时，②当DE EF =时，③当DF EF =时，分别求解即可．（3）如图2中，连接BD ，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH AB ⊥于H ，连接,,PD PH PB ．设()23,2316P n n ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦，构建二次函数求出PBD ∆的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题． 【详解】（1）由题意： 160944a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3163a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为23(2)316y x =--+， ∴顶点D 坐标()2,3．（2）可能．如图1，(2,0),(2,3),(6,0)A D B -8,5AB AD BD ∴===①当D E=D F 时，DFE DEF ABD ∠=∠=∠//EF AB ∴，此时E 与B 重合，与条件矛盾，不成立．②当DE EF =时，又~BEF AED ∆∆，BEF AED ∴∆≅∆，5BE AD ∴==③当DF EF =时，EDF DEF DAB DBA ∠=∠=∠=∠~FDE DAB ∆∆ DE BD AB EF ∴= EF BD 5DE AB 8∴==， ~AEF BCE ∆∆EF 5AD DE 8EB ∴==， 52588EB AD ∴== 答：当BE 的长为5或258时，CFE ∆为等腰三角形． （3）如图2中，连接BD ，当点P 在线段BD 的右侧时，作DH AB ⊥于H ，连接,,PD PH PB ．设()23,2316P n n ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦则PBD PDH BDH PBH S S S S +∆∆∆=-2134(2)3216n ⎡⎤=⨯⨯--+⎢⎥⎣⎦113(2)4322n +⨯⨯--⨯⨯=()233482n =--+ 308-< 4n ∴=时，PBD ∆的面积的最大值为32，PBD CBD S m S ∆∆= ∴当点P 在BD 的右侧时，m 的最大值332510==， 观察图象可知：当3010m <<时，满足条件的点P 的个数有4个， 当310m =时，满足条件的点P 的个数有3个，当310m>时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．22、（1）二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1；一次函数解析式为y=x﹣1．（2）1≤x≤2．【分析】（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式．（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．【详解】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得，（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1．∴二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1．当x=0时，y=2﹣1=3，∴C点坐标为（0，3）．∵二次函数y=（x﹣2）2﹣1的对称轴为x=2，C和B关于对称轴对称，∴B点坐标为（2，3）．将A（1，0）、B（2，3）代入y=kx+b得，k+b=0 {4k+b=3，解得k=1{b=1-．∴一次函数解析式为y=x﹣1．（2）∵A、B坐标为（1，0），（2，3），∴当kx+b≥（x﹣2）2+m时，直线y=x﹣1的图象在二次函数y=（x﹣2）2﹣1的图象上方或相交，此时1≤x≤2．23、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）NE=【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，得到∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC+∠DCA=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠FAD+∠DAC=90°，即可得出结论；（2）连接OD．根据圆周角定理和角平分线定义可得∠DOA=∠DOC，即可得出结论；（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．可求出AD=4，AF∥OM．根据三角形中位线定理得出OM=12 AF．证明△ODE≌△OCM，得到OE=OM．设OM=m，用m表示出OE，AE，AP，DP．通过证明△EAN∽△DPE，根据相似三角形对应边成比例，求出m的值，从而求得AN，AE的值．在Rt△NAE中，由勾股定理即可得出结论．【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°．∵AD AD=，∴∠ABD=∠DCA．∵∠FAD=∠ABD，∴∠FAD=∠DCA，∴∠FAD+∠DAC=90°，∴CA⊥AF，∴AF为⊙O的切线．（2）连接OD．∵AD AD=，∴∠ABD=12∠AOD．∵DC DC=，∴∠DBC=12∠DOC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠DOA=∠DOC，∴DA=DC．（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°．∵DA=DC，∴DO⊥AC，∴∠FAC=∠DOC=90°，AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=45°，AF∥OM．∵AO=OC，∴OM=12 AF．∵∠ODE+∠DEO=90°，∠OCM+∠DEO=90°，∴∠ODE=∠OCM．∵∠DOE=∠COM，OD=OC，∴△ODE≌△OCM，∴OE=OM．设OM=m，∴OE=m，AE m=，2AP PE==-，∴2DP=+．∵∠AED+∠AEN=135°，∠AED+∠ADE=135°，∴∠AEN=∠ADE．∵∠EAN=∠DPE，∴△EAN∽△DPE，∴AE ANDP PE=，22=∴m，∴AN，AE=，由勾股定理得：NE=【点睛】本题是圆的综合题．考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识．用含m 的代数式表示出相关线段的长是解答本题的关键．24、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)连接OD ，根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质可得出∠CAD=∠ODA ，利用“内错角相等，两直线平行”可得出AE//OD ，结合切线的性质即可证出DE ⊥AE ；(2)过点D 作DM ⊥AB 于点M ，连接CD 、DB ，根据角平分线的性质可得出DE=DM ，结合AD=AD 、∠AED=∠AMD=90°即可证出△DAE ≌△DAM(SAS)，根据全等三角形的性质可得出AE=AM ，由∠EAD=∠MAD 可得出CD BD =，进而可得出CD=BD ，结合DE=DM 可证出Rt △DEC ≌Rt △DMB(HL)，根据全等三角形的性质可得出CE=BM ，结合AB=AM+BM 即可证出AE+CE=AB ．【详解】()1连接OD ，如图1所示，OA OD =，AD 平分BAC ∠，OAD ODA ∠∠∴=，CAD OAD ∠∠=，CAD ODA ∠∠∴=，AE //OD ∴， DE 是O 的切线，ODE 90∠∴=，OD DE ∴⊥，DE AE ∴⊥；()2过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接CD 、DB ，如图2所示，AD 平分BAC ∠，DE AE ⊥，DM AB ⊥，DE DM ∴=，在DAE 和DAM 中，90DE DM AED AMD AD AD =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，DAE ∴≌()DAM SAS ，AE AM ∴=，EAD MAD ∠∠=，CD BD ∴=，CD BD ∴=，在Rt DEC 和Rt DMB 中，{DE DMCD BD ==， Rt DEC ∴≌()Rt DMB HL ，CE BM ∴=，AE CE AM BM AB ∴+=+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是：(1)利用平行线的判定定理找出AE//OD ；(2)利用全等三角形的性质找出AE=AM 、CE=BM ．25、（1）每瓶竹叶青酒售价为80元时，利润最大，最大利润为4500元；（2）要使每天利润不低于4000元，每瓶竹叶青酒售价应控制在70元到90元之间.【分析】（1）设每瓶竹叶青酒售价为x 元，每天的销售利润为y 元，根据“当售价为100元时，每天可以售出50瓶，售价每降低1元，可多售出5瓶”即可列出二次函数，再整理成顶点式即可得出；（2）由题意得()258045004000y x =--+=，再根据二次函数的性质即可得出.【详解】解：（1）设每瓶竹叶青酒售价为x 元，每天的销售利润为y 元.则： ()()50505100y x x =-+-⎡⎤⎣⎦，整理得：()25804500y x =--+. 50-<，∴当80x =时，y 取得最大值4500.∴每瓶竹叶青酒售价为80元时，利润最大，最大利润为4500元.（2）每天的利润为4000元时，()258045004000y x =--+=.解得：170x =，290x =. 50-<，由二次函数图象的性质可知，4000y ≥时，7090x ≤≤.∴要使每天利润不低于4000元，每瓶竹叶青酒售价应控制在70元到90元之间.【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意找到关系式是解题的关键.26、（1）3y x=-；（2）12S :S 8:3= 【分析】（1）由13222∆=⨯⨯==ABO k S OB AB 可得3k =，再根据函数图像可得3k =-，即可得到函数解析式. （2）先求得一次函数解析式，再联立方程组求得点A 和点C 的坐标，记直线AC 与x 轴的交点为D ，求得D 点坐标为()2,0，111422C S OD AB OD y =⋅+⋅=，即可求得12:S S . 【详解】解：（1）∵13222∆=⨯⨯==ABO k S OB AB ， ∴3k =双曲线在二、四象限 3k ∴=-∴反比例函数的解析式为3y x=-（2）由（1）可得3k =-，代入可得一次函数的解析式为2y x =-+， 联立方程组23y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩， 得11x =-，23x =易求得点A 为()1,3-，点C 为()3,1-记直线AC 与x 轴的交点为D ，在2y x =-+中，当y=0，则x=2，∴D 点坐标为()2,0111422C S OD AB OD y =⋅+⋅=，23S 2=， 12S :S 8:3∴=．【点睛】此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．。
2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷(人教版)
2021-2022学年度第一学期期末考试九年级 数学一、 选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为A 、8人B 、9人C 、10人D 、11人 3．下列说法中正确的是 A ．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件；B ．某次抽奖活动中奖的概率为1001，说明每买100张奖券，一定有一次中奖；C ．想了解兴仁县城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查．D ．我县未来三天内肯定下雪； 4．若2(1)10x +-=，则x 的值等于A ．1±B ．2±C ．0或2D ．0或2- 5．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC ＝60°，∠C ＝90°）绕B 点 按顺时针方向转动一个角度到A 1BC 1的位置，使得点A ，B ，C 1在同一条直线上， 那么这个角度等于A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°6．将方程2650x x --=化为()2x m n +=的形式，则m ，n 的值分别是A.3和5B.3-和5C.3-和14D.3和14 7．如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC 的度数是A.110°B.70°C.55°D.125° 8．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53cm9．同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰（10题图） 第7题 第8题 C 1A 1CBA子向上的一面的点数和为8的概率为 A.91 B.365 C.61 D.367 10．如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是 Ａ．74 Ｂ．73 Ｃ．72 Ｄ．71 二、填空题（每小题3分，共24分）11．关于x 的方程210mx mx ++=有两个相等的实数根，那么m = ． 12． 当a _______ 时，二次根式a -3在实数范围内有意义.14．如图，在同心圆⊙O 中，AB 是大圆的直径，AC 是大圆的弦，AC 与小圆相切于点D ，若小圆的半径为3cm ，则BC= cm ．15．在一元二次方程02=++c bx ax 中，若a 、b 、c 满足关系式0=+-c b a ，则这个方程必有一个根值为 ．16．布袋中装有1个红球，2个白球，3个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球．．的概率是 ． 17．若两圆相切,圆心距为8cm ,其中一个圆的半径为12cm ,则另一个圆的半径为______. 18．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=_________三、解答题：19.（8分）解方程：（１）0)2()2(2=-+-x x x （２） 2210x x --=20、（6分）已知：关于x 的方程2210x kx +-=⑴求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若方程的一个根是－1，求另一个根及k值．21、（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。
2021年九年级上学期期末考试数学人教版试题(必刷卷二十四+答案)
2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十四）一．选择题（共10小题，满分30分）1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.将二次函数y=﹣2x 2+6x﹣4配成顶点式为（ ） A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 3.根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ）A. 锄禾日当午，汗滴禾下土B. 白日依山尽，黄河入海流C. 离离原上草，一岁一枯荣D. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟4.如图，AB 是﹣O 的直径，点C﹣D 在﹣O 上．若﹣ABD=55°，则﹣BCD 的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ﹣A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠06.已知⊙O 的直径CD=10cm﹣AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（ ）cm 或 或7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）A. 49B. 13C. 29D. 198.已知函数y=﹣﹣x﹣m﹣﹣x﹣n﹣+3，并且a﹣b 是方程（x﹣m﹣﹣x﹣n﹣=3的两个根，则实数m﹣n﹣a﹣b 的大小关系可能是（ ）A. m﹣a﹣b﹣nB. m﹣a﹣n﹣bC. a﹣m﹣b﹣nD. a﹣m﹣n﹣b9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用﹣当房价定为多少元时﹣宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ﹣ A. ﹣180+x﹣20﹣﹣50﹣10x ﹣=10890 B. ﹣x﹣20﹣﹣50﹣18010x ﹣=10890 C. x﹣50﹣ 18010x ﹣﹣50×20=10890 D. ﹣x+180﹣﹣50﹣10x ﹣﹣50×20=10890 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c﹣a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1﹣a+b+c﹣0﹣﹣2﹣﹣4a﹣b﹣﹣2a﹣3﹣abc﹣0﹣﹣4﹣5a﹣b+2c﹣0﹣ 其中正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（a﹣3），点B 的坐标是（4﹣b ），若点A 与点B 关于原点O 对称，则ab=_____﹣12.一元二次方程x 2﹣4x+2=0的两根为x 1，x 2，则x 12﹣4x 1+2x 1x 2的值为_____．13.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，圆锥的母线是_____cm ﹣14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．15.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．16.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD AK= ．三．解答题（共7小题，满分52分）17.解方程：（x+1﹣﹣x+2﹣=2x+4﹣18.如图所示，在长为32m、宽20m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2﹣问道路应多宽？19.将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C﹣B两点分别在x轴和y轴上，∠ABO=∠D=90°﹣OB=OC﹣AB=3﹣﹣1）求边OC的长．﹣2）将直角三角板OAB绕点顺时针方向旋转，使OA落在x轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积．20.某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．21.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD﹣﹣1）求证：CD是⊙O的切线；﹣2）若AB=2﹣∠P=30°，求阴影部分的面积．22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测：当每间的年租金定为8万元时，可全部租出；每间的年租金每增加0.5万元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺改作其他服务（休闲）用途，每间每年需费用5 000元.﹣1）当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间；﹣2）当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益（收益＝租金-各种费用）为199万元？﹣3）当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大，最大收益为_____﹣23.已知二次函数2y x bx c的图象过点A﹣3﹣0﹣﹣C﹣﹣1﹣0﹣﹣﹣1）求二次函数的解析式；﹣2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；﹣3）在第一象限内的抛物线上有一点Q，当QAB的面积最大时，求点Q的坐标﹣2021届九年级上学期期末考试数学试题（必刷卷二十四）一．选择题（共10小题，满分30分）1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第1个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；第3个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项错误；第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.将二次函数y=﹣2x 2+6x ﹣4配成顶点式为（ ） A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 【答案】B【解析】【分析】先提取-2，再利用完全平方公式进行配方即可得解．【详解】解：y=﹣2x 2+6x ﹣4=﹣2（x 2﹣3x+94）+92﹣4=﹣2（x﹣32）2+12．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，先把二次项系数化为1，再利用完全平方公式进行配方即可，熟记完全平方公式是解题的关键，难度不大．3.根据你对下列诗词的理解，请你从概率统计的角度判断：所给诗词描述的事件属于随机事件的是（）A. 锄禾日当午，汗滴禾下土B. 白日依山尽，黄河入海流C. 离离原上草，一岁一枯荣D. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】选项A，锄禾日当午，汗滴禾下土是必然事件；选项B，白日依山尽，黄河入海流是必然事件；选项C，离离原上草，一岁一枯荣是必然事件；选项D，春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件.故选D．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（）A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．故选C．点睛：本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠0【答案】D【解析】试题分析：根据题目2个条件，一个是二次方程，限定0m ，另一个为两个不等的实数根，则要求>0，即224m >0，故选：D ．考点：一元二次方程．6.已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB ⊥CD ，垂足为M ，则AC 的长为（）A. B. cm C. 或 D. 或【答案】C【解析】连接AC ，AO ，∵O 的直径CD=10cm ，AB ⊥CD ，AB=8cm ，∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C 点位置如图1所示时，∵OA=5cm ，AM=4cm ，CD ⊥AB ，∴222254AM =3cm ，∴CM=OC+OM=5+3=8cm ，∴22224845CM cm ；当C 点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm ， ∵OC=5cm ，∴MC=5−3=2cm ，在Rt △AMC 中22224225CM cm.故选C.7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ） A. 49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，∴两次都摸到黄球的概率为49， 故选A ．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．8.已知函数y=﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）+3，并且a ，b 是方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）=3的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是（ ）A. m ＜a ＜b ＜nB. m ＜a ＜n ＜bC. a ＜m ＜b ＜nD. a ＜m ＜n ＜b【答案】D【解析】【分析】令抛物线解析式中y =0,得到方程的解为a ,b ,即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ,b ,再由抛物线开口向下得到a <x <b 时y 大于0,得到x =m 与n 时函数值大于0,即可确定出m ,n ,a ,b 的大小关系.【详解】函数y =﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）+3,令y =0,根据题意得到方程（x ﹣m ）（x ﹣n ）=3的两个根为a ,b ,∵当x =m 或n 时,y =3>0,∴实数m ,n ,a ,b 的大小关系为a ＜m ＜n ＜b .故选D.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点,熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键.9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（ ）A. （180+x ﹣20）（50﹣10x ）=10890 B. （x ﹣20）（50﹣18010x ）=10890 C. x （50﹣ 18010x ）﹣50×20=10890 D. （x+180）（50﹣10x ）﹣50×20=10890 【答案】B【解析】【分析】设房价定为x 元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．【详解】设房价定为x 元，根据题意，得（x ﹣20）（50﹣18010x ）=10890． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握宾馆每天的总利润=每间每天利润已租出房间数量=（每间每天定价-每间每天支出）×已租出房间数量.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a ＜b ＜﹣2a（3）abc ＞0；（4）5a ﹣b+2c ＜0； 其中正确的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】由抛物线开口向上得到a 大于0，再由对称轴在y 轴右侧得到a 与b 异号，即b 小于0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可得出abc 的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c 小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a 大于0，得到-2a 小于0，在不等式两边同时乘以-2a ，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=-1时对应的函数值大于0，将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c 大于0，又4a 大于0，c 大于0，可得出a-b+c+4a+c 大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．【详解】由图形可知：抛物线开口向上，与y 轴交点在正半轴，∴a >0，b <0，c >0，即abc <0，故(3)错误；又x =1时，对应的函数值小于0，故将x =1代入得：a +b +c <0，故(1)错误；∵对称轴在1和2之间， ∴122ba ，又a >0， ∴在不等式左右两边都乘以−2a 得：−2a >b >−4a ，故(2)正确；又x =−1时，对应的函数值大于0，故将x =1代入得：a −b +c >0，又a >0，即4a >0，c >0，∴5a −b +2c =(a −b +c )+4a +c >0，故(4)错误，综上，正确的有1个，为选项(2).故选:A.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数系数对图象的影响是解题的关键.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．【答案】12【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.12.一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____．【答案】2【解析】【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12-4x1=-2、x1x2=2，将其代入x12-4x1+2x1x2中即可求出结论．【详解】∵一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2，∴x12-4x1=-2，x1x2=2，∴x12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键．13.已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是_____cm．【答案】13【解析】试题解析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．设母线长为R，则：65ππ5R，解得:13.R cm故答案为：13.14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______（结果精确到0.01）．【答案】0.88【解析】分析：首先结合现实生活，对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法，然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可.详解：1(0.8650.9040.8880.8680.8750.8920.8820.8788.8790.881)0.88.x故答案为：100.88.点睛：本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键.15.如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为米．【答案】1．【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532，整理，得x2-35x+34=0．解得，x1=1，x2=34．∵34＞30（不合题意，舍去），∴x=1．答：小道进出口的宽度应为1米．考点：一元二次方程的应用．16.如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD AK= ．【答案】3．【解析】试题分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．考点：旋转的性质．三．解答题（共7小题，满分52分）17.解方程：（x+1）（x+2）=2x+4．【答案】x=﹣2或1【解析】【分析】先变形得到（x+1）（x+2）-2（x+2）=0，然后利用因式分解法解方程．【详解】原方程可变为：（x+1）（x+2）=2（x+2）．即（x+2）（x ﹣1）=0，解得：x=﹣2或1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 18.如图所示，在长为32m 、宽20m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田面积为570m 2，问道路应多宽？【答案】道路为1m 宽．【解析】试题分析：本题中，试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x ，可根据此关系列出方程求出x 的值，然后将不合题意的舍去即可．试题解析：设道路为x 米宽，由题意得：(322)(20)570x x ，整理得：236350x x ，解得：1x ，35x ，经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去．答：道路为1m 宽．考点：一元二次方程的应用．19.将一块含30°角的直角三角板OAB 和一块等腰直角三角板ODC 按如图的方式放置在平面直角坐标系中．已知C 、B 两点分别在x 轴和y 轴上，∠ABO=∠D=90°，OB=OC ，AB=3．（1）求边OC 的长．（2）将直角三角板OAB 绕点顺时针方向旋转，使OA 落在x 轴上的OA′位置，求图中阴影部分的面积．【答案】﹣274 【解析】【分析】（1）先利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB ，然后利用OC=OB 得到OC 的长；（2）先计算出OC 的长，然后根据扇形面积公式，利用S 阴影部分=S 扇形AOA′-S △OCD 进行即可．【详解】（1）在Rt △OAB 中，∵∠AOB=30°，∴∴（2）在Rt △OAB 中，∵∠AOB=30°，∴AB=2AB=6，∵△ODC 为等腰直角三角形，∴OD=CD=2OC=2，∴S 阴影部分=S 扇形AOA′﹣S △OCD =2606360﹣12=6π﹣274. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了等腰直角三角形的性质．20.某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．【答案】(1)见解析（2）选择摇奖【解析】试题分析：（1）画树状图列出所有等可能结果，再让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率；（2）算出相应的平均收益，比较大小即可．试题解析：（1）树状图为：∴一共有6种情况，摇出一红一白的情况共有4种，∴摇出一红一白的概率=42 63；（2）∵两红的概率P=16，两白的概率P=16，一红一白的概率P=23，∴摇奖的平均收益是：16×18+23×24+16×18=22，∵22＞20，∴选择摇奖．【点睛】主要考查的是概率的计算，画树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21.如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，点A为切点，BP与⊙O交于点C，点D是AP的中点，连结CD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=2，∠P=30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（23.【解析】【分析】（1）连结OC，AC，由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°，∠ACP=90°，由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=12AP=DA，由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，∠OAC=∠OCA，证出∠OCD=90°，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4，由勾股定理求出AP，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可．【详解】（1）连结OC，AC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°，∠ACP=90°，∵点D是AP的中点，∴DC═AP=DA，∴∠DAC=∠DCA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，即OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵在Rt △ABP 中，∠P=30°，∴∠B=60°，∴∠AOC=120°，∴OA=1，BP=2AB=4，，∴=．【点睛】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键．22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测：当每间的年租金定为8万元时，可全部租出；每间的年租金每增加0.5万元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺改作其他服务（休闲）用途，每间每年需费用5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间；（2）当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益（收益＝租金-各种费用）为199万元？（3）当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大，最大收益为_____．【答案】（1）23；（2）9万元或13万元；（3）11，207【解析】试题分析：（1）根据每增加0.5万元，少租出1间，通过计算即可得；（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，根据收益=租金-各种费用，列出方程即可得；（3）设每间商铺的年租金增加x 万元，年收益为w 万元，根据收益=租金-各种费用，列出函数关系式，根据函数的性质即可得.试题解析：（1）（1） 27-1080.5=23(间)，故答案为：23； （2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则2782710.51990.50.50.5x x x x ，2650x x ， ∴15x x 或，∴8+1=9或8+5=13，∴ 每间商铺的年租金定为9万元或13万元；（3）设每间商铺的年租金增加x 万元，年收益为w 万元，则有 w=2782710.50.50.50.5x x x x =-2(x-3)2+207， ∵-2<0，∴当x=3时，w 有最大值为207，即定价为3+8=11万元时，有最大收益为207万元， 故答案为：11，207.23.已知二次函数2y x bx c 的图象过点A （3，0）、C （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）如图，二次函数的图象与y 轴交于点B ，二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P ，求P 点的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q ，当QAB 的面积最大时，求点Q 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3;(2) P （1，2）．(3) Q （32，154）． 【解析】试题分析：（1）将A 、C 的坐标代入函数解析式，解方程组求出b 、c 的值，即可得到函数的解析式；（2）先令x ＝0求出B 点坐标，然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式，再在直线AB 解析式中令x ＝1即可得出点P 坐标；（3）设Q （m ，223m m ＋＋），△QAB 的面积为S ，连接QA ，QB ，OQ ，则S ＝S S S OBQ OAQ OAB ＋，用含m 的代数式表示S ，然后利用二次函数的最值即可求出点Q 的坐标．试题解析：（1）把点A （3，0）、C （－1，0）代入2y x bx c ＝＋＋中，得10,930b c b c ＋＝＋＋＝ 解得2,3b c ＝＝∴抛物线的解析式为223y x x ＝＋＋．（2）在223y x x ＝＋＋中，当x ＝0时y ＝3， ∴B （0，3），设直线AB 的解析式为y kx b ＝＋， ∴3,30b k b ＝＋＝， ∴1,3k b ＝＝，∴直线AB 的解析式为3y x ＝＋， 当x ＝1时，y ＝2，∴P （1，2）．（3）设Q （m ，223m m ＋＋），△QAB 的面积为S ， 连接QA ，QB ，OQ ，则S ＝SS S OBQ OAQ OAB ＋ ＝211123?222OB m OA m m OAOB ＋＋＋ 又∵3OA OB ＝＝， ∴S ＝2132332m m m ＋＋ 23327228m ＝＋ ＝2332m m ∴当32m ＝时S 最大， 此时223m m ＋＋＝154， ∴Q （32，154）．。
2023-2024学年江苏省无锡市高级中学实验学校九年级(上)期中数学(含解析)
2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．122．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√54．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．都不对5．（3分）在⊙O 中，弦AB 所对的圆心角的度数为80°，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．40°B ．160°C ．80°或160°D ．40°或140°6．（3分）下列说法中，正确的是（ ） A ．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+29．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√310．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tan α=45，则cos α＝ ．12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 m ． 13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ °． 14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 cm 2．15．（3分）如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝6∠OAC＝48°，则∠BCI＝°．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是.（结果保留π）17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为．18．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，sin∠BCD=14，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，则AC的值为．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．20．（9分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，已知3b＝2c，斜边上的高CD=√3．（1）求tan A的值；（2）求BD的长．̂上一点，连接BD，AD，OC，21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；̂的长．（结果保留π）（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BC22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP．（1）求AP的长；（2）求tan∠DCP的值．23．（10分）如图，在等边△ABC中，点M、N分别在AB、AC边上．（1）在BC边上求作点P，使∠MPN＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB＝9，BM＝5，设CN＝a，若要使得（1）中只能作出唯一的点P，则a＝．24．（10分）如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D是⊙O上一点，过C作CE⊥AC，交AD的延长线于点E，连接DB，且CD＝CE．（1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）26．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当t ＝2时，PQ ＝ ； （2）在运动过程中，当∠DPQ ＝45°时，求t 的值；（3）在运动过程中，当以Q 为圆心，QP 为半径的圆，与矩形ABCD 的边共有4个公共点时，请直接写出t 的取值范围．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，5为半径的⊙O 交y 轴的正半轴于点P ，小刚同学用手中的三角板（∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD ＝；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市惠山区锡山高级中学实验学校、匡园双语中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分） 1．（3分）sin60°的值为（ ） A ．√32B ．√22C ．1D ．12【分析】直接根据sin60°=√32求解． 【解答】解：sin60°=√32．故选：A ．2．（3分）已知⊙O 的半径为4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定【分析】点在圆上，则d ＝r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）． 【解答】解：∵OP ＝3＜4，故点P 与⊙O 的位置关系是点P 在圆内． 故选：A ．3．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，那么cos A 的值为（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．25√5【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案． 【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，由勾股定理，得 AB =√AC 2+BC 2=√5． 由锐角的余弦，得cos A =ACAB =15=√55． 故选：C ．4．（3分）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝35°，那么∠BAD 等于（ ）A．35°B．55°C．65°D．都不对【分析】先利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABD ＝35°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝35°，∴∠ACD＝∠ABD＝35°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝55°，故选：B．5．（3分）在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（）A．40°B．160°C．80°或160°D．40°或140°【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：当点C在优弧AB上时，由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB＝40°，当点C在劣弧AB上时，∵四边形ACBC′是⊙O的内接四边形，∴∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝140°，∴弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°，故选：D．6．（3分）下列说法中，正确的是（）A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线B ．任何三角形有且只有一个内切圆C ．三点确定一个圆D ．三角形的内心到三角形的三个顶点的距离相等【分析】根据切线的判定定理对A 进行判断；根据三角形内心的定义对B 、D 进行判断；根据确定圆的条件对C 进行判断．【解答】解：A 、过半径的外端垂直于半径的直线是这个圆的切线，所以A 选项错误； B 、任何三角形有且只有一个内切圆，所以B 选项正确； C 、不共线的三点确定一个圆，所以C 选项错误；D 、三角形的内心到三角形的三边的距离相等，所以D 选项错误． 故选：B ．7．（3分）已知∠A 是锐角，且cos A =34，那么锐角A 的取值范围是（ ） A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°【分析】由cos30°=√32，cos45°=√22，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：∵√22＜34＜√32， 又∵cos30°=√32，cos45°=√22，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， ∴30°＜∠A ＜45°． 故选：B ．8．（3分）如图，AB 是半⊙O 的直径，点C 是AB ̂的中点，点D 为BC ̂的中点，连接AD ，CE ⊥AD 于点E ．若DE ＝1，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2√2C ．√2+1D ．3√2+2【分析】连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．证明TA ＝TC =√2EC ，EC ＝DE ，可得结论．【解答】解：如图，连接AC ，BC ，CD ，在EA 上取一点T ，使得EC ＝ET ，连接CT ．∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵点C 是AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴AC ＝CB ，∴∠CAB ＝∠ABC ＝45°， ∵点D 为BC ̂的中点， ∴CD̂=DB ̂， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝22.5°，∵∠ADC ＝∠ABC ＝45°，CE ⊥DE ，DE ＝1， ∴∠CED ＝90°， ∴∠ECD ＝∠EDC ＝45°， ∴EC ＝DE ＝1，∴EC ＝DE ＝1，CT =√2， ∵∠ETC ＝45°＝∠TAC +∠ACT ， ∴∠TAC ＝∠TCA ＝22.5°， ∴AT ＝TC =√2， ∴AE ＝AT +TE =√2+1． 故选：C ．9．（3分）如图，△ABC 中BC ＝6，∠A ＝60°，点O 为△ABC 的重心，连接AO 、BO 、CO ，若固定边BC ，使顶点A 在△ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持∠BAC 的大小不变，则线段AO 的长度的取值范围为（ ）A ．2＜AO ≤3√2B ．3≤AO ≤3√2C ．3≤AO ≤2√3D ．2＜AO ≤2√3【分析】作△ABC 的外接圆，延长AO 交BC 于D ，因此A 在BAĈ上运动，由三角形重心的性质得到D 是BC 的中点，AO =23AD ，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，求出AD =√32BC =√32×6＝3√3，推出3＜AD ≤3√3，得到3×23＜AO ≤3√3×23，即可求出AO 的取值范围． 【解答】解：作△ABC 的外接圆O ′，延长AO 交BC 于D ，∵∠BAC 的大小不变，∴A 在BAC ̂上运动（不与B 、C 重合），∵O 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，当AD ⊥BC 时，AD 长最大，∴AD 垂直平分BC ，∴AB ＝AC ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AD =√32BC =√32×6＝3√3，∵A 不与B 、C 重合，∴12BC ＜AD ， ∴3＜AD ≤3√3，∵O 是△ABC 的重心，∴AO =23AD ，∴3×23＜AO ≤3√3×23，∴2＜AO ≤2√3．故选：D ．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，CE 平分∠ACB ，BD ⊥CE ，垂足为点D ，连结AD ．下列结论：①若∠ABC ＝30°，则BD ＞AD ；②若∠ABC ＝45°，则S △ACE ＝4S △BDE ；③若sin ∠ABC =13，则S △ABC ＝S △ABD ；④若tan ∠ABC ＝m ，则CE ＝2m •BD ．正确的有（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④【分析】①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，证明BD ＝DG ，根据直角三角形斜边中线的性质得AD ＝BD ，可作判断；②如图2，过点E 作EF ⊥BC 于F ，设AE ＝x ，则BF ＝EF ＝x ，BE =√2x ，AB ＝AC ＝x +√2x ，证明△BDE ∽△CAE ，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可作判断；③根据sin ∠ABC =EF BE =AC BC =13，设EF ＝a ，BE ＝3a ，则AE ＝EF ＝a ，证明Rt △ACE ≌Rt △FCE （HL ），得AC ＝CF =√2a ，根据三角形面积公式进行计算可作判断；④如图4，延长BD ，CA 交于点G ，证明△AEC ∽△AGB ，列比例式，并结合三角函数可作判断．【解答】解：①如图1，延长BD ，CA 交于点G ，∵∠ABC ＝30°，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝30°，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，∴∠DBC＝60°，∴△GBC是等边三角形，∵CD⊥BG，∴BD＝DG，Rt△BAG中，AD=12BG＝BD，故①错误；②如图2，过点E作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，∴AE＝EF，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴AB＝AC，同理得△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝EF，设AE＝x，则BF＝EF＝x，BE=√2x，AB＝AC＝x+√2x，∴CE=√AE2+AC2=√x2+(x+√2x)2=√4+2√2x，∵∠DEB＝∠AEC，∠BDE＝∠EAC＝90°，∴△BDE∽△CAE，∴S△ACES△BDE =（CEBE）2=(4+2√2)x22x2=2+√2，∴S△ACE＝（2+√2）S△BDE，故②错误；③如图3，过点E作EF⊥BC于F，∵sin∠ABC=EFBE=ACBC=13，设EF＝a，BE＝3a，则AE＝EF＝a，∴BF＝2√2a，∵∠EAC＝∠CFE＝90°，CE＝CE，∴Rt△ACE≌Rt△FCE（HL），∴AC＝CF=√2a，延长BD，CA交于点G，∵∠GCD＝∠BCD，CD⊥BG，∴∠CBD＝∠G，∴CG＝CB＝3√2a，BD＝DG，∴AG＝2√2a，∴S△ABD=12•S△ABG=12×12×2√2a×4a＝2√2a2，S△ABC=12•√2a•4a＝2√2a2，∴S△ABC＝S△ABD；故③正确；④如图4，延长BD，CA交于点G，∵∠BDE＝∠CAE＝90°，∠DEB＝∠AEC，∴∠ACE＝∠DBE，∵∠EAC＝∠BAG＝90°，∴△AEC∽△AGB，∴CEBG =ACAB，由③知：BG＝2BD，∵tan∠ABC=ACAB=m，∴CE2BD=m，∴CE＝2m•BD．故④正确；本题正确的结论有：③④．故选：D．二、填空题（每空3分，共24分）11．（3分）已知α是锐角，tanα=45，则cosα＝5√4141．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算即可．【解答】解：设∠A＝α，所在的直角三角形为△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所得的边为a，b，c，∵tanα=45，即ab=45，设a＝4k，则b＝5k，∴c=√a2+b2=√41k，∴cosα=bc=41k=5√4141．故答案为：5√4141． 12．（3分）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶，共走了50m ，那么这山的高度是 25 m ．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．【解答】解：由题意得：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝50m ，则BC =12AB =12×50＝25（m ），所以这山的高度是25m ，故答案为：25．13．（3分）圆内接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：7，则∠D ＝ 120 °．【分析】设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，根据圆内接四边形的性质求出x ，得到∠B 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：设∠A 、∠B 、∠C 分别为2x 、3x 、7x ，则2x +7x ＝180°，解得，x ＝20°，∴∠B ＝3x ＝60°，∴∠D ＝180°﹣∠B ＝120°，故答案为：120．14．已知圆锥的母线长8cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积是 24π cm 2．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl ＝π•3•8＝24π（cm 2）．故答案为：24π．15．（3分）如图，点O 、I 分别是锐角△ABC 的外心、内心，若∠CAB ＝6∠OAC ＝48°，则∠BCI ＝ 25 °．【分析】连接OC，如图，先计算出∠OAC＝8°，再根据三角形外心的性质得到OA＝OC，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠AOC＝164°，接着根据圆周角定理得到∠ABC＝82°，则利用三角形内角和可计算出∠ACB＝50°，然后根据三角形内心的性质得到∠BCI的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠CAB＝6∠OAC＝48°，∴∠OAC＝8°，∵点O是锐角△ABC的外心，∴OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝8°，∴∠AOC＝180°﹣8°﹣8°＝164°，∴∠ABC=12∠AOC＝82°，∵∠ACB+∠CAB+∠ABC＝180°，∴∠ACB＝180°﹣48°﹣82°＝50°，∵点O是锐角△ABC的内心，∴∠BCI=12∠ACB=12×50°＝25°．故答案为：25．16．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1.（结果保留π）【分析】证明阴影部分的面积=14（S圆O﹣S正方形ABCD），可得结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于J，K．则⊙O被分成5个部分，其中4个部分是全等图形，∴图中阴影部分的面积=14（4π﹣4）＝π﹣1．故答案为：π﹣1．17．（3分）将点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，当点A'恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为（﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．【分析】如图，设G（m，0），由点A（﹣3，3）绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点A'，可得A′（3+m，m+3），根据OA′＝2，构建方程求出m即可．【解答】解：如图，设G（m，0），∵点A （﹣3，3）绕x 轴上的点G 顺时针旋转90°后得到点A '，∴A ′（3+m ，m +3），∵OA ′＝2，∴（3+m ）2+（3+m ）2＝22，解得，m ＝﹣3±√2，∴G （﹣3+√2，0）或（﹣3−√2，0）．故答案为：(−3+√2，0)或(−3−√2，0)．18．（3分）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD ＝90°，BC ＝8，CD ＝6，sin ∠BCD =14，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形时，则AC 的值为 2√13或√73 ．【分析】由△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，因此要分以下两种情况进行讨论：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，先证△BAD ∽△BCE 得∠ABD ＝∠CBE ，∠BDA ＝∠BEC ，进而证△ABC 和△DBE 全等得AC ＝DE ，然后在Rt △DCE 中，利用勾股定理求出DE 即可；（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ，在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，先证△ABD ∽CBM ，得∠ABD ＝∠CBM ，进而证△ABC ∽△DBM 得BC ：DM ＝AB ：BD ＝1：2，则BC =12DM ，然后在Rt △DCM 中，利用勾股定理求出DM ．【解答】解：∵△ABD 是以BD 为腰的等腰三角形，∴有以下两种情况：①当BD ＝BA 时，过点B 作BH ⊥AD 于H ，过点C 作CE ⊥CD ，在CE 上截取CE =12BC ＝4，连接BE ，如图1所示：∵BD＝BA，BH⊥AD，∴∠BAD＝∠BDA，AD＝2AH，∠BAD+∠ABH＝90°，∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCD，∵sin∠BCD=1 4，∴sin∠ABH=AHAB=14，∴AB＝4AH＝2AD，∴AD：AB＝1：2，∵CE=12BC＝4，∴BC：CE＝1：2，∴AD：AB＝BC：CE，∵CE⊥CD，∴∠BCE+∠BCD＝90°．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，又AD：AB＝BC：CE，∴△BAD∽△BCE，∴∠ABD＝∠CBE，∠BDA＝∠BEC，∴∠BDA＝∠BEC＝∠BDA＝∠BCE，∴BC＝BE＝8，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ， 即∠ABC ＝∠DBE ， 在△ABC 和△DBE 中， {BD =BA∠ABC =∠DBE BC =BE， ∴△ABC ≌△DBE （SAS ）， ∴AC ＝DE ，在Rt △DCE 中，CD ＝6，CE ＝4，由勾股定理得：DE =√CD 2+CE 2=2√13， ∴AC ＝DE =2√13．（2）当BD ＝AD 时，过点D 、作DN ⊥AB 于N ，过点C 作CM ⊥CD ， 在CM 上截取CM ＝2BC ＝16，连接BM ，如图2所示：∵BD ＝AD ，DN ⊥AB ，∴∠DAB ＝∠DBA ，AB ＝2AN ，∠ADN +∠BAD ＝90°， 又∵∠BAD +∠BCD ＝90°， ∴∠ADN ＝∠BCD ， ∵sin ∠BCD =14，∴sin∠ADN=ANAD=14，∴AD＝4AN＝2AB，∴AB：AD＝1：2，∵CM＝2BC＝16，∴BC：CM＝1：2，∴AB：AD＝BC：CM，∵CM⊥CD，∴∠BCM+∠BCD＝90°，又∵∠BAD+∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠BCM，又∵AB：AD＝BC：CM，∴△ABD∽CBM，∴∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD＝∠CBM＝∠DAB＝∠BCM，∴BM＝CM＝2BC＝16，∵∠ABD＝∠CBM，∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC，即∠ABC＝∠DBM，∵AB：BD＝1：2，BC：BM＝1：2，∴AB：BD＝BC：BM，∴△ABC∽△DBM，∴BC：DM＝AB：BD＝1：2，∴BC=12 DM，在Rt△DCM中，CD＝6，CM＝16，由勾股定理得：DM=√CD2+CM2=2√73，∴BC=12DM=√73．综上所述：AC的长为2√13或√73．三、解答题（10小题，共96分）19．（10分）计算：（1）(√3)2−π°+√3cos30°； （2）(12)−2−tan45°+|﹣5|．【分析】（1）先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1）(√3)2−π°+√3cos30° ＝3﹣1+√3×√32 ＝3﹣1+32 =72；（2）(12)−2−tan45°+|﹣5| ＝4﹣1+5 ＝8．20．（9分）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，已知3b ＝2c ，斜边上的高CD =√3． （1）求tan A 的值； （2）求BD 的长．【分析】（1）首先利用勾股定理用b 表示a ，然后利用tan A 的定义即可求解； （2）首先利用已知条件证明∠A ＝∠BCD ，然后利用已知条件即可求解． 【解答】解：（1）∵3b ＝2c ， ∴c =32b ，而a =√c 2−b 2=√52b ， ∴tan A =a b =√52； （2）∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠ADC ＝90°＝∠ACB ，∴∠A +∠ACD ＝∠ACD +∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ， ∴tan A ＝tan ∠BCD ， ∴BD CD=√52，而CD=√3，∴BD=√152．21．（10分）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BĈ上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝18cm，求图中劣弧BĈ的长．（结果保留π）【分析】（1）连接OB，结合垂径定理得到弧AB＝弧AC，，根据“同圆或等圆中，等弧所对的圆心角为圆周角的两倍”得到∠AOB和∠AOC之间的关系，进而求出∠AOC的度数；（2）要求劣弧弧BC的长，需要知道圆的半径以及弧所对圆心角的度数，由垂径定理得到BE的长，进而在Rt△BOE中利用勾股定理求出OE的长，利用弧长公式进行计算即可解决问题．【解答】解：（1）连接OB，∵OA⊥BC，∴弧AB＝弧AC，∴∠AOC＝∠AOB，由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠AOC＝∠AOB＝60°．（2）∵OA⊥BC，∴BE =12BC =9，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°， ∴OB ＝2OE ，∴BE =√OB 2−OE 2=√3OE =9， ∴OE =3√3cm ，OB =6√3cm ． ∴劣弧BC 的长=120π×6√3180=4√3π(cm)． 22．（10分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点，将△CBH 沿CH 折叠，点B 落在矩形内点P 处，连接AP ． （1）求AP 的长； （2）求tan ∠DCP 的值．【分析】（1）连接PB ，由四边形ABCD 是矩形，H 是AB 的中点，得∠ABC ＝90°，AH ＝BH =32，则CH =√BH 2+BC 2=52，由折叠得PH ＝BH ＝AH ，CH 垂直平分PB ，则∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，可证明∠APB ＝90°，则AP ∥CH ，∠P AB ＝∠BHC ，所以AP AB=cos ∠BHC =35，则AP =35AB =95；（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ，则EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝∠AFP ＝90°，所以AF AP =cos ∠P AB =35，PF AP=sin ∠BHC =45，则AF =35AP =2725，PF =45AP =3625，所以CE ＝BF =4825，PE =1425，即可求得tan ∠DCP =PECE =724．【解答】解：（1）连接PB ，∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝3，BC ＝2，H 是AB 的中点， ∴∠ABC ＝90°，AH ＝BH =12AB =32， ∴CH =√BH 2+BC 2=√(32)2+22=52，由折叠得点P 与点B 关于CH 对称，PH ＝BH ＝AH ， ∴CH 垂直平分PB ，∠HPB ＝∠HBP ，∠HP A ＝∠HAP ，∴∠APB ＝∠HPB +∠HP A ＝∠HBP +∠HAP =12×180°＝90°， ∵AP ⊥BP ，CH ⊥BP ， ∴AP ∥CH ， ∴∠P AB ＝∠BHC ，∴APAB =cos ∠P AB ＝cos ∠BHC =BH CH =3252=35， ∴AP =35AB =35×3=95， ∴AP 的长是95．（2）作PE ⊥CD 于点E ，交AB 于点F ， ∵∠FEC ＝∠ECB ＝∠FBC ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形， ∴EF ＝BC ＝2，∠BFE ＝90°， ∴∠AFP ＝90°， ∴AF AP=cos ∠P AB =35，PFAP=sin ∠P AB ＝sin ∠BHC =BC CH =252=45， ∴AF =35AP =35×95=2725，PF =45AP =45×95=3625， ∴CE ＝BF ＝AB ﹣AF ＝3−2725=4825，PE ＝EF ﹣PF ＝2−3625=1425， ∴tan ∠DCP =PE CE =14254825=724， ∴tan ∠DCP 的值为724．23．（10分）如图，在等边△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 边上．（1）在BC 边上求作点P ，使∠MPN ＝60°；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点．（2）若AB ＝9，BM ＝5，设CN ＝a ，若要使得（1）中只能作出唯一的点P ，则a ＝8120．【分析】（1）以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ，作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2，即可完成作图；（2）证△MBP ∽△PCN ，可得MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，列出方程5x=9−x a，整理得x 2﹣9x +5a ＝0，当该方程有两个不相等的实数根时，对应满足条件的点P 有两个，当该方程有两个相等的实数根时，对应满足条件的点P 只有一个，当该方程没有实数根时，对应满足条件的点P 不存在，进而可以解决问题．【解答】解：（1）①以A 为圆心，AN 为半径作弧，交AB 于点D ， ②作△DMN 的外接圆，交BC 于P 1、P 2， 如图，点P 1、P 2即为所求；（2）如图，∵∠MP 1N ＝60°， ∴∠MP 1B +∠CP 1N ＝120°， 在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝60°， ∴∠MP 1B +∠BMP 1＝120°， ∴∠BMP 1＝∠CP 1N ， ∴△MBP 1∽△P 1CN ， ∴MB BP 1=CP 1CN，设BP 1＝x ，∴5x =9−x a，∴5a ＝9x ﹣x 2， ∴x 2﹣9x +5a ＝0， ∵只能作出唯一的点P ， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣9）2﹣20a ＝81﹣20a ＝0， ∴a =8120． 故答案为：8120．24．（10分）如图，点C 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点D 是⊙O 上一点，过C 作CE ⊥AC ，交AD 的延长线于点E ，连接DB ，且CD ＝CE ． （1）求证：直线DC 与⊙O 相切；（2）若AB ＝15，tan ∠BDC =12，求CE 的长．【分析】（1）连接OD ，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出∠ODC ＝90°，则OD ⊥DC ，可得出结论；（2）证明△BCD ∽△DCA ，由相似三角形的性质得出BC CD=CD AC=BD AD，设CB ＝x ，则CD ＝2x ，得出方程（2x ）2＝x •（x +15），解方程求出x 即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OD ，∵CE ⊥AC ， ∴∠ACE ＝90°， ∴∠A +∠E ＝90°， ∵CD ＝CE ， ∴∠E ＝∠CDE ， ∴∠A +∠CDE ＝90°， ∵OA ＝OD ， ∴∠A ＝∠ADO ， ∴∠ADO +∠CDE ＝90°， ∴∠ODC ＝90°， ∴OD ⊥DC ， ∴DC 与⊙O 相切；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴∠A +∠ABD ＝90°， 又∵∠BDC +∠ODB ＝90°， ∴∠BDC ＝∠A ， ∵∠BCD ＝∠ACD ， ∴△BCD ∽△DCA ， ∴BC CD=CD AC=BD AD，∵tan ∠BDC ＝tan ∠A =BDAD =12， 设CB ＝x ，则CD ＝2x ， ∴CD 2＝CB •CA ，∴（2x ）2＝x •（x +15）， ∴x ＝5， ∴CD ＝CE ＝10．25．（10分）如图1，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝2.5米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C ，仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B ，仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝4.5米，求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【分析】过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，解直角三角形求出CN 、BN 的长，得出BF 的长，再求出AE AB≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE＝（3x +4.5）米，然后证AF ＝AD ，则4x +3.5＝3x +4.5，解得x ＝1，即可求解． 【解答】解：过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长DC 交AB 的延长线于F ，如图所示： 则CN ∥AD ，∴∠NCF ＝∠ADC ＝45°，在Rt △BCN 中，CN ＝BC •sin37°≈2.5×35=1.5（米），BN ＝BC •cos37°≈2.5×45=2（米）， 在Rt △CNF 中，∠NCF ＝45°， ∴△CNF 是等腰直角三角形， ∴NF ＝CN ＝1.5（米）， ∴BF ＝BN +NF ＝3.5（米）， 在Rt △ABE 中，∠AEB ＝53°， ∴∠ABE ＝37°，∴tan ∠ABE ＝tan37°=AE AB ≈34，设AE ＝3x 米，则AB ＝4x 米，AF ＝AB +BF ＝（4x +3.5）米，AD ＝AE +DE ＝（3x +4.5）米， 在Rt △ADF 中，∠ADC ＝45°， ∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AF＝AD，即4x+3.5＝3x+4.5，解得：x＝1，∴AB＝4x＝4（米）．答：匾额悬挂的高度AB的长约为4米．26．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．各自到达终点后停止运动．设运动时间为t秒．（1）在运动过程中，当t＝2时，PQ＝4√2cm；（2）在运动过程中，当∠DPQ＝45°时，求t的值；（3）在运动过程中，当以Q为圆心，QP为半径的圆，与矩形ABCD的边共有4个公共点时，请直接写出t的取值范围．【分析】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm），可得BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），故PQ=√BP2+BQ2=4√2（cm）；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，由∠DPQ＝45°，可得△PQM是等腰直角三角形，从而△PMN≌△MQK（AAS），PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则（6﹣t）+x＝2t﹣x，得x=3t−62，证明△MPN∽△DP A，有即3t−62t=t+6212，即可解得t的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q与AD相切于T时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，连接QT，可得√(6−t)2+(2t)2=6，解得t＝0（舍去）或t＝2.4，当⊙Q经过D时，⊙Q与矩形ABCD的边共有3个公共点，可得√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足2.4＜t＜6√13−18．【解答】解：（1）当t＝2时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2＝4（cm），∴PQ=√BP2+BQ2=√42+42=4√2（cm），故答案为：4√2cm；（2）连接DP，过Q作QM⊥DP于M，过M作MN⊥AB于N，过Q作QK⊥MN于K，如图：根据题意可知，AP＝t cm，BQ＝2t cm，∴BP＝（6﹣t）cm，由作图可知四边形BQKN是矩形，∴BN＝QK，BQ＝NK＝2t cm，∵∠DPQ＝45°，∴△PQM是等腰直角三角形，∴∠PMQ＝90°，PM＝QM，∴∠PMN＝90°﹣∠QMK＝∠KQM，∵∠MNP＝90°＝∠QKM，∴△PMN≌△MQK（AAS），∴PN＝MK，MN＝QK，设PN＝MK＝x cm，则MN＝NK﹣MK＝（2t﹣x）cm＝QK，∵BN＝QK，∴（6﹣t）+x＝2t﹣x，∴x=3t−6 2，∴PN=3t−62（cm），MN＝2t−3t−62=t+62（cm），∵∠MPN＝∠DP A，∠MNP＝90°＝∠A，∴△MPN ∽△DP A ，∴PN AP =MN AD ，即3t−62t =t+6212，解得t ＝15+3√17（舍去）或t ＝15﹣3√17；∴t 的值为15﹣3√17；（3）当⊙Q 与AD 相切于T 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，连接QT ，如图：∵∠A ＝∠B ＝∠ATQ ＝90°，∴四边形ABQT 是矩形，∴QT ＝AB ＝6cm ＝PQ ，∴√(6−t)2+(2t)2=6，解得t ＝0（舍去）或t ＝2.4，由图可知，⊙O 与矩形ABCD 的边共有4个公共点，需满足t ＞2.4；当⊙Q 经过D 时，⊙Q 与矩形ABCD 的边共有3个公共点，如图：此时PQ＝DQ，∴√(6−t)2+(2t)2=√(12−2t)2+62，解得t＝6√13−18或t＝﹣6√13−18（舍去），由图可知，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点，需满足t＜6√13−18；∴当2.4＜t＜6√13−18时，⊙O与矩形ABCD的边共有4个公共点．27．（10分）已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝8）进行了如下的实验操作：（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AC恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD＝5√33；（2）将图1中摆放的三角板的顶点A在⊙O上逆时针滑动，若直角顶点C恰好落在x轴的正半轴上，此时BC边与⊙O相切于点M，求点C的坐标；（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点C恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG＝1，求GH的长．【分析】（1）连接OD，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可；（2）连接OM，过点O作OE⊥AC于点E，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质求得AE，利用勾股定理解答即可得出结论；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点G在点P的上方时，过点O作OF⊥CH 于点F，连接AH，利用圆周角定理，勾股定理和垂径定理求得线段HF的长度，再利用三角形的中位线定理和勾股定理求得GF的长度，则GH＝GF﹣HF；②当点G在点P的下方时，过点O作OK⊥CH 于点K，连接AH，利用①的方法解答即可．【解答】解：（1）连接OD，如图，∵AC 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝60°，∴tan A =OD AD ，∴AD =OD tan60°=5√3=5√33． 故答案为：5√33； （2）连接OM ，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，如图，∵BC 边与⊙O 相切于点M ，∴OM ⊥BC ，∵OE ⊥AC ，∠ACB ＝90°，∴四边形OMCE 为矩形，∴CE ＝OM ＝5．∵AC ＝8，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴OE=√OA2−AE2=√52−32=4，∴OC=√OE2+CE2=√42+52=√41．∴C（√41，0）；（3）①当点G在点P的上方时，如图，过点O作OF⊥CH于点F，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OF⊥CH，∴CF＝HF=12CH＝3．∵OF⊥CH，AC⊥CH，∴OF∥AC，∴OF为△HAC的中位线，∴OF=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP+PG＝5+1＝6，∴GF=√OG2−OF2=√62−42=2√5，∴GH＝GF﹣HF＝2√5−3；②当点G在点P的下方时，如图，过点O作OK⊥CH于点K，连接AH，∵∠ACB＝90°，∴AH为⊙O的直径，∴AH经过点O，AH＝10．∴CH=√AH2−AC2=6．∵OK⊥CH，∴CF＝HK=12CH＝3．∵OK⊥CH，AC⊥CH，∴OK∥AC，∴OK为△HAC的中位线，∴OK=12CA＝4．∵PG＝1，∴OG＝OP﹣PG＝4，∴OG＝OK，∴点G，K重合，∴GH＝HK＝3．综上，GH的长为2√5−3或3．28．（10分）在平面直角坐标系xOy中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以BP为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”．（1）点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2(−12，−1)，P3（﹣2，1）中，O关于点A的“联络点”是P1，P2（填字母）；（2）直线y=−12x+1与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足tan∠CPD=12，求点P的坐标；（3）⊙T的圆心在y轴上，半径为√2，点M为y轴上的动点，点N的坐标为（4，0），在⊙T上存在点M关于点N的“联络点”P，且△PMN为等腰三角形，直接写出点T的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，勾股定理的逆定理得出∠AOP1＝90°，∠AOP2＝90°，即可求解；（2）依题意，点C关于点D的“联络点”P在过点C的CD的垂线上，进而得出直线CP的解析式为y＝2x﹣4，设P（p，2p﹣4），根据CP＝2CD＝2√5，建立方程，解方程，即可求解；（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，根据△PMN是等腰直角三角形，得出△PQM≌△MQN，进而得出即点P在直线y＝x+4上，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，结合图形，即可求解．【解答】解：（1）根据新定义可得O在AP为直径的圆上，∴∠AOP＝90°，∵点A的坐标为（2，﹣1），则在点P1（1，2），P2（−12，﹣1），P3（﹣2，1）中，∴AO=√5，OP1=√5，AP1=√10，则OP12+OA2=AP12，∴∠AOP1＝90°，∴OP2=√52，AP2=52，则AP22=OA2+OP22，∴∠AOP2＝90°，如图1，∠AOP3≠90°，∴O 关于点A 的“联络点”是P 1，P 2；故答案为：P 1，P 2；（2）如图2，依题意，点C 关于点D 的“联络点”P 在CD 的垂线上且过点C ，∵直线y =−12x +1与x 轴，y 轴分别交于点C ，D ，当x ＝0时，y ＝1，当y ＝0时，x ＝2，∴C （2，0），D （1，0），∴OD ＝1，OC ＝2，∴tan ∠COD =OD OC =12，CD =√OD 2+OC 2=√5， ∵tan ∠CPD =12，∴CP 1＝2√5，∴DP 1＝5，则P 1（0，﹣4），设直线CP 的解析式为y ＝kx ﹣4，则0＝2k ﹣4，解得：k ＝2，∴直线CP 的解析式为y ＝2x ﹣4；设P （p ，2p ﹣4），∵tan ∠CPD =12，∴CD CP =12，∴CP＝2CD＝2√5，∴（p﹣2）2+（2p﹣4）2=(2√5)2，解得：p＝4或p＝0，∴P（4，4）或P（0，﹣4）；（3）如图3，点P是M关于N的“联络点”，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∠PMN＝90°，∵∠PMQ+∠OMN＝90°，∠ONM+∠OMN＝90°，∴∠PMQ＝∠ONM，∴△PQM≌△MON（AAS），∴ON＝QM，OM＝QP，设M（0，m），∵N（4，0），∴OQ＝4+m，PQ＝m，∴P（m，4+m），即点P在直线y＝x+4上，设直线y＝x+4与y轴交于点S，则S（0，4），依题意可知，P在⊙T上，如图4，当PS与⊙T相切时，TS=√2×√2=2，第41页（共41页）∴T （0，2）或T （0，6），结合图形可得2≤t ≤6；如图5，根据对称性可得﹣2≤t ≤﹣6也符合题意，综上所述，2≤t ≤6或﹣2≤t ≤﹣6．。