平面汇交力系与力偶

2-7 如图 2-7a 所示液压夹紧机构中，D 为固定铰链，B，C，E 为活动铰链。已知力 F， 机构平衡时角度如图 2-7a，求此时工件 H 所受的压紧力。
y
y
y
F FN B FBC
′ FBC
θ
FCD x
′ FCE
θ
E
FN E
θ
B
C
θ
(a) (b)
θ
C
(c) 图 2-7
x′ FCE
FN H
(d)
解
y
y
FBC
θ
FDE
′ FDB
θ
D
F
FDB
x
B F AB
(c)
x
(a)
(b) 图 2-8
12
解
（1）节点 D，坐标及受力如图 2-8b，由平衡理论得
∑ Fy = 0,
解得
∑ Fx = 0, FDB − FDE cos θ = 0 FDE sin θ − F = 0
FDB = F cot θ 讨论：也可以向垂直于 FDE 方向投影，直接得 FDB = F cot θ
y
F2
ϕ
γ β
F1
(a) 图 2-4
θ
x
P
(b)
解
坐标及受力如图 2-4b 所示，由平衡理论得
∑ Fx = 0, F1 cos(θ + β ) − F2 sin ϕ = 0 F2 sin ϕ = F1 cos(θ + β )
10
(1)
∑ Fy = 0,
式(1)除以式(2)，得
F1 sin(θ + β ) − P + F2 cos ϕ = 0
（3）节点 E，受力如图 2-7d 所示
∑ Fy = 0 ,
即工件所受的压紧力
FNH = F 'CE cosθ = FNH = F 2 sin 2 θ
F 2 sin 2 θ
2-8 图 2-8a 所示为 1 拨桩装置。在木桩的点 A 上系 1 绳，将绳的另 1 端固定在点 C， 在绳的点 B 系另 1 绳 BE，将它的另 1 端固定在点 E。然后在绳的点 D 用力向下拉，使绳的 BD 段水平，AB 段铅直，DE 段与水平线、CB 段与铅直线间成等角 θ = 0.1 rad （当 θ 很小 。如向下的拉力 F=800 N，求绳 AB 作用于桩上的拉力。 时， tan θ ≈ θ ）
F2 = 173 kN
如图 2-5a 所示，刚架的点 B 作用 1 水平力 F，刚架重量不计。求支座 A，D 的约
y F B C x
FA
(a) 图 2-5
A
(b)
D
FD
解 研究对象：刚架。由三力平衡汇交定理，支座 A 的约束力 FA 必通过点 C，方向如 图 2-5b 所示。取坐标系 Cxy ，由平衡理论得
3F1 = 1.553F1 2 cos 15°
3F1 （压） 2 cos 15°
（2）节点 B，坐标及受力如图 2-9c 所示，由平衡理论得
F2 = − 3FAB =
即
F1 ﹕ F2 = 0.644
2-10 如图 2-10 所示，刚架上作用力 F。试分别计算力 F 对 点 A 和 B 的力矩。 解 M A ( F ) = − Fb cos θ
∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0,
式(1)、(2)联立，解得
F − FA × FD − FA ×
2 5 1
=0 =0
（1） （2）
5
FA =
5 F = 1.12 F ， FD = 0.5 F 2
2-6 如图 2-6a 所示， 输电线 ACB 架在两线杆之间， 形成 1 下垂曲线， 下垂距离 CD=f=1 m，两电线杆距离 AB=40 m。电线 ACB 段重 P=400 N，可近似认为沿 AB 连线均匀分布。求 电线中点和两端的拉力。
FB =
M M ， FA = l l M l M l cosθ
∑ M A = 0 ， FB l − M = 0 ， FB = FA =
（c）梁 AB，受力如图 2-12c1 所示。
∑ M A = 0 ， FB l cos θ − M = 0 ， FB = FA =
2-13 图 2-13a 所示结构中， 各构件自重不计。 在构件 AB 上作用 1 力偶矩为 M 的力偶， 求支座 A 和 C 的约束力。 解 （1）BC 为二力杆： FC = − FB （图 2-13c） （2）研究对象 AB，受力如图 2-13b 所示， FA , FB 构成力偶，则
∠( FR , Fx ) = arccos(
( 3 915
2
+ 3 107 2
)
N = 4 998 N
∑ Fx 3 915 N ) = arccos( ) = 38°26′ 4 998 N FR
（2）几何法 作力多边形 Oabc，封闭边 Oc 确定了合力 FR 的大小和方向。根据图 2-2c，得
FR = ( F1 + F2 cos 40°) 2 + ( F3 + F2 sin 40°) 2
FR = (80i + 140 j ) N
FR = (80 N) 2 + (140 N) 2 = 161 N
2-2 如图 2-2a 所示，固定在墙壁上的圆环受 3 条绳索的拉力作用，力 F1 沿水平方向， 力 F3 沿铅直方向，力 F2 与水平线成 40°角。3 个力的大小分别为 F1=2 000 N，F2=2 500 N， F3=1 500 N。求 3 个力的合力。
11
∑ F y = 0, FTA sinθ − W1 = 0
式（1） 、 （2）联立，解得
(2)
FT A =
W1 = sin θ
200 N 1 10 2 + 12
= 2 010 N
10 10 2 + 12
FT C = FT A cosθ = 2 010 N ×
因对称
= 2 000 N
FT B = FT A = 2 010 N
(2)
F2 cos ϕ = P − F1 sin(θ + β )
tan ϕ =
代入有关数据，解得
F1 cos(θ + β ) P − F1 sin(θ + β )
将 ϕ 值等数据代入式(1)，得 2-5 束力。
ϕ = 30° γ = 90° + ϕ − β = 90° + 30° − 25° = 95°
= (2 000 + 2 500 cos 40°) 2 + (1 500 + 2 500 sin 40°) 2 =4 998 N ∑ Fx 3 915 N = arccos = 38°26′ ∠( FR , F1 ) = arccos FR 4 998 N
2-3 物体重 P=20 kN，用绳子挂在支架的滑轮 B 上，绳子的另 1 端接在绞车 D 上，如 图 2-3a 所示。转动绞车，物体便能升起。设滑轮的大小、杆 AB 与 CB 自重及摩擦略去不计， A，B，C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，求拉杆 AB 和支杆 CB 所受的力。
y
x
A
45° 60° F1
FAB
FAC
(a) (b) 图 2-9
x ′ FAB B 30° F2 30° F BD y
(c)
解
(1) 节点 A，坐标及受力如图 2-9b 所示，由平衡理论得
∑ Fx = 0,
∑ Fx = 0,
FAB cos15° + F1 cos 30° = 0 ， FAB = −
− FAB cos 30° − F2 cos 60° = 0
M B ( F ) = − Fb cosθ + Fa sin θ = F (a sin θ − b cosθ )
图 2-10
2-11 为了测定飞机螺旋桨所受的空气阻力偶，可将飞机水平放置，其 1 轮搁置在地秤 上，如图 2-11a 所示。当螺旋桨未转动时，测得地秤所受的压力为 4.6 kN ，当螺旋桨转动 时，测得地秤所受的压力为 6.4 kN 。已知两轮间距离 l = 2.5 m ，求螺旋桨所受的空气阻力 偶的矩 M 。
l/2
M B
l
(a1)
A FA
(a)
FB
l /3
A
FA
(b)
M
l
(b1)
B
FB
θ FA A
(c) 图 2-12
l/2
M l
(c1)
B
θ FB
解 （a） 梁 AB，受力如图 2-12a1 所示。 F A , F B 组成力偶，故
FA = FB
∑ M A = 0 ， FB l − M = 0 ，
（b）梁 AB，受力如图 2-12b1 所示。
FT A
y
10 m
10 m P/2 O
θ
(a)
(b)
解 本题为悬索问题，这里采用近似解法，假定绳索荷重均匀分布。取 AC 段绳索为研 究对象，坐标及受力如图 2-6b 所示。图中：
W1 =
由平衡理论得
P = 200 N 2
(1)
∑ Fx = 0, FT C − FT A cosθ = 0
（1）轮 B，受力如图 2-7 b 所示。由平衡理论得
F （压） sin θ （2）节点 C，受力如图 2-7c 所示。由图 2-7c 知， F ' BC ⊥ FCD ，由平衡理论得 F ∑ Fx = 0, FBC − FCE cos(90° − 2θ ) = 0 ， FCE = BC sin 2θ ∑ Fy = 0 , FBC =
∠( FR , F1 ) = arccos( F1 + F2 × 4 / 5 ) FR 100 N + 50 N × 4 / 5 = arccos( ) = 29.74 o = 29 o 44′ 161 N