高中数学复合函数的求导法则教案
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4x x y =； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）sin cos cos sin x x x y x x x-=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4x x x x x x x x x x x x x y ⋅-⋅⋅-⋅-====， '1ln 44xx y -=。
（2）''''2211ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln )x x y x x x x x x -==-+==⋅=+++++ '22(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+⋅+-+⋅22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-⋅+-+⋅=--⋅，'2(24)x y x x e =--⋅。
（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x-=+ ''2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin )x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--⋅+=+ 2(cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+⋅+--⋅-++=+ 2sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ⋅+--⋅=+ 22(cos sin )x x x x =+。
高中数学复合函数求导教案
高中数学复合函数求导教案一、复合函数的定义1. 复合函数是指一个函数由两个或两个以上的函数组合而成的函数。
2. 复合函数的表示：如果函数 f 和函数 g 都是数学上的函数，则复合函数 f(g(x)) 表示先对x 进行函数 g 的运算，然后再对结果进行函数 f 的运算。
这里 g(x) 是函数 g 的输出，f(g(x)) 是复合函数的输出。
二、复合函数的求导法则1. 复合函数的导数公式：设函数 y = f(u)，u = g(x) 为复合函数，则 y 的导数为：dy/dx = dy/du * du/dx2. 具体步骤：a. 先对内函数 u 进行求导，求得 dy/dub. 再对外函数 y 进行求导，求得 du/dxc. 最后将两者相乘即可得到最终导数 dy/dx三、实例演练例题：已知函数 y = (2x + 1)^2，求 dy/dx1. 设 u = 2x + 1，则 y = u^22. 求内函数 u 的导数：du/dx = 23. 求外函数 y 的导数：dy/du = 2u4. 根据公式，dy/dx = dy/du * du/dx = 2u * 2 = 4u5. 将 u = 2x + 1 代入，得到 dy/dx = 4(2x + 1)四、练习题1. 已知函数 y = sin(x^2)，求 dy/dx2. 已知函数 y = ln(3x + 2)，求 dy/dx3. 已知函数 y = e^(2x - 1)，求 dy/dx五、作业1. 完成练习题中的题目，写出解题思路和计算过程2. 自行设计一个复合函数，并求其导数3. 查阅相关资料，了解复合函数的应用领域及意义六、总结1. 复合函数求导是高中数学中的重要内容，掌握其求导法则可以帮助我们解决更复杂的问题。
2. 通过练习和实践，加深对复合函数求导的理解和掌握，提高数学解题能力。
高三数学复习教案：简单复合函数的导数
高三数学复习教案：简单复合函数的导数教学目标：学生能够理解和计算简单复合函数的导数。
教学重点：简单复合函数的导数计算。
教学难点：应用链式法则计算复合函数的导数。
教学准备：教材、黑板、白板笔。
教学步骤：Step 1：复习导数的定义和基本计算法则。
复习导数的定义和基本计算法则，例如常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
Step 2：引入复合函数的概念。
复习函数和映射的概念，并引入复合函数的概念。
举一个简单的例子，如：设函数f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 f(g(x)) 和 g(f(x))。
Step 3：简单复合函数的导数计算。
解释简单复合函数的导数计算方法，即通过链式法则计算复合函数的导数。
例如，设函数 f(x) = 3x^2 + 2x，函数 g(x) = x^3 - 1，让学生计算 (f(g(x)))' 和(g(f(x)))'。
讲解计算过程，包括先求出 f'(x) 和 g'(x)，然后代入复合函数的内函数的导数和外函数的导数。
Step 4：课堂练习。
让学生做一些课堂练习题，如计算简单复合函数的导数。
示例题目：1. 设函数 f(x) = 2x^3 + 3x，函数 g(x) = x^2 + 1，计算 (f(g(x)))'。
2. 设函数 f(x) = e^x，函数 g(x) = ln(x)，计算 (g(f(x)))'。
3. 设函数 f(x) = sin(x)，函数 g(x) = x^2，计算 (f(g(x)))'。
Step 5：课堂讨论和总结。
让学生分享自己的解题思路和结果，进行课堂讨论和总结。
总结复合函数的导数计算方法，强调链式法则的应用。
Step 6：作业布置。
布置一些作业题，要求学生练习计算简单复合函数的导数。
参考答案如下：1. (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x) = (6x^2 + 3) * (2x) = 12x^3 + 6x。
【数学】1.2.3《复合函数的求导法则》教案(新人教A版选修2-2)
1.2.2复合函数的求导法则教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋41cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－2714）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回顾总结六．布置作业。
《高等数学(下册)》教案---第15课--多元复合函数及其求导法则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w ． y u y v y w y
， （10-4）
链式法则式（10-3）、式（10-4）与前面的式（10-1）、式（10-2） 相比，因为现在有两个自变量，所以前面的全导数 dz 就变成
dt 了现在的偏导数 z ，z ．
并说明求导过程中出现的 z 与 f ，z 与 f 有何区别？ x x y y
深学生对知识点 的理解
【学生】讨论、发言
6
15 多元复合函数及其求导法则 第
课
课堂测验 （15 min）
【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 【学生】做测试题目 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧
通过测试，了解 学生对知识点的 掌握情况，加深学 生对本节课知识 的印象
课堂小结 （5 min）
【教师】简要总结本节课的要点
本节课介绍了多元复合函数的概念，中间变量为各种情形时偏 导数的求导法则（链式法则）。课后要多加练习，巩固认知。
【学生】总结回顾知识点
总结知识点，巩 固印象
教学反思
【教师】布置课后作业：习题 10.5
x y
例 2 设 z eu sin v ，而 u xy ，v x y ，求 z 和 z ． x y
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量 u ，v ，自变量 x ，y ，根 据链式法则式（10-3），有
z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y
复合函数的导数教学设计教案
复合函数的导数教学设计教案一、概述复合函数是指将两个或多个函数合成一个函数。
对于复合函数，求其导数时，要用到链式法则，这是一种将复杂问题进行分解，从其各部分组成求解的技术。
它可以帮助学生更好地理解复合函数的性质，更快地解决复合函数的导数问题。
二、教学目标1. 理解复合函数的概念；2. 熟练掌握链式法则，学会使用链式法则计算复合函数的导数；3. 整体运用链式法则，求解复合函数的导数的更复杂的问题。
四、教学方法1. 讲解+练习：利用教师上课讲解链式法则和复合函数概念，引导学生理解复合函数的概念和链式法则的原理，再通过师生共同讨论的方式和学生自主解决的练习形式，帮助学生熟练掌握链式法则的运用。
2. 提问+指导：教师在讲课过程中，对学生提出相关的问题，以帮助他们理清思路，并指导他们自己解决，帮助学生理解、运用这种方法解决更加复杂的复合函数导数问题。
三、教学材料1. 教材：复合函数及其导数的课本2. 实物：黑板、笔等一些学习工具五、教学过程1. 教师首先介绍复合函数的概念，指导学生理解；2. 接着介绍链式法则，讲解两者之间的联系，分析链式法则的运用；3. 教师准备几个简单的复合函数，传授学生如何使用链式法则计算复合函数的导数；4. 教师准备更复杂的复合函数，提出问题，指导学生理解、解决问题；5. 教师总结本节课所讲的内容，结合实例检验学生对于链式法则理解程度到底有多少。
六、教学评价检查学生对本节课学习内容的掌握程度，做出书面测试，并根据实际情况进行调整；另外，以学生在课堂学习任务、讨论和实际练习中表现的动态考核，及时发现和改正学生的掌握不足之处。
高三数学复合函数的求导法则教案
芯衣州星海市涌泉学校§1.2.2复合函数的求导法那么教学目的理解并掌握复合函数的求导法那么．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，纯熟，正确．一．创设情景〔一〕根本初等函数的导数公式表 〔二〕导数的运算法那么〔2〕推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数〕二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，假设通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．假设()()y f g x =，那么()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦三．典例分析例1求y ＝sin 〔tanx2〕的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的构造，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x ax 22--的导数．【点评】此题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin4x ＋cos4x 的导数．【解法一】y ＝sin4x ＋cos4x ＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x ＝1－21sin22x ＝1－41〔1－cos4x 〕＝43＋41cos4x ．y′＝－sin4x ． 【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx ＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x －cos2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x 〔x ＋1〕〔2－x 〕有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的间隔．【解】y ＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x ＋2令y′＝1即3x2－2x －1＝0，解得x ＝－31或者者x ＝1． 于是切点为P 〔1，2〕，Q 〔－31，－2714〕， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即x －y ＋1＝0．显然两切线间的间隔等于点Q 到此切线的间隔，故所求间隔为2|1271431|++-＝22716． 四．课堂练习1．求以下函数的导数(1)y=sinx3+sin33x ；〔2〕122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数五．回忆总结六．布置作业。
高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学 第一章《1.2.3复合函数的求导法则》教案 新人教A 版选修2-2 "教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授三．典例分析例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．例2求2sin(tan )y x =的导数．解：'2'222[sin(tan )]cos(tan )sec ()2y x x x x ==⋅⋅ 2222cos(tan )sec ()x x x =⋅'2222cos(tan )sec ()y x x x =⋅【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例3求y=的导数．解：'y=222(2)ax ax==--，'y=【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例4求y＝sin4x＋cos 4x的导数．【解法一】y＝sin 4x＋cos 4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22 x＝1－41（1－cos 4 x）＝43＋41cos 4 x．y′＝－sin 4 x．四．课堂练习1．求下列函数的导数 (1) y =sin x3+sin33x；（2）122sin-=xxy;(3))2(log2-xa2.求)132ln(2++xx的导数五．回顾总结六．教后反思：第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
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§1.2.2复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．
教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．
教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．
一．创设情景
（一）基本初等函数的导数公式表
（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦
三．典例分析
例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a
x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．
【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－
21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4
1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin
3 x cos x ＋
4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2
x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x
【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．
【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2
令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－
31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27
14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．
显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2
|1271431|++-＝22716．
四．课堂练习
1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=x x y ;(3))2(log 2-x a
2.求)132ln(2++x x 的导数
五．回顾总结
六．布置作业。